Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯƠNG MINH PHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC Á TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2016


Mục lục
Mở đầu

2

1 Các kiến thức cần chuẩn bị.
1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
5

7

Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý Leray-Shauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.3
1.4

2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai
dạng bảo toàn.
2.1 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. Nghiệm
suy rộng bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền đủ nhỏ
2.3 Đánh giá bên trong miền đối với gradient của nghiệm suy rộng
(ess. max |∇u|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4
2.5
2.6

24
27

Ω

12
18
21

2.7

Đánh giá trên toàn miền đối với gradient của nghiệm suy rộng
Đạo hàm cấp hai của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . .
Đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm các cấp của nghiệm suy
rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Độ lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền . . . . . . . . . . .

30
33

2.8

Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

43

1

Mở đầu
Lí thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu rất cụ thể, chi tiết và đầy đủ. Đã đưa vào định nghĩa lớp nghiệm
suy rộng của phương trình gồm các hàm có đạo hàm cấp một và thoả mãn đẳng
thức tích phân trong miền.
Các phương trình elliptic á tuyến tính sau đó cũng đã có một lịch sử phát
triển lâu dài, nó có sự khác biệt so với phương trình tuyến tính là các số của
hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm thậm chí là đạo hàm cấp một của ẩn
hàm. Vì vậy khái niệm nghiệm suy rộng được đưa vào có một số cách khác biệt.
Luận văn này nhằm mục đích trình bầy lý thuyết nghiệm suy rộng bị chặn của
phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
Bố cục của luận văn bao gồm phần Mở Đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Chuẩn bị các kiến thức cơ bản về các không gian Banach, cụ thể
là, không gian Sobolev, không gian Holder, Định lý Leray-Schauder và một số
kết quả cần thiết khác cũng được trình bày trong chương này để làm cơ sở cho
việc phát triển trong chương 2.
Chương 2. Giới thiệu lớp các phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo
toàn và nghiệm suy rộng của chúng. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet
trong miền đủ nhỏ. Tiếp theo sẽ nghiên cứu các đánh giá bên trong miền và
2


trên toàn miền đối với gradient của ngiệm suy rộng bị chặn. Đánh giá chuẩn
Holder đối với đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao của nghiệm suy rộng. Độ
lớn của nghiệm suy rộng. Cuối cùng, tính giải được của bài toán Dirichlet cũng
được nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn được trình bày dựa theo cuốn

" Linear and Quasilinear Elliptic equations" của Ladyzhenskaya, Olga A. and
Ural’tseva, Nina N, (1968).
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới Thầy hướng dẫn PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã giúp đỡ, chỉ đạo tận
tình, chu đáo cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
bản luận văn này.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa Học Tự
Nhiên, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể cán bộ, công nhân
viên Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn
và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình của thầy cô, và các
bạn cho bản luận văn này.

3


Chương 1

Các kiến thức cần chuẩn bị.
Trong chương này, cung cấp một số kiến thức cơ bản để phục vụ cho việc
xây dựng nội dung chính ở chương sau. Dưới đây là các kí hiệu thường dùng
trong luận văn.
• N = {1, 2, ...} là tập hợp các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập hợp các
số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức.
• En : Không gian Euclid n−chiều, 2 ≤ n ∈ N, x = (x1 , ..., xn ) kí hiệu điểm
thuộc En .
• Ω : kí hiệu một miền bị chặn trong En , cụ thể là một tập mở liên thông tùy
ý, được chứa trong một hình cầu có bán kính đủ lớn.
• S : kí hiệu biên của Ω.
¯ : kí hiệu bao đóng của Ω, tức là Ω

¯ = Ω ∪ S.
•Ω
• Ω : kí hiệu một miền con thực sự nằm trong Ω, do đó khoảng cách giữa Ω
và S luôn dương.
• Kρ : kí hiệu hình cầu bán kính ρ trong En ; χn = mesK1 .

4


• Ωρ = Kρ ∩ Ω.
n

• x = (x1 , ..., xn ), chuẩn |x| =
i=1

1/2

x2i

.

Tất cả các hàm và các ước lượng trong luận văn này đều là thực, trừ khi được
đề cập cụ thể.
Giả sử u(x) là một hàm của x, khi đó
1/2

n

∇u(x) = ux (x) = (ux1 (x), ..., uxn (x)); |∇u| =

2

(uxi )

.

i=1

ν, µ, ε, δ, δk , θ, γ kí hiệu cho các hằng số dương.
ν(t), µ(t) lần lượt kí hiệu cho một hàm liên tục không tăng, không giảm đối
với t ≥ 0.
Một hàm u(x) được gọi là có giá compact trong Ω nếu nó triệt tiêu trong một
lân cận của biên của Ω. Giá của hàm đo được u(x) được định nghĩa bởi

suppu = {x ∈ Ω|∀ρ > 0 m{y ∈ Kρ (x) ∩ Ω|u(y) = 0} > 0}.
Điều kiện (A). Chúng ta nói rằng biên S của miền Ω (hoặc một phần S1
của nó) thỏa Điều kiện (A) nếu tồn tại hai số dương a0 và θ0 sao cho, đối với
mọi hình cầu tùy ý có tâm trên S (tương ứng, trên S1 ), bán kính ρ ≤ a0 và với
ˆ ρ của Ωρ = Kρ ∩ Ω, bất đẳng thức sau đây xảy ra
một phần liên thông bất kì Ω
ˆ ρ ≤ (1 − θ0 )mesKρ .
mesΩ

1.1

Không gian Sobolev Wm (Ω)

1.1.1 Không gian Lm (Ω), 1 ≤ m < ∞
Lm (Ω) kí hiệu không gian Banach gồm tất cả các hàm u(x) đo được xác định
trên Ω và m - khả tích.

5


Chuẩn trên không gian này được xác định như sau
1/m

u

Lm (Ω)

m

|u| dx

=

.

Ω

Khi m = ∞, ký hiệu

L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess. max |u(x)| < +∞}
Ω

trong đó, ess. max |u(x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Ω||u(x)| > M } = 0}.
Ω

Ở đây, tính đo được và tính khả tích được hiểu theo nghĩa Lebesgue. Các
phần tử Lm (Ω) là các lớp hàm tương đương trên Ω.

1.1.2 Không gian Wm (Ω); 1 ≤ m < ∞, ∈ Z+
Không gian Sobolev Wm (Ω) là không gian bao gồm các hàm suy rộng u(x) ∈
Lm (Ω) mà các đạo hàm suy rộng Dα u ∈ Lm (Ω), |α| ≤ .
Khí đó, chuẩn của u(x) ∈ Wm (Ω) được định nghĩa bởi
 

u

Wm (Ω)

|u|m +

=

1/m

|D(α) u|m  dx
|α|=1 (α)

Ω

trong đó,
α = (α1 , α2 , .., αn ) ∈ Z+n , |α| = α1 + α2 + ... + αn ,
α

Dα u = Dα1 1 Dα2 2 ...Dαnn u, Dj j =

∂ αj
α ,
∂xj j

j = 1, 2, ...

˚ (Ω); 1 ≤ m < ∞, ∈ Z+
1.1.3 Không gian W
m
˚ (Ω) với 1 ≤ m < +∞ là bao đóng của C ∞ (Ω) trong
Không gian Sobolev W
m
0
chuẩn của không gian Wm (Ω).
Kí hiệu:
˚m (Ω) = C ∞ (Ω)
W
0
6


Khi đó
˚m (Ω) = {u(x) : u(x) ∈ Wm (Ω), Dα u|S = 0; |α|
W

1.2

− 1}.

Không gian Holder

Cho Ω là một miền bị chặn ( giới nội ) trong Rn . Ta định nghĩa một số không
gian :

• Không gian C 0 (Ω), C k (Ω)
C 0 (Ω) = {u : Ω → C|u liên tục trên Ω}
C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}
¯ C k (Ω)
¯
• Không gian C 0 (Ω),
¯ là không gian các hàm liên tục trên Ω
¯ với chuẩn
C 0 (Ω)
|u|0,Ω = sup |u(x)|
Ω

¯ = {u(x) ∈ C 0 (Ω)
¯ : Dα u ∈ C 0 (Ω),
¯ ∀|α| ≤ k}
C k (Ω)
với chuẩn

|Dα u|0,Ω

|u|k,Ω¯ =
|α|≤k

k ∈ Z+ .
¯
• Không gian C 0,γ (Ω)

|u(x) − u(y)|
¯ = {u(x) ∈ C 0 (Ω); [u]
C 0,γ (Ω)

< +∞},
γ
(γ),Ω = sup
|x − y|
x,y∈Ω
x=y

với 0 < γ ≤ 1.
7


¯ được định nghĩa bởi
Chuẩn của C 0,γ (Ω)
|u|0,γ,Ω = |u|0,Ω + [u](γ),Ω .
¯
• Không gian C k,γ (Ω)

¯ = {u(x) ∈ C k (Ω) : [Dα u](γ),Ω < +∞, ∀|α| = k},
C k,γ (Ω)
¯ được định nghĩa bởi
Chuẩn của C k,γ (Ω)
[Dα u](γ),Ω .

|u|k,γ,Ω = |u|k,Ω +
|α|=k

¯
¯ O2 (Ω)
• Lớp hàm O1 (Ω),
¯ ⊂ O1 (Ω)

¯ ⊂ C 0,1 (Ω)
¯
C 1,0 (Ω)
¯ gồm tất cả các hàm u(x) thuộc C 0,1 (Ω)
¯ mà có vi phân cấp một tại
O1 (Ω)
¯ và |u|1,0,Ω là hữu hạn.
mọi điểm trên Ω
¯ gồm tất cả các hàm u(x) thuộc C 1,1 (Ω)
¯ mà các đạo hàm cấp một
O2 (Ω)
của nó có vi phân cấp một tại mọi điểm trên Ω.

1.3

Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q )

Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) là lớp tất cả các hàm u(x) trong Wm (Ω) với ess. max |u| ≤
Ω

M sao cho, với u(x) và −u(x), các bất đẳng thức sau xảy ra trong bất kì hình
cầu Kρ ⊂ Ω với bất kì σ ∈ (0, 1) :
|∇u|m dx ≤ γ
Ak,ρ−σρ

1
m(1− nq )

σmρ

m

max(u(x) − k)m + 1 mes1− q Ak,ρ
Ak,ρ

với k ≥ max u(x) − δ.
Kρ

8

(1.1)


Ak,ρ là tập các điểm x ∈ Kρ với u(x) > k và Kρ−σρ là một hình cầu đồng tâm
với Kρ . Chúng ta có thể giả sử bán kính của các hình cầu ρ trong (1.1), không
vượt quá một số dương ρ0 nào đó.
Các tham số M, γ và δ là các số dương tùy ý, 1 < m ≤ n, q > n ≥ 2.
Ta có khẳng định sau :
Nếu trong một hình cầu Kρ , một hàm u(x) thỏa mãn bất đẳng thức


m
(u − k)m |∇ζ|m dx + (mesAk,ρ )1− q 


|∇u|m ζ m dx ≤ γ 
Ak,ρ

(1.2)

Ak,ρ

với k ≥ max u − δ và với một hàm trơn không âm tùy ý ζ(x) triệt tiêu trên
Kρ

mặt của Kρ , thì bất đẳng thức (1.1) xảy ra đối với Kρ và một hình cầu đồng
tâm tùy ý Kρ−σρ , ở đây σ ∈ (0, 1). Điều này đúng vì (1.1) theo sau (1.2) nếu
chúng ta chọn ζ là một hàm bằng đơn vị trong Kρ−σρ và thỏa mãn bất đẳng
thức |∇ζ| ≤ c/σρ.

1.4

Định lý Leray-Shauder

Mục này giới thiệu Nguyên lý Leray-Schauder về sự tồn tại điểm bất động
của một họ ánh xạ phụ thuộc tham số, xem [2].
¯ là một bao đóng của
Định lý 1.4.1. Giả sử H là một không gian Banach và M
một tập mở liên thông bị chặn M trong H. Giả sử E là tích Decartes của H và
khoảng đóng [0 ≤ τ ≤ 1], do đó các phần tử của E = H × [0, 1] là cặp sắp thứ
tự (v, τ ), với v ∈ H, τ ∈ [0, 1]. Đặt
¯1 = M
¯ × [0, 1].
M
Khi đó, phương trình
u = Φ(u, τ )
9

(1.3)

có ít nhất một nghiệm trong M với mọi τ ∈ [0, 1] nếu
1. Với mỗi τ cố định, ánh xạ Φ(u, τ ) là xác định và hoàn toàn liên tục trên
¯ 1,
M
¯ 1,
2. Với mỗi τ cố định, ánh xạ Φ(u, τ ) là liên tục đều theo τ trên M
3. Biên của miền M với τ ∈ [0, 1] không chứa nghiệm của (1.3),
4. Với τ = 0, phương trình (1.3) có một số hữu hạn (khác không) các nghiệm
trong M.

10


Chương 2

Nghiệm suy rộng của phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai dạng
bảo toàn.
Trong phần này, sẽ trình bày các nghiên cứu về một dạng đặc biệt của phương
trình á tuyến tính cấp hai, gọi là dạng bảo toàn.
d
ai (x, u, ux ) + a(x, u, ux ) = 0.
dxi
Lớp này bao gồm nhiều phương trình quan trọng thường gặp trong Cơ học
và Hình học. Ví dụ, nó bao gồm tất cả các phương trình tuyến tính và á tuyến
tính dạng
aij (x, u)uxi xj + ai (x, u, ux ) = 0,
và phương trình Euler’s đối với các bài toán biến phân chính qui cho các phiếm
F (x, u, ux )dx.

hàm dạng
Ω

Các kết quả mới và đầy đủ nhất của lớp các phương trình này đã đạt được
trong sự liên hệ với các vấn đề về tính giải được của bài toán giá trị biên và các
tính chất trơn của nghiệm.
11


2.1

Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
Nghiệm suy rộng bị chặn

Xét phương trình
d
ai (x, u, ux ) + a(x, u, ux ) = 0.
dxi

(2.1)

a, Phương trình elliptic
¯ và
Chúng ta giả sử rằng các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p) xác định với x ∈ Ω
u, p tùy ý, là các hàm đo được và thỏa các điều kiện
n

ai (x, u, p)pi ≥ ν(|u|)|p|m − µ(|u|),

(2.2)

|ai (x, u, p)|(1 + |p|) + |a(x, u, p)| ≤ µ(|u|)(1 + |p|)m ,

(2.3)

i=1
n

i=1
n

ở đây |p| =
i=1

p2i , các hàm ν(t) là dương không tăng, µ(t) là hàm dương không

giảm và hằng số m > 1.
Khi đó phương trình (2.1) là phương trình elliptic.
b, Nghiệm suy rộng bị chặn
Chúng ta gọi hàm u(x) ∈ Wm (Ω) sao cho
e. max |u| < ∞
Ω

và thỏa mãn đẳng thức tích phân
(ai (x, u, ux )ηxi − a(x, u, ux )η)dx = 0

I(u, η) :=

(2.4)

Ω

˚ 1 (Ω) là một nghiệm suy rộng bị chặn
đối với mọi hàm bị chặn tùy ý η(x) ∈ W
m
của phương trình (2.1).

12


Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng, trong trường hợp các nghiệm suy rộng bị chặn của
phương trình (2.1), chúng ta có thể đánh giá

|∇u|m dx thông qua ess. max |u|
Ω

và các hằng số đã biết.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử rằng u(x) là một nghiệm suy rộng bị chặn của phương
trình (2.1) và
ess. max |u| ≤ M < ∞.
Ω

Khi đó, với mọi hình cầu tùy ý Kρ bên trong Ω, ta có
|∇u|m dx ≤ c1 ρn (1 + (ρ1 − ρ)−m ),
Kρ

ở đây, c1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào M, các hằng số m, ν(M ) và µ(M ) trong
các điều kiện (2.2) và (2.3) và ρ1 là khoảng cách giữa hình cầu Kρ và S = ∂Ω.
Nếu

u(x)|S = ϕ(x)|S

(2.5)

1
ở đây ϕ(x) là một hàm bị chặn trong Wm
(Ω), thì với mọi hình cầu Kρ tùy ý,

chúng ta có
|∇u|m dx ≤ cρ(n−m) ,
Kρ ∩Ω

ở đây hằng số c chỉ được xác định bởi
M, m, ν(M ), µ(M ), max |ϕ(x)| và ∇ϕ
Ω

Lm (Ω) .

Chứng minh. Kí hiệu Kρ là một hình cầu bất kì được chứa trong Ω. Kí
hiệu ζ(x) là hàm trơn hữu hạn trong Ω nhận giá trị trong (0, 1), bằng đơn vị
trong Kρ và bằng 0 ngoài cầu Kρ1 , ở đây ρ < ρ1 , tức là đồng tâm với Kρ . Trong
phương trình (2.4), chúng ta lấy hàm η = eλu ζ m với λ > 0 nào đó:
eλu (λai uxi ζ m + ai mζ m−1 ζxi − aζ m )dx = 0.
Ω

13


Từ phương trình này, chúng ta có thể thu được chặn cho
Kρ

|∇u|m dx

như sau: theo các giả thiết (2.2) và (2.3) chúng ta có
ai uxi ≥ ν|∇u|m − µ,
|ai mζ m−1 ζxi | ≤ mµ(1 + |∇u|)m−1 ζ m−1 |∇ζ| ≤ (m − 1)(1 + |∇u|)m ζ m + µm |∇ζ|m ,
|aζ m | ≤ µ(1 + |∇u|)m ζ m , ν = ν(M ), µ = µ(M ).
Ở đây, để thu được chặn thứ hai, chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức Young
ab ≤

am
m

+

m
m−1 m−1
.
m b

Từ đây, chúng ta thu được bất đẳng thức
eλu |∇u|m ζ m dx ≤ c eλu ((1 + |∇u|)m ζ m + |∇ζ|m )dx,

νλ
Ω

Ω

ở đây c phụ thuộc vào ν, µ và m. Khi đó, với λ = 2c/ν, chúng ta thu được
|∇u|m ζ m dx ≤ e

4cM
ν

Ω

(ζ m + |∇ζ|m )dx.
Ω

Nếu chúng ta chọn ζ(x) sao cho
max |∇ζ| ≤ const(ρ1 − ρ)−1 ,
Ω

chúng ta thu được bất đẳng thức mong muốn
|∇u|m dx ≤ c1 ρn (1 + (ρ1 − ρ)−m ),
Kρ

ở đây c1 phụ thuộc vào m, µ, ν và M.
Bây giờ chúng ta giả sử rằng u(x) thỏa điều kiện (2.5) trên biên S với
1
ϕ ∈ Wm
(Ω) và ess. max |ϕ| = M0 < ∞.
Ω

14


Khi đó, đặt η = (eλu −eλϕ )ζ trong (2.4), ở đây ζ là một hàm trơn có giá compact
nhận giá trị trong [0, 1] trên cầu tùy ý K2ρ , tức là bằng đơn vị trong hình cầu
đồng tâm Kρ , và bằng cách lấy chặn như trên, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra

rằng
|∇u|m dx ≤ cρ(n−m) ,
Kρ ∩Ω

ở đây c được xác định bởi M, M0 , m, ν, µ và ∇ϕ

Lm (Ω) .

Bổ đề được chứng minh

xong.

Định lý 2.1.1. Giả sử rằng các điều kiện (2.2) và (2.3) được thỏa mãn. Khi đó
với mọi nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý u(x) của phương trình (2.1) đều thuộc
lớp C 0,α (Ω) với mũ α > 0 phụ thuộc vào M = ess. max |u(x)| và các hằng số
Ω

m, ν(M ), µ(M ) trong (2.2) và (2.3). Với một tập tùy ý Ω ⊂⊂ Ω, chuẩn |u|0,α,Ω
bị chặn trên bởi một biểu thức chứa M, m, ν(M ), µ(M ) và khoảng cách từ Ω tới
S.
Nếu biên S thỏa điều kiện (A) và nếu
u|S ∈ C 0,β (S),
thì chuẩn |u|0,α,Ω (với α ≤ β) bị chặn trên bởi một biểu thức xác định bởi
M, m, ν(M ), µ(M ), các hằng số a0 và θ0 trong định nghĩa của điều kiện (A), β
và chuẩn |u|β,S .
Từ Định lý 2.1.1, chúng ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.2. Giả sử hàm u(x) ≥ 0 được xác định trong miền Rρ có đường kính
2ρ và giả sử

15

α

|x − y|−n+m− 2 um dx ≤ cρα/2 , α > 0, 1 < m ≤ 2.
Rρ

với mọi y ∈ Rρ ,
˚ 1 (Rρ ), bất đẳng thức sau đúng
Khi đó, với một hàm bất kỳ ξ(x) ∈ W
m

um (x)ξ 2 (x)dx ≤ c1 ρ2α/m
Rρ

um−2 (x)|∇ξ|2 dx,
Rρ

với hằng số c1 chỉ phụ thuộc vào c, n, α và m.
Bổ đề 2.1.3. Giả sử Ω là một miền trong hoàn toàn của Ω. Với một nghiệm
suy rộng bị chặn tùy ý u(x) của phương trình (2.1) ta có,
|∇u|m dx ≤ cρn−m+αm ,

(2.6)

Kρ

|x − y|−n+m−

αm

2

|∇u|m dx ≤ cρ

αm
2

,

(2.7)

Kρ

ở đây m ≤ n, hình cầu Kρ và K2ρ đồng tâm đều thuộc Ω , với ρ ≤ 1, và với y
là một điểm tùy ý trong Kρ . Mũ α được lấy từ Định lí 2.1.1, và c được xác định
bởi các hằng số M = e. max u(x), m, ν(M ), µ(M ) và khoảng cách từ Ω tới S.
Ω

Bổ đề 2.1.4. Giả sử rằng ai (x, u, p) và a(x, u, p) thỏa mãn các điều kiện (2.2)
và (2.3). Khi đó, với mọi nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý u(x) của phương trình
(2.1) ta có,
(1 + |∇u|)m ξ 2 dx ≤ cρα
Kρ

(1 + |∇u|)m−2 |∇ξ|2 dx,

(2.8)

Kρ

˚ 1 (Kρ ) với các hình cầu đồng tâm
ở đây ξ(x) là một hàm bị chặn tùy ý trong W
m
K2ρ , Kρ thuộc Ω và bán kính ρ không vượt quá một số dương ρ1 nào đó phụ thuộc
16


vào M, m, ν(M ), µ(M ) trong (2.2) và (2.3). Hằng số c trong (2.8) được xác định
bởi các hằng số này và khoảng cách từ Kρ tới S.
Các khẳng định tương tự với các Bổ đề 2.1.2 và 2.1.3 cũng đúng cho các hình
cầu Kρ giao với S. Để thấy được điều này, chúng ta giả sử rằng S thỏa Điều
kiện (A) và hàm u|S = ϕ(x), ϕ(x) ∈ C 0,β (S). Theo Định lí 2.1.1, đối với một
hình cầu tùy ý Kρ ,
osc{u, Kρ ∩ Ω} ≤ cρα ,

(2.9)

ở đây hằng số c độc lập với khoảng cách từ tâm mặt cầu tới biên S.
Xét một hình cầu Kρ có giao với phần nào đó của biên S và giả sử rằng ξ(x)
˚ 1 (Ωρ ).
là một hàm tùy ý trong W
m
Nếu m ≥ 2, chúng ta có thể lập luận như Bổ đề 2.1.3 để đi đến bất đẳng thức
(1 + |∇u|)m ξ 2 dx ≤ cρα
Ωρ

(1 + |∇u|)m−2 |∇ξ|2 dx,

(2.10)

Ωρ

trong đó, c chỉ phụ thuộc vào M, m, ν(M ), µ(M ), a0 , θ0 trong Điều kiện (A), vào
β và vào chuẩn |ϕ|β,S . Ở đây, bán kính ρ trong (2.10) không được vượt quá một
số ρ1 nào đó xác định bởi các đại lượng tương tự.
Bổ đề 2.1.5. Nếu S thỏa mãn điều kiện (A), nếu hàm ϕ(x) thuộc Wm1 (Ω), và
nếu trong mọi hình cầu bất kỳ Kρ , hàm ϕ(x) thỏa mãn bất đẳng thức
|∇ϕ|m dx ≤ c1 ρn−m+mβ , Ωρ = Kρ ∩ Ω,

(2.11)

Ωρ

khi đó, với mọi nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý của (2.1) thỏa
u|S = ϕ|S ,

(2.12)

các bất đẳng thức (2.6) và (2.7) đúng với một hình cầu bất kỳ Kρ . Ở đây, các
tích phân trong (2.6) và (2.7) được lấy trên Ωρ và các hằng số α > 0, c phụ thuộc
17


vào M = maxΩ |u|, m, ν(M ), µ(M ) trong (2.2) và (2.3), vào c1 , vào các hằng số
a0 , θ0 trong điều kiện (A), vào các chuẩn |ϕ|β,S và vào β.

2.2

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền
đủ nhỏ

¯ còn
Chúng ta giả sử rằng các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p), xác định với x ∈ Ω
u, p tùy ý, là các hàm khả vi , cũng giả thiết điều kiện cho tính elliptic đều của
phương trình (2.1)
n

ξi2

∂ai (x, u, p)
≤
ξi ξj ≤ µ(|u|)(1 + |p|)m−2
∂pj

n

ξi2

(2.13)

∂a
∂a
∂ai
|)(1 + |p|) + |
|(1 + |p|) + |a| + | | ≤ µ(|u|)(1 + |p|)m
∂u
∂pi
∂u

(2.14)

ν(|u|)(1 + |p|)

m−2
i=1

i=1

được thỏa mãn và rằng
(|ai | + |

Chú ý rằng, hai giả thiết này sẽ kéo theo các bất đẳng thức (2.2) và (2.3).
Dưới các điều kiện này, chúng ta có định lý sau về tính duy nhất của nghiệm
suy rộng bị chặn của phương trình (2.1) trong miền đủ nhỏ.
Định lý 2.2.1. Hai nghiệm suy rộng bị chặn u (x) và u (x) của phương trình
(2.1) bằng nhau trên mặt cầu Kρ ⊂ Ω ⊂⊂ Ω thì cũng đồng nhất bằng nhau
trên Kρ nếu bán kính ρ nhỏ hơn một số ρ0 nào đó xác định bởi các đại lượng
M = max |u , u |, ν(M ), µ(M ) và m trong các điều kiện (2.13) và (2.14) và bởi
Ω

khoảng cách từ Ω tới S.
˚ 1 (Kρ ), ta có
Chứng minh. Với một hàm tùy ý η(x) ∈ W
m
0 = I(u , η) − I(u , η) =

18

1 d
t

0 dt I(u , η)dt,


ở đây ut = (1 − t)u − tu . Từ đây, ta có
1

0=
Kρ

0

1

∂ai (x, ut , utx )
dt(u − u )xj +
∂utxj
1

−
0

Kρ

∂a
dt(u − u )xj +
∂utxj

1
0

0

∂ai
dt(u − u ) ηxi dx
∂ut

∂a
dt(u − u ) ηdx.
∂ut

(2.15)

Từ các giả thiết (2.13) và (2.14), đối với
1

a
˜ij =
0

∂ai (x,ut ,utx )
dt
∂utxj

ta có bất đẳng thức
c1 (1 + |∇u | + |∇u |)m−2

n
i=1

˜ij ξi ξj ≤ c2 (1 + |∇u | + |∇u |)m−2

ξi2 ≤ a

n
i=1

ξi2 ,

và với
1

a
˜i =
0

∂ai
˜
∂ut dt, bi

1

=
0

∂a
dt, a
˜
∂utxi

1

=
0

∂a
∂ut dt

ta có các bất đẳng thức
n

(|˜
ai | + |˜bi |) ≤ c(1 + |∇u | + |∇u |)m−1 ,

i=1

|˜
a| ≤ c(1 + |∇u | + |∇u |)m .
Tất cả những điều này thu được từ các bất đẳng thức (2.13) và (2.14).
Nếu đặt η = u − u trong (2.15) và dùng các bất đẳng thức vừa thu được,
chúng ta có được
(1 + |∇u | + |∇u |)m−2 |∇η|2 dx ≤

c1
Kρ

(1 + |∇u | + |∇u |)m−1 |η||∇η| + (1 + |∇u | + |∇u |)m η 2 dx,

c2
Kρ

hệ quả là,

(1 + |∇u | + |∇u |)m−2 |∇η|2 dx ≤ c3
Kρ

Kρ

19

(1 + |∇u | + |∇u |)m η 2 dx,

(2.16)


với hằng số c3 phụ thuộc vào ρ.
Chúng ta xét hai trường hợp riêng biệt là m ∈ (1, 2) và m ≤ 2. Vì |∇u | và
|∇u | thỏa mãn các bất đẳng thức (2.7), và theo Bổ đề 2.1.2, với m ∈ (1, 2),
chúng ta có
(1 + |∇u | + |∇u |)m η 2 dx ≤
Kρ

cρ2α

(1 + |∇u | + |∇u |)m−2 |∇η|2 dx,

(2.17)

Kρ

Nếu ρ đủ nhỏ, c3 cρ2α < 1, từ (2.16) và (2.17) ta có η = 0, tức là u đồng nhất
u .
Với m ≥ 2, kết luận tương tự cũng đúng với ρ thỏa bất đẳng thức

2m+1 c3 cρ2α < 1,

ở đây hằng số c là của (2.8) đối với u và u . Để thấy được điều này, chú ý rằng
trong trường hợp đang xét, bất đẳng thức (2.8) (đúng với u và u ) kéo theo
bất đẳng thức thu được từ (2.17) với ρ2α được thay bằng ρα . Từ đây và (2.16),
chúng ta suy ra u đồng nhất u với các giá trị nhỏ của ρ.

Định lý 2.2.2. Giả sử hai nghiệm suy rộng bị chặn u (x) và u (x) của phương
trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên u |S = ϕ |S , u |S = ϕ |S . Cũng giả sử rằng
biên S và các hàm ϕ , ϕ thỏa các giả thiết của Bổ đề 2.1.5. Khi đó, tồn tại một
số ρ0 > 0 chỉ phụ thuộc vào các đại lượng M = max |u , u |, ν(M ), µ(M ) và m
Ω

trong các điều kiện (2.13) và (2.14), vào các hằng số trong các điều kiện đã giả

20


thiết cho ϕ , ϕ , và S sao cho nếu u (x) và u (x) trùng nhau trên biên của miền
Ωρ = Kρ ∩ Ω với ρ ≤ ρ0 , thì u (x) và u (x) trùng nhau trên Ωρ .

2.3

Đánh giá bên trong miền đối với gradient của nghiệm suy
rộng (ess. max |∇u|)
Ω

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng có thể đánh giá giá trị tuyệt
đối cực đại đối với đạo hàm cấp một của nghiệm u(x) của phương trình (2.1)

với dạng bảo toàn thông qua các hệ số đặc trưng hàm ai (x, u, p), a(x, u, p) và
max |u|.
Đối với các hàm ai (x, u, p), a(x, u, p) trong (2.1), chúng ta sẽ giả sử rằng các
¯ và u, p tùy ý, hàm a(x, u, p) là đo được và
điều kiện sau được thỏa: với x ∈ Ω
hàm ai (x, u, p) là khả vi tương ứng với x, u, p; cũng vậy các hàm này thỏa mãn
các bất đẳng thức

n

ν(|u|)(1 + |p|)

m−2

ξi2
i=1

n

∂ai (x, u, p)
≤
ξi ξj ≤ µ(|u|)(1 + |p|)m−2
∂pj

n

ξi2

(2.18)

i=1

n

∂ai
∂ai
(|ai | + |
|)(1 + |p|) +
|
| + |a| ≤ µ(|u|)(1 + |p|)m
∂u
∂x
j
i=1
i,j=1

(2.19)

với m > 1.
Với các điều kiện trên, định lý sau đây cho ta các chặn trên đối với gradient
của nghiệm suy rộng trong miền bất kì Ω ⊂⊂ Ω.
Định lý 2.3.1. Giả sử các điều kiện (2.18) và (2.19) được thỏa mãn. Cho u(x)
là nghiệm suy rộng bị chặn của phương trình (2.1) trong Wm1 (Ω) và giả sử các
tích phân của nghiệm này trên miền Ω là hữu hạn. Khi đó ess. max |∇u| bị chặn
Ω

21


trên bởi một biểu thức của M = max |u|, m, ν(M ) và µ(M ) trong (2.18) và (2.19)

Ω

và khoảng cách từ Ω tới S.
Chứng minh
Từ các bất đẳng thức (2.18) và (2.19) kéo theo

ai (x, u, p)pi ≥ ν1 (|u|)|p|m − µ1 (|u|)
do đó các bất đẳng thức (2.2) và (2.3) đúng.
Chúng ta quan tâm đến nghiệm suy rộng bị chặn trong Wm1 (Ω). Tuy nhiên,
trước tiên chúng ta sẽ giả sử rằng nghiệm u(x) có đạo hàm bậc hai suy rộng và
các tích phân
n

(1 + |∇u|)

m−2

u2xi xj dx,

|∇u|m+2 dx

(2.20)

i,j=1

trên miền Ω là hữu hạn.
Với các nghiệm như thế, chúng ta tìm các chặn cho max |∇u| qua các đại
Ω

lượng M = max |u|, m, ν(M ) và µ(M ) trong điều kiện (2.18) và khoảng cách từ

Ω

Ω tới S.
Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm một chặn cho tích phân
|∇u| dx,

> 0.

Với

≤ m, chặn trên đã được cho bởi Bổ đề 2.1.1.

Với

> m, chúng ta sẽ tìm các chặn của chúng trên một hình cầu tùy ý Kρ

với bán kính ρ đủ nhỏ. Bán kính này sẽ được chặn dưới bởi m, ν(M ) và µ(M )
trong điều kiện (2.18) và (2.19) và chuẩn |u|α,Ω .
|∇u| dx trên các hình cầu đồng tâm với hình cầu bán kính

Xét tích phân
Kρ

4ρ, thuộc miền Ω.
22


Trong đồng nhất thức (2.4), ta đặt η(x) = ξxr (x), trong đó ξ(x) là một hàm
đủ trơn tùy ý có giá compact trong Ω và r = 1, ..., n. Khi đó, tích phân từng
phần chúng ta thu được đồng nhất

dai (x, u, ux )
ξxi + a(x, u, ux )ξxr dx = 0;
dxr

(2.21)

Ω

Chọn ξ = bs uxr ζ 2 , s ≥ 0, với ζ(x) là một hàm trơn có giá compact nhận giá
trị trong [0, 1] trên hình cầu K2ρ và
b(x) = min{|∇u(x)|2 , N },

N > 0.

Từ các giả thiết đã đặt ra, chúng ta thu được bất đẳng thức
n

(1 + |∇u|)

m−2

K2ρ

c(s)

b

s

u2xr xi ζ 2 + sbs−1 |∇b|2 ζ 2 dx ≤
r,i=1

(1 + |∇u|)m+2 bs ζ 2 + (1 + |∇u|)m (1 + b)s (|∇ζ|2 + ζ 2 ) dx,

K2ρ

trong đó c(s) phụ thuộc vào s, m, ν(M ), µ(M ) nhưng độc lập với N.
Ta cũng có bất đẳng thức

23

(2.22)


|∇u|2 (1 + |∇u|)m (1 + b)s ζ 2 dx ≤
K2ρ
n
2

[(1 + |∇u|)

c1 osc {u, K2ρ }

m−2

(1 + b)

s
i,j=1

K2ρ
n

+(1 + |∇u|)

u2xi xj ζ 2

s
s
s
(1 + b) 2 −1 bxi ζ + (1 + b) 2 ζxi
2

m
i=1

2

]dx

(1 + |∇u|)m (1 + b)s ζ 2 dx ≤

+2

(2.23)

K2ρ
n
2

c1 osc {u, K2ρ }

[(1 + |∇u|)

m−2

s

u2xi xj ζ 2

(1 + b)

i,j=1

K2ρ

+s2 (1 + |∇u|)m−2 (1 + b)s−1 |∇b|2 ζ 2
+2(1 + |∇u|)m (1 + b)s |∇ζ|2 ]dx
+2

(1 + |∇u|)m (1 + b)s ζ 2 dx,

s ≥ 0.

K2ρ

Từ các bất đẳng thức trên có thể suy ra kết luận của Định lý.

2.4

Đánh giá trên toàn miền đối với gradient của nghiệm suy
rộng

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm một chặn cho max |∇u| trên Ω cho nghiệm
u của bài toàn giá trị biên thứ nhất của phương trình (2.1). Chúng ta giả sử
rằng biên S của miền Ω thuộc lớp O2 .
Bước đầu tiên của chúng ta là đi tìm một chặn cho maximum của |∇u| trên
biên S. Ý tưởng của việc tìm kiếm một chặn như thế cho phương trình elliptic
á tuyến tính là của Bernstein. Phương pháp Bernstein cho phép chúng ta chặn
24