các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







LƯƠNG THANH HẢI










CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC













Thái Nguyên, năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯƠNG THANH HẢI






CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN



Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Lương Thanh Hải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà
Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong
suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng
các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19,
các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn
khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viết Luận
văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy
cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Lương Thanh Hải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
MỞ ĐẦU 1
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack . . . . . . . . . 11
1.4 Không gian W
1,2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Không gian C
α
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK 30
2.1 Các định nghĩa, định lý và bổ đề có liên quan . . . . . . . . 30
2.2 Đánh giá Morser đối với nghiệm dưới yếu và nghiệm trên yếu 34
2.3 Các định lý kiểu Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Các định lý kiểu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 43
3.1 Tính liên tục Holder của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Tính liên tục Holder của đạo hàm cấp 1 của nghiệm . . . . 46
Kết luận 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn Luận văn
Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, nghiệm thường
được xét theo nghĩa yếu, tức là thuộc không gian W
1,2
(Ω) mà chỉ có đạo
hàm đến cấp hai bình phương khả tích và thỏa mãn đẳng thức tích phân.
Tuy nhiên, người ta phát hiện ra rằng những nghiệm yếu như vậy lại có
độ trơn nhất định, tức là nó cùng với các đạo hàm cấp một của nó thuộc
lớp liên tục Holder C
α
(Ω).
2. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả cổ điển đối với hàm điều hòa trên, hàm điều hòa
dưới và mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của
lớp phương trình dạng bảo toàn.
3. Mục đích của Luận văn
Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính
và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai dạng bảo toàn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi
hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo được và bị chặn.
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận
và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các kết
quả chính của Luận văn. Trước hết ta định nghĩa hàm điều hòa, sau đó
đưa ra một số tính chất của hàm điều hòa, trình bày các kết quả cổ điển
của hàm điều hòa như các định lý trung bình, định lý Harnack, định lý
Liouville và các đành giá theo chuẩn Holder của nghiệm và các đạo hàm
cấp một, cấp hai của nó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 2: Trình bày các đánh giá Morser đối với nghiệm trên và nghiệm
dưới của các phương trình dạng bảo toàn và trình bày các định lý kiểu
Harnack và Liouville.
Chương 3: Trình bày các kết quả về độ trơn đối với nghiệm yếu của
phương trình dạng bảo toàn trong đó có các đánh giá theo chuẩn Holder
đối với nghiệm và các đạo hàm cấp một của nó. Nội dung chính của Luận
văn được viết dựa theo Chương 1, Chương 10 và Chương 11 của tài liệu
[1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm điều hòa
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u ∈C
2
(Ω) được gọi là hàm điều hòa (trong
Ω) nếu ∆u =0, trong đó ∆u =
d
∑
j=1
u
x
j
x
j
, Ω ⊂R
d
.

Chú ý : Tập hợp các hàm điều hòa trong Ω là một không gian vector.
Một số ví dụ về hàm điều hòa:
(1) Trong R
d
, tất cả những hàm hằng, hàm affin tuyến tính đều là hàm
điều hòa.
(2) Hàm đa thức bậc hai sau đây cũng là hàm điều hòa
u(x)=(x
1
)
2
−(x
2
)
2
với x =(x
1
, , x
d
)∈R
d
.
(3) Cho x, y ∈R
d
với x ≠y, ta đặt
Γ(x, y)∶=Γ(x −y)∶=








1
2π
log x −y với d =2
1
d(2−d)ω
d
x −y
2−d
với d >2,
(1.1)
ở đây ω
d
là thể tích của hình cầu đơn vị B(0, 1)⊂R
d
.
Khi đó với mỗi y cố định và y ≠x, Γ(x, y) là hàm điều hòa theo x. Thật
vậy,
∂
∂x
i
Γ(x, y)=
1
dw
d
(x
i
−y

i
)x −y
−d
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
ta có
∂
2
∂x
i
∂x
j
Γ(x, y)=
1
dw
d

x −y
2
δ
ij
−d(x
i
−y
i
)(x
j
−y
j

)

x −y
−d−2
.
Vì vậy Γ là hàm điều hòa trong R
d
{y}.
Định lý 1.1.2. (Công thức Poisson)([1]).
Giả sử u(x) là hàm điều hòa trong hình cầu
B(x
0
, r)={x ∈R
d
∶x −x
0
}≤r.
Khi đó ta có công thức Poisson sau đây
u(y)=
R
2
−y −x
0

2
dω
d
r

∂B(x

0
,r)
u(x)
x −y
d
do(x), ∀y ∈B(x
0
, r), (1.2)
trong đó do(x) là phần tử diện tích trên mặt cầu ∂B(x
0
, r).
Định lý 1.1.3. (Công thức giá trị trung bình)
Một hàm liên tục u ∶Ω →R là hàm điều hòa khi và chỉ khi mọi hình cầu
B(x
0
, r)⊂Ω, ta có các công thức giá trị trung bình sau đây
u(x
0
)=S(u, x
0
, r)∶=
1
dω
d
r
d−1

∂B(x
0
,r)

u(x)do(x), (1.3)
và
u(x
0
)=K(u, x
0
, r)∶=
1
ω
d
r
d

B(x
0
,r)
u(x)dx. (1.4)
Chứng minh.
′′
⇒
′′
Giả sử u là hàm điều hòa, khi đó (1.3) suy ra từ công
thức Poison (1.2).
Thật vậy, trong (1.2) khi lấy y =x
0
ta có
u(x
0
)=
r

2
dω
d
r

∂B(x
0
,r)
u(x)
r
d
do(x)
=
1
dω
d
r
d−1

∂B(x
0
,r)
u(x)do(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Công thức (1.3) còn có thể chứng minh bằng cách khác sau đây.
Giả sử u ∈C
2
(B(y, r)), 0 < <r, khi đó


B(y,)
∆u(x)dx =

∂B(y,)
∂u
∂ν
(x)do(x)
=

∂B(0,1)
∂u
∂
(y +ω)
d−1
dω
trong tọa độ cực ω =
x −y

=
d−1
∂
∂

∂B(0,1)
u(y +ω)dω
=
d−1
∂
∂


1−d

∂B(y,)
u(x)do(x)
=dω
d

d−1
∂
∂
S(u, y, ). (1.5)
Nếu u là hàm điều hòa thì
∂
∂
S(u, y, )=0 và S(u, y, ) là hằng số. Vì
u(y)=lim
→0
S(u, y, ), (1.6)
nên ta suy ra (1.3).
Ta sẽ chứng minh (1.4). Thật vậy, từ các định nghĩa S(u, x
0
, )và K(u, x
0
, r)
và dx =
d−1
ddo(x) ta có
K(u, x
0
, r)=

d
r
d
r

0
S(u, x
0
, )
d−1
d =u(x
0
). (1.7)
′′
⇐
′′
Giả sử (1.3) đúng với mọi x
0
∈Ω và r >0 sao cho B(x
0
, r)⊂Ω. Trước
tiên ta chứng tỏ rằng u trơn. Ta đặt
(t)∶=








c
d
exp

1
t
2
−1

khi 0 ≤t <1
0 khi t ∉[0, 1)
Ở đây hằng số c
d
được chọn sao cho

R
d
(x)dx =1,
(x) là khả vi vô hạn theo x. Cho f ∈L
1
(Ω), B(y, r)⊂Ω, ta xét
f
r
(y)∶=
1
r
d

Ω


y −x
r
f(x)dx. (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Khi đó f
r
là khả vi vô hạn theo y. Thật vậy từ (1.3) ta có
u
r
(y)=
1
r
d
r

0

∂B(y,s))


s
r

u(x)do(x)ds
=
1
r
d
r


0


s
r

dω
d
s
d−1
S(u, y, s)ds
=u(y)
1

0
(σ)dω
d
σ
d−1
dσ
=u(y)

B(0,1)
(x)dx
=u(y).
Như vậy ta cũng có u
r
(x)=u(x), chứng minh được rằng B(x, r)⊂Ω. Vì
vậy u cũng khả vi vô hạn. Ta xét


B(y,)
∆u(x)dx =dω
d

d−1
∂
∂
S(u, y, ). (1.9)
Do S(u, x
0
, ) là hằng số theo  và vế phải của (1.9) triệt tiêu tất cả các
biến y và  với B(y, )⊂Ω. Vì vậy
∆u(y)=0, y ∈Ω,
và u là hàm điều hòa.
Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Weyl) Giả sử u ∶Ω →R là đo được và khả tích địa
phương trong Ω. Giả sử với mọi ϕ ∈C
∞
0
(Ω),

Ω
u(x)∆ϕ(x)dx =0.
Khi đó u là hàm điều hòa và do đó là trơn vô hạn.
Chứng minh. Ta xét u
r
(x)=
1
r
d

∫
Ω

∣y−x∣
r
u(y)dy.
Cho ϕ ∈C
∞
0
và r <dist(supp(ϕ), ∂Ω), với suppϕ ={x ∶ϕ(x)≠0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Ta có

Ω
u
r
(x)∆ϕ(x)dx =

Ω
1
r
d

Ω

y −x
r
u(y)dy∆ϕ(x)dx
=


Ω
u(y)∆ϕ
r
(y)dy
=0.
Từ cách xác định r ta suy ra khi u
r
là trơn thì

Ω
∆u
r
(x)ϕ(x)dx =0, với mọi ϕ ∈C
∞
0
(Ω
r
),
với Ω
r
∶={x ∈Ω ∶dist(x, ∂Ω)>r}.
Vì vậy,
∆u
r
=0 trong Ω
r
.
Do đó u
r

là hàm điều hòa trong Ω
r
. Ta xét R >0 và 0 <r ≤
1
2
R. Khi đó
u
r
thỏa mãn giá trị trung bình trên mọi hình cầu tâm trong Ω
r
, bán kính
≤
1
2
R. Khi đó

Ω
r
u
r
(y)dy ≤

Ω
r
1
r
d

Ω


x −y
r
u(x)dxdy
≤

Ω
u(x)dx.
Khi u
r
thỏa mãn tính chất giá trị trung bình trên mọi hình cầu bán kính
1
2
R, suy ra u
r
bị chặn đều (cố định R và giả sử r →0). Hơn nữa, vì
u
r
(x
1
)−u
r
(x
2
) ≤
1
ω
d

2
R


d

B(x
1
,
R
2
)∖B(x
2
,
R
2
)∪B(x
2
,
R
2
)∖B(x
1
,
R
2
)
u
r
(x)dx
≤
1
ω

d

2
R

d
sup u
r
2V ol

B(x
1
,
R
2
)∖B(x
2
,
R
2
)

,
u
r
cũng liên tục đồng bậc. Vì vậy, theo Định lý Aszela Ascoli khi r →0 ta
được một dãy con hội tụ đều về hàm liên tục v. Ta phải có v =u, vì u là
hàm khả tích địa phương trong L
1
(Ω), với mọi x ∈Ω, lim

r→0
u
r
(x)=u(x). Vì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
vậy u là liên tục, và vì tất cả u
r
thỏa mãn tính chất giá trị trung bình nên
u cũng thỏa mãn tính chất đó. Từ Định lý 1.1.3 ta suy ra u là hàm điều
hòa.
1.2 Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.2.1. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈X (với
f(x)<∞), nếu với ∀ε >0, tồn tại lân cận U của x sao cho
f(x)−ε ≤f(y), ∀y ∈U.
b, Nếu f (x)=+∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N >0,
tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y)≥N, ∀y ∈U.
Định nghĩa 1.2.2. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈X (với
f(x)<+∞), nếu với ∀ε >0, tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y)≤f(x)+ε, ∀y ∈U.
b, Nếu f(x)=−∞, thì f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N >0,
tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y)≤−N, ∀y ∈U.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử v ∶ Ω → [−∞, ∞) là nửa liên tục trên nhưng
không đồng nhất bằng −∞. Hàm v được gọi là hàm điều hòa dưới nếu mọi
miền con Ω
′
⊂⊂Ω và mọi hàm điều hòa u ∶Ω
′

→R ( u ∈C
0
(Ω
′
)∩C
2
(Ω
′
))
với v ≤u trên ∂Ω
′
ta có v ≤u trên Ω.
Một hàm w ∶Ω →(−∞, ∞], nửa liên tục dưới, w không đồng nhất bằng ∞,
được gọi là hàm điều hòa trên nếu -w là hàm điều hòa dưới.
Định lý 1.2.4. Một hàm v ∶Ω →(−∞, ∞], (nửa liên tục trên, không đồng
nhất −∞) là hàm điều hòa dưới khi và chỉ khi mọi hình cầu
B(x
0
, r)⊂Ω và
v(x
0
)≤S(v, x
0
, r), (1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
hoặc tương đương, nếu mọi hình cầu
v(x
0
)≤K(v, x

0
, r), (1.11)
trong đó S(v, x
0
, r) và K(v, x
0
, r) được xác định trong (1.3) và (1.4).
Chứng minh.
′′
⇒” Vì v là nửa liên tục trên nên tồn tại (v
n
)
n∈N
tăng
của hàm liên tục v =lim
n∈N
v
n
, do đó, với mọi u tồn tại hàm điều hòa
u
n
∶B(x
0
, r)→R,
với
u
n
∖∂B(x
0
, r)=v

n
∖∂B(x
0
, r) (≥v ∖∂B(x
0
, r)).
Vì vậy
S(u
n
, x
0
, r)=S(v
n
, x
0
, r).
Vì v là hàm điều hòa dưới và u
n
là hàm điều hòa, ta được
v(x
0
)≤u
n
(x
0
)=S(u
n
, x
0
, r)=S(v

n
, x
0
, r).
Cho n →∞thu được (1.10).
” ⇐” Để chứng minh chiều ngược lại ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.5. Giả sử v thỏa mãn (1.10) hoặc (1.11) với mọi hình cầu
B(x
0
, r)⊂Ω. Khi đó v cũng thỏa mãn nguyên lý cực đại, nghĩa là nếu tồn
tai x
0
∈Ω với
v(x
0
)=sup
x∈Ω
v(x),
thì v là hằng số. Hay nếu Ω bị chặn và v ∈C
0
(Ω), thì v(x)≤max
y∈∂Ω
v(y), ∀x ∈
Ω.
Chứng minh. Giả sử
v(x
0
)=sup
x∈Ω
v(x)=∶M.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Vì vậy
Ω
M
∶={y ∈Ω ∶v(y)=M}≠∅.
Giả sử y ∈ Ω
M
, B(y, r) ⊂ Ω, khi đó (1.10) kéo theo (1.11), trong trường
hợp này ta áp dụng (1.11) thu được
0 =v(y)−M ≤
1
ω
d
r
d

B(y,r)
(v(x)−M)dx. (1.12)
Vì M = sup v, luôn có v(x) ≤ M và v(x) = M với mọi x ∈ B(y, r). Vì
vậy Ω
M
cũng chứa y, B(y, r)⊂Ω. Do đó nó phải trùng với Ω vì Ω là liên
thông. Do đó u(x)=M, ∀x ∈Ω.
Bây giờ ta dễ dàng chứng minh chiều ngược lại, giả sử u thỏa mãn điều
kiện trong Định nghĩa 1.2.3. Khi đó v −u cũng thỏa mãn đánh giá về giá
trị trung bình, do nguyên lý cực đại nên v ≤ u trong Ω
′
nếu v ≤ u trên
∂Ω

′
.
Hệ quả 1.2.6. Một hàm v thuộc lớp C
2
(Ω) là hàm điều hòa dưới nếu
∆v ≥0 trong Ω.
Chứng minh. Giả sử B(y, r)⊂Ω, 0 < <r. Khi đó từ (1.5) ta có
0 ≤

B(y,)
∆v(x)dx =dω
d

d−1
∂
∂
S(v, y, ).
Lấy tích phân bất đẳng thức này, S(v, y, )≤S(v, y, r), 0 < <r, và vì vế
trái dần tới v(y) khi  →0, ta được:
v(y)≤S(v, y, r).
Theo Định lý 1.2.4 thì v là hàm điều hòa dưới.
Ngược lại, giả sử ∆v(y) < 0. Vì v ∈ C
2
(Ω), ta có thể tìm một hình cầu
B(y, r)⊂Ω, với ∆v <0 trên B(y, r). Áp dụng phần trước để chứng minh
cho −v sẽ được
v(y)>S(v, y, r),
và v không thể là hàm điều hòa dưới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11

Một số ví dụ về hàm điều hòa dưới:
(1) Giả sử d ≥2. Ta tính
∆x
α
=(dα +α(α −2))x
α−2
=α(d +α −2)x
α−2
≥0.
Vì vậy x
α
là hàm điều hòa dưới với α ≤2 −d.
(2) Giả sử u ∶Ω →R là hàm điều hòa nhận giá trị dương, β ≥1. Khi đó
∆u
β
=
d

i=1
(βu
β−1
u
x
i
x
i
+β(β −1)u
β−2
u
x

i
u
x
i
)
=
d

i=1
β(β −1)u
β−2
u
x
i
u
x
i
=β(β −1)u
β−2
d

i=1
u
2
x
i
≥0,
vì u là hàm điều hòa, u nhận giá trị dương và β ≥1, suy ra u
β
là hàm điều

hòa dưới.
(3) Giả sử u ∶Ω →R là hàm điều hòa dương. Khi đó
∆ log u =
d

i=1

u
x
i
x
i
u
−
u
x
i
u
x
i
u
2
=−
d

i=1
u
x
i
u

x
i
u
2
,
vì u là hàm điều hòa, do đó log u là hàm điều hòa trên và −log u là hàm
điều hòa dưới.
1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack
Định lý 1.3.1. (Định lý Liouville)
Giả sử u ∶R
d
→R là hàm điều hòa và bị chặn trên toàn R
d
. Khi đó u là
hằng số.
Chứng minh. Cho x
1
, x
2
∈R
d
, theo (1.4) với ∀r >0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
u(x
1
)−u(x
2
)=
1

ω
d
r
d


B(x
1
,r)
u(x)dx −

B(x
2
,r)
u(x)dx
=
1
ω
d
r
d


B(x
1
,r)∖B(x
2
,r)
u(x)dx −


B(x
2
,r)∖B(x
1
,r)
u(x)dx.
Theo giả thiết
u(x)≤M,
và cho r →∞,
1
ω
d
r
d
V ol(B(x
1
, r)∖B(x
2
, r))→0.
Điều này kéo theo vế phải của biểu thức trên hội tụ đến 0 khi r →∞.
Vì vậy, ta có u(x
1
)=u(x
2
). Do x
1
, x
2
là tùy ý nên u là hằng số.
Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức Harnack) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm

điều hòa và không âm. Khi đó với mọi miền con Ω
′
⊂⊂Ω, tồn tại một hằng
số c =c(d, Ω, Ω
′
) sao cho
sup
Ω
′
u ≤c inf
Ω
′
u.
Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt Ω
′
=B(x
0
, r)), cho
B(x
0
, 4r)⊂Ω. Giả sử y
1
, y
2
∈B(x
0
, r). từ (1.4) ta có
u(y
1
)=

1
ω
d
r
d

B(y
1
,r)
u(y)dy
≤
1
ω
d
r
d

B(x
0
,2r)
u(y)dy
vì u ≥0 và B(y
1
, r)⊂B(x
0
, 2r)
=
3
d
ω

d
(3r)
d

B(x
0
,2r)
u(y)dy
≤
3
d
ω
d
(3r)
d

B(y
0
,3r)
u(y)dy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
vì u ≥0 và B(x
0
, 2r)⊂B(y
2
, 3r)
=3
d
u(y

2
),
và do đó,
sup
B(x
0
,r)
u ≤3
d
inf
B(x
0
,r)
u,
như vậy Định lý được chứng minh trong trường hợp đặc biệt.
Vì miền con Ω
′
⊂⊂Ω là tùy ý nên ta chọn r >0 với
r <
1
4
dist(Ω
′
, ∂Ω).
Vì Ω
′
là bị chặn và liên thông nên tồn tại m ∈N sao cho hai điểm bất kỳ
y
1
, y

2
∈ Ω
′
là liên thông trong Ω
′
bởi một đường cong mà có thể bị phủ
ở hầu hết m cầu bán kính r với tâm trong Ω
′
. Hợp thành của tất cả bất
đẳng thức trên cho những hình cầu đó ta được,
u(y
1
)≤3
md
u(y
2
).
Bất đẳng thức được chứng minh với c =3
md
.
1.4 Không gian W
1,2
(Ω)
Định nghĩa 1.4.1. Cho Ω ⊂ R
d
là mở và u(x) ∈ L
1
loc
(Ω), hàm v(x) ∈
L

1
loc
(Ω) được gọi là đạo hàm riêng yếu của hàm u(x) theo biến x
i
nếu với
∀ϕ(x)∈C
∞
0
(Ω) ta có

Ω
v(x)ϕ(x)dx =−

Ω
u(x)ϕ
x
i
(x)dx. (1.13)
Bổ đề 1.4.2. ([1]) Giả sử u ∈L
1
loc
(Ω)và tồn tại v =D
i
u. Nếu dist(x, ∂Ω)>
h, ta có
D
i
(u
h
(x))=(D

i
u)
h
(x).
Định lý 1.4.3. ([1]) Giả sử u, v ∈L
2
(Ω). Khi đó v =D
i
u nếu tồn tại một
dãy (u
n
)⊂C
∞
(Ω) với
u
n
→u,
∂
∂x
i
u
n
→v trong L
2
(Ω
′
),
với mọi Ω
′
⊂⊂Ω.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định nghĩa 1.4.4. (Định nghĩa không gian Sobolev W
1,2
(Ω))
Không gian Sobolev W
1,2
(Ω) là không gian của những hàm u ∈L
2
(Ω) mà
có đạo hàm u
x
i
(i =1, , d) thuộc lớp L
2
(Ω).
Trong không gian W
1,2
(Ω) ta định nghĩa tích vô hướng
(u, v)
W
1,2
(Ω)
∶=

Ω
uv +
d

i=1


Ω
D
i
uD
i
v.
Và một chuẩn
u
W
1,2
(Ω)
∶=(u, u)
1
2
W
1,2
(Ω)
.
Ta cũng có thể định nghĩa W
1,2
(Ω)là bao đóng của C
∞
(Ω)đối với chuẩn
.
W
1,2
và W
1,2
0

(Ω) là bao đóng của C
∞
0
(Ω) đối với chuẩn này.
Hệ quả 1.4.5. Không gian W
1,2
(Ω) là đầy đủ đối với .
W
1,2
và do đó nó
cũng là không gian Hilbert. Không gian C
∞
(Ω) là trù mật trong W
1,2
(Ω).
Chứng minh. Giả sử (u
n
)
n∈N
là một dãy Cauchy trong W
1,2
(Ω). Khi đó
(u
n
)
n∈N
, (D
i
u
n

)
n∈N
(i = 1, , d) là dãy Cauchy trong L
2
(Ω). Vì L
2
(Ω) là
đầy đủ nên tồn tại u, v
i
∈L
2
(Ω) với
u
n
→u, D
i
u
n
→v
i
trongL
2
(Ω)(i =1, , d).
Cho φ ∈C
1
0
(Ω), ta có

D
i

u
n
φ =−

u
n
D
i
φ,
ta thấy vế trái hội tụ đến
∫
v
i
φ, vế phải hội tụ đến −
∫
uD
i
φ. Do đó
D
i
u =v
i
, vì vậy u ∈W
1,2
(Ω). Điều này chứng tỏ tính đầy đủ của nó.
Để chứng minh W
1,2
(Ω) là bao đóng của C(Ω), ta cần kiểm tra không
gian C
∞

(Ω)∩W
1,2
(Ω) là trù mật trong W
1,2
(Ω). Cho n ∈N, ta đặt
Ω
n
∶=x ∈Ω ∶x<n, dist(x, ∂Ω)>
1
n
,
với Ω
0
∶=Ω
−1
∶=φ. Vì vậy,
Ω
n
⊂⊂Ω
n+1
và

n∈N
Ω
n
=Ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ta giả sử {ϕ
j

}
j∈N
là sự phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ {Ω
n+1
∖Ω
n−1
}
của Ω.
Giả sử u ∈W
1,2
(Ω).
Từ Định lý 1.4.3 với mọi ε >0 ta có thể tìm một số dương h
n
với mọi n ∈N
sao cho
h
n
≤dist(Ω
n
, ∂Ω
n+1
),
(ϕ
n
u)
h
n
−ϕ
n
u

W
1,2
(Ω)
<
ε
2
n
.
Vì ϕ
n
là sự phân hoạch đơn vị, trên Ω
′
⊂⊂Ω, tại một số hữu hạn hàm trơn
(ϕ
n
u)
h
n
là khác không.
̃
u ∶=

n
(ϕ
n
u)
h
n
∈C
∞

(Ω).
Ta có
u −
̃
u
W
1,2
(Ω)
≤

n
(ϕ
n
u)
h
n
−ϕ
n
u<ε,
ta thấy với mỗi u ∈W
1,2
(Ω) có thể xấp xỉ bằng các hàm thuộc C
∞
.
Ta có ví dụ sau:
cho Ω =(−1, 1)⊂R
u(x)∶=x,
trong trường hợp u ∈W
1,2
(−1, 1) và

Du(x)=







1 khi 0 <x <1
−1 khi −1 <x <0 .
Suy ra Du(x) = signx.
Thật vậy,
∀φ ∈C
1
0
((−1, 1)),
0

−1
−φ(x)dx +
1

0
φ(x)dx =−
1

−1
φ
′
(x).xdx,

do đó thỏa mãn (1.13)
Bổ đề 1.4.6. Giả sử Ω
0
⊂⊂Ω, g ∈W
1,2
(Ω), u ∈W
1,2
(Ω
0
), u−g ∈W
1,2
0
(Ω
0
).
Khi đó
v(x)∶=







u(x) khi x ∈Ω
0
g(x) khi x ∈Ω ∖Ω
0
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
là được chứa trong W
1,2
(Ω), và
D
i
v(x)=







D
i
u(x) khi x ∈Ω
0
D
i
g(x) khi x ∈Ω ∖Ω
0
. .
Chứng minh. Từ Hệ quả 1.4.5, tồn tại g
n
∈C
∞
(Ω), u
n
∈C

∞
(Ω
0
) với
g
n
→g trong W
1,2
(Ω),
u
n
→u trongW
1,2
(Ω
0
),
u
n
−g
n
=0 trong ∂Ω
0
. (1.14)
Ta đặt
ω
i
n
(x)∶=








D
i
u
n
(x) khi x ∈Ω
0
D
i
g
n
(x) khi x ∈Ω ∖Ω
0
,
v
n
(x)∶=







u
n

(x) khi x ∈Ω
0
g
n
(x) khi x ∈Ω ∖Ω
0
,
ω
i
(x)∶=







D
i
u(x) khi x ∈Ω
0
D
i
g(x) khi x ∈Ω ∖Ω
0
.
Cho ϕ ∈C
1
0
(Ω), ta có


Ω
ϕw
i
n
=

Ω
0
ϕw
i
n
+

Ω∖Ω
0
ϕw
i
n
=

Ω
0
ϕD
i
u
n
+

Ω∖Ω

0
ϕD
i
g
n
=−

Ω
0
u
n
D
i
ϕ −

Ω∖Ω
0
g
n
D
i
ϕ
=−

Ω
v
n
D
i
ϕ.

Từ (1.14) cho n →∞,

Ω
ϕw
i
n
→

Ω
0
ϕD
i
u +

Ω∖Ω
0
ϕD
i
g,

Ω
v
n
D
i
ϕ →

Ω
vD
i

ϕ.
Bổ đề được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Bổ đề 1.4.7. Cho u ∈W
1,2
(Ω), f ∈C
1
(R), giả sử
sup
y∈R
f
′
(y)<∞.
Khi đó f ○u ∈W
1,2
(Ω) và đạo hàm yếu thỏa mãn D(f ○u)=f
′
(u)Du.
Chứng minh. Giả sử u
n
∈ C
∞
(Ω), u
n
→ u trong W
1,2
(Ω), cho n → ∞.
Khi đó


Ω
f(u
n
)−f(u)
2
dx ≤sup f
′

2

Ω
u
n
−u
2
dx →0,
và

Ω
f
′
(u
n
)Du
n
−f
′
(u)Du
2
dx ≤2 sup f

′

2

Ω
Du
n
−Du
2
dx
+2

f
′
(u
n
)−f
′
(u)
2
Du
2
dx.
Từ kết quả đã biết về L
2
-hàm, sau khi chọn một dãy con u
n
hội tụ theo
từng điểm hầu khắp nơi tới u trong Ω. Vì f
′

là liên tục nên f
′
(u
n
) cũng
hội tụ hầu khắp nới đến f
′
(u) và vì f
′
cũng bị chặn nên tích phân trên
cũng hội tụ tới 0 khi n →∞(theo Định lý Lebesgue trên miền hội tụ trội).
Vì vậy
f(u
n
)→f(u)trong L
2
(Ω),
và
D(f(u
n
))=f
′
(u
n
)Du
n
→f
′
(u)Du trong L
2

(Ω)
và do đó f ○u ∈W
1,2
(Ω) và D(f ○u)=f
′
(u)Du.
Hệ quả 1.4.8. : Nếu u ∈W
1,2
(Ω) thì u∈W
1,2
(Ω) và Du=signu.Du.
Chứng minh. Ta xét f
ε
(u)∶=(u
2
+ε
2
)
1
2
−ε, áp dụng Bổ đề 1.4.7 và ví dụ
sau Hệ quả 1.4.5 ở trên, cho ε →0 ta được điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.9. (Bất đẳng thức Poincaré) Cho u ∈W
1,2
0
(Ω) ta có
u
L
2
(Ω)

≤
Ω
ω
d

1
d
Du
L
2
(Ω)
, (1.15)
ở đây Ω ký hiệu là độ đo (Lebesgue) của Ω và ω
d
là thể tích của hình cầu
đơn vị trong R
d
. Cụ thể, với u ∈W
1,2
0
(Ω) ta có
u
W
1,2
(Ω)
≤


1 +
Ω

ω
d

1
d


Du
L
2
(Ω)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Chứng minh. Giả sử u ∈C
1
0
(Ω); ta đặt u(x)=0 với x ∈R
d
∖Ω.
Cho ω ∈R
d
với ω=1, theo Định lý cơ bản của phép tính lấy tích phân
dọc theo tia {rω ∶0 ≤r <∞} ta được
u(x)=−
∞

0
∂
∂r

u(x +rω)dr.
Lấy tích phân đối với ω, như chứng minh của Định lý 1.1.3 ta có
u(x)=−
1
dω
d
∞

0

∣ω∣=1
∂
∂r
u(x +rω)dωdr
=−
1
dω
d
∞

0

∂B(x,r)
1
r
d−1
∂u
∂ν
(z)dσ(z)dr (1.16)
=−

1
dω
d

Ω
1
x −y
d−1
d

i=1
∂
∂y
i
u(y)
x
i
−y
i
x −y
dy,
và vì vậy theo bất đẳng thức Schwarz
u(x)≤
1
dω
d

Ω
1
x −y

d−1
Du(y)dy. (1.17)
Bây giờ ta cần chứng minh Bổ đề sau
Bổ đề 1.4.10. Cho f ∈L
1
(Ω), 0 <µ ≤1, giả sử
(V
µ
f)(x)∶=

Ω
x −y
d(µ−1)
f(y)dy.
Khi đó
V
µ
f
L
2
(Ω)
≤
1
µ
ω
1−µ
d
Ω
µ
f

L
2
(Ω)
.
Chứng minh. Đặt B(x, R)∶={y ∈R
d
∶x −y≤R}. Giả sử R được chọn
sao cho Ω=B(x, R)=ω
d
R
d
. Vì
Ω ∖(Ω ∩B(x, R))=B(x, R)∖(Ω ∩B(x, R)),
và
x −y
d(µ−1)
≤R
d(µ−1)
với x −y≥R,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
x −y
d(µ−1)
≤R
d(µ−1)
với x −y≤R,
kéo theo

Ω
x −y

d(µ−1)
dy ≤

B(x,R)
x −y
d(µ−1)
dy =
1
µ
ω
d
R
dµ
=
1
µ
ω
1−µ
d
Ω
µ
. (1.18)
Ta viết
x −y
d(µ−1)
f(y)=x −y
d
2
(µ−1)
x −y

d
2
(µ−1)
f(y),
áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được
(V
µ
f)(x)≤

Ω
x −y
d(µ−1)
f(y)dy
≤

Ω
x −y
d(µ−1)
dy
1
2


Ω
x −y
d(µ−1)
f(y)
2
dy
1

2
,
và do đó

Ω
V
µ
f(x)
2
dx ≤
1
µ
ω
1−µ
d
Ω
µ

Ω

Ω
x −y
d(µ−1)
f(y)
2
dydx
≤
1
µ
ω

1−µ
d
Ω
µ

2

Ω
f(y)
2
dy.
Bằng cách hoán vị tích phân đối với x và y và áp dụng (1.18) ta được điều
phải chứng minh
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 1.4.9, áp dụng Bổ đề 1.4.10 với
µ =
1
d
và f =Duđể được vế phải của (1.17), ta được (1.15) với u ∈C
1
0
(Ω).
Từ định nghĩa của W
1,2
0
(Ω), nó chứa C
1
0
(Ω) như một không gian con trù
mật, ta có thể thay thế u trong W
1,2

- chuẩn bởi dãy (u
n
)
n∈N
⊂C
1
0
(Ω). Vì
vậy, u
n
hội tụ tới u trong L
2
và Du
n
hội tụ đến u.
Do đó, bất đẳng thức (1.15) được chứng minh.
Định lý 1.4.11. Giả sử Ω ∈R
d
là tập mở và bị chặn. Khi đó W
1,2
0
(Ω) là
nhúng compact trong L
2
(Ω), tức là, mọi dãy (u
n
)
n∈N
⊂W
1,2

0
(Ω) với
u
n

W
1,2
(Ω)
≤c
0
(1.19)
chứa một dãy con hội tụ trong L
2
(Ω).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chứng minh. Ta tìm một hàm ω
n,ε
∈C
1
(Ω) với mọi ε >0, với
u
n
−ω
n,ε

W
1,2
(Ω)
<

ε
2
, (1.20)
và
ω
n,ε

W
1,2
(Ω)
≤c
1
(1.21)
(c
1
phụ thuộc vào ε nhưng không phụ thuộc vào n). Theo Định lý Aszela
- Ascoli, (ω
n,ε
)
n∈N
chứa một dãy con hội tụ đều, do đó nó cũng nằm trong
L
2
. Khi điều này đúng với mọi ε > 0, ta sử dụng tới Định lý về tập con
compact của không gian mêtric để khẳng định rằng bao đóng của (u
n
)
n∈N
là compact trong L
2

(Ω) và vì vậy nó chứa một dãy con hội tụ. (Tập con
của không gian mêtric là compact nếu nó đầy đủ và hoàn toàn bị chặn,
tức là, nếu mọi ε < 0, nó được chứa trong hợp của hữu hạn những hình
cầu bán kính ε.)
Áp dụng kết quả trên cho (bao đóng) của dãy (ω
n,ε
)
n∈N
, ta suy ra tồn
tại hữu hạn z
ν
, ν =1, , N trong L
2
(Ω) sao cho với mọi n ∈N,
ω
n,ε
−z
ν

L
2
(Ω)
<
ε
2
, ν ∈{1, , N} (1.22)
Do đó, từ (1.20) và (1.22), mọi n ∈N,
u
n
−z

ν

L
2
(Ω)
<ε.
Khi điều này đúng với mọi ε, dãy (u
n
)
n∈N
là hoàn toàn bị chặn và bao
đóng của nó là compact trong L
2
(Ω), ta muốn có một dãy con hội tụ
trong L
2
(Ω).Để xây dựng ω
n,ε
, trước tiên theo định nghĩa của W
1,2
0
(Ω)
tồn tại ω
n
∈C
1
0
(Ω) với
u
n

−ω
n

W
1,2
(Ω)
<
ε
4
. (1.23)
Theo (1.19) ta có
u
n

W
1,2
(Ω)
≤c
′
0
. (1.24)
Ta xác định ω
n,ε
với tham biến h =h(ε) để xác định dãy con như sau:
ω
n,ε
(x)=
1
h
d


Ω

x −y
h
ω
n
(y)dy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên