Vectơ phân cực của nơtron tán xạ từ trên mặt tinh thể phân cực được đặt trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn khi có phản xạ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 57 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ ĐÀO
VECTƠ PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRÊN
MẶT TINH THỂ PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ
TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN KHI CÓ
PHẢN XẠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI-2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ ĐÀO
VECTƠ PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRÊN
MẶT TINH THỂ PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ
TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN KHI CÓ
PHẢN XẠ
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số
: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH DŨNG
HÀ NỘI-2015
Luận văn thạc sĩ khoa học
LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo,
PGS.TS Nguyễn Đình Dũng. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo em nhiệt
tình trong suốt quá trình học tập môn học và quá trình em thực hiện luận
văn này
Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ vật lý lý
thuyết và vật lý toán, các thầy cô trong khoa Vật Lý, ban chủ nhiệm khoa Vật
lý trường Đại học khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em
trong thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn
luyện tại trường.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các bạn trong tập thể lớp
Cao học 2013-2015, gia đìnhvà đồng nghiệp đã đóng góp những ý kiến quý
báu và tạo điều kiện giúp em thực hiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Đào
Nguyễn Thị Đào
Luận văn thạc sĩ khoa học
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ ............. 3
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể .............................. 3
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể ........................................... 7
CHƢƠNG 2: PHẢN XẠ GƢƠNG VÀ KHÚC XẠ CỦA CÁC NƠTRON TRÊN TINH THỂ
ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN ........................ 10
CHƢƠNG 3: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN
KHI CÓ PHẢN XẠ .................................................................................................................. 18
CHƢƠNG 4: VECTƠ PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRÊN MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN
KHI CÓ PHẢN XẠ .................................................................................................................. 31
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 49
PHỤ LỤC ................................................................................................................................. 52
Nguyễn Thị Đào
Luận văn thạc sĩ khoa học
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, quá trình tán xạ của nơtron chậm phân cực đã đƣợc
sử dụng rộng rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc phân cực.
Các nơtron chậm phân cực thƣờng đƣợc sử dụng nhƣ một công cụ độc đáo trong
việc nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng.
Điều này đã đƣợc kiểm chứng trong các tài liệu [18,19,23].
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc từ của tinh thể, phƣơng pháp quang học nơtron
đã đƣợc sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng chùm nơtron chậm phân cực bắn vào bia
(năng lƣợng cỡ dƣới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt). Nhờ
nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời môment lƣỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần
bằng 0) nên nơtron không tham gia tƣơng tác điện dẫn đến độ xuyên sâu của chùm
nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông
tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia. Nghiên cứu quang học nơtron phân cực
giúp ta hiểu rõ hơn về sự tiến động spin của các nơtron trong bia có các hạt nhân
phân cực [2,13,15,16].
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong
tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận đƣợc các thông tin quan trọng về hàm
tƣơng quan spin của các nút mạng điện tử, và hàm tƣơng quan của các spin của các
hạt nhân [19, 23].
Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trong tinh thể phân cực
đặt trong trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn và sự thay đổi phân cực của nơtron trong
tinh thể cũng đã đƣợc nghiên cứu trong các tài liệu [7,10,11].
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu:
Vectơ phân cực của nơtron tán xạ từ trên mặt tinh thể phân cực được đặt trong từ
trường ngoài biến thiên tuần hoàn khi có phản xạ.
Nguyễn Thị Đào
Luận văn thạc sĩ khoa học
Nội dung của luận văn đƣợc trình bày trong 4 chƣơng:
Chƣơng 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chƣơng 2 – Phản xạ gƣơng và khúc xạ của các nơtron trên tinh thể đƣợc đặt
trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn
Chƣơng 3 – Tán xạ từ của các nơtron phân cực trên bề mặt tinh thể phân cực
trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoànkhi có phản xạ
Chƣơng 4 – Vectơ phân cực của nơtron tán xạ từ trên mặt tinh thể phân cực
đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn khi có phản xạ
Phƣơng pháp nghiên cứu đƣợc sử dụng trong luận văn này là phƣơng pháp quang học
nơtron và cơ học lƣợng tử.
Nguyễn Thị Đào
2
Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Trong trƣờng hợp khi bia tán xạ cấu tạo từ số lớn các hạt (ví dụ nhƣ tinh thể), để
tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đƣa vào lý thuyết hình thức luận thời
gian
Giả sử ban đầu bia đƣợc mô tả bởi hàm sóng n , là hàm riêng của toán tử
Hamilton của bia
H n =En n
(1.1.1)
Sau khi tƣơng tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái n ' . Còn nơtron có thể
thay đổi xung lƣợng và spin của nó. Giả sử ban đầu trạng thái của nơtron đƣợc mô tả
bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tƣơng tác với
hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' và hạt bia chuyển sang trạng thái n '
Xác suất Wn‟p‟|np của quá trình đó đƣợc tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng :
Wn ' p '|np
2
n ' p ' V np
2
En E p En ' E p '
(1.1.2)
Trong đó:
V là toán tử tƣơng tác của nơtron với hạt nhân bia.
En , E p , En ' , E p ' là các năng lƣợng tƣơng ứng của hạt bia và nơtron trƣớc và sau khi
tán xạ.
En E p En ' E p ' - hàm delta Dirac.
Nguyễn Thị Đào
3
Luận văn thạc sĩ khoa học
En E p En ' E p '
1
e
2
i
En E p En ' E p ' t
dt
(1.1.3)
Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp‟|p của quá trình trong đó nơtron sau
khi tƣơng tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' ; nó nhận đƣợc bằng cách tổng hóa
các xác suất Wn‟p‟|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo các trạng
thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng quát hóa đối với
trƣờng hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng thái n là n .
Theo đó ta có:
Wp '| p
2
2
n
n ' p ' V np
nn '
n n ' Vp ' p n
nn '
2
2
En E p En ' E p '
En E p En ' E p '
(1.1.4)
Ở đây chúng ta đƣa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận
n ' p ' V np n ' Vp ' p n
(1.1.5)
Nhƣ vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tƣơng tác của nơtron với hạt bia lấy
theo các trạng thái của nơtron và Vp‟plà toán tử tƣơng đối với các biến số hạt bia
Thay phƣơng trình (1.1.3) vào (1.1.4) ta đƣợc:
Wp '| p
1
2
i
e
E p ' E p t
dt nn ' n ' Vp ' p n
i
*
n ' Vp ' p n e
En ' En t
(1.1.6)
nn '
En, En‟ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' , từ
đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
n ' Vp ' p n e
i
En ' En t
n ' Vp ' p t n
(1.1.7)
Nguyễn Thị Đào
4
Luận văn thạc sĩ khoa học
i
Ht
Ở đây: Vp ' p t e Vp ' p e
i
Ht
là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp‟p với toán tử
Hamilton.
Thay (1.1.7) vào (1.1.6), chú ý rằng trong trƣờng hợp này ta không quan tâm tới
sự khác nhau của hạt bia trƣớc và hạt bia sau tƣơng tác, vì vậy công thức lấy tổng theo
n‟, n chính là vết của chúng và đƣợc viết lại:
Wp '| p
1
2
1
2
dte
i
e
E p ' E p t
nn '
i
Ep ' Ep t
dt nn ' n ' Vp' pVp ' p t n
Sp Vp' pVp ' p t
(1.1.8)
Ở biểu thức cuối, biểu thức dƣới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia , các
phần tử đƣờng chéo của ma trận của nó chính là xác suất n .
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta
có hàm phân bố trạng thái là:
e H
Sp e H
Với:
1
k zT
k z - hằng số Boltmann
T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lƣợng Vật lý đƣợc tính theo các hàm phân bố
là:
A n A
n
Sp e H A
Sp e H
(1.1.9)
Kết hợp (1.1.8) và (1.1.9) ta đƣợc:
Nguyễn Thị Đào
5
Luận văn thạc sĩ khoa học
Wp '| p
1
2
1
2
dte
dte
i
Ep ' Ep t
Sp V Vp ' p t
i
Ep ' Ep t
p' p
1
2
dte
H
Sp e Vp ' pVp ' p t
i
Ep ' Ep t
Sp e H
Vp' pVp ' p t
(1.1.10)
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm ) thì tiết diện
tán xạ hiệu dụng đƣợc tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng lƣợng
d 2
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
d dE
i
E p ' E p t
d 2
m2 p '
m2
p'
W p '| p
dte
Vp ' pVp ' p t
3
3 5
d dE p ' 2 p
2 p
(1.1.11)
Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lƣợng nơtron
Trong công thức (1.1.11) đƣa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới và sử
dụng công thức:
L Sp L
(1.1.12)
Do đó dạng tƣờng minh của công thức (1.1.11) đƣợc viết lại là:
i
E p ' E p t
d 2
m2
p'
dte
Sp Vp' pVp ' p t
3 5
d dE p ' 2 p
(1.1.13)
Trong đó: - ma trận mật độ spin của nơtron
Nguyễn Thị Đào
6
Luận văn thạc sĩ khoa học
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tƣơng tác giữa nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tƣơng tác hạt
nhân, thế tƣơng tác từ và thế tƣơng tác trao đổi spin giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Tương tác hạt nhân
Thế tƣơng tác hạt nhân và tƣơng tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân đƣợc cho
bởi giả thế Fermi:
Vnuclear Vnu l l I l r Rl
l
(1.2.1)
Ở đây lấy tông theo tất cả các hạt nhân trong bia
r - véctơ toạ độ của nơtron
Rl - véctơ toạ độ của hạt nhân thứ l
l , l - là các hằng số ứng với hạt nhân thứ l
Phần gắn với tích I l là phần tƣơng tác trao đổi spin giữa nơtron và hạt nhân
thứ l.
Tương tác từ.
Tƣơng tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra.
Mômen từ của nơtron là : mneutron mneu g nu s
Trong đó:
1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân
g=2; nu
e
2m protonc
s - spin của nơtron tới
Nguyễn Thị Đào
7
Luận văn thạc sĩ khoa học
Thế vectơ do các electron tự do và electron không kết cặp gây ra là :
0 melectron r R j
Ar
0
3
4
j 4
r R
j
1
g0 B
S
j j r R
4
j
g B S j r R j
j
3
r Rj
B là manheton Borh
0 là hệ số từ thẩm của chân không
R j là tọa độ của electron thứ j
S j là vectơ mômen spin của electron thứ l
Vậy từ trƣờng do các electron gây ra tại vị trí có tọa độ r là:
1
g
Br Ar 0 B S j
4
r R j
j
(1.2.3)
Dùng công thức giải tích vectơ:
a b b a ab a b b a
Ta có:
g 0 B
Br
4
S j 1
r Rj
S j2 1
r Rj
(1.2.4)
0
r Rj
Ta lại có: 2
Nguyễn Thị Đào
1
8
Luận văn thạc sĩ khoa học
Nên: Br
1
g 0 B
S j
4
r Rj
Vậy thế tƣơng tác từ gây ra bởi sự phân cực của nơtron và từ trƣờng của các
electron trong bia là:
Vmag
1
g 0 B
mneu B g nu
s S j
4
r Rj
j
nu B 0
1
s
S
j j r R
j
(1.2.5)
Dấu
lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn electron không kết cặp trong
j
bia tinh thể.
Tương tác trao đổi spin giữa electron và nơtron tới được cho bởi công thức:
Vexchange F s S j r R j
j
Trong đó F là hằng số.
Vậy thế tƣơng tác tổng cộng là:
Vint Vnu Vmag Vexchange l l I l r Rl
l
nu B 0
1
s
S
j j r R
j
F s S r R j
j
(1.2.6)
Nhƣ vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tƣơng tác hạt nhân chúng còn tƣơng tác từ và tƣơng tác trao đổi
spin giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần đƣợc đặc trƣng bởi ba loại tƣơng tác ở
trên.
Nguyễn Thị Đào
9
Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 2
PHẢN XẠ GƢƠNG VÀ KHÚC XẠ CỦA CÁC NƠTRON TRÊN TINH THỂ
ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN
Chúng ta đi phân tích phản xạ gƣơng và khúc xạ của các nơtron trong tinh thể
đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên.
Giả sử, các nơtron tiến tới đơn tinh thể với các hạt nhân không phân cực đƣợc
đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.
H (r , t ) H1 (r ) cos t i H1 (r ) sin t j H 0 (r )k
(2.1)
ở đó: H 0 (r ), H1 (r ) : không phụ thuộc thời gian
: tần số của từ trƣờng ngoài hiệu dụng
Phƣơng trình mô tả tán xạ của các nơtron trong trƣờng hợp này có dạng:
i
2
r V (r ) n .H (r , t )
t 2m
(2.2)
ở đó: m- khối lƣợng của nơtron
n là momen từ của nơtron
: là vectơ tạo từ các ma trận Pauli
Hàm sóng ban đầu của các nơtron là bó sóng
0 (r )
t t 0
C
0 0 r , t t 0
0 t t0 C0
(2.3)
Đặt (2.1) vào (2.2), chúng ta có :
Nguyễn Thị Đào
10
Luận văn thạc sĩ khoa học
i
2
r V r H 0 r z H1 r x cos t y sin t
t 2m
(2.4)
Dùng công thức :
e
it
z
2
x
2
e
it
z
2
1
x cos t y sin t
2
(*)
Dựa vào công thức (*) Hamiltonian của phƣơng trình (2.4) có thể viết dƣới dạng :
it
it
z
z
2
r V r H 0 r z H1e 2 x e 2
2m
(2.5)
~
Đƣa vào những hàm sóng mới nhờ các biểu thức sau :
~
e
it
z
2
; e
it
z ~
2
(2.6)
~
Ý nghĩa vật lý của (2.6) là và có thể chuyển đổi qua nhau nhờ phép quay
xung quanh trục z đi một góc t . Có nghĩa là khi ta tiến hành các phép biến đổi (3.6)
chúng ta đã chuyển sang hệ tọa độ quay. Lấy đạo hàm biểu thức (2.6) theo thời gian,
chúng ta nhận đƣợc :
it
i z ~
i
i z e 2 ie
t
2
it
z
2
~
t
(2.7)
Đặt (2.6) vào (2.7) và nhân hai vế của đẳng thức từ phía trái với toán tử
exp it z / 2 chúng ta nhận đƣợc :
~
~
~
2
i
r V r H 0 r
z H1 r x
t 2m
2
~
2
i
r V r .H eff r ,
t 2m
Nguyễn Thị Đào
(2.8)
11
Luận văn thạc sĩ khoa học
ở đó : H eff r H1 r ,0, H 0 r
(Từ trƣờng hiệu dụng)
2
Nhƣ vậy, các nghiệm của phƣơng trình Schodinger (2.2) có thể tìm đƣợc dựa vào biểu
thức sau :
e
i2t
e
0
it
z ~
2
~
0
it
~
e 2
(2.9)
Bây giờ chúng ta đƣa vào các hàm sóng mới :
i
~
y
cos
~ e 2
sin
~
sin
cos
(2.10)
H
1
ở đó : Arctg
H
0 2
H eff ( ) H H 0
2
2
2
1
Các hàm sóng mới thỏa mãn các phƣơng trình sau :
i
2
r V r H eff r ,
t
2m
(2.11)
2
i
r V r H eff r ,
t
2m
(2.12)
Với điều kiện ban đầu :
i y it0 z
0 0 e 2 e 2 0
0
0
Nguyễn Thị Đào
12
Luận văn thạc sĩ khoa học
e
i
y
2
e
it0
z
2
~
C0
r , t t 0 C~ 0 r , t t 0
C
0
C 0
(2.13)
Nhƣ vậy, phép quay (2.10) cho phép chúng ta nhận đƣợc phƣơng trình độc lập
cho và , điều này đã làm đơn giản đi rất nhiều việc giải bài toán về phản xạ
gƣơng và khúc xạ của các nơtron khi tồn tại từ trƣờng ngoài biến thiên.
Bây giờ chúng ta xét một trƣờng hợp cụ thể khi tấm kim loại có độ dày là ,
mặt của tấm kim loại trùng với mặt phẳng (yOz), trục Ox hƣớng vào phía trong tấm
kim loại và thế năng của phƣơng trình Schodinger có dạng :
0 khi x 0
V r V khi 0 x
0 khi x
(2.14)
0 khi x 0
H 0 r H 0 khi 0 x
0 khi x
(2.15)
0 khi x 0
H 1 r H 1 khi 0 x
0 khi x
(2.16)
Nếu chúng ta coi các nơtron tới chuyển động từ trái sang phải, khi đó, các nghiệm của
các phƣơng trình (3.11), (3.12) sẽ tìm đƣợc dƣới dạng sau :
r, t CE E r e
i
Et
dE
(2.17)
Ở đó E r là các nghiệm của phƣơng trình sau :
2
r V r H eff r , E r E E r
2m
Nguyễn Thị Đào
13
Luận văn thạc sĩ khoa học
Vì bó sóng ban đầu tập trung quanh k 0 cho nên năng lƣợng của nơtron trong bài toán
của chúng ta bằng biểu thức sau :
E
2 k02
2m
2
(2.18)
Dựa vào (3.14) (3.16) đặt E r dƣới dạng :
E r eik 0|| r|| E ( X )
Chúng ta sẽ nhận đƣợc các phƣơng trình sau cho E (X )
2 kox2
2
(
X
)
E ( X )
2m x 2 E
2
m
2
(2.19)
Cho miền x<0 và x >
2 kox2
2
V
H
(
)
(
X
)
eff
E
E ( X )
2m x
2
2
2m
(2.20)
Cho miền 0 x
Giải các phƣơng trình (2.19) và (2.20) chúng ta nhận đƣợc:
E
ei k 0|| r|| eikox x A e ikox x
khi x 0
i k r
r e 0|| || B eikx x D e ik x x khi 0 x
khi x
ei k 0|| r|| G eikox ( x )
(2.21)
ở đó k x ( ) kox2
Nguyễn Thị Đào
2m
V H eff
2
2
14
Luận văn thạc sĩ khoa học
Từ điều kiện ban đầu (2.3) và (2.18) và từ điều kiện chuẩn hóa của các nghiệm
dừng:
*
E
r r d r E
E '
E '
Chúng ta nhận đƣợc các hệ số phân tích C E dƣới dạng sau:
CE
~
i
E t 0
C0
*
~ r , t t 0 E r e
dr
C0
(2.22)
Nhƣ vậy, chúng ta đã thấy rõ việc chuyển sang hệ tọa độ quay chỉ làm thay đổi
phần hàm sóng Spin của hàm sóng ban đầu của nơtron. Điều này cho phép chúng ta
phân tích hệ phƣơng trình đã nhận đƣợc sử dụng phƣơng pháp giống nhƣ phƣơng pháp
giải bài toán chuyển động qua hàng rào thế khi không tồn tại từ trƣờng ngoài.
Từ điều kiện liên tục của hàm sóng r và các đạo hàm của chúng trên các
biên x=0 và x chúng ta sẽ nhận đƣợc hệ các phƣơng trình sau:
1 A B D
kox kox A k x B k x D
B eikx D e ik x G
k eik X B k e ikx D k G
x
ox
x
(2.23)
Giải hệ này ta sẽ đƣợc :
kox2 k x2 sin k x
A 2
kox k x2 sin k x 2ikox cos k x
(2.24)
B
kox kx kox
2
2
kox kx kox kx e2ik
x
(2.25)
Nguyễn Thị Đào
15
Luận văn thạc sĩ khoa học
G
2ikox k x
k k sin k x 2ikox k x cos k x
2
ox
2
x
(2.26)
Vì k x phụ thuộc vào tần số của trƣờng ngoài cho nên các biên độ phản xạ
A , khúc xạ B và của sóng truyền qua G cũng phụ thuộc vào tần số của từ trƣờng
ngoài .
Chúng ta nghiên cứu trƣờng hợp tinh thể chiếm một nửa không gian x>0 và mặt
tinh thể trùng với (yOz). Để cho trƣờng hợp này thì các nghiệm của các phƣơng trình
(3.11), (3.12) sẽ là các biểu thức biểu diễn qua các hàm sóng :
E
ei k o|| .r|| eikox x A eikox x khi x 0
r
i k o|| .r ||
khi x 0
B eikx x
e
(2.27)
Từ điều kiện liên tục của các hàm sóng và đạo hàm của nó trên mặt biên x=0,
chúng ta nhận đƣợc các biên độ của sóng phản xạ và sóng khúc xạ :
A
kox k x
kox k x
B ( )
2kox
kox k x ( )
(2.28)
ở đó, k x ( ) kox2
2m
V H eff ( )
2
2
(2.29)
Hai hệ số khúc xạ : n1 ( )
k x ( )
k ( )
; n2 x
ko
ko
cũng phụ thuộc tần số của từ
trƣờng ngoài.
Các công thức (2.29) về dạng hoàn toàn trùng với các công thức của các biên
độ của sóng phản xạ và sóng khúc xạ của bài toán phản xạ gƣơng và khúc xạ trên bia
không phân cực khi không có từ trƣờng ngoài.
Nguyễn Thị Đào
16
Luận văn thạc sĩ khoa học
Ta nhận thấy nếu thay k x bởi :
1/2
2m
k x ( ) 2 Eo V H eff
2
ở đó : ko2
2mE0
,
2
E0
2 k02
2m
thì ta nhận đƣợc kết quả của bài toán phản xạ và khúc xạ của nơtron khi tinh thể
đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.
Nguyễn Thị Đào
17
Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 3
TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN
HOÀN KHI CÓ PHẢN XẠ
Chúng ta đi xem xét tán xạ từ không đàn hồi của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể
phân cực đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn khi có phản xạ.
Giả sử tinh thể đƣợc đặt trong nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể đó trùng
với mặt phẳng yoz và tinh thể đó đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.
H (r , t ) H1 (r ) cos t i H1 (r ) sin t j H 0 (r )k
(3.1)
ở đó: H 0 (r ), H1 (r ) : không phụ thuộc thời gian
: tần số của từ trƣờng ngoài hiệu dụng
Tiết diện tán xạ từ của nơtron phân cực có các hạt nhân không phân cực :
i
Ek ' Ek t
d 2
m2 k'
1
ˆ ˆ
dte
Sp
I
P
0 eTk ' k Tk ' k (t )
3 5
ddE k ' 2 k
2
Ở đó e là ma trận mật độ spin của các nút mạng điện tử.
Nhƣ chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có từ
trƣờng tổng cộng :
nuc
H eff (t ) H (t ) H eff
nuc
ở đó H eff là giả từ trƣờng hiệu dụng hạt nhân [13]
Theo giả thuyết trên thì trong nửa không gian x > 0, trong tinh thể phân cực có từ
trƣờng hiệu dụng đồng nhất H eff dạng
H effx H effy 0 ; H effz H eff . ( x) , ở đó
Nguyễn Thị Đào
1 , x 0
0 , x 0
( x)
18
Luận văn thạc sĩ khoa học
Theo lí luận của chƣơng 2, bằng cách chuyển sang tọa độ quay ta chuyển bài toán
tán xạ của các nơtron trên mặt tinh thể đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần
hoàn thành bài toán tán xạ của các nơ tron phân cực trên bề mặt tinh thể đƣợc đặt trong
từ trƣờng ngoài hiệu dụng H eff ( ) không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc
vào tần số của trƣờng ngoài:
H eff ( ) H H 0
2
2
2
1
Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực
đƣợc xác định bởi Hamilton [12,23] :
H ( ) H 0 H k W1 () W2
(3.2)
Ở đó H 0
2 2
2m
H k : Hamilton của tinh thể- bia tán xạ
W1 ( ) H eff ( ) : Thế từ hiệu dụng không phụ thuộc vào spin của nút mạng
điện tử.
: Moment từ của nơtron
tƣơng ứng với các thành phần x , y , z là các ma trận Pauli
1
W2 g s r S j S j 4s S j S j r R j
r Rj
j
: Mô tả phần thể
nhỏ tƣơng tác từ của nơtron với hạt nhân
r , R l : véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân
Sử dụng phƣơng pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển Tk ' k của quá
trình tán xạ trên:
Theo [2,23]:
Nguyễn Thị Đào
19
Luận văn thạc sĩ khoa học
Tk ' k k( ' ) W2 k( )
(3.3)
Ở đó, k( ' ) và k( ) là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger sau:
2 2
z H effz ( ) k E k k
2m
(3.4)
Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kỳ và sóng hội tụ
Biểu diễn k trong dạng:
k eik ( ) r k ( x) (3.5)
||
||
1
0
C1 C2
0
1 hàm sóng spin riêng của nơtron
k || ( ) và r|| - các thành phần của vectơ sóng và véctơ vị trí của nơtron song song
với bề mặt tinh thể:
Đặt (3.5) vào (3.4) ta có phƣơng trình schordinger sau:
2m
H eff ( ) ( x)
xk ( x) k x2 ( )
k ( x) 0
(3.1.6)
ở đó, k x ( )
E Ek
2mE
0 khi x<0
2
2 k||2 ( )
2m
Ký hiệu k x ( )
là năng lƣợng chuyển động dọc của nơtron
2m
E H eff ( ) khi x>0
2
Chúng ta sẽ nhận đƣợc nghiệm của phƣơng trình (3.6) và theo đó là nghiệm của
phƣơng trình (3.4) trong dạng sau:
Nguyễn Thị Đào
20
Luận văn thạc sĩ khoa học
i k|| ( ) r||
e
k
e
i k || ( ) r ||
khi
( ) ikx ( ) x C1
0
( ) ik x ( ) x
B e
B e
0
C2
A( )
(3.1.7)
B( )
x0
ikx ( ) x C1
0
( ) ik x ( ) x C1
A( ) e ik x ( ) x
e
A e
0
C2
C2
x0
k x ( ) k x ( )
: Biên độ của sóng phản xạ của nơtron
k x ( ) k x ( )
2k x ( )
: Biên độ của sóng khúc xạ của nơtron
k x ( ) k x ( )
Nhờ các ma trận Pauli chúng ta đi biểu diễn (3.7) dƣới dạng:
k
e i k || ( ) r || I M x 0
1
,
e i k || ( ) r || I N x 0
1
1 0
Ở đó, M (0,0, 2 ) ; I
0 1
1
1 ik x ( ) x
2e
( A A( ) )e ik x ( ) x
2
1 ( )
( A A( ) )e ik x ( ) x
2
N (0,0, 2 )
2
1
2
1 ( ) ik x ( ) x
B e
B( ) e ik x ( ) x
2
1 ( ) ik x ( ) x
B e
B( ) e ik x ( ) x
2
Tính tích phân (3.3):
0
iQ r
Tk 'k dr|| ' e || || dx' X ' 1*' I M *'
1
1
. r ' S j S j . r '
2
r ' R j
g
B
j
2 S j S j r ' R j
I
M
X
dx' X ' . 1*' I N *' .
1
0
1
1
g B 2 S j S j r ' R j . r ' S j S j . r '
2
j
r ' R j
Nguyễn Thị Đào
21
.
