chuyen de: dung hinh

Dựng hình
A. Lý thuyết
I. Khái niệm bài toán dựng hình:
Khi ta nói: dựng một hình H thì điều đó có nghĩa là: dùng một số
dụng cụ nào đó để vã ra đợc hình H. Các dụng cụ có thể là: bút, thớc thẳng (để
vẽ đờng thẳng), compa (để vẽ đờng tròn), thớc chữ T (để vẽ đờng thẳng vuông
góc), thớc đo độ (để vẽ các góc có số đo cho trớc) v.v..
II. Tiên dề dựng hình
1. c ác tiên đề chung
I. hình đã cho xem là dựng đợc.
II. Nếu hai hay nhiều hình dựng đợc thì hợp của các hình đó là dựng
đợc.
III.Nếu hiệu của hai hình dựng đợc khác

thì hiệu đó dựng đợc
IV.Nếu giao của hai hình dựng đợc khác

thì giao đó dựng đợc.
V.Điểm thuộc hình đã dựng xem là dựng đợc.
2. c ác tiên đề về dụng cụ dựng hình
a) tiền đề của thớc:
- dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng
- dựng đờng thẳng đi qua hai điểm đã dựng
- dựng tia có điểm đầu đã dựng và đi qua một điểm khác đã
dựng
b) tiền đề compa:
- dựng đờng tròn có tâm là điểm đã dựng và bán kính bằng
đoạn thẳng đã dựng (hai đầu mút của đoạn thẳng đó)
- dựng đợc bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của đờng
tròn nếu tâm là điểm đã dựng và các điểm mút của cung đó đã
dựng

III. các phép dựng hình cơ bản (trong mặt phẳng)
1. dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng
2. Dựng đờng thẳng nối hai điểm đã dựng
3. dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm khác
đã dựng.
4. dựng đờng tròn nếu tâm là điểm đã dựng và đoạn thẳng bằng bán
kính, có hai đầu mút đã dựng.
5. dựng cung bất kì trong hai cung bù nhau của một đờng tròn, nếu
tâm đờng tròn và các điểm mút của cung đó đã dựng.
6. dựng hợp của một số hữu hạn hình đã dựng.
7. dựng hiệu của hai hình đã dựng (nếu hiệu khác

).
8. Dựng giao của hai hình đã dựng ( nếu giao khác

).
9. Dựng điểm thuộc một hình đã dựng.
10. Dựng điểm không thuộc hình đã dựng.
IV. Các bài toán dựng hình cơ bản
1. Qua điểm O cho trớc trên đờng thẳng xy dựng đờng vuông góc
với đờng thẳng đó tại O.
2. Từ một điểm C ngoài đờng thẳng xy dựng đờng thẳng vuông góc
với đờng thẳng đó.
3. Chia đôi đoạn thẳng AB cho trớc.
4. Chia đôi góc
ã
AOB
cho trớc.
5. Dựng một góc bằng một góc
ã

AOB
cho trớc với đỉnh là điểm I cho
trớc và một cạnh là nửa đờng thẳng IM cho trớc.
6. Dựng một tam giác biết ba cạnh a, b, c của nó.
7. Dựng tam giác biết hai cạnh b, c của nó và góc A xen giữa hai
cạnh đó.
8. Dựng tam giác ABC, biết cạnh a và hai góc B, C.
9. Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh b, c và góc B
10. Qua một điểm cho trớc dựng một đờng thẳng song song với một
đờng thẳng cho trớc.
11. Chia đoạn thẳng thành n phần bằng nhau.
12. Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với một đờng tròn cho tr-
ớc.
13. Dựng tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O, R) và ( O

, R) cho
trớc.
14. Dựng đờng tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC cho trớc.
15. Dựng đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác cho trớc.
16. Dựng đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và hai
cạnh kia kéo dài.
V. Các bớc dựng hình: (gồm 4 bớc)
Bớc 1: Phân tích
Không phải đng trớc một bài toán dựng hình nào chúng ta cũng thấy
ngay cách dựng. Quá trình vận động của t duy, tìm tòi cách dựng gọi là b-
ớc phân tích.
Khi phân tích chúng ta quan tân các vấn đề sau:
a. chúng ta giả định hình cần dựng là dựng đợc và phác vẽ hình
đó, cố gắng làm nổi bật các yếu tố đã cho và các yếu cần dựng
trên hình vẽ, để lập liên hệ giữa chúng; nếu bài toán liên quan

đến vị trí giữa các yếu tố đã cho thì nên vẽ hình trong trờng hợp
tổng quát nhất.
b. Chúng ta thờng chuyển việc dựng một hình về các hình bộ phận
của nó hoặc các bộ phận phụ. Vì vậy, nhiều khi cần thiết phải
vẽ thêm các yếu tố mới (điểm, đờng thẳng, đoạn thẳng, đờng
tròn ) để tìm cách dựng. đinh hớng việc lựa chọn các yếu tố
mới tuỳ thuộc vào hớng đa về các bài toán cơ sở, các bài toán
quen thuộc.
c. Khi phân tích đối với các bai ftoán cần sắp xếp vị trí các yếu tố
đã cho chúng ta thờng bắt đầu từ một trờng hợp riêng nào đó.
Vì vậy nên lựa chọn cách phân tích tổng quát nhất để có cách
dựng tổng quát bao trùm đợc càng nhiều trờng hợp riêng càng
tốt.
Bớc 2: Dựng hình
Bớc dựng đòi hỏi phải chỉ ra thứ tự các phép dựng cơ bản hoặc
các bài toán dựng hình cơ bản thích ứng với bộ dụng cụ đã chọn để có
hình cần dựng
Bớc 3: Chứng minh
Đó là bớc chỉ rõ hình vừa đợc dựng có thoả mãn các yêu cầu của
bài toán. Bớc chứng minh đạt kết quả: Nếu hình cần dựng có thể dựng đ-
ợc thì dựng nh vậy là đúng.
Bớc 4: Biện luận
Nội dung biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tôd đã cho
xác định điều kiện dựng hình dợc và chỉ rõ dựng đợc bao nhiêu nghiệm
hình.
Để biện luận chúng ta thờng căn cứ vào thứ tự từng bớc dựng
nhằm xác định điều kiện dựng đợc trong từng bớc, cuối cùng tổng hợp
các bớc để kết luận điều kiện dựng đợc của bài toán.
B. Bài tập
I. Dựng hình bằng phơng pháp tơng giao

Mọi hình hình học đơn giản đều đợc xác định bởi một số hữu hạn điểm
nên ta có thể đa bài toán dựng hình về việc dựng một số điểm nhất định mà
mỗi điểm là giao của hai đờng.
1. Dựng đoạn thẳng
2. Dựng tam giác
3. Dựng tứ giác
4. Dựng đờng tròn
1. Dựng đoạn thẳng
VD: P là điểm cố định cho trớc trong góc xoy.Tìm điểm Q thuộc Ox ,R thuộc Oy
Sao cho PQ=QR=RO.
Phân tích
Giả sử dựng đợc đờng gấp khúc ỏ QP thoả mãn điều kiện đầu bài
Nếu bỏ qua điều kiện đờng gập khúc có đầu mút P mà chỉ giữ lại điều kiện
1 1 1 1 1
1 1 1
, ,
OR R Q Q P
R Oy Q Ox P OP
= =

thì có vô số hình thoả mãn
Để thấy rằng có vô số đờng gấp khúc
1 1 1
,OR Q P ORQP
là ảnh của nhau
qua phép vị tự tâm O, Từ đó ta có cách dựng
Dựng hình
Lấy
1
R

bất kì trên oy
Đờng tròn tâm
1
R
bán kính
1
OQ
căt Ox tại
1
Q

Đờng tròn tâm
1
Q
bán kính
1
OR
căt OP tại
1
P
Lấy
Q Ox
sao cho
1 1
PQ PQP
Lấy
Q Oy
sao cho
1 1
QR Q RP

Q và R là hai điểm phải dựng
j
Q1
R
R1
PP1
Q
O
Chứng minh
1 1 1
1 1
OR R Q
Q R QR
OR RQ
=P
Ta lại có
1 1 1
OR R Q OR RQ= =
1 1 1 1 1
1 1
Q R OQ Q P
Q P QP
QR OQ QP
= =P
Ta lại có
1 1 1 1
R Q Q P QP QR= =
Vậy
OQ RQ QP= =
Biện luận

0
60xoy <
: 2 nghiệm hình

0 0
60 90xoy <
:1 nghiệm hình

0
90xoy
:0 nghiệm hình
Bài tập tơng tự
Bài1( sách nâng cao toán 9, tr 41)
Cho tam giác ABC .Tì điểm M trên cạnh AC và điểm N trên cạnh AC
Sao cho MN song song BC và MN=BM+NC
Bài2 (sách nâng cao toán 9, tr41)
Cho 2 điểm A,B ở cùng phía của đởng thẳng d .Tìm 1 điểm M sao cho
Từ M nhìn AB dới 1 góc cho trớc & và các cạnh của góc AMB chắn trên d 1 đoạn
Thẳng có độ dài bằng m cho trớc
2. dựng tam giác
ví dụ 1: Dựng tam giác biết đờng cao, đờng trung tuyến, đờng phân giác
xuất phát từ cùng 1 đỉnh.
Lời giải
Phân tích
Giả sử ABC là tam giác phải dựng có đờng cao [AH], đờng phân giác
[AD], đờng trung tuyến [AM] có độ dài lần lợt là h, l, m, điểm
[ ]
D HM

Các tam giác vuông AHD, AHM dựng đợc vì biết 1 cạnh góc vuông và
một cạnh huyền
Tam giác ABC dựng đợc nếu dựng đợc các đỉnh B, C. Ta biết trung trực
của [BC] đi qua tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nếu xác định đợc
tâm O của đờng tròn này, ta sẽ xác định đợc B và C.
Dựng hình
- Dựng tam giác vuông ADH biết
à
0
AH=h, AD=l, H 90
=
- Dựng tam giác vuông AHM biết
à
0
AH=h, AM=m, H 90
=
và
[ ]
D HM

- Dựng trung trực của [BC]
- Dựng giao điểm I của AD với trung trực
- Dựng trung trực đoạn [AI]
- Dựng O là giao của hai đờng trung trực trên
- Dựng đờng tròn T tâm O, bán kính OA
- Dựng B, C, các giao điểm của HM với đờng tròn T
- Dựng
ABC

Chứng minh

Từ cách dựng trên ta có MB=MC và [AD] là đờng phân giác của góc
ã
BAC
. Dễ dàng chứng minh
ABC

thoả mãn các điều kiện đã cho của bài
toán.
Biện luận
Nếu h < l < m các bớc dựng nêu ra ở trên đều thực hiện đợc và các hình
dựng đợc là duy nhất.
Nếu h = l = m bài toán đa về dựng tam giác cân ABC (AB=AC) biết đ-
ờng cao AH=h (D, M trùng với h). Bài toán có vô số nghiệm hình.
Các trờng hợp khác của h, l, m, bài toán vô nghiệm.
Bài tập t ơng tự:
Bài 1(thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết hai góc và một
trung tuyến
Bài 2(thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết 3 giao điểm của đ-
ờng cao với đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 3 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết ba đờng cao
Bài 4 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biêt 1 góc, 1 trung
tuyến và 1 đờng cao.
Bài 5 (thực hành giải toán-tr320): Dựng tam giác biết hai đờng cao
,
a b
h h
và trung tuyến
a
m
.

Bài 29 (SGK toán 8 tr83): Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết
cạnh huyền BC=4 cm, góc nhọn
à
0
65B =
Bài 30 (SGK toán 8 - -tr83): Dựng tam giác ABC vuông tại B, biết cạnh
huyền AC= cm, cạnh góc vuông BC=2 cm
Bài 45 (SBT toán 8 - tr65): dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh
huyền BC=5 cm và
à
0
35B =
Bài 46 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh
huyền BC=4,5 cm và cạnh góc vuông AC=2 cm.
Bài 50 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC cân tại A, biết BC=3
cm, đờng cao BH=2,5.
Bài 51 (SBT toán 8 tr65): Dựng tam giác ABC, biết
à
0
40 , 4 , 3B BC cm AC cm= = =
3. Dựng tứ giác
Ví dụ 1: Bài 55( SBT 8 tập 1- trong 65) Dựng hình thang ABCD biết hai đáy
AB=2cm, CD=4cm
à
à
0 0
50 , D 70C
= =
Giải
Phân tích

Giả sử đã dựng đợc hình thang thoả mãn
yêu cầu bài toán. Qua E kẻ đờng thẳng song song
với BC, cắt CD ở E. Hình thang ABCD
cóAE//BC nên AB=EC=2cm
Do đó DE=2cm
và
ã
ã
0
50AED BCE= =
(2 góc đồng vị)
Tam giác ADE dựng đợc vì biết một cạnh và 2 góc kề
Từ đó dựng đợc các điểm C và D
Cách dựng
- Dựng tam giác ADE biết
à
à
0 0
2 , D 70 , E 50DE cm
= = =
- Trên tia DE lấy điểm C sao cho DC=4cm
- Dựng các tia Ax//DC, Cy//AE,
Ax Cy B
=
Chứng minh
ABCD là hình thang vì AB//CD
Ta có
à
à
ã

0 0
70 , DC=4cm, C 50D AED
= = =
(2 góc đồng vị)
Hình thang ABCD có hai cạnh bên AE, BC song song nên
AB=EC=4-2=2cm
Biện luận
Tam giác ADE dựng đợc là duy nhất nên bài toán có1 nghiệm hình
Ví dụ 2: Bài 23a (nâng cao và phát triển 8 tập 1- trong 82) Dựng tứ giác
ADCB biết 3 góc và 2 cạnh kề
Giải
Phân tích
Giả sử đã dựng đợc tứ giác ABCD thoả
mãn yêu cầu bài toán
Kẻ đờng chéo AC
Tam giác ABC dựng đợc vì biêt độ dài 2 cạnh và số đo góc xen giữa
Do biêt số đo của hóc
à
A
và
à
C
từ đó dựng đợc điểm D
Cách dựng
-Dựng
ABC
có
à
, , BAB c BC a

= = =
- Dựng
ã
ã
Ax , BCyB

= =
Ax y=DC

Chứng minh
Tứ giác ABCD có
AB=c, BC=a,
à
B

=
ã
ã
, BCDBAD

= =
Biện luận
Tam giác ABC dựng đợc là duy nhất nên bài toán có 1 nghiệm hình
Bài tập
Bài 54(SBT 8 tập 1- tr 65) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết 2
đáy AB=2cm, CD=4cm, đờng cao AH=2cm
Bài 56(SBT 8 tập 1- tr 65) Dựng hình thangABCD, biết 2 đáy AB=1cm,
CD=4cm, 2 cạnh bên AD=2cm, BC=3cm
Bài 68(SBT 8 tập 1- tr 66) Dựng tứ giác ABCD, biêt AB=2cm,
AD=3cm,

à
à à
0 0 0
A 80 , B 120 , C 100= = =
Bài 22(NC và PT 8 tập 1- tr 66) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD),
biết AB=a, CD=b,
à
D

=
4. Dựng đờng tròn
Ví dụ . Cho (O,R), một điểm A nằm trên đờng tròn đó và một đờng thẳng
d không đi qua A. Hãy dựng đờng tròn tiếp xúc với (O,R) và tiếp xúc với d
Giải
a) Phân tích
Giả sử đờng tròn tâm I đã dựng đợc thoả mãn điều kiện đầu bài , ta
thấy:
- I nằm trên đờng thẳng OA
- I nằm trên tia phân giác của góc tạo bởi d và tiếp tuyến tại A của
(O,R)
b) Cách dựng
- Kéo dài OA
- Dựng tiếp tuyến At của (O,R)
- Dựng giao điểm C của At và d
- Dựng tia phân giác Cz của góc tạo bởi Ct và d
- Dựng giao điểm I của đờng thẳng OA và Cz
- Dựng đờng tròn tâm I, bán kính IA
(I,IA) là đờng tròn cần dựng
c) Chứng minh
Theo cách dựng ta có:

- OI = OA+ AI, do đó (I, IA) tiếp xúc với (O,R) tại A
- Vì I nằm trên tia phân giác Cz của góc tạo bởi Ct và d nên IA=IB với IB
là khoảng cách từ I đến d. Do đó (I) tiếp xúc với d
Vậy (I) dựng đợc thoả mãn các điều kiện
d) Biện luận
- Nếu
OA d

, bài toán có 1 nghiệm hình
- Nếu OA không
d
, bài toán có 2 nghiệm hình
Bài tập: