Tính ổn định và tính CO của các phương pháp runge kutta

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————————

NGUYỄN THỊ HIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CO
CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. VŨ HOÀNG LINH

Hà Nội-2014


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình và tạo
điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS
Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong
suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viên
trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị trong lớp cao

học Toán khóa 2011 - 2013, đặc biệt là các anh chị chuyên ngành Toán
ứng dụng khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp đỡ và
động viên tôi trong quá trình học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Hiên


Mục lục
Mở đầu

3

Bảng ký hiệu

4

1

Các khái niệm cơ bản
5
1.1 Các phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn . . . . . . . . 11
1.3 Áp dụng các phương pháp Runge-Kutta giải bài toán cương 18
1.4 Các loại chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Tính co cho bài toán tuyến tính
2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) . . . . .

2.2 Hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính
2.3 Bài toán với nhiễu phi tuyến nhỏ . . . . . . . .
2.4 Tính co trong . ∞ và . 1 . . . . . . . . . . .
2.5 Hệ số ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3 Tính ổn định B và tính co

3.1 Điều kiện Lipschitz một phía . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ổn định B và ổn định đại số . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số .
3.4 Ổn định AN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy . . . . . . . .
3.6 Định lý về sự tương đương giữa ổn định B và ổn định
số với các phương pháp S-bất khả quy . . . . . . . . .
3.7 Hàm tăng trưởng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Tính toán ϕB (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

. .
. .
. .
. .
. .

đại
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.

26
29
30
33
37
39

.
.
.
.
.

42
42
43
46

48
51

.
.
.
.
.

53
56
58
63
64


Mở đầu
Trong khoa học và kĩ thuật ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới
việc giải phương trình vi phân. Có rất nhiều trường hợp nghiệm giải tích của các
bài toán này là không thể tìm được. Chính vì vậy các nhà toán học đã tìm kiếm
nhiều phương pháp số khác nhau để giải các bài toán trên. Trong các phương
pháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt và được sử dụng
rộng rãi. Luận văn trình bày về tính ổn định và tính co của các phương pháp
Runge-Kutta. Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | của bài
toán y = λy , ta mở rộng đến khái niệm "tính co" khi xét bài toán tuyến tính
y = Ay , tiếp đến là các khái niệm tính ổn định B và ổn định đại số khi xét bài
toán phi tuyến. Trên cơ sở đó ta có thể lựa chọn ra phương pháp hữu hiệu và
phù hợp nhất để giải các bài toán nảy sinh trong thực tế. Nội dung luận văn
được tham khảo chính từ tài liệu [2] và [3].
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về phương pháp Runge-Kutta,
cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, cùng với các kiến thức bổ trợ
cho Chương 2 và Chương 3.
• Chương 2: Tính co của bài toán tuyến tính

Luận văn trình bày các khái niệm và định lý liên quan đến tính co khi xét
bài toán tuyến tính.
• Chương 3: Tính ổn định B và tính co

Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN và
mối quan hệ giữa các khái niệm ổn định của các phương pháp Runge-Kutta
khi xét bài toán phi tuyến.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránh
khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý
kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
3


Bảng ký hiệu

A⊗I

Tích tensor.

B (p), C (η), D (ζ)

Bộ điều kiện về cấp chính xác.

C

Tập số phức.

Cn

Không gian vectơ phức n chiều.

I

Ma trận đơn vị.

K (Z)

Hàm ổn định với bài toán y = λ (x) y.

Pk (x)

Đa thức trực giao Legendre.

Pkj (z)

Xấp xỉ Padé.

R (z)

Hàm ổn định của phương pháp.

R

Tập số thực.

Rn

Không gian vectơ thực n chiều.

S

Miền ổn định.

µ (A)

Chuẩn logarit của ma trận A.

ν

Hằng số Lipschitz một phía.

ϕB (x)

Hàm tăng trưởng sai số khi xét bài toán phi tuyến.

ϕR (x)

Hàm tăng trưởng sai số khi xét bài toán tuyến tính.
Hệ số ngưỡng.


bT = (b1 , ..., bs )



Chuyển vị của vectơ b = 



b1
..
.




.



bs
T
1 = (1, ... , 1)

Vectơ cột với các tất cả các thành phần đều bằng 1.

4


Chương 1

Các khái niệm cơ bản
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về các phương pháp RungeKutta, sự tồn tại lời giải số của phương pháp, cách xây dựng các phương pháp

Runge-Kutta ẩn cùng với các kiến thức bổ trợ cho Chương 2 và Chương 3. Nội
dung của chương này chỉ phát biểu các khái niệm và các kết quả phục vụ cho
các chương sau. Chứng minh chi tiết của các kết quả trong chương này có thể
tham khảo tại [2], [3] và [5].

1.1

Các phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp Runge-Kutta tổng quát
Phương pháp Runge-Kutta thuộc lớp các phương pháp số một bước, được
đưa ra bởi hai nhà toán học người Đức là Carl Runge (1856 - 1927) và Wilhelm
Kutta (1867 - 1944).
Trước hết ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một có dạng
y = f (t, y) , y ∈ Rn , f : R × Rn → Rn , y (t0 ) = y0 .

(1.1)

Định nghĩa 1.1 (xem [5]). Phương pháp Runge-Kutta s nấc cho hệ phương
trình vi phân (1.1) có thể viết dưới dạng:
s

Yi = yn−1 + h

aij f (tn−1 + cj h, Yj )

i = 1, ..., s

j=1
s

yn = yn−1 + h

(1.2)
bi f (tn−1 + ci h, Yi )

i=1

Trong đó Y1 , ..., Ys là các giá trị nấc xấp xỉ y tại ti = tn−1 + ci h (ti là các điểm
nấc). Bộ hệ số: {ci }si=1 ; {aij }si,j=1 ; {bi }si=1 thỏa mãn
s

chọn để có ci =

aij (i = 1, ..., s).
j=1

5

s

bi = 1. Thông thường, ta
i=1


• Nếu aij = 0 với i ≤ j thì phương pháp là phương pháp Runge-Kutta hiển

(ERK).
• Nếu aij = 0 với i < j và có ít nhất một aii = 0 thì phương pháp là phương

pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo (DIRK).
• Nếu aij = 0 với i < j và aii = γ với i = 1, ..., s thì phương pháp là phương

pháp ẩn đường chéo đơn (SDIRK).
• Các trường hợp còn lại gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK).

Để dễ dàng hình dung về phương pháp Runge-Kutta, Butcher đã đưa bộ hệ
số của phương pháp vào bảng sau:
c1
c2
..
.

a11
a21
..
.

a12
a22
..
.

···
···
..
.

a1s
a2s

..
.

cs

as1
b1

as2
b2

···
···

ass
bs

Bảng 1.1: Bảng Butcher.

Ví dụ 1.1. Một số công thức ERK cơ bản
(a) Euler hiển

0

0
1

(b) Hình thang hiển

0

1

0
1
1
2

(c) Trung điểm hiển

0
1
2

0
0
1
2

0
1
2
0

0
0
1

Bảng 1.2: Một số công thức ERK.

Ví dụ 1.2. Một số công thức IRK cơ bản

(a) Euler ẩn

1

1
1

(b) Hình thang ẩn

0
1

0
1
2
1
2

0
1
2
1
2

Bảng 1.3: Một số công thức IRK.

6

(c) Trung điểm ẩn

1
2

1
2
1


Sự tồn tại lời giải số của phương pháp
Xét công thức (1.2) trong trường hợp n = 1, nếu ta đặt ki = f (t0 + ci h, Yi ) với
i = 1, 2, ..., s ta thu được
s

ki = f (t0 + ci h, y0 + h

aij kj )
j=1

s

y1 = y0 +

(1.3)

bi k i .
i=1

Để xác định lời giải số y1 của phương pháp, trước hết ta cần xác định các giá trị
ki từ hệ phương trình chứa ki cho bởi (1.3). Nói chung, đây là hệ phương trình
phi tuyến nên trong nhiều trường hợp có thể các ki tồn tại không duy nhất. Do

đó, không tồn tại lời giải số của phương pháp. Định lý sau đây cho ta điều kiện
để tồn tại lời giải số của phương pháp Runge-Kutta ẩn (1.3).
Định lý 1.1 (xem [2]). Cho hàm f : R × Rn → Rn là hàm liên tục và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến y với hằng số L. Nếu
h<

1
L max ti

,
|aij |
j

thì lời giải số của phương pháp (1.3) tồn tại duy nhất với các giá trị ki được xác
định duy nhất từ hệ phương trình cho bởi (1.3), các giá trị này có thể thu được
bằng phương pháp lặp Newton. Hơn nữa, nếu f (t, y) là hàm khả vi, liên tục tới
cấp p thì các ki (là các hàm theo biến h) cũng khả vi, liên tục cho tới cấp p.

Ổn định tuyệt đối và ổn định A
Bằng các phương pháp khác nhau ta có thể tìm ra nghiệm số của phương
trình vi phân. Tuy nhiên, nghiệm số ta tìm được liệu có tốt không, làm thế nào
để có thể đánh giá được nghiệm đó. Để giải quyết vấn đề này, ta cần chỉ ra
nghiệm số đó phải có tính chất tốt cho ít nhất một lớp các bài toán.
Xét phương trình vi phân thử
y = λy, λ là hằng số, λ ∈ C, y(t0 ) = y0 .

(1.4)

Ở các phần sau, khi xét phương trình thử (1.4) ta luôn giả sử Re (λ) ≤ 0.
Trong trường hợp Re (λ) ≤ 0 ta được điều kiện ổn định tuyệt đối là

|yn | ≤ |yn−1 | ,

n = 1, 2, ....

(1.5)

Giả sử y(t), y(t) là hai lời giải của (1.1). Từ đó ta có các định nghĩa về sự ổn
định và ổn định tiệm cận với nghiệm của phương trình vi phân( 1.1).
7


Định nghĩa 1.2. Nghiệm y (t) của phương trình vi phân( 1.1) gọi là ổn định
nếu với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |y (to ) − y (to )| ≤ δ thì
|y (t) − y (t)| < ε với mọi t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.3. Nghiệm y (t) của phương trình vi phân( 1.1) gọi là ổn định
tiệm cận nếu nó ổn định và thỏa mãn điều kiện
lim |y (t) − y (t)| = 0.

t→+∞

Nhận xét 1.1. Đối với hệ tuyến tính, nếu nghiệm tầm thường là ổn định (ổn
định tiệm cận) thì mọi nghiệm cũng ổn định (ổn định tiệm cận). Trong trường
hợp này, chúng ta nói hệ ổn định (ổn định tiệm cận).
Xét bài toán tuyến tính
A ∈ Cm×m .

y = Ay ,

(1.6)

Định lý 1.2 (xem [5]). Nếu mọi giá trị riêng λ của ma trận A đều thỏa mãn
Re (λ) ≤ 0 và các giá trị riêng có phần thực bằng 0 đều là các giá trị riêng đơn
thì hệ y = Ay là ổn định.
Định lý 1.3 (Điều kiện cần và đủ (xem [5])). Nếu Re (λ) < 0 với mọi giá trị
riêng λ của A thì hệ ổn định tiệm cận.
Để đi đến khái niệm về hàm ổn định của phương pháp Runge-Kutta, ta áp
dụng phương pháp Runge-Kutta với công thức (1.2) cho phương trình thử (1.4)
được lời giải số
yn = R (z) yn−1 với z = λh.
(1.7)
Khi đó, để điều kiện ổn định tuyệt đối (1.5) được thỏa mãn thì
|R (z)| ≤ 1.

(1.8)

Định nghĩa 1.4. Hàm R (z) xác định ở (1.7) được gọi là hàm ổn định của
phương pháp Runge-Kutta. Tập S = {z ∈ C : |R (z)| ≤ 1} được gọi là miền ổn
định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta.
Ví dụ 1.3.
• Phương pháp Euler hiển có hàm ổn định R (z) = 1 + z .
• Phương pháp Euler hiển có miền ổn định tuyệt đối là hình tròn có bán kính

bằng 1, tâm −1.
8


Mệnh đề 1.1 (xem [3]). Phương pháp Runge-Kutta ẩn s nấc với
s

gi = y 0 + h

aij f (t0 + cj h, gj ),

i = 1, 2, ..., s,

(1.9a)

j=1
s

(1.9b)

bj f (t0 + cj h, gj ),

y1 = y0 + h
j=1

khi áp dụng cho phương trình thử y = λy thì có y1 = R (hλ) y0 với
R (z) = 1 + zbT (I − zA)−11 ,

trong đó bT = (b1 , ..., bs ) , A = (aij )si,j=1 ,

(1.10)

1 = (1, 1, ..., 1)T .

Mệnh đề 1.2 (xem [3]). Hàm ổn định của (1.9) thỏa mãn
R (z) =

STT

Phương pháp

1

Euler ẩn

2

Phương pháp θ

3
4

det I − zA + z11bT
.
det (I − zA)

Trung điểm ẩn
Hình thang ẩn
SDIRK cấp 3

(1.11)

R (z)
1
1−z
1 + z (1 − θ)
1 − zθ

1 + z/2
1 − z/2
1 + z (1 − 2γ) + z 2 1/2 − 2γ + γ 2
2

(1 − γz)

Bảng 1.4: Hàm ổn định của một số phương pháp Runge-Kutta ẩn.

Miền ổn định tuyệt đối của các phương pháp cho trong Bảng 1.4 có thể xem
trong [3]. Từ kết quả ở trên ta thấy phương pháp Runge-Kutta ẩn có hàm ổn
định R (z) là hàm hữu tỉ với tử số và mẫu số có bậc ≤ s.
R (z) =

P (z)
,
Q (z)

deg P = k, deg Q = j.

(1.12)

Định nghĩa 1.5. Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn
S ⊃ C− = {z ∈ C : Re (z) ≤ 0} ,

thì phương pháp đó gọi là phương pháp ổn định A (hay A-ổn định).
Phương pháp Runge-Kutta với hàm ổn định như ở (1.12) là ổn định A khi và
chỉ khi
|R (iy)| ≤ 1 với mọi y ∈ R
(1.13)

và
R (z) là giải tích với Re (z) < 0.
9

(1.14)


Xấp xỉ Padé của ez
Cho hàm f (z) giải tích trong lân cận của điểm 0, hai số nguyên không âm k
và j . Khi đó, ta có thể xấp xỉ hàm f (z) bởi hàm hữu tỉ
f (z) ≈

Pk (z)
.
Qj (z)

(1.15)

P là đa thức bậc k , Q là đa thức bậc j và sai số của xấp xỉ tới O z k+j+1 . Trong

trường hợp j = 0 khi đó xấp xỉ chính là khai triển Taylor của hàm f (z) tại điểm
0. Khi k = 0 thì Q (z)/P (z) là khai triển Taylor của hàm 1/f (z).
Tuy nhiên, với hàm bất kỳ và k, j bất kỳ thì không phải lúc nào cũng tồn tại
xấp xỉ này. Khi xấp xỉ
f (z) =

Pkj (z)
+ O z k+j+1
Qkj (z)

tồn tại, thì bộ số (k , j ) được gọi là xấp xỉ Padé của hàm f .
Xấp xỉ Padé của hàm mũ là trường hợp đặc biệt chúng ta cần nghiên cứu,
một vài xấp xỉ Padé xấp xỉ các hàm hữu tỉ của các phương pháp quan trọng như
phương pháp Gauss, phương pháp Radau, phương pháp Lobatto... Ta sẽ chỉ ra
luôn tồn tại xấp xỉ Padé cho các hàm ổn định của các phương pháp này với k ,
j bất kỳ.
Định lý 1.4 (xem [3]). Bộ số (k , j ) là xấp xỉ Padé của ez được cho bởi
Rkj (z) =

Pkj (z)
,
Qkj (z)

(1.16)

trong đó
k
k (k − 1)
z2
k (k − 1) ...1 z k
.z +
. + ... +
.
j+k
(j + k) (j + k − 1) 2!
(j + k) ... (j + 1) k!
j (j − 1)
z2
(−1)j j (j − 1) ...1 z j
j

=1−
.z +
. + ... +
. = Pjk (−z) .
k+j
(k + j) (k + j − 1) 2!
(k + j) ... (k + 1) j!

Pkj = 1 +
Qkj

Đặt
Ckj = (−1)j

k!j!
,
(k + j)! (k + j + 1)!

khi đó
Pkj − ez Qkj + Ckj z k+j+1 +

j+1
Ckj z k+j+2 = O z k+j+3 .
k+j+2

10


Sao cấp chính xác
Khái niệm sao cấp chính xác được ra đưa khi nghiên cứu về tính ổn định của

xấp xỉ Padé của hàm ez (Wanner, Hairer và Norsett 1978).
Định nghĩa 1.6. Cho tập hợp
A = {z ∈ C : |R (z)| > |ez |} = {z ∈ C : |q (z)| > 1} ,

ở đây q (z) =

(1.17)

R (z)
. Tập A khi đó được gọi là sao cấp chính xác của R (z).
ez

Sao cấp chính xác không so sánh |R (z)| với 1 như khi xét tính ổn định, mà nó
so sánh |R (z)| với nghiệm chính xác của phương trình thử |ez | = ex (z = x + iy)
và hi vọng sẽ nhận được nhiều thông tin hơn. Chúng ta luôn giả sử rằng các hệ
số của hàm R (z) là số thực và sao cấp chính xác đối xứng qua trục thực. Hơn
nữa, với z = iy ta có |ez | = 1, khi đó tập A là phần bù của miền ổn định tuyệt
đối S trên trục ảo. Hình 1.1 và Hình 1.2 thể hiện các tập sao cấp chính xác của
xấp xỉ Padé.
Bổ đề 1.1 (xem [3]). Nếu R (z) là một xấp xỉ cấp p của ez , tức là
ez − R (z) = Cz p+1 + O z p+2

với C = 0 thì khi z → 0, A có dáng điệu như một hình ngôi sao với p + 1 cánh
sao có các góc quét bằng nhau và bằng

1.2

π
.
p+1

Xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn

Phần này sẽ đề cập đến lớp các phương pháp Runge-Kutta ẩn sở hữu tính ổn
định khá tốt. Việc xây dựng các phương pháp như vậy chủ yếu dựa vào các bộ
điều kiện

s
1


B (p) :
bi cq−1
=
q = 1, ..., p;

i

q

i=1


s
cqi
q−1
i = 1, ..., s, q = 1, ..., η;
C (η) :
aij cj =
(1.18)

q

j=1


s

bj


bi cq−1
a
=
1 − cqj
j = 1, ..., s, q = 1, ..., ζ.
 D (ζ) :
ij
i
i=1

q

Điều kiện B (p) có nghĩa là công thức cầu phương (bi , ci ) có cấp p. Sự quan trọng
của hai điều kiện còn lại được thể hiện ở Định lý 1.5 (xem [2] trang 208).
11


Hình 1.1: Tập sao cấp chính xác của xấp xỉ Padé với k = 1, j = 2.

Hình 1.2: Tập sao cấp chính xác của xấp xỉ Padé với k = 2, j = 21.

Định lý 1.5 (Butcher 1964). Nếu bộ hệ số bi , ci , aij của phương pháp RungeKutta thỏa mãn B (p) , C (η) , D (ζ) với p ≤ η + ζ + 1 và p ≤ 2η + 2 thì phương
pháp có cấp p.
12


Các phương pháp Gauss
Các phương pháp Gauss hay còn gọi "các phương pháp Kuntzmann-Butcher"
là các phương pháp trùng khớp dựa trên cơ sở của công thức cầu phương Gauss
với các hệ số c1 , ..., cs là nghiệm của đa thức trực giao Legendre bậc s
ds
xs (x − 1)s .
dxs

Một số phương pháp Gauss được thể hiện trong Bảng 1.5.
(a) p = 2

1
2

1
2
1

√

1
3
−
2 √6

1
3
+
2
6

(b) p = 4

√
1
3
−
4
6
1
4
1
2

1
4√

1
3
+
4
6
1
2

Bảng 1.5: Các phương pháp Gauss cấp 2 và cấp 4.

Định lý 1.6 (Butcher 1964, Ehle 1968). Phương pháp Gauss s nấc có cấp chính
xác p = 2s. Hàm ổn định là xấp xỉ Padé (s, s) và phương pháp ổn định A.
Chứng minh. Chi tiết xem [2] và [3].

Các phương pháp Radau IA và Radau IIA
Butcher (1964) đã giới thiệu các phương pháp Runge-Kutta dựa trên cơ sở
của các công thức cầu phương Radau và Lobatto. Ông ấy gọi chúng theo ba loại
I, II hoặc III tùy thuộc vào c1 , c2 , ..., cs là nghiệm của
I:
II :
III :

ds−1
xs (x − 1)s−1 ,
dxs−1
ds−1
xs−1 (x − 1)s ,
dxs−1
ds−2
xs−1 (x − 1)s−1 .
dxs−2

Radau trái

(1.19)

Radau phải

(1.20)

(Lobatto)

(1.21)

Các trọng số bi được chọn để công thức cầu phương thỏa mãn B (s), trong đó
B (2s − 1) là cơ sở Radau, B (2s − 2) là cơ sở Lobatto. Ehle (1969) đã theo đuổi
ý tưởng của Butcher và xây dựng các phương pháp loại I, II và III với các tính
chất ổn định vượt trội. Một cách độc lập, Axelsson (1969) đã tìm ra các phương
pháp Radau IIA và chứng minh tính ổn định A của chúng.
Phương pháp Radau IA s nấc thuộc loại I khi các hệ số aij (i, j = 1, ..., s) được
định nghĩa bởi điều kiện D (s). Đây là cách duy nhất bởi vì các ci là phân biệt
13


(a) p = 1

0

(b) p = 3

1
1

0
2
3

1

4
1
4
1
4

(c) p = 5

1
−
4
5
12
3
4

√
−1 − 6
18
√
88 + 7 6
360
√
88 + 43 6
360
√
16 + 6
36

1

9
1
9
1
9
1
9

0
√
6− 6
10
√
6+ 6
10

√
−1 + 6
18
√
88 − 43 6
360
√
88 − 7 6
360
√
16 − 6
36

Bảng 1.6: Một số phương pháp Radau IA

và bi = 0. Bảng 1.6 trình bày các phương pháp đầu tiên có đặc điểm này. Công
thức loại II của Ehle thu được bằng cách áp dụng điều kiện C (s).
Theo Định lý II.7.7 trong [2], các hệ số của phương pháp loại II được xây
dựng dựa trên cơ sở là nghiệm của (1.20). Ta gọi chúng là phương pháp Radau
IIA. Với s = 1 chúng ta thu được công thức Euler ẩn (xem Bảng 1.3). Các ví dụ
về phương pháp Radau IIA được đưa ra trong Bảng 1.7.
(a) p = 3

1
3
1

5
12
3
4
3
4

−1
12
1
4
1
4

√
4− 6
10√

4+ 6
10
1

(b) p = 5

√
88 − 7 6
360 √
269 + 169 6
1800
√
16 − 6
36√
16 − 6
36

√
269 − 169 6
1800√
88 + 7 6
360√
16 + 6
36√
16 + 6
36

√
−2 + 3 6
225 √

−2 − 3 6
225
1
9
1
9

Bảng 1.7: Các phương pháp Radau IIA cấp 3 và cấp 5.

Định lý 1.7. Phương pháp Radau IA s nấc và phương pháp Radau IIA s nấc
đều có cấp chính xác p = 2s − 1. Hàm xấp xỉ của chúng là xấp xỉ Padé (s − 1, s).
Cả hai phương pháp đều ổn định A.
Chứng minh. Chi tiết xem trong [3].

Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB và IIIC
Với tất cả các công thức loại III thì ci là nghiệm của đa thức cho bởi (1.21)
và các trọng số bi thỏa mãn B (2s − 2). Các hệ số aij được định nghĩa bởi C (s)
cho ta các công thức Lobatto IIIA. Do đó nó là một phương pháp trùng khớp.
Với các phương pháp Lobatto IIIB chúng ta áp dụng D (s). Cuối cùng, để có
công thức Lobatto IIIC chúng ta đặt
ai1 = b1

i = 1, 2, ..., s
14

(1.22)


và xác định các aij còn lại bởi C (s − 1). Ehle (1969) đã giới thiệu hai lớp phương
pháp đầu tiên, và trình bày các phương pháp IIIC với s ≤ 3. Định nghĩa chung

của các phương pháp IIIC được đưa ra bởi Chipman (1971) và Axelsson (1972).
Các ví dụ được đưa ra ở các Bảng 1.8 - 1.10.
Định lý 1.8. Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB và IIIC có cấp chính xác
p = 2s − 2. Hàm ổn định của các phương pháp Lobatto IIIA và Lobatto IIIB là
xấp xỉ Padé (s − 1, s − 1). Với các phương pháp Lobatto IIIC, hàm ổn định là
xấp xỉ Padé (s − 2, s). Và tất cả chúng đều ổn định A.
Chứng minh. Chi tiết xem Phần IV.5 trong [3].
(a) p = 2

0

0
1
2
1
2

1

(b) p = 4

0
1
2

0
1
2
1
2

1
1

0
5
24
1
6
1
6

0
1
3
2
3
2
3

0
−1
24
1
6
1
6

Bảng 1.8: Các phương pháp Lobatto IIIA cấp 2 và cấp 4.
(a) p = 2

0
1

1
2
1
2
1
2

(b) p = 4

0

0

0

1
2

1
2

1

1
6
1

6
1
6
1
6

−1
6
1
3
5
6
2
3

0
0
0
1
6

Bảng 1.9: Các phương pháp Lobatto IIIB cấp 2 và cấp 4.
(a) p = 2

0
1

1
2
1

2
1
2

(b) p = 4

−1
2
1
2
1
2

0
1
2
1

1
6
1
6
1
6
1
6

−1
3
5

12
2
3
2
3

1
6
−1
12
1
6
1
6

Bảng 1.10: Các phương pháp Lobatto IIIC cấp 2 và cấp 4.

Tóm tắt về việc xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn được thể hiện
trong Bảng 1.11.
15


Phương pháp

Bộ điều kiện đơn giản hóa

Cấp chính xác

Hàm ổn định

Gauss

B (2s)

C (s)

D (s)

2s

(s, s) Padé

Radau IA

B (2s − 1)

C (s − 1)

D (s)

2s − 1

(s − 1, s) Padé

Radau IIA

B (2s − 1)

C (s)

D (s − 1)

2s − 1

(s − 1, s) Padé

Lobatto IIIA

B (2s − 2)

C (s)

D (s − 2)

2s − 2

(s − 1, s − 1) Padé

Lobatto IIIB

B (2s − 2)

C (s − 2)

D (s)

2s − 2

(s − 1, s − 1) Padé

Lobatto IIIC

B (2s − 2)

C (s − 1)

D (s − 1)

2s − 2

(s − 2, s) Padé

Bảng 1.11: Thể hiện đầy đủ của các phương pháp Runge-Kutta ẩn.

W -biến đổi
Ta kí hiệu
√
Pk (x) =

2k + 1 d
k!

k

xk (x − 1)k

k

√
= 2k + 1

dxk

(−1)j+k

k
j

j+k
j

xj

j=0

(1.23)
là đa thức Legendre đã được chuẩn hóa
1

Pk2 (x) dx = 1.

(1.24)

0

Các đa thức thỏa mãn
x

1
P0 (t) dt = ξ1 P1 (x) + P0 (x) ;

2

(1.25a)

0
x

Pk (t) dt = ξk+1 Pk+1 (x) − ξk Pk−1 (x)

k = 1, 2...

(1.25b)

0

với

1
ξk = √
2 4k 2 − 1

(1.26)

Định lý 1.9 (xem [3]). Cho W định nghĩa bởi
wij = Pj−1 (ci )

i = 1, ..., s

j = 1, ..., s,

(1.27)

và A là ma trận hệ số của phương pháp Gauss có cấp p = 2s thì


1/2 −ξ1
0 −ξ2

 ξ1

W−1 AW = 



ξ2

...
...

16

...
0 −ξs−1
ξs−1
0



 := XG .




(1.28)


Bổ đề 1.2 (xem [3]). Cho A là ma trận hệ số của một phương pháp Runge-Kutta
ẩn và W là ma trận không suy biến với
wij = Pj−1 (ci )

i = 1, ..., s j = 1, ..., η + 1.

Khi đó điều kiện C (η) (với η ≤ s − 1) tương đương với điều kiện η cột đầu tiên
của W−1 AW giống với η cột đầu tiên của XG trong (1.28).
Bổ đề 1.3 (xem [3]). Cho W là ma trận không suy biến với
wij = Pj−1 (ci )

i = 1, ..., s j = 1, ..., ζ + 1,

và B = diag (b1 , ..., bs ) với bi = 0. Khi đó điều kiện D (ζ) (với ζ ≤ s − 1) tương
−1
đương với điều kiện ζ hàng đầu tiên của ma trận WT B A WT B
giống với
ζ hàng đầu tiên của XG trong (1.28). (Nếu B suy biến thì ta vẫn có (1.29) như
bên dưới).

 1/2 −ξ
1
...

 ξ1

0


... ...
 T

T
−ξζ−1
(1.29)
W BA = 
 W B.


ξ
0
−ξ
ζ−1
ζ


∗
∗

∗
∗

...
...

...

...

...
...

∗
∗

Hai ma trận biến đổi ở trong các Bổ đề 1.2 và Bổ đề 1.3 ở trên có thể bằng
nhau, tức là
WT B = W−1 hoặc WT BW = I.
(1.30)
Bổ đề 1.4 (xem [3]). Với bất kì công thức cầu phương mà có cấp p ≥ 2s − 2 thì
ma trận
W = (Pj−1 (ci ))i,j=1,...,s
(1.31)
thỏa mãn (1.30).
Định nghĩa 1.7. Với η , ζ là các số nguyên từ 0 đến s − 1. Ta nói rằng ma trận
W cấp s × s thỏa mãn T (η, ζ) với công thức cầu phương có bộ hệ số (bi , ci )si=1
nếu


a) W là ma trận không suy biến



b) wij = Pj−1 (ci ) i = 1, ..., s,
c) WT BW

=

j = 1, ..., max (η, ζ) + 1

I 0
0 R

T (η, ζ)





17


I là ma trận đơn vị cấp (ζ + 1) × (ζ + 1), R là ma trận tùy ý cấp (s − ζ − 1) ×
(s − ζ − 1) .

Định lý 1.10 (xem [3]). Với W thỏa mãn T (η, ζ) cho công thức cầu phương
(bi , ci )si=1 thì một phương pháp Runge-Kutta dựa trên (bi , ci )si=1 , với ma trận
X = W−1 AW ta có
a) η cột đầu tiên của X là của XG ⇔ C (η);
b) ζ hàng đầu tiên của X là của XG ⇔ D (ζ).
Bổ đề 1.5 (xem [3]). Nếu công thức cầu phương có các nút ci , tất cả các trọng
số bi > 0 và nếu nó có cấp chính xác p thỏa mãn p ≥ 2η + 1, p ≥ 2ζ + 1 thì ma
trận
W = (pj−1 (ci ))i,j=1,...,s
(1.32)
có tính chất T (η, ζ) và thỏa mãn (1.30). Ở đây, pj (x) là đa thức trực giao bậc
j với tích vô hướng

s

p, r =

bi p (ci ) r (ci ).
i=1

Nhận xét 1.2 (xem [3]). Chúng ta có thể biểu diễn hàm ổn định của phương
pháp Runge-Kutta ẩn dưới dạng ma trận Runge-Kutta chuyển vị X = W−1 AW.
Từ (b) và (c) của tính chất T (η, ζ), ta suy ra
We1 = 1 ,

WT B11 = e1 ,

e1 = (1, 0, ..., 0)T .

(1.33)

Do đó các công thức (1.10) và (1.11)trở thành
R (z) = 1 + zeT1 (I − zX)−1 e1 ,

(1.34)

det I − zX + ze1 eT1
.
det (I − zX)

(1.35)

R (z) =

1.3

Áp dụng các phương pháp Runge-Kutta giải bài toán
cương

Để minh họa cho các phương pháp Runge-Kutta được xây dựng trong phần
trên, ta áp dụng các phương pháp Runge-Kutta giải một số bài toán cương.
Trước hết ta tìm hiểu xem bài toán cương là gì? Có nhiều cách định nghĩa
khác nhau về bài toán cương. Tuy nhiên, quan điểm có tính thực tiễn nhất
18


cũng là quan điểm đầu tiên trong lịch sử về bài toán cương là do Curtiss và
Hirschfelder đưa ra. Theo đó, bài toán cương là những bài toán mà các phương
pháp Runge-Kutta hiển không giải quyết được. Đối với các bài toán cương, các
phương pháp Runge-Kutta ẩn giải quyết tốt hơn rất nhiều so với các phương
pháp Runge-Kutta hiển.
Định nghĩa 1.8. Bài toán giá trị ban đầu được gọi là bài toán cương nếu điều
kiện ổn định tuyệt đối xác định bước đi h nhỏ hơn nhiều so với yêu cầu về độ
chính xác.
Ngoài ra, ta có thể nhận dạng bài toán cương trong một vài trường hợp đặc
biệt. Với bài toán (1.6) ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.9. Đối với bài toán y = Ay, A ∈ Cm×m nếu Re (λi ) ≤ 0 (với λi là
max |Reλi |

các giá trị riêng của A) với i = 1, ..., m và

i

min |Reλi |

1 thì bài toán gọi là bài

i

toán cương.
Bài toán 1.1. Bài toán Van der Pol

 y1 = y2


y2 = 1 − y12 y2 − y1 /ε
y1 (0) = 2, y2 (0) = 0

0 ≤ x ≤ 3.

(1.36)

Ta xét bài toán với ε = 10−3 . Ta lập trình chương trình thử nghiệm số để giải
bài toán Van der Pol bằng các phương pháp Gauss cấp 2 và cấp 4 (xem Bảng
1.5) trong môi trường Matlab. Sau đó, ta so sánh kết quả lời giải số của chương
trình trên với lời giải số của chương trình ode23s. Chương trình ode23s được
xây dựng dựa trên cặp công thức Rosenbrock cấp 2 và cấp 3 (xem [6]). Kết quả
các lời giải số của y1 thể hiện trong Hình 1.3. Sau 2000 bước với bước đi đều
h = 0.0015, phương pháp Gauss cấp 4 cho ta lời giải khá chính xác, còn lời giải
của phương pháp Gauss cấp 2 có nhiều sai số. Trong khi đó, nếu ta sử dụng
chương trình ode23s thì chỉ cần 450 bước với hmin ≈ 1.4629 × 10−6 , hmax ≈ 0.0431
ta đã có lời giải khá chính xác.
Bài toán 1.2. Bài toán cương Robertson


y1 = −0.04y1 + 104 y2 y3


 y = 0.04y − 104 y y − 3.107 y 2
2


y =

 3

1

2 3

2

3.107 y22

y1 (0) = 1; y2 (0) = 0; y3 (0) = 0, 0 ≤ x ≤ 40.

19

(1.37)


Hình 1.3: Lời giải của y1 khi ε = 10−3 bằng các phương pháp Gauss và chương trình ode23s.

Ta lập trình chương trình trong Matlab sử dụng các phương pháp Radau IIA

cấp 3 và cấp 5 (xem Bảng 1.6) với bước đi đều h = 0.01 để giải. Tiếp theo, ta
so sánh với lời giải của chương trình ode23t. Chương trình ode23t là chương
trình cải biên dựa trên công thức hình thang sử dụng các bước đi h thay đổi
(xem [6]). Các lời giải số của y2 thể hiện trong Hình 1.4. Sau 4000 bước với

Hình 1.4: Lời giải của y2 bằng các phương pháp Radau IIA cấp 3, cấp 5 và chương trình ode23t.

bước đi đều h = 0.01, lời giải của các phương pháp Radau IIA cấp 3 và cấp
5 có độ chính xác cao. Trong khi đó chương trình ode23t chỉ cần 44 bước với
hmax ≈ 4, hmin ≈ 2.0026 × 10−4 đã cho ta lời giải có độ chính xác cao.
20


Bài toán 1.3. Bài toán cương OREGO

y 1 = 77.27 y2 + y1 1 − 8.375.10−6 y1 − y2




1
y2 =

(y3 − (1 + y1 ) y2 )

77.27


y 3 = 0.161 (y1 − y3 )




(1.38)

y1 (0) = 1, y2 (0) = 2, y3 (0) = 3, 0 ≤ x ≤ 400.

Nhận thấy rằng đây là một bài toán rất cương, ta sử dụng chương trình ode23s
để giải. Lời giải số của y2 khi sử dụng chương trình ode23s thể hiện trong Hình
1.5. Mặc dù đây là một bài toán rất cương, chương trình ode23s chỉ cần thực
hiện 694 bước với hmax ≈ 9.6650, hmin ≈ 4.0532 × 10−4 .

Hình 1.5: Lời giải của y2 khi sử dụng chương trình ode23s.

1.4

Các loại chuẩn

Chuẩn vectơ
Định nghĩa 1.10. Xét vectơ y = (y1 , ...., yn )T , chuẩn Euclid của y (modulus của
y ) là
y =

y12 + ... + yn2 ,

(1.39)

nó thỏa mãn tất cả các tính chất thông thường của một chuẩn, ví dụ như bất
đẳng thức tam giác (1.40)
n

y+z ≤ y + z

yi ≤

,
i=1

21

n

yi .
i=1

(1.40)


Chuẩn Euclid cho bởi (1.39) không phải là duy nhất. Ngoài ra chúng ta còn
có các chuẩn cho bởi các công thức (1.41) và (1.42). Hơn nữa, người ta đã chứng
minh được rằng trong không gian hữu hạn chiều vai trò của các chuẩn là tương
đương nhau.
y = max (|y1 | , ... , |yn |) ,
(1.41)
y = |y1 | + ... + |yn | .

(1.42)

Chuẩn ma trận
Cũng giống như chuẩn của vectơ, ma trận cũng có một số chuẩn và các chuẩn
là tương đương.

Định nghĩa 1.11 (xem [2]). Cho Q là một ma trận (n cột, m hàng) và . là
một trong các dạng chuẩn (1.39), (1.41), (1.42). Chuẩn tương thích của ma trận
Q được định nghĩa bởi
Q = sup
v=0

Qv
= sup Qu .
v
u =1

(1.43)

Theo định nghĩa, Q là số nhỏ nhất sao cho
Qv ≤ Q

v

với mọi v.

(1.44)

Định lý tiếp theo sẽ đưa ra các cách tính (1.43).
Định lý 1.11 (xem [2]). Chuẩn của ma trận Q = (qki ) (k = 1, m, i = 1, n) được
tính bởi các công thức sau đây:
Với chuẩn Euclid (1.39),
Q =

Giá trị riêng lớn nhất của QT Q ;

(1.45)

Với chuẩn max (1.41),
n

Q = max

k=1,...,m

|qki |

;

(1.46)

|qki |

.

(1.47)

i=1

Với chuẩn (1.42),
m

Q = max

i=1,...,n

22

k=1


Chuẩn logarit
Xét bài toán Cauchy
y = f (x, y) ,

y (x0 ) = y0 .

(1.48)

Định lý 1.12 (xem [2]). Nếu f (x, y) là khả vi theo y trong một tập mở lồi U
và nếu
∂f
(1.49)
(x, y) ≤ L với (x, y) ∈ U
∂y

thì
f (x, z) − f (x, y) ≤ L z − y

với (x, y) và (x, z) ∈ U.

(1.50)

(Chuẩn ở (1.49) phụ thuộc vào chuẩn sử dụng trong (1.50).)
Điều kiện (1.50) được gọi là điều kiện Lipschitz. Bài toán còn có thể viết ở
dạng hệ phương trình vi phân sau


 y1 = f1 (x, y1 , ..., yn ) , y1 (x0 ) = y10
..
(1.51)
.
yn = fn (x, y1 , ..., yn ) , yn (x0 ) = yn0

Giả sử tồn tại n lời giải y1 (x) , ..., yn (x) và sử dụng phương pháp của Euler (xem
[2] Phần I.9) ta được
yk,i+1 = yki + (xi+1 − xi ) fk (xi , y1i , ..., yni ) k = 1, ..., n, i = 0, 1, 2, ...

(1.52)

yki được xấp xỉ bởi yk (xi ) và x0 < x1 < x2 .... Giả sử ta chọn được v (x) để
v i (x) = f (xi , yi ) với xi < x < xi+1 .

(1.53)

Với chuẩn bất kì ta xét sai số
m (x) = v (x) − y (x)

(1.54)

như là một hàm số theo biến x và cố gắng ước lượng sự phát triển của sai số
này. Vì m (x) không phải lúc nào cũng khả vi nên ta xét đạo hàm Dini được
định nghĩa bởi
m (x + h) − m (x)
h
h→0, h>0

(1.55)

m (x + h) − m (x)
h
h→0, h>0

(1.56)

D+ m (x) = lim sup
D+ m (x) = lim inf

23


Định lý 1.13 (xem [2]). Nếu hàm g (x, y) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện
Lipschitz thì

D+ m (x) ≤ g (x, m (x)) 
D+ u (x) ≥ g (x, u (x))
⇒ m (x) ≤ u (x) với x0 ≤ x
(1.57)

m (x0 ) ≤ u (x0 )

là đúng với các hàm liên tục m (x) và u (x).
Định nghĩa 1.12. Cho Q là một ma trận vuông, khi đó ta gọi
µ (Q) =

lim

h→0,h>0

I + hQ − 1
h

(1.58)

là chuẩn logarit của Q.
Định lý 1.14 (xem [2]). Chuẩn logarit (1.58) thu được bằng các công thức sau:
Với chuẩn Euclid (1.39),
µ (Q) = λmax = giá trị riêng lớn nhất của

1 T
Q +Q ;
2

(1.59)

Với chuẩn max (1.41),

µ (Q) =

max

k=1,2,...,n


|qki | ;

qkk +

(1.60)

i=k

Với chuẩn (1.42),

µ (Q) =


|qki | .

max qii +

i=1,2,...,n

(1.61)

k=i

Ví dụ 1.4. Cho ma trận
Q=

1 0 0
2 1 2
1 0 1

.

Với chuẩn Euclid, µ (Q) = giá trị riêng lớn nhất của

1 T
Q + Q ≈ 2.6861. Với
2

chuẩn max, µ (Q) = 5. Với chuẩn (1.42), µ (Q) = 4.
Nhận xét 1.3. Với Q ∈ Cn×n , các công thức trên vẫn đúng nếu ta thay thế QT
bởi Q∗ và qkk , qii bởi Reqkk , Reqii .

24