13 đề thi online ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY –
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi:
- Biết vận dụng các công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay.
- Phân biệt được bài toán vật thể tròn xoay xoay quanh trục Ox với bài toán vật thể tròn xoay xoay quanh trục
Oy.
- Luyện tập các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần.
- Luyện tập cách vẽ một số đồ thị hàm số đơn giản.
Cấu trúc đề thi:
Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm được phân thành 4 cấp độ:
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
6

6

6

2

Câu 1 (Nhận biết) Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay
tạo thành được tính theo công thức nào ?
b

A. V    f  x   g  x   dx.
2

a

b

B. V   . f 2  x   g 2  x  dx.
a

b

C. V   .  f  x   g  x   dx.
2

a

b

D. V   . f  x   g  x  dx.
a

Câu 2 (Nhận biết) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong,
giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox.
b

A. V    f

2

 x  dx.

a

b

B. V   f

2

 x  dx.

a

b

C. V    f  x  dx.
a

b

D. V   f  x  dx.
a

Câu 3 (Nhận biết) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng

x  0, x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V  2   1 .

B. V  2   1 .

C. V  2 2 .

D. V  2 .

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 4 (Nhận biết) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng
x  0, x  1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. V 

 e2
2

B. V 

.

  e2  1
2

.

e2  1
C. V 
.
2

D. V 

  e2  1
2

.



Câu 5 (Nhận biết) Cho hình phẳng giới hạn bởi D   y  tan x; y  0; x  0; x   . Thể tích vật tròn xoay
3




khi D quay quanh trục Ox là V    a   , với a, b  R. Tính T  a 2  2b.
b

A. T  6.

B. T  9.

C. T  12.

D. T  3.

Câu 6 (Nhận biết) Tính thể tích khi S   y  x 2  4 x  6; y   x 2  2 x  6 quay quanh trục Ox.
A. V  3.

B. V 


3

.

C. V   .

D. V  3 .

Câu 7 (Thông hiểu) Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục

Ox và parabol  P  : y  x 2  ax

 a  0

 3
B. a  1;  .
 2

1 
A. a   ;1 .
2 

bằng V  2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
3 
C. a   ; 2  .
2 

 5
D. a   2;  .
 2

Câu 8 (Thông hiểu) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , y   x và x  4. Thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục hoành là V 

a
a
là phân số tối
, với a, b  0 và
b
b

giản. Tính tổng T  a  b.
A. T  44.

B. T  36.

C. T  50.

D. T  24.

Câu 9 (Thông hiểu) Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y  2  x , y  x, y  0 xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây ?
1

2

0

1

A. V     2  x  dx    x 2 dx.
1

2

0

1

C. V    x dx    2  x dx.

1

B. V     2  x  dx.
0

1

2

0

1

D. V    x 2 dx     2  x  dx.

Câu 10 (Thông hiểu) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y   x 2  2 x và y  0 . Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục Oy là
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


7

A. V   .
3

8
B. V   .
3

C. V 

10
.
3

D. V 

16
.
3

Câu 11 (Thông hiểu) Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

 C  : y  ln x,

trục Ox và đường thẳng x  e có dạng   e  a  . Khi đó a bằng:

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

x2 y 2
Câu 12 (Thông hiểu) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường  E  : 
 1 quay
16 9
quanh Oy ?
A. V  36 .

B. V  24 .

C. V  16 .

D. V  64 .

Câu 13 (Vận dụng) Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 có thiết diện bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  3 là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng
x và 2 9  x 2 , bằng

A. V  3.

B. V  18.

C. V  20.

D. V  22.

Câu 14 (Vận dụng) Hình phẳng C giới hạn bởi các đường  P  : y  x 2  2 x  2, trục tung và tiếp tuyến của

P

tại điểm M 1;5  , khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích có dạng V 

a
a
, với
là
b
b

phân số tối giản. Khi đó S  a  b có giá trị bằng :
B. – 2

A. 2

C. 1

D. 8

Câu 15 (Vận dụng) Cho hàm số bậc hai y  f  x  có đồ thị
như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  và

Ox xung quanh Ox.
A.

16
.
15

B.

16
.
5

C.

12
.
15

D.

4
.
3

Câu 16 (Vận dụng) Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ,

y   x  2 , y  0 quay quanh trục Oy, có giá trị là kết quả nào sau đây ?

1
A. V   .
3

3
B. V   .
2

C. V 

32
.
15

D. V 

11
.
6

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 17 (Vận dụng) Kí hiệu  H  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x  1 e x , trục tung
và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

H 

xung quanh trục Ox là

V   e a  b   , với a, b là các số nguyên. Tính P  2a 2  b.

A. P  3.

B. P  5.

C. P  7.

D. P  9.

Câu 18 (Vận dụng) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y   4  x 2 , x 2  3 y  0
quay quanh trục Ox là V 
A. T  33.

a 3
a
, với a, b  0 và
là phân số tối giản. Tính tổng T  a  b.
b
b

B. T  31.

C. T  29.

D. T  27.

Câu 19 (Vận dụng cao) Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  C  có phương trình x 2   y  2   1 khi
2

quanh trục Ox.
A. V  6 2 .

B. V  4 2 .

C. V  2 2 .

D. V  8 2 .

Câu 20 (Vận dụng cao) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox. Đường thẳng
x  a  0  a  4  cắt đồ thị hàm số y  x tại M (hình vẽ

bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam
giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V  2V1. Khi đó

5
A. a  .
2

B. a  3.

C. a  2 2.

D. a  2.

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1B

2A

3B

4D

5B

6D

7C

8A

9D

10B

11A

12D

13B

14D

15A

16C

17A

18A

19B

20B

Câu 1.
Phương pháp:
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b quanh trục
b

Ox là: V   . f 2  x   g 2  x  dx.
a

Lời giải.
b

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức V   .  f 2  x   g 2  x   dx.
a

Chọn B.
Câu 2.
Phương pháp:
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
b

Công thức tính thể tích V cần tìm là V    f 2  x  dx.
a

Chọn A.
Câu 3.
Phương pháp:
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!




Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức V    f 2  x  dx.
0







2  sin x



2

0





dx     sin x  2  dx    2 x  cos x  0    2  1    2   1 .
0

Chọn B.
Câu 4.
Phương pháp:
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
1

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức V    f 2  x  dx.
0

1

   e



x 2

0

1

dx    e2 x dx. Đặt t  e2 x  dt  2e2 x dx  e2 x dx 
0

dt
và đổi cận
2

x  0  t  1
.

2
x  1  t  e

dt 
 e2   e  1
.
Khi đó V      dt  . t 1 
2

2
2
2
1
1
e2

Vậy V 

  e2  1
2

2

e2

.

Chọn D.
Câu 5.
Phương pháp:
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.




 1

 1 dx.
Thể tích vật tròn xoay cần tính là V    tan x dx    
2
cos x 
0
0
3

3

2

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!






a  3


   tan x  x  03    3      a   

.
3

3



b  3

Vậy T 

 3

2

 2.3  9.

Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số tìm ra các cận x = a và x = b.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
x  0
.
Hoành độ giao điểm của hai parabol là x 2  4 x  6   x 2  2 x  6  
x  1
1

Thể tích vật tròn xoay cần tính là V     x 2  4 x  6     x 2  2 x  6  dx
2

2

0

1

   12 x3  36 x 2  24 x  dx    3x 4  12 x3  12 x 2   3 .
1

0

0

Chọn D.
Câu 7.
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox, tìm ra các cận x = a và x = b.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
x  0
.

Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và Ox là x 2  ax  0  
x  a
a

a

Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi V     x  ax  dx     x 4  2ax 3  a 2 x 2  dx
2

0

2

0

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a

 x5 ax 4 a 2 x3 
 a5
60  3 
 a5
V

2

2a 5
 ;2 .

Mặt
khác
  


.

30
  2 
2
3  0 30
 5
Chọn C.
Câu 8.
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: V   . f 2  x  dx.
a

Đưa tích phân cần tính về dạng V 

a
, và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng a + b.
b

Lời giải.

x   x  x  0.

Phương trình hoành độ giao điểm của y  x , y   x là
4

Khi đó, thể tích cần tính là V   
0

 
x

2

4

   x  dx    x  x 2 dx
2

0

4

1

4

1

1

0

1

0

   x  x 2 dx    x  x 2 dx     x 2  x  dx     x  x 2  dx
 x3 x 2  4
 x 2 x 3  1 41 a
a  41
         


.
b

3
3
2
2
3
3
b


1

0

Vậy T  44.

Chọn A.
Câu 9.
Phương pháp :
Tìm đầy đủ các giao điểm, chia tích phân cần tính thành các tích phân thích hợp.
Lời giải.

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


0  x  2
2x  x  
 x  1; 2  x  0  x  2
2
2  x  x

Xét các phương trình hoành độ giao điểm :

Thể tích vật tròn xoay cần tìm là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hai hình phẳng

 H1  :  y  x; x  0; x  1 và  H 2  :  y 



2  x ; x  1; x  2 .

1

2

Vậy thể tích khối tròn xoay là V    x dx     2  x  dx.

2

0

1

Chọn D.
Câu 10.
Phương pháp :
Rút hàm số theo biến y, x  f  y  ; x  g  y  .
Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận y = a và y = b.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm
b

số x  f  y  , x  g  y  , y  a, y  b là V   f 2  y   g 2  y  dy .
a

Lời giải.

 x  1 1 y
2
.
Ta có y   x 2  2 x   x  1  1  y  
 x  1  1  y
Xét phương trình tung độ giao điểm 1  1  y  1  1  y  1  y  0  y  1 .
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1



Khi đó, thể tích cần tính là V    1  1  y

 
2

 1 1 y



2

0

1

dy    4 1  y dy
0

Đặt 1  y  t  1  y  t 2  dy  2tdt
y  0  t  1
Đổi cận: 
y  1  t  0
0

1

t3
Khi đó V   4t.2tdt  8 t dt  8 

3
1
0

1



2

0

8
3

Chọn B.
Chú ý và sai lầm: Học sinh cần phân biệt bài toán xoay quanh trục Ox và xoay quanh trục Oy.
Câu 11.
Phương pháp :
Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox là ln x  0  x  1.
e

e

e

1

1

1

Khi đó, thể tích cần tính là V    ln 2 x dx    x ln 2 x     x d  ln 2 x .
ln x

e
e




e
u  ln 2 x
dx
du  2

 V    x ln 2 x  2  ln xdx    e  2  ln xdx 
Đặt 
x
1
dv  dx
1

1




 v  x
dx

e
e
u  ln x
e
e
e
du 

Đặt 
x   ln xdx  x ln x 1   dx  x ln x 1  x 1  e  e  1  1
dv  dx
1
1
 v  x

Vậy I    e  2   a  2
Chọn A.
Câu 12.
Phương pháp :
Rút hàm số đã cho theo biến y : x  f  y  , Vẽ hình và xác định các đường giới hạn.
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm
b

số x  f  y  , x  g  y  , y  a, y  b là V   f 2  y   g 2  y  dy .
a

Lời giải.

 y2 
x2 y 2
4

 1  x 2  16 1    x  
9  y2
16 9
9
3



Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị  E  với Oy là

 y  3
0 y2

1 
.
16 9
y  3

Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x 

4
9  y2 , đường thẳng x = 0,
3

3

3
16
16 
y3 
y = 3, y = 0 quanh trục Ox là: V 
  9  y 2  dy 
  9y    32 .
9 0
9 
3 0

Khi đó thể tích cần tìm là 2V  64 .
Chọn D.
Câu 13.
Phương pháp :
Áp dụng công thức tính thể tích của vật thể biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
b

Ox tại điểm có hoành độ x, đường thẳng x = a và x = b là V   S  x  dx .
a

Lời giải.
Diện tích hình chữ nhật có hai cạnh bằng x và 2 9  x 2 là 2 x 9  x 2 .
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3

Suy ra thể tích của vật thể cần tính là V   2 x 9  x 2 dx.
0

x  0  t  3
.
Đặt t  9  x2  x2  9  t 2  x dx   t dt và đổi cận 
x  3 t  0
0

3

3

2
Vậy thể tích V   2 t 2 dt  2 t 2 dt  t 3  18.
3 0
3
0
Chọn B.
Câu 14.
Phương pháp :
Xác định phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số (P) tại điểm M(1 ; 5) là : y  y ' 1 x  1  5
Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
Ta có y '  2x  2  y ' 1  4 .
Khi đó tiếp tuyến của parabol  P  tại M 1;5 có phương trình là  d  : y  4  x  1  5  4 x  1
Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  là x 2  2 x  2  4 x  1  x  1.
1

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V     x 2  2 x  2    4 x  1 dx.
2

2

0

1

 x5

8 x3
23
   x  4 x  8 x  3 dx     x  4 x  8 x  3 dx     x 4 
 3x  
.
3
15

 5
0
0
0
1

1

4

3

2

4

3

2

a  23

 S  a  b  23  15  8.
b  15
Chọn D.
Câu 15.
Phương pháp:
Xác định hàm số của parabol (P) : y  ax 2  bx  c .
Xác định các đường giới hạn của hình phẳng sinh ra khối tròn xoay.
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
Gọi phương trình hàm số bậc hai là y  ax 2  bx  c có đồ thị là  P  .
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy  P  đi qua các điểm O  0;0  , A 1;1 , B  2;0  .

c  0
a   1


Khi đó, ta có a  b  c  1  b  2   P  : y  f  x   2 x  x 2 .
4a  2b  c  0 c  0


2

2

0

0

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V   . f 2  x  dx   .  2 x  x 2  dx.
2

2

 x5
4 x3 
16
    x  4 x  4 x  dx     x 4 
.
 
3  0 15
 5
0
2

4

3

2

Chọn A.
Câu 16.
Phương pháp :
Xét đầy đủ các phương trình hoành độ giao điểm.
Vẽ hình và suy ra thể tích cần tính.
Lời giải.
y  0
Ta có y  x  
và y  2  x  x  2  y.
2

x  y
y 1
.
Xét phương trình y 2  2  y  y 2  y  2  0  
y  2

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được
tô vàng trong hình vẽ bên quanh trục tung.
1

1
2
 y5 y3

32
2
Vậy V     2  y    y 2   dy     y 4  y 2  4 y  4  dy      2 y 2  4 y  
.


15
 5 3
0
0
0
1

Chọn C.
Câu 17.
13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2  x  1 e x  0  x  1 .
1

1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là V     2  x  1 e x  dx  4   x 2  2 x  1 e 2 x dx.
2

0

0

1
du   2 x  2  dx
2
2x
2
1
x


2
x

1
e

u

x

2
x

1


1


2x
2
x
Đặt 


I


x


1
e
d
x


 I0



e

2x
2
2
d
v

e
d
x
v


0


0


2
1
du  dx
1
2x 1
u  x  1
x  1 e 2 x

1
1
e
3  e2

2
x
2x  I 


e
d
x



.
Đặt 

e
0
0

2x
2
2
2
4
4
v

dv  e dx

0
0

2

1

Vậy I    x 2  2x  1 e 2 x dx 
0

e2  5
 V  e 2  5   
4

a  2
 P  2.2 2  5  3.

b

5



Chọn A.
Câu 18.
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là:
b

V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.

x2
x  3y  0  y  
3
2

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

 4  x2  

0  x 2  4
x2

 3 4  x2  x2   4
 x 2  3  x   3.
2
3


 x  9 x  36  0

14 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3



Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là V  

 3


x4
x3 x5 
   4  x  
dx    4 x   
9
3 45  

 3
3

3

4 x



2

2

 x2 
    dx.
 3


3  28 3
 2  4 3  3 
 
5
5



2

Vậy V 



2

3

a  28
28 3 a 3



 T  a  b  28  5  33.
5
b
b  5

Chọn A.
Câu 19.
Phương pháp:
Rút các hàm số theo biến x: y  f  x  và y  g  x  .
Xác định các đường giới hạn.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y  f  x  , x  a, x  b quanh trục Ox là: V   . f 2  x  dx.
a

Lời giải.
Xét  C  : x 2   y  2   1 có tâm I  0; 2  , bán kính R  1. Như vậy
2



Nửa  C  trên ứng với 2  y  3 có phương trình y  f1  x   2  1  x 2 với x   1;1 .



Nửa  C  dưới ứng với 1  y  2 có phương trình y  f 2  x   2  1  x 2 với x   1;1 .

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là




V     2  1  x2
1 
1

  2 
2

1 x

2




2
 dx  8  1  x dx.
1
1

2



 x  1 t   2
.

Đặt x  sin t  dx  cos t dt và đổi cận 
 x  1 t  

2


Khi đó V  8

2





2





 1
2
cos 2 t .cos t dt  4  1  cos 2t  dt  4  t  sin 2t   4 2 .
 2
 

2



2

2

Chọn B.
15 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 20.
Phương pháp:
Tính các thể tích V và V2. Sử dụng giả thiết V = 2V2 tìm a.
Lời giải.
Vì V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0 và x  4
4

quanh trục Ox V   
0

 
x

2

4

dx    x dx  8  V1  4 .
0

Gọi N là giao điểm của đường thẳng x  a và trục hoành. Khi đó V1 là thể tích tạo được khi quay hai tam giác

OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH . và MN  a
Tam giác OMN xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính bằng
MNH xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính bằng

1
Vậy V1   a
3

 a

2

1
  4  a
3

 a

2



a và chiều cao bằng a, tam giác

a và chiều cao bằng 4 – a.

4
a  4  a  3.
3

Chọn B.

16 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!