Đề cương GT 3 2018 nhom 1 MI1131 áp dụng từ 06 2018

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học-2018

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi). Nhóm 1: Mã MI1131.
Áp dụng từ 06-2018
Kiểm tra giữa kì: Tự luận

Kiểm tra cuối kì: Tự luận

I)
CHUỖI
1. Tính tổng của các chuỗi số sau:
1

a)

n(n

n 1

b)

1)

9
10

9
102

9
10n

arctan

c)

1
n n2

1

n 1

2. Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số sau:
a)
n

2n
1 4n

3
5

b)

sin

1
n2

e)

d)
n 1

g)
n

n

n 1

n
n

h)
n 1

n

n

sin n
2
1 n

c)

1

f)

e

k)
n

1
n

1
sin
n

sin

l*)

t)
n

n 2

( 1)n n
2
1
2 n

u)

y)

( 1)n

n

1
n 2 ln

2

n

cos

n

n

1
cos
n

n2
n 1

n 2 3

z)

n2

3

( 1)n n 4

1
ln ln n

n 5 (ln n )

1
n

n2

n3

ln n
n
sin
2
1 n

( 1)

w)

n

e n .n !
n
2 n

n

( 1)
n 2

o)
r)

n 2

1
1
n
1 5

n

1
ln n !

q)

n

n 10

n
1 2

n

3

1
2

n

l)
2

n
n

2
2 ln n

i)

n 1

n

v)

n 1

3n (n !)2
1 (2n )!

n2

1
2

1
2
2 n ln n

p)

n

1
n2

n 1

ln n
2
2 n

m)

s)

n 1

(3n 1)!
n 2 8n
1

j)

cos

1

n

x)

n2 1

1

n 1

z ')

sin

n2

1

n 1

1


3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau:
x
sin(nx )
a)
b)
n
e nx
n 1 x2
n 1
1
1

d)

xn

n 1

1
n

x

g)
n 1

n 1

n

h)
n 1

n

(n 2)x n
n2 1
1

n

nx 2n 3
n
1
1 2

n

(n !)3 n
x
1 (3n )!

j)
m)
p)

n

xn

e)

1

c)

x 2n 1
1

x

n

1 x
2
x
1 n

n

xn
1 n!

n

xn
3
1 n

k)
n)

e

( 1)n
nx
1

nx

f)

( 1)n
n

n 1

1
n

lnn x

1
1

i)

xn

1
2 xn

n
2n

1
xn
3

n

n 1

n

l)
n 1

n

xn

o)
n 1

2n

3n

2

q)

(sin n )x n

r)
n 1

4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số trên các tập tương ứng:
n

xn

a)
n 1

(x 2

1)n

,x

b)
n

sin(nx )
d)
,x
2
2
n
x
n 1
xn
,x
e)
f)
n
!
n 1
5. Tính tổng của các chuỗi số, chuỗi hàm số sau:

1 2x 1
,x
n
x 2
1 2

nx n , x

a)

( 1;1)

n 1

d)
n 1

x
4n

3

,x

( 1;1)

n

( 1)n
,x
2
n
x
1

c)

n

f)

n

1
1 (2n )!!

4n 3

e)

( 1)n 1
xn
h)
g)
,x
2
n 1 3n
n 1 (2n )!
6. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin:

(0;1]

n 1

( 1)n 1
1)3n
1 (2n

b)

x )x n , x

(1

c)

1;1

n

xn 1
,x
n
(
n
1)
1

n 1

i)
n

2n
n2

( 1;1)

1 n
x ,x
n

nx n 1

,x
1
1 n

( 1;1)

( 1;1)

2


2x

a) y

x

d) y

2

4

b) y

3x

c) y

2

1
x

x2

x sin2 x

e) y

ln(1

x

f) y

2x 2 )

1
4 x2
arcsin x

1

7. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x 0 tương ứng):
1

x
, x0 1
2x 3

3
8. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier:
a) y x, x [
; ]
b) y
x ,x [
; ]

a) y

d) y

, x0

x, x

10

4

b) y

(5;15)

e) y

sin x

II) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
9. Giải các phương trình vi phân sau:

a) y ' 1 x y xy
c) 2y(x 2
e) xy '

(y 2

4)dy

x sin

y
x

b) y '

1)dx

y

m) (x 2

x )dy

y )dx

h) (x 2

o) (2xy 2

3y 3 )dx

f) y

x(

[
x ), x

; ]
(0; )

y )2

y
x 2y 4, y(1) 2
x
2
l) 3xy y ' y 3 x, y(1) 3.

j) y '

ydx

(2y

x 2, x

4

y x

1
x y
x y 2
x y 4
1)y ' xy 1

f) y '

4
y 4x 7
x
i) (2xy 3)dy y 2dx

x , x0

c) y

(x

d) y '

g) y '

k) (x 2y 2

c) y

sin

n) e ydx

x )dy
(3xy 2

y )dy

p) y

(xe y

2y )dy

xy ' y ' y ' ln y '

10. Giải các phương trình vi phân sau:
a)

(1
y(0)

c) 2yy '

x 2 )y '' xy '

2,

0, y '(0)
y'

2

e) y '' 3y ' 2y

0.
1

0

b)

(1
y(0)

1, y '(0)

2xy '
x2 1
f) y '' 2y ' y

d) y ''

2

x )y '' x y '

y ',

2.
2y
x2

0

1

0, (y1

x)
3


g) y '' 4y ' 13y

0

h) y '' y

ex 1
j) y '' 4y ' 3y (15x

ex
i) y '' 2y ' y
x
k) y '' y 4 x 1 ex .

l) y '' 2y ' y

m) y '' 2y ' 2y 8 cos x
o) y '' y 2 cos x cos2x
q) y ''
s)

y'
x

y
x2

sin x.

37)e

2x

4)e x

(12x

200 sin 2 x.

n) y '' 3y ' 4y
p) x 2y '' 3xy ' 4y

x 3, y(1)

1, y '(1)

2

r) (2x x 2 )y '' 2(x 1)y ' 2y
2 biết

nó có hai nghiệm riêng y1 1, y2 x .

2
x

y ''
2
x y
3
y'
y'
(coi x x (y ) )

ex

e y cos y,

t) (x 2

4y

1)y '' 2xy '

x

2

Với phép đổi biến x

2x

(x

1

2

tan t, ( t

1)2
2

)

11.Giải các hệ phương trình vi phân sau:
a)

c)

dy
dx
dz
dx
dx
dt
dy
dt

5y

4z

4y

5z

dy
b) dx
dz
dx
dx
d) dt
dy
dt

y
x

y
x

x

y

y

5z
y

3z

x

1
cos t

y

III) PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE
12. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau:

a ) f (t )

t

b) f (t )

e 3t

1

c) f (t )

sinh(kt )

d ) f (t )

sin2 t

13. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:

a) f (t )
d) f (t )
g) f (t )

3t

b) f (t )

t

2e 3t

cos2 (2t )

e) f (t )

(t

1)3

t

2 sin 3t cos 5t

h) f (t )

sinh2 3t

c) f (t )

1

cosh(5t )

f) f (t )

2 sin x

i) f (t )

t 4e

3

t

4


j) f (t )
m) f (t )
p) f (t )

e

2t

sin 3t

(t

e 2t )2

e 2t

1
t

l) f (t )

t

k) f (t )

e sin t

n) f (t )

te 2t sin 3t

q) f (t )

sinh t
t

4

m) F (s )
p) F (s )
s) F (s )

1
s 2 (s 2

k) F (s )

1)

1
s 2 4s 4
5 2s
s 2 7s 10
1
s 4 16

n) F (s )
q) F (s )
t) F (s )

s(s

sin t
t
1 cos 2t
t

o) f (t )
r) f (t )

14. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau:

1 2
3
b) F (s )
a) F (s )
5
4
s s2
s
5 3s
10s 3
d) F (s )
e) F (s )
2
s
9
25 s 2
1
1
h) F (s )
g) F (s )
2
2
s(s
4)
s
3s
j) F (s )

sin t )2

(t

3

c) F (s )

s

2e 3s
s
1
2 2
s (s
1)

f) F (s )
i) F (s )

1
1)(s

3

l) F (s )

2)

3s 5
s 2 6s 25
1

s 3 5s 2
s 2 2s
s 4 5s 2 4

4

2s

4

1

o) F (s )

s

2

4
1

r) F (s )

s3

1
s2 3
(s 2 2s 2)2

u) F (s )

1
2s
s2 1
x) F (s )
w) F (s ) ln 2
2
s
(s
1)2
s
4
15. Giải các phương trình, hệ phương trình vi phân sau với các điều kiện ban đầu:

v) F (s )

a)
c)
e)

x (3)
x (0)
x (4)
x (0)

arctan

x '' x ' x
x '(0)
16x

e 2t ,

x ''(0)

b)

0.

240cost,

x '(0)

x ''(0)

x (3)

2x ' 4x

et ,

x (0)

x '(0)

x ''(0)

x (3)(0)
0.

0.

d)
f)

x (3)

6x '' 11x ' 6x

x (0)
x (4)
x (0)

x '(0)

0, x ''(0)

8x '' 16x

0,

x '(0)

tx '' (t
x (0)

0,

0, x (3)(0)

x ''(0)

2)x ' x

2.
1.

0,

0.

5


g)
i)

k)

tx '' (4t
x (0)

1)x ' 2(2t

1)x

2x

y, x (0)

y'

6x

3y, y(0)

2

y

y '' x ' y ' 4x

2y

m) x '' x
f (t )

y(0)

cos t, 0

o) x '' 4x ' 4x
x '(0)

0,

l)

t

x '(0)

t

0, với

2

f (t ), x (0)

2)x ' (13t

x' y' y

t, 0

t

2

0

2y

0,

y(0)

0,

0,

t

2.

3

0,

1, y '(0)

n) x '' 4x

x '(0)

0,

1

0, y(0)

4y

y '' x
x (0)

0, x (0)

1.

f (t ), x (0)
1, 0

t

0,

t

p) x '' 4x ' 5x

0,

4)x

0.

x ' 2y ' x

f (t )

2 .

0 , với f (t )

x (0)

x '(0)

3.

f (t ), x (0)

tx '' (4t

x '' 2x

0,

1,

y '(0)

0,

j)

3

x '' x ' y ' 2x

x '(0)

h)

0.

x'

x (0)

0,

0 , với f (t )

x '(0)

0, với

.

f (t ), x (0)

0,

1, 0

t

2

0,

t

2.

NHÓM PHỤ TRÁCH BIÊN SOẠN ĐỀ CƯƠNG

BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

6