Tổ 6 d2 hsg hà tĩnh

Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
SỞ GDĐT HÀ TĨNH – NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT

ĐỀ BÀI
Câu 1. ( 5.0 điểm)

3
2
2
C  1;4 
C 
a. Cho hàm số y  x  3mx  4m  2 có đồ thị m và điểm
. Có bao nhiêu giá trị
C 
nguyên của m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC
bằng 4?
b. Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup
2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí
hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm
ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau.
Câu 2. ( 5.0 điểm)
log 2018 x  log 2019 y  1
�
�
�

log x  log 2018 y  m
m
a. Tìm các giá trị của
để hệ phương trình sau có nghiệm � 2019
.

b. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên
9
1
f ( 3)  8, f (4)  , f (2) 
2
2.
� có
Biết rằng hàm số y  f '( x ) có đồ thị
như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số
2
y | 2 f ( x )   x  1 |
có bao nhiêu điểm
cực trị?

Câu 3. ( 5.0 điểm)
B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A�
a. Cho hình lăng trụ ABC. A���
lên mp

 ABC 

trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA�

a 3

và BC bằng 4 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a .
b. Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là h. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là

h1 

3

7
h
2
( hình H1 ). Ta bịt kín miệng phễu

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

rồi lật ngược phễu lên ( hình H 2 ), gọi chiều cao của cột nước trong phễu ở hình H 2 là k . Tính
k
h .
Câu 4. ( 5.0 điểm)

a. Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) như hình vẽ.

x

y

2

 4 x  3 x 2  x

2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
�

Hỏi đồ thị hàm số
nhiêu đường tiệm cận đứng?

có bao

b. Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  70 km , chiều rộng

AD  10 km . Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh
CD thì vận tốc là 40 km/h . Một người đi xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng và muốn đến B
sau 3h nữa. Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển
trên khu đất tư A đến B để hết ít thời gian nhất.
..............................................................Hết........................................................

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. ( 5.0 điểm)

3
2
2

C  1;4 
C 
a. Cho hàm số y  x  3mx  4m  2 có đồ thị m và điểm
. Có bao nhiêu giá trị
C 
nguyên của m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC
bằng 4?

Lời giải
x0
�
y '  3x 2  6mx  0 � �
.
x  2m
�
TXĐ: D  � . Ta có:
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì điều kiện là: m �0 (*).
Tọa độ hai điểm cực trị là:

A  0;4m 2  2  , B  2m;  4m3  4m 2  2 

.

Phương trình đường thẳng AB : 2m x  y  4m  2  0
6  2m 2
uuu
r
d  C ; AB  
2
AB

  2m; 4m 3  � AB  4m 2  16m6  2 m 1  4m 4
1  4m ;
m  �1
�
1
S ABC  d  C ; AB  . AB  6m  2m 3  4 � �
(tm(*)).
m  �2
2
�
Do đó:
Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

2

Câu 1.
b. Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup
2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí
hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm
ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau.
Lời giải
5
Số phần tử trong không gian mẫu là n()  C10  252 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2

Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

Gọi C là biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau”.
TH 1: Đội tuyển Việt Nam ở bảng A, đội tuyển Thái Lan ở bảng. Số cách xếp thỏa mãn là
C84  70 .
TH 2: Đội tuyển Việt Nam ở bảng B, đội tuyển Thái Lan ở bảngA. Số cách xếp thỏa mãn là
C84  70
.
Số phần tử của biến cố C là n(C )  140 .
Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau là
n(C) 140 5
P (C ) 


n() 252 9 .
Câu 2.
log 2018 x  log 2019 y  1
�
�
�
log x  log 2018 y  m
a.Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm � 2019
.
Lời giải
log 2018 x  log 2019 y  1
(1)
�
�

�
� log 2019 x  log 2018 y  m (2)
Điều kiện: x; y �1 .
Đặt t  log 2019 y ; 0 �t �1 .
log 2018 x  1  t
�x  20181t
�
�
��
�
�
t
t
�y  2019
�y  2019

Phương trình (2)
Xét

.

� (1  t )log 2019 2018  t log2018 2019  m

f  x   (1  t ) log 2019 2018  t log 2018 2019 ;0 �t �1

f�
 x 

 log 2019 2018
2 (1  t )

f�
 x  0 �



log 2019 2018
(1  t )

log 2018 2019
2 t


.

log 2018 2019
t

� t.log 2018 2019   1  t  log 2019 2018
�t

Ta có

.

.

log 2019 2018
 t0
log 2018 2019  log 2019 2018

f  0   log 2019 2018

f  1  log 2018 2019

.

.

f  t0   log 2019 2018  log 2018 2019
Yêu cầu bài toán

  log 2019 2018
�
ۣ

.
m

log 2019 2018 log 2018 2019

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

.
Trang 3


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

Câu 2.
9
1
f ( 3)  8, f (4)  , f (2) 
2
2 . Biết rằng hàm số
2
y  f '( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số y | 2 f ( x )   x  1 | có bao nhiêu
điểm cực trị?

b. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên � có

Lời giải
Tác giả: Tô Minh Trường; Fb: Tô Minh Trường
Đặt

g ( x )  2 f ( x )   x  1

2

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y | g ( x ) | bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
y  g ( x ) và số nghiệm của phương trình g (x)  0 không trùng với điểm cực trị.
Ta có.

g '( x )  2 f '( x )  2  x  1  2[ f '( x )   x  1 ]

.
y


f
'(
x
)
y

x

1 ta được:
Tư đồ thị hàm số
và đường thẳng
x  1
�
�
x 1
g '( x )  0 � �
x2
�
�
x3
�
Bảng biến thiên

Ta thấy hàm số y  g ( x ) có 3 điểm cực trị. Theo giả thiết

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4

Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

f ( 3)  8 � g ( 3)  2 f ( 3)  16  0
1
f (2)  � g (2)  2 f (2)  1  0
2
9
f (4)  � g (4)  2 f (4)  9  0
2
Tư đó suy ra phương trình g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác các điểm cực trị của hàm số
2
y  g ( x ) .Vậy hàm số y | 2 f ( x )   x  1 | có 5 điểm cực trị.
Câu 3.
B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A�
a. Cho hình lăng trụ ABC. A���
lên mp

 ABC 

trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA�

a 3
và BC bằng 4 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a .
Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AA�
.

I  � BC  IH
G; BC  AI nên suy ra BC   AA�
Ta có BC  A�
.

Suy ra

d  AA�
, BC   IH 

G  h . Ta có:
Đặt A�

a 3
4 .

A�
G. AI  IH . AA�
� h.

a 3 a 3
a2
a
2

. h 
�h 
2
4
3

3.

a a 2 3 a3 3
VABC . A���

h
.
S

.

BC
ABC
3 4
12 .
Vậy
Câu 3.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

b. Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là h. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
3

7
h
2
sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là
( hình H1 ). Ta bịt kín miệng phễu
rồi lật ngược phễu lên ( hình H 2 ), gọi chiều cao của cột nước trong phễu ở hình H 2 là k . Tính
k
h .
h1 

Lời giải

Cho hình chóp như hình vẽ bên.
Đặt SO1  h1 ; SO  h; AO1  r1 ; CO  r .
SO1 AO1
h r

t� 1  1 t
h r
Ta có SO CO
Gọi V1;V2 lần lượt là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay SA; SC quanh trục SO1
Ta có
1
�
V1   r12 h1 �
2
� V1 �r1 �h1 3
3
�


�
� t
1 2 � V �
r �h
�
V1   r h
�
3
Áp dụng kết quả trên ta có :
3

Thể tích phần chứa nước là

3
V1 �h1 � �3 7 � 7
7
 � � � � � V1  V
V �h � �2 � 8
8

1
V2  V
8 . Chiều cao của phần phễu không chứa nước
Suy ra thể tích phần không chứa nước là
3

V2 �h  k � 1
h
k 1
�

 � 2 h  k  h � k 

�
2 . Vậy h 2 .
trong hình H 2 là h  k . Ta có V � h � 8
Câu 4.
a. Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) như hình vẽ.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

x
y

2

 4 x  3 x 2  x

2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
�

Hỏi đồ thị hàm số

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Lời giải

y

x

Tác giả:Lê Thị Mai Hoa ; Fb: Mai Hoa

 4 x  3 x  x
2

2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
�

Xét hàm số:
Điều kiện để

2

(1)

x �1
�
2
x

x

�
0
�
�
x �0 (*)
x 2  x có nghĩa khi
�

a �1
�
�
a �0 .
Vậy: Nếu x  a là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (1) thì: �
Xét các phương trình:
2
1) x  4 x  3  0 � x  1 �x  3 . ( là các nghiệm của tử thức)
2
2) x  x  0 � x  0 �x  1 . (là các nghiệm của tử thức).
3) x  0 có nghiệm x1  0 .

y

x

Với x �0 , ta có:
y

2

 4 x  3 x  1

2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
�. Trường hợp này có một tiệm cận đứng x  x1 .
 x 2  4 x  3  x  1

2
x �
�f ( x )  2 f ( x ) �
�. Khi đó nghiệm x1  0 (loại).
�f  x   0
f 2  x  2 f  x  0 � �
�f  x   2 .
4)
f  x  0
x � 1;0 
+ Xét
có 2 nghiệm x2  3 (là nghiệm bội) và 3
loại. Trường hợp này có

Với x � 1 , ta có:

một tiệm cận đứng: x  x2 .
f  x  2
+ Xét
có 3 nghiệm gồm x4 ; x5 ( x3 ; x4 � 3 và x4   1; x5  1 ) và x6   1 (loại vì cả
tử và mẫu thức cùng có nghiệm x   1 ). Trường hợp này có hai tiệm cận đứng: x  x4 , x  x5
Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng gồm: x  x1 , x  x2 , x  x4 , x  x5 .
Cách khác

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

�
x0
�
2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
� 0 � �f  x   0
�f  x   2
�

Xét phương trình
.
Dựa vào đồ thị đề bài ta có:
f  x  0
x  a � 1;0 
Phương trình
có nghiệm kép x  3 và nghiệm đơn
.
2
lim f  x   �

f  x
f  x     x  3  x  a 
Do
là hàm số bậc 3 và x��
Suy ra
.
f  x  2
x   1; b; c
c  3; b � 3; 1
Phương trình
có ba nghiệm phân biệt
, với
.
lim f  x   �
f  x
f  x   2    x  1  x  b   x  c 
Do
là hàm số bậc 3 và x��
Suy ra
.

x
y

 4 x  3 x 2  x

 x  1  x  3 x  x  1
2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �

� x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 
 x  1  x  3 x  x  1
lim y  lim
 �
2
x �0
x �0 x x  3
x  a   x  1  x  b   x  c 



Khi đó:
.
2

2





lim y  lim

x � 3



x � 3

 x  1  x  3 x  x  1

2
x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 

lim y  lim

 x  1  x  3 x  x  1
2
x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 

lim y  lim

 x  1  x  3 x  x  1
2
x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 

x �c

x �b

x �c

x �b

lim y  lim

x �1

x �1

lim y  lim

x �1

x �1

 �
.

 �
.
 �
.

 x  1  x  3 x  x  1
2
x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 

0

 x  1  x  3 x  x  1
2
x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c 
y

Vậy đồ thị hàm số

x

2

 4 x  3 x  x

.

không tồn tại.

2

2
x�
�f ( x )  2 f ( x ) �
�

có 4 đường tiệm cận đứng x  0, x  3, x  b, x  c .

Câu 4.
b. Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  70 km , chiều rộng
AD  10 km . Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh

CD thì vận tốc là 40 km/h . Một người đi xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng và muốn đến B
sau 3h nữa. Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển
trên khu đất tư A đến B để hết ít thời gian nhất.
Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

Cách 1.
Trường hợp: xe máy không chạy trên CD, khi đó thời gian ngắn nhất đi tư A đến B là chạy trên
70
t
 3,5  h 
20
AB suy ra
.
Trường hợp: xe máy có chạy trên CD. Giả sử xe chạy tư A đến B qua EF.
2
2
Đặt DE  x, FC  y, 0 �x, y �70 � EF  70  ( x  y ); AE  x  100; BF  y  100 .
Khi đó thời gian xe chạy là:
y 2  100 70  ( x  y )  1 � x 2  102  y 2  102  x  y  35 �
x 2  100
t


�
�
20 �
2
�
20
20
40
1 �

x y
�
r v r r
� � ( x  y ) 2  400 
 35 �
u
20 �
2
�(áp dụng  v �u  v )

Xét

h( a )  a 2  400 

h ' (a ) 

a
a  400
2



a
 35
2
; 0 �a �70

1
20
0�a

2
3

a
h�
 a

20
3

0
–

0

70
+

h  a






Dựa vào BBT
tmin

�20 � 30
h( a )  h � �

�3� 3

35

t

72 3
(h)
4

� xy
10
�
��
20 � x  y 
x y a
3
�
3
�

Tư 2 trường hợp trên ta có thể kết luận: Sau 3h xe có thể chạy tư A đến B được, với thời gian
10
72 3
DE  CF 
t
(h )
3.
4
chạy ngắn nhất

khi
Cách 2.
KN1: Để đi từ A đến B nếu chỉ di chuyển trên đoạn
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

AB thì hết số giờ là
S 70
t 
 3,5
V 20
( giờ), vậy trong trường hợp này không
thể đến B kịp thời gian sau 3 giờ như yêu cầu bài toán.
Vì vận tốc trên khu đất ( trư cạnh CD) là 20km/h, do đó
chỉ đi theo AB không kịp thời gian thì mọi con đường
khác mà không đi trên CD đều không kịp thời gian.
Do đó ta xét khả năng 2

B

A

D
F

E

KN2: Để đi từ A đến B và có đi trên cạnh CD
Giả sử đi tư A đến E, tư E đến F và tư F đến B (như hình vẽ). Đặt DE  a , FC  b
Khi đó thời gian để di chuyển tư A đến B là

t

100  a 2
100  b2 70  ( a  b)


20
20
40

a 2  b2  c 2  d 2 � ( a  c) 2  (b  d )2

Áp dụng bđt

(10  10) 2  ( a  b) 2
400  ( a  b) 2
100  a 2
100  b2

�

20
20

20
20
Ta có
,
dấu “=” xảy ra khi a  b
Vậy

t

400  ( a  b)2 70  ( a  b)
100  a 2
100  b 2 70  (a  b)


�

20
20
40
20
40

Đặt a  b  x,(0 �x �70)
400  x 2 70  x

20
40 , 0 �x �70
Xét
x
1

f '( x ) 
 ,0 �x �70
2
40
20 400  x
f ( x) 

f '( x )  0 � 400  x 2  2 x � x 

20 3
3

BBT
x
0
f’(x
)

–

f(x)

20 3
3
0

70
+

2 37

4

2 37
4
Vậy GTNN của f(x) là
Cách 3:
t

1 � 2
x y
x y
� 1 �
�
2
2
2
 35 �� � ( x  y ) 2  400 
 35 �
� x  10  y  10 
20 �
2
20
2
�
�
�.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10

C


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019

a �20 3 � 2 3  7
5a 2
2
A  a 2  400  ; f �

0
�
a
�
70
�
A

 400  a a 2  400
�
2 � 3 �
4
4
Xét
.

a a 2  400 

Ta có:

a a�
400
�
2

1
1 �4a 2  a 2  400 � 5a 2  400
�
2a a 2  400 � �
�
2
2�
2
4
�

5a 2
4

100

A2

300

A 10 3

t



1
10 3 35
20

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!



72 3
4
.

Trang 11