TỔ 18 đợt 2 HSG lớp 10 THPT PHÙNG KHẮC KHOAN hà nội năm 2018 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

HSG LỚP 10 THPT PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI
NĂM 2018-2019
MÔN TOÁN

Câu 1.

(5,0 điểm)
2
1) Cho hàm số y  x  x  1 có đồ thị là (P) . Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (P) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).

m  m �R 
x 4   3m  1 x 2  6m  2  0
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình:
có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 .
Câu 2.

Câu 3.

 2x  5 
1) ( 3,0 điểm) Giải bất phương trình

x 2  x  25



x 2  5 x  6 �0

.

�
3 2x  y  x  2 y 1  5
�
�
2 x  2 y  1  5 x  10 y  9
2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình �
(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; BA = c và diện tích là S . Biết
S = b 2 - (a - c)2 . Tính tanB ?

Câu 4.

�
�
(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB  c, AC  b và BAC  60 . Các điểm M , N được xác

uur 1 uuu
r
uuur
uuur
NA 
NB
2
định bởi MC  2MB và
. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN
vuông góc với nhau
Câu 5.

A  1; 2  B  3; 4 

(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
,
. Tìm tọa độ điểm C sao cho
ABC vuông tại C và có góc B bằng 60�.

Câu 6:

(2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương.Chứng minh rằng:

2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3 2� 2 2 2
3
2
x y y z z x
x y z
LỜI GIẢI CHI TIẾT
(5,0 điểm)
2
1) Cho hàm số y  x  x  1 có đồ thị là (P) . Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (P) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).

Câu 1.

Lời giải
Tác giả:Trần Thị Huệ ; Fb:Tran Hue
2
2

Xét phương trình hoành độ giao điểm : x  x  1  2 x  m � x  3x  m  1  0 (1)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt
13
� 13  4m  0 � m 
x1 , x2 �   0 � 9  4m  4  0
4 .(*)
Khi đó giả sử A( x1 ; 2 x1  m) ; B ( x2 ; 2 x2  m)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

�x1  x2  3
�
�x1.x2  m  1

uuu
r uuur

Tam giác OAB vuông tại O � OA.OB  0 � x1.x2  (2 x1  m)(2 x2  m)  0
� 5 x1.x2  2m( x1  x2 )  m 2  0 � 5(m  1)  6m  m 2  0 � m 2  m  5  0

�m

1 � 21
2

1 � 21
2
Kết hợp điều kiện (*) ta có
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m  m �R 
x 4   3m  1 x 2  6m  2  0
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình:
có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 .
m

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thủy ; Fb:Thuy Nguyen

�
x2  2 � x  � 2
x 4   3m  1 x 2  6m  2  0 � �
2
� x  3m  1
Ta có:



� m �1
3m  1 �2 � �1
�  m  17
0  3m  1  16
�
3

�3
Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 thì

�1 17 �
m �� ; �\  1
�3 3 �
Vậy với
thì thỏa mãn đề bài.
Câu 2.

 2x  5 
1) ( 3,0 điểm) Giải bất phương trình

x 2  x  25



x 2  5 x  6 �0

.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dương Long ; Fb: Long Nguyễn
x �3
�
x 2  5 x  6 �0 � �
x �2
�
Điều kiện
Trường hợp 1: Nếu x  3 hoặc x  2 thì bất phương trình nghiệm đúng (*)

x3
�
�
x2
Trường hợp 2: Nếu �
2
2
Bất phương trình đã cho � 2 x  5  x  x  25 �0 � x  x  25 �2 x  5 (1)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

2x  5  0
�
�
2 x  5 �0
�
��
�
�2
2
�
�x  x  25 � 2 x  5 
�
Bất phương trình (1)

� 5
x

�
2
�
� 5
��
x�
�
�
� 2
�
�
19
�
�
0 �x � ۣ x 19
�
�
3
3 .

19
�
3 x �
�
x3
�
3
�
�
x2

x  2 của trường hợp 2 có �
�
Kết hợp với điều kiện
(**)
� 19 �
S  (�; 2] ��
3; �
3�
�
Từ (*) và (**) ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
�
3 2x  y  x  2 y 1  5
�
�
2 x  2 y  1  5 x  10 y  9
2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình �

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dương Long ; Fb:Long Nguyễn
�2 x  y �0
�
Điều kiện �x  2 y  1 �0

�
3 2x  y  x  2 y 1  5
�
�
2 x  2 y  1   5 x  10 y   9
Ta có hệ phương trình đã cho � �
Đặt

u  2 x  y ,  u �0 

và

v  x  2 y  1,  v �0 

�
�
2x  y  u2
2x  y  u2
��
�
2
x  2 y 1  v2
�
�x  2 y  v  1
Suy ra

2m  n  5
m4
�
�
��
�
5 x  10 y  m  2 x  y   n  x  2 y 
m  2n  10 �
n  3
Ta có
, suy ra �

5 x  10 y  4  2 x  y   3  x  2 y   4u 2  3  v 2  1
Vậy
.
Vậy ta có hệ phương trình

�
u 1
�
�
�
v2
�
�
3
u

v

5
�
v

5

3
u
v

5


3
u
�
�
�
�
� 73
�� 2
�� 2
��
�
u
2
2
2
�
2v   4u  3v  3  9
4u  3v  2v  12  0
23u  96u  73  0
� 23
�
�
�
�
�
�
104
�
v
�

�
23
�

Trường hợp 1:

u 1
2x  y  1
�
�
�x  1
��
��
�
v  2 �x  2 y  3
�
�y  1 (thỏa mãn điều kiện)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

� 73
u
�
� 23
�
104
�

v
23 ( không thỏa mãn điều kiện v �0 )
Trường hợp 2: �
�x  1
�
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm �y  1 .
Câu 3.

(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; BA = c và diện tích là S . Biết
S = b 2 - (a - c)2 . Tính tanB ?
Lời giải
Tác giả:Phạm Thị Cảnh; Fb: Pham Linh Canh
Ta có:

�

S = b 2 - (a - c)2 �

1
acsinB = a 2 + c 2 - 2accosB - a 2 - c 2 + 2ac
2

1
1
acsinB = 2ac(1 - cosB) � sinB = 4(1 - cosB) � cosB = 1 - sinB(*)
2
4

1
17 2

1
sin 2 B + cos 2 B = 1 � sin 2 B + (1 - sinB)2 = 1 �
sin B - sinB = 0
4
16
2
Mặt khác:
� sinB =

8
(do sinB > 0)
17

Kết hợp với (*) ta được

Câu 4.

cosB =

15
8
� tanB = .
17
15

�
�
(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB  c, AC  b và BAC  60 . Các điểm M , N được xác

uur 1 uuu

r
uuur
uuur
NA 
NB
2
định bởi MC  2MB và
. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN
vuông góc với nhau
Lời giải
Tác giả: Thanh Bình ; Fb: Minh Hoàng

uuur
uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuu
r
MC


2
MB
�
AC


AM


2(
AB

AM
)
�
3
AM

2
AB

AC
Ta có
uuu
r
uur uur
3
CN

2
CA
 CB
Tương tự ta cũng có
uuur uuu
r
uuu

r uuu
r uur uur
AM

CN
�
AM
�
CN

0
�
(2
AB

AC
)(2CA  CB )  0
Vậy:
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
� (2 AB  AC )( AB  3 AC )  0 � 2 AB 2  3 AC 2  5 AB �
AC  0
� 2c 2  3b 2 
Câu 5.

5bc
 0 � 4c 2  6b 2  5bc  0 � c  2b
2

A  1; 2  B  3; 4 
(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
,
. Tìm tọa độ điểm C sao cho
ABC vuông tại C và có góc B bằng 60�.
Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

Tác giả: Ao Thị Kim Anh; Fb:Kim Anh
uuur
uuur
C  x; y  � AC   x  1; y  2  BC   x  3; y  4 
Ta có
, giả sử
,
.
uuur uuur
�AC.BC  0
�AC  BC
�
�

��
�� 2 1
1
2
BC

AB
�
�BC  AB
2
�
4
ABC vuông tại C và có góc B bằng 60� �
uuur
AB   2; 6 

�
 x  1 .  x  3   y  2  .  y  4   0 �x 2  y 2  4 x  2 y  5  0
�
��
� �2
2
2
2
 x  3   y  4   10
�
�x  y  6 x  8 y  25  10
�x 2  y 2  4 x  2 y  5  0
�x 2  y 2  4 x  2 y  5  0
��

��
�2 x  6 y  20  0
�x  3 y  10
�
�
9 y 2  60 y  100  y 2  12 y  40  2 y  5  0
10 y 2  50 y  55  0
��
��
�x  3 y  10
�x  3 y  10
� 53 3
5  3
x
,y
�
2
2
��
�5  3 3 5  3 �
�5  3 3 5  3 �
� 53 3
5  3
C
;
C
�
�
�
�

x
,y
� 2
�
� 2 ;
�
2
2 �
�
�
�
�.
�
2
2
. Vậy
hoặc

Câu 6:

(2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương.Chứng minh rằng:

2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3 2� 2 2 2
3
2
x y y z z x

x y z
Lời giải
Tác giả: Cao Đình Định; Fb: Dinh Cao
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương x, y, z ta được:
x3  y2 �2 x3.y2  2xy. x
y3  z2 �2 y3.z2  2yz. y
z3  x2 �2 z3.x2  2zx. z
Khi đó BĐT đã cho trở thành:
2 y
2 y
2 x
2 z
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3 2�



 
 1
3
2
x  y y  z z  x 2xy x 2yz y 2zx z xy yz zx

Mặt khác ta có:

1 1 2
 �
x2 y2 xy

1
xy

1 �1
�
2 �x2

1�
�
y2 �

1 1 �1 1 � 1 1 �1 1 �
� �  � �
 2�
2
yz 2 �y2 z2 � zx 2 �
�z x �
CMTT:
;
1 1 1 1 1 1
  � 2 2 2
xy
yz zx x y z
Suy ra:

 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

2 y
2 x
2 z
1 1 1
 3 2 3 2� 2 2 2
3
2
x y z
Từ (1) và (2) ta được: x  y y  z z  x
Dấu “=” xảy ra � x  y  z  1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6