Tổ 20 đề thi HSG toán 10 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DHĐB bắc bộ

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
MÔN: TOÁN 10
TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (4.0 điểm).

3
2

2
( 1)
 ( y + 1) + y y + 1 = x + 2

2

Giải hệ phương trình  x + x − 2 x + 5 = 1 + 2 2 x − 4 y + 2 ( 2 ) .
Câu 2 (4.0 điểm).
Cho tam giác

ABC

có

AB = AC , các điểm D , E , F

lần lượt nằm trên các cạnh

DE // AB , DF // AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

BC , CA , AB

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

sao cho

AEF

tại

H ( H ≠ E ) . Đường

các điểm

A , G . Đường thẳng DE

thẳng qua

G

vuông góc với

GH

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

tại điểm

K ( K ≠ G ) , đường

thẳng qua

G

vuông góc với

GC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

AEF

tại điểm

L ( L ≠ G ) . Gọi P , Q

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
cạnh

BC

AEF

tại điểm

GDK , GDL . Chứng minh rằng khi điểm D

thay đổi trên

thì:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GEF

luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GPQ

luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3 (4.0 điểm).
Tìm tất cả các số nguyên dương

m, n

và số nguyên tố

p

thỏa mãn

4m3 + m2 + 40m = 2 ( 11 p n − 5 ) .

Câu 4 (4.0 điểm).
Cho 3 số thực dương

a , b , c . Chứng minh rằng:

a(a − 2b + c) b(b − 2c + a) c(c − 2a + b)
+
+
≥0
.
ab + 1
bc + 1
ca + 1
Câu 5 (4.0 điểm).
Cho bảng ô vuông kích thước 100 × 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

A, B, C , D

sao cho trên

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng
(không

25 . Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng

nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với
cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự

A, B, C , D

là “bảng tốt”.
a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông

1× 4, 4 × 1 và

2 × 2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C , D ?
b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
i) Luôn có

2

cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được

76

cặp tốt.

ii) Luôn có một bảng tốt.
 HẾT 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG
THPT CHUYÊN KHU VỰC
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
MÔN: TOÁN 10
TIME: 180 PHÚT

Câu 1.

3
2

2
( 1)
 ( y + 1) + y y + 1 = x + 2

2

Giải hệ phương trình  x + x − 2 x + 5 = 1 + 2 2 x − 4 y + 2 ( 2 ) .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Chí Thành; Fb: Nguyễn Chí Thành
Điều kiện:

2x − 4 y + 2 ≥ 0 .

Từ phương trình

( 1) , ta có:

2 x − 4 y + 2 = y + 1 + 2 y. y + 1 + y ⇔ 2 x − 4 y + 2 =
2

2

( 2)

Thay vào phương trình

2

và chú ý rằng

(

)

2

y +1 + y .
2

y2 + 1 + y > 0 .

Lúc này ta được:

x + x2 − 2x + 5 = 1 + 2

(

)

y2 + 1 + y ⇔ x − 1+

( x − 1)

2

+4=2

(

y2 + 1 + y

)

2

x −1  x −1
2
⇔

+ 
÷ + 1 = y + 1 + y ( 3)
2
.
 2 
Đặt

u=

x−1
2
2
2 . Từ ( 3) trở thành u + u + 1 = y + 1 + y

⇔ u − y + u2 + 1 − y2 + 1 = 0

⇔u− y+

( u − y) ( u + y)
u2 +1 + y2 + 1

=0



u+ y
÷= 0
⇔ ( u − y ) 1+
2
2


÷ . ( 4)
u
+
1
+
y
+
1



Do

1+

u+ y
u2 + 1 + y2 + 1

(
=

) (

u2 + 1 + u +

y2 + 1 + y

u2 + 1 + y2 + 1

) >0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Nên từ ( 4 )

cho ta

u=

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

x −1
y , hay 2 = y ⇒ x = 2 y + 1 .

5
y
+
1
+
y
y
+
1
=

2
y
+
(
)
⇔
Thay vào phương trình ( 1) ta được:
2
2

⇔ y2 + 1 + y = 2

(vì

)

2

y +1 + y = 4

y2 + 1 + y > 0 )

Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm

Cho tam giác

AB

(

2

3
5
y2 + 1 = 2 − y ⇒ y2 + 1 = 4 − 4 y + y2 ⇔ y = ⇒ x =
4
2.

⇔

Câu 2.

2

sao cho

tiếp tam giác

AEF

AB = AC , các điểm D , E , F lần lượt nằm trên các cạnh BC , CA ,
DE // AB , DF // AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại

ABC

có

AEF

tại các điểm

tại điểm

tam giác

5 3
( x; y ) là  2 ; 4 ÷ .

ABC

A , G . Đường thẳng DE

H ( H ≠ E ) . Đường thẳng qua G
tại điểm

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông góc với

K ( K ≠ G ) , đường thẳng qua G

GH

cắt đường tròn ngoại tiếp

vuông góc với

GC

cắt đường tròn

AEF tại điểm L ( L ≠ G ) . Gọi P , Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác GDK , GDL . Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:
ngoại tiếp tam giác

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GEF

luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GPQ

luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

a) Gọi

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

O , O′ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC , AEF . Gọi E ′

đối xứng với E qua đường thẳng AO . Khi đó
giác

BDEE ′

EE′ // BC vì cùng vuông góc với AO

DE = BE′ , kết hợp với DE = AF

là hình bình hành suy ra

(Có thể không cần dựng điểm E ′ , dễ thấy tam giác
bình hành, nên ta có
Suy ra

ta được

là điểm

suy ra tứ

BF = AE

BFD cân tại F và có tứ giác AEDF

là hình

·
EAF

suy ra

BF = DF = AE ).

∆ OAE ′ = ∆ OBF ⇒ OE = OF .

Kết hợp với

OA

là phân giác của góc

O ∈ ( AEF ) . Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định A , O .
b) Tam giác
tại

F

suy ra

FBD cân tại F

1·
1·
·
GBF
= GOA

= GFA
suy ra FB = FD ,
nên tam giác
2
2

FB = FG . Từ đó suy ra F

Chứng minh tương tự ta được
Từ đó

EF

là trung trực của

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

cân tại

là giao điểm của đường thẳng qua

thẳng qua

O′

song song với

GC

và

F

suy ra

vuông góc với

DG

cân

DGB .

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

DG , kết hợp với AG

· = EAF
· = EDF
· ⇒ ∆ FHD
FHD

P

E

FGB

DGC .
suy ra

EF // AG .

FH = FD ⇒ H ∈ ( GBD ) .

O song song với GH

và

EF , Q là giao điểm của đường

EF .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

E

là tâm đường tròn

hợp với

GC

Câu 3.

O

suy ra

GL

song song

( 1)

và

( 2)

kết hợp với

PQ , kết hợp với OO′

cân hay nó nội tiếp suy ra

( GPQ )

Tìm

nguyên

tất

là tâm đường tròn ngoại tiếp

cả

( GAC )

suy ra

OE ⊥ GC , kết

OE . Do đó OE ⊥ O′Q ⇒ QE = QO ( 1) .

PO = PF ( 2 ) .

OE = OF ,

trung trực của

và

GL

vuông góc với

Tương tự ta được
Mặt khác

( GDC )

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

các

số

là trung trực của

luôn đi qua điểm
dương

∆ QOE = ∆ POF ⇒ OP = OQ ⇒ OO′

ta được

m, n

GA

nên tứ giác

AQPG

là

là hình thang

A cố định.
và

số

nguyên

tố

p

thỏa

mãn

4m3 + m 2 + 40m = 2 ( 11 p n − 5 ) .
Lời giải
Tác giả: Trịnh Quang Hoàng; Fb: Hoàng DeMon
Phương trình đã cho tương đương với
TH1:
Với

n = 1 , thử trực tiếp với m = 1,2,3,4,5 đều không thỏa mãn.

m > 5 ⇒ 4m + 1 > 22, m 2 + 10 > 22 . Do đó (4m + 1)Mp,(m 2 + 10)Mp vô lí do n = 1 .

TH2:
Với

( 4m + 1) ( m2 + 10 ) = 22 p n .

n > 1 , thử trực tiếp với m = 1,2,3,4,5 đều không thỏa mãn.

m > 5 ⇒ 4m + 1 > 22, m 2 + 10 > 22 . Do đó (4m + 1)Mp,(m 2 + 10)Mp .

 4m + 1 = 11x. p a

*
 2
y b
Suy ra  m + 10 = 2.11 . p x, y ∈ { 0,1} ; x + y = 1; a , b ∈ ¥ .

(

∀ m ∈ ¥ * ta có m 2 + 10 > 4m + 1 .

Dễ thấy
+) Nếu

)

b≥ a

thì

11( m 2 + 10 ) ≡ 0 mod ( 4m + 1) ⇒ 11m2 ≡ −110 mod ( 4m + 1)
11.16m 2 ≡ −1760 mod ( 4m + 1) ⇒ 11 ≡ −1760 mod ( 4m + 1)
(do 16m

Mà

2

≡ 1mod ( 4m + 1) ) ⇒ 1771 ≡ 0mod ( 4m + 1)

4m + 1 ≡ 1( mod 4 ) , 1771 =

 4m + 1 = 77

⇒  4m + 1 = 161 ⇒
7.11.23  4m + 1 = 253

 m = 19
 m = 40

 m = 63

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

Thử lại đều không thỏa mãn.

+) Nếu

b< a

a
 4m + 1 = p
⇒ 2
b
y

=
1,
x
=
0
 m + 10 = 2.11. p
thì

 p | 4m + 1
 p=7
⇒ p | ( 4m − 160 ) ⇒ p |161 ⇒ 
2

2
Do  p | m + 10 ⇒ p | 4 m + 10 − m ( 4m + 1) = 40 − m
 p = 23

(

)

+ Nếu

p = 23 thì do 22.23b > 23a ⇒ 22 > 23a − b

+ Nếu

p= 7

thì do

vô lí do

a − b∈ ¥* .

22.7b > 7 a ⇒ 22 > 7 a − b ⇒ a − b = 1 .

b +1
 4m + 1 = 7
⇒ m = 12
 2
k
m
+
10
=
22.7
Khi đó ta có: 
.

Thay vào phương trình ban đầu tìm được
Vậy
Câu 4.

n = 3.

( m; n; p ) = ( 12;3;7 ) .

Cho 3 số thực dương

a, b, c . Chứng minh rằng:

a(a − 2b + c) b(b − 2c + a) c(c − 2a + b)
+
+
≥0
.
ab + 1
bc + 1
ca + 1
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb: Uyen Nguyen

a ( a − 2b + c ) a 2 + 1 + ac + 1 − 2 ( ab + 1) a 2 + 1 ac + 1
=
=
+
−2
Ta có:
ab + 1
ab + 1
ab + 1 ab + 1 .

b ( b − 2c + a ) b2 + 1 ba + 1
c ( c − 2a + b ) c 2 + 1 cb + 1
=
+
−2
=
+

−2
Tương tự ta có:
và
bc + 1
bc + 1 bc + 1
ca + 1
ca + 1 ca + 1 .
a ( a − 2b + c )
Vậy

ab + 1

+

b ( b − 2c + a )
bc + 1

+

c ( c − 2a + b )
ca + 1

≥0

 a 2 + 1 b2 + 1 c 2 + 1   ac + 1 ba + 1 cb + 1 
⇔
+
+
+
+

÷+ 
÷− 6 ≥ 0
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1


 
 a 2 + 1 b2 + 1 c 2 + 1   ac + 1 ba + 1 cb + 1 
⇔
+
+
+
+
÷+ 

÷≥ 6
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1
 .

 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:

ac + 1 ba + 1 cb + 1
ac + 1 ba + 1 cb + 1
+
+
≥ 3 ×3
×

×
=3
ab + 1 bc + 1 ca + 1
ab + 1 bc + 1 ca + 1
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

(1)
Trang 7


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

2
2
2
a 2 + 1) ( b 2 + 1) ( c 2 + 1)
(
a 2 + 1 b2 + 1 c 2 + 1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
+

+
≥ 3 ×3
×
×
= 3 ×3
ab + 1 bc + 1 ca + 1
ab + 1 bc + 1 ca + 1
( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) .

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:

 ( a 2 + 1) ( b 2 + 1) ≥ ( ab + 1) 2

2
2
2
 2
2
2
2
2
 ( b + 1) ( c + 1) ≥ ( bc + 1) ⇒  ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1)  ≥  ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) 
 2
2
2
 ( c + 1) ( a + 1) ≥ ( ca + 1)

( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ 1
⇒ ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) ⇒
( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) .

2

2

2

2

2

2

a 2 + 1) ( b2 + 1) ( c 2 + 1)
(
a 2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
+
+
≥ 3 ×3
≥3
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1
( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) .
Suy ra:

(2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh.

=

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c.

Cách 2:

a ( a − 2b + c ) a 2 + 1 + ac + 1 − 2 ( ab + 1)
a2
1
ac + 1
=
=
+
+
−2
Ta có:
ab + 1
ab + 1
ab + 1 ab + 1 ab + 1 .

b ( b − 2c + a )
b2
1

ba + 1
=
+
+
−2
Tương tự ta có:
bc + 1
bc + 1 bc + 1 bc + 1
c ( c − 2a + b )
c2
1
cb + 1
=
+
+
−2
Và
ca + 1
ca + 1 ca + 1 ca + 1 .
a ( a − 2b + c ) b ( b − 2c + a ) c ( c − 2a + b )
+
+
≥0
Vậy suy ra
ab + 1
bc + 1
ca + 1
 a2
b2
c2   1

1
1   ac + 1 ba + 1 cb + 1 
⇔
+
+
+
+
+
+
÷+ 
÷+ 
÷≥ 6
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1

ab
+
1
bc
+
1
ca
+
1



 .


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số, ta có:

ac + 1 ba + 1 cb + 1
ac + 1 ba + 1 cb + 1
+
+
≥ 3 ×3
×
×
=3
ab + 1 bc + 1 ca + 1
ab + 1 bc + 1 ca + 1

(1)

Mặt khác áp dụng dạng phân thức của bất đẳng thức Cauchy-Swcharz, ta có:

 a2
b2
c2   1
1
1 
+
+
+
+

÷+ 
÷
 ab + 1 bc + 1 ca + 1   ab + 1 bc + 1 ca + 1 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

≥

( a + b + c)

3 ( ab + bc + ca ) + 9
=3
.
ab + bc + ca + 3 ab + bc + ca + 3

ab + bc + ca + 3
2

+

( 1 + 1 + 1)

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

2

≥

(2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh.

=

Câu 5.

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c.

Cho bảng ô vuông kích thước

100 × 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C , D

sao

cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô
thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình
chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở
bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự

A, B, C , D

là “bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông

1× 4, 4 × 1 và

2 × 2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C , D ?
b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
i) Luôn có

2

cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được

76

cặp tốt.

ii) Luôn có một bảng tốt.
Lời giải
Tác giả: Vũ Hoàng Anh; FB: Vũ Hoàng Anh.

A , B , C , D . Khi đó,
ô thứ hai của cột 2 phải điền D vì nó thuộc hai hình vuông 2x2 đã chứa sẵn A , B , C . Do đó, ta
điền tiếp được cột 2 theo thứ tự C , D , A , B . Cứ như thế ta điền tiếp cho cột 3, 4.
a) Không mất tính tổng quát, giả sử rằng 4 ô đầu tiên của cột 1 được điền

A

C

A

C

B

D

B

D

C

A

C

A

D

B

D

B

Tuy nhiên, ta thấy các hàng khi đó không thỏa mãn vì chứa hai loại ký tự. Vậy nên không có
cách điền nào thỏa mãn điều kiện đã nêu.
b)
i. Tồn tại hai cột.
Giả sử phản chứng rằng mỗi cặp cột tùy ý đều có ít nhất 25 cặp ô cùng ký tự. Cố định cột 1, xét

T là số bộ ( a; b )
Theo giả sử trên thì T ≥ 99.25 .
99 cột còn lại. Gọi

Mặt khác theo giả thiết thì

trong đó cột

a≥ 2

có ô thứ

b

từ trên xuống là cùng ký tự.

T = 100.24 (tính theo hàng).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20

Suy ra 100.24 ≥ 99.25 , điều vô lý này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, tức là luôn chọn
được hai cột thỏa mãn đề bài.
ii. Tồn tại bảng tốt.
Giả sử phản chứng rằng không có 2 hàng, 2 cột nào cắt nhau tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn.
Xét 2 cột đã chọn được ở trên, giả sử đã có cặp
Ta có hai khả năng:
- Nếu có

( A; D )

số lần ký tự
- Nếu có
ký tự
lý.

thì không có

( A; B ) , ( A; C )

thì sẽ không có

( C ; D ) , ( B; D ) .

( B; C ) , khi đó mỗi cặp trong 76 cặp đều có ký tự A ; trong khi

A xuất hiện trên đó tối đa là 50, vô lý.

( B; C )

thì không có

( A; D ) , khi đó trên 76 cặp sẽ có 76.2 = 152 số lần xuất hiện của

A , B , C , trong đó số lần xuất hiện ký tự A , B , C

tối đa trong 76 cặp trên là 150, cũng vô

Từ đây ta có đpcm.
 HẾT 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
10

Trang