DS c1 luong giac 5

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Các hàm số lượng giác
1.Mối liên hệ giữa tập xác định với các hàm số
1.1.Hàm liên quan tới sin và cosin.
2
Câu 1: Tập xác định của hàm số y =
là:
sin x
A. D = ¡ \ { 0}
B. D = ¡ \ { kπ, k ∈ ¢}
C. D = ¡
Câu 2: Tập xác định của hàm số y =
A. x ≠

π
+ k 2π
2

1 − sin x
là
sin x + 1

B. x ≠ k 2π

Câu 3: Tập xác định của hàm số y = cos x là
A. x > 0
B. x ≥ 0
1 − sin x
Câu 4: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x + 1

π
A. x ≠ + k 2π
B. x ≠ k 2π
2
sin x + 1
Câu 5: Tập xác định của hàm số y =
là
sin x
π

A. ¡ \  + kπ , k ∈ Z
2

π


C. ¡ \  + kπ , k ∈ Z
2


π

D. D = ¡ \  + kπ, k ∈ ¢ 
2


C. x ≠

3π
+ k 2π

2

D. x ≠ 0

C. R

C. x ≠

3π
+ k 2π
2

B. x ≠ −900 + k 3600

D. x ≠ π + k 2π

π

B. ¡ \  + kπ , k ∈ Z
2

π


D. ¡ \  + kπ , k ∈ Z
2


1.2.Hàm liên quan tới tan và cotan.
Câu 6: Tập xác định của y = tan2x là:

π kπ
π
A. x ≠ π + kπ
B. x ≠ +
C. x ≠ + k 2π
4 2
2
Câu 7: Tập xác định của y = tan 2 x là:
A. x ≠ 1800 + k 3600

D. x ≠ π + k 2π

C. x ≠ 900 + k 3600

Câu 8: Tập xác định của y = cot x là:
A. x ≠ k 900
B. x ≠ k 3600
C.
Câu 9: Tập xác định của y = cot 2 x là:
kπ
π
A. x ≠
B. x ≠ + kπ
C.
2
2
Câu 10:
Tập xác định của hàm số y = tan 2x là
−π kπ
π

+
A. x ≠
B. x ≠ + kπ
C.
4
2
2
tan x
Câu 11:
Hàm số y =
không xác định tại
1 + tan x
π
A. x = − + kπ , k ∈ Z .
B.
4
π
C. x = + kπ ; k ∈ ¢ .
D.
2

D. x ≠ π + k 2π
D. x ≠ 450 + k 900

x ≠ 1800 + k 3600

D. x ≠ 900 + k 3600

x ≠ kπ

D. x ≠ k 2π

x≠

π kπ
+
4 2

D. x ≠

π
+ kπ
4

các điểm:

π
+ kπ , k ∈ Z .
4
π
π
x = − + kπ , x = + k π , k ∈ Z .
4
2

x=

Trang
1/15

Tập xác định của hàm số y = cot 3x là?
 π kπ

 kπ

,k ∈Z
A. D = R \  +
B. D = R \  , k ∈ Z 
6 3

 3

π

C. D = R \  + kπ , k ∈ Z 
D. D = R \ { kπ , k ∈ Z }
2

13:
Hàm số y = t an2x có tập xác định là:
π

A. R
B. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢ 
4

π
 π


π

C. ¡ \ k ; k ∈ ¢ 
D. ¡ \  + k ; k ∈ ¢ 
2
 2

4

π

14:
Tập xác định của hàm số y = tan  2x − ÷ là
3

π kπ
5π
+ kπ
A. x ≠ +
B. x ≠
6 2
12
π
5π
π ( k ∈Z)
+k
C. x ≠ + kπ
D. x ≠
2
12

2
1.3.Hàm hỗn hợp và dùng kĩ thuật đánh giá hoặc sử dụng các công
thức biến đổi.
sin x − 1
15:
Tập xác định của hàm số y =
là:
cos x
π

A. ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  .
B. ¡ \ { kπ ; k ∈ ¢} .
2

π

π

C.  + kπ ; k ∈ ¢  .
D.  + k 2π ; k ∈ ¢  .
2

2

1 − 3cos x
16:
Tập xác định của hàm số y =
là
sin x
π

kπ
A. x ≠ + kπ
B. x ≠ k 2π
C. x ≠
D. x ≠ kπ
2
2
1 − 2 cos x
17:
Tập xác định của hàm số y =
là:
sin 3x − sin x
π
ïì
ïü
A. R \ { kπ ,Ζk Î }
B. R \ í kπ; + kπ ,Ζk Î ý
ïîï
ïþ
4
ï
ìï π kπ
ü
ì
ü
π
kπ
C. R \ í + ,Ζk Î ïý
D. R \ ïí kπ; + ,Ζk Î ïý
ïîï 4 2

ïþ
ïîï
ïþ
4 2
ï
ï
2sin x + 1
18:
Tập xác định của hàm số y =
là
1 − cos x
π
π
A. x ≠ k 2π
B. x ≠ π + k 2π
C. x ≠ + kπ
D. x ≠ + k 2π
2
2
1 − sin x
19:
Tập xác định của hàm số y =
là
cos x
π
π
π
A. x ≠ + k 2π
B. x ≠ + kπ
C. x ≠ − + k 2π

D. x ≠ kπ
2
2
2
1
20:
Tập xác định của hàm số y =
là
sin x − cos x
π
π
A. x ≠ kπ
B. x ≠ k 2π
C. x ≠ + kπ
D. x ≠ + kπ
2
4

Câu 12:

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Trang
2/15


Câu 21:

Tập xác định của hàm số y =

A. x ≠ k 2π

B. x ≠ kπ

2sin x + 1
là
1 − cos x
C. x ≠

π
+ kπ
2

D. x ≠

π

+ k 2π
2

sin 2 x + cos x
là
tan x − s inx
π

 π
π

A. R \ { kπ }
B. R \  + kπ 
C. R \ k 
D. R \  + kπ ; k 2π 
2

 2
2

2.Mối liên hệ giữa các hàm số và bảng biến thiến của chúng (3 câu)
Nhận dạng từ đồ thị.
Câu 23:
Đồ thị hàm số trên hình vẽ là đồ thị của hàm số nào
Câu 22:

Tập xác định của hàm số y =

A. y = cos x
B. y = sin x

C. y = tan x
D. y = cos 2 x
Câu 24:
Trên hình vẽ sau, các điểm M;N là những điểm biểu diễn của các cung có
số đo là
π
π
π
A. + k
B. + k 2π
3
2
3
4π
π
+ kπ
C.
D. − + kπ
3
3
Từ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu.
Câu 25:
Trong những khẳng định sau đây, khẳng định
nào sai
 π
A. Hàm số y=cotx nghịch biến trên khoảng  0; ÷
 2
3
B. Hàm số y = cos ( x ) là hàm số chẵn

C. Hàm số y=tanx đồng biến trên khoảng ( 0; π )
D. Hàm số y=sinx là hàm tuần hoàn với chu kì 2π
3.Mối quan hệ giữa các hàm số và tính chẵn lẻ.
Câu 26:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = x + cos x là hàm số chẵn. B. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = x + sin x là hàm số lẻ.
3
Câu 27:
Hàm số y = sin x cos x là
A. Hàm số chẵn
B. Hàm số lẻ
C. Hàm số không chẵn
D. Hàm số không
lẻ
Câu 28:
Trong các hàm số sau đây, hàm nào là hàm chẵn?
2
A. y = cos x − sin x
B. y = − sin x
C. y = sin x.cos x
D. y = cos x + sin x
Câu 29:
Trong các hàm số sau hàn số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2 x
B. y = cos 3x
C. y = cot 4 x
Câu 30:
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

D. y = tan 5 x

Trang
3/15


A. y = tan3xcosx B. y = sin2x + cosx
sinx
D. y = sin2x + tanx
Câu 31:
Chọn hàm số lẻ trong các hàm số sau
5π 

A. y = x sin  3 x +
C. y = cos x + tan x
÷ B. y = sin x
2 

Câu 32:
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn
A. y = tan 3 x.cos x
B. y = sin 2 x + cos x C. y = sin 2 x + sin x

C. y = sin2x +

D. y = 2 x cot x
D. y = sin 2 x + tan x

4. Mối quan hệ giữa các hàm số và tính tuần hoàn, chu kì.

1
Câu 33:
Cho hàm số: y = cos 2x . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
2
A. Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π và là hàm số chẵn
æ
π πö
; ÷
B. Là hàm số chẵn và nghịch biến trong khoảng ç
÷
ç
÷
ç
è6 4ø
; ]
C. Tập xác định của hàm số là R, tập giá trị là [- 11
D. Hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ
Câu 34:
Xét 2 câu:
(I) Hai hàm số y = cosx và y = sin2x có cùng giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu.
(II) y = cosx và và y = sin2x là hai hàm số tuần hoàn có cùng chu kỳ.
Trong hai câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Cả 2 sai.
D. Cả 2 đúng.
Câu 35:
Xét 3 câu:
1

(I) Các đường tiệm cận của hàm y =
và y = tanx trùng nhau.
cos x
1
(II) Các hàm số y =
và y = tanx có tập xác định trùng nhau.
cos x
1
(III) Các hàm số y =
và y = tanx có chu kỳ trùng nhau.
cos x
Hãy chọn câu đúng trong ba câu trên:
A. (I) và (II).
B. (II) và (III).
C. (III) và (I).
D. Cả ba đều
đúng.

Câu
Câu
Câu
Câu
Câu
Câu
Câu

5. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
5.1.Hàm số đánh giá dựa vào đk hoặc tập giá trị.
36:
Giá trị lớn nhất cuả hàm số: y = 3 – 4sinx

A. -1
B. 7
C. 1
D. 2
37:
Giá trị lớn nhất của hàm số y = − 2 sin x là:
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
38:
Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − cos 2 x là:
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
39:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos 2 x − 2 lần lượt là:
A. 3 và −2
B. −3 và −1
C. 2 và −2
D. 3 và −1
40:
Giá trị lớn nhất cuả hàm số: y = 3 – 4sinx
A. -1
B. 7
C. 1
D. 2
41:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin23x − 1 là:

A. y =-1
B. y = 3
C. y = 17
D. giá trị khác
42:
Gía trị lớn nhất của hàm số y = 3cos 2 x + 1 ?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4
Trang
4/15


Câu 43:

Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 + 5 sin 2x là:
A. max y = 1 + 5 2
B. max y = 6
C. max y = 11
D. Giá trị khác.
Câu 44:
Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sinx – 4cosx là:
A. -1
B. 0
C. 5
D. 7

π


Câu 45:
Hàm số y = f ( x) = 2 − 3sin  x − ÷ đạt GTLN bằng
3

π
π
A. 5, tại x = − + kπ , k ∈ ¢
B. 5, tại x = + k 2π , k ∈ ¢
6
6
π
π
C. 5, tại x = − + k 2π , k ∈ ¢
D. 5, tại x = + kπ , k ∈ ¢
6
6
Câu 46:
Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x + cos x , là
A. ymax = 1 .

B. ymax = 2 .

C. ymax = 2 .

D. ymax =

5.2. Đặt ẩn phụ đưa về hàm số bậc 2.

2
.
2

6.Ứng dụng phép tịnh tiến, đối xứng tâm vào vẽ đồ thị hàm số.
Câu 47:
[1D1-2] Cho đồ thị hàm số y = cosx .Tịnh tiến lên trên hai đơn vị ta được
đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = cosx + 2 .
B. y = cosx − 2 .
C. y = cos ( x + 2 ) .
D. y = cos ( x − 2 )
7.Câu hỏi kháC.
Câu 48:
Tập giá trị của hàm số y = cot x là:
A. T = [ −2; 2 ]
B. T = ¡
C. T = ¤
D. T = ¡ \ { kπ, k ∈ ¢}
Câu 49:
Tập giá trị của hàm số y = sin x − 3 là:
A. [ −4; −2 ]
B. [ −3;1]
C. [ −2; 2]
D. [ −4; 2]
Câu 50:
Hãy chọn câu đúng trong hai câu sau:
1
sin x

(I) Hàm y =
có giá trị cực đại là
.
3
2 + cos x
1
sin x
(II) Hàm y =
có giá trị cực tiểu là −
.
3
2 + cos x
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Cả 2 sai.
D. Cả 2 đúng.
Câu 51:
Đường biểu diễn của hàm số nào sau đây không đối xứng qua gốc toạ
độ?
A. y = sinxcossx. B. y = sinx + cosx.
C. y = x + sinx.
D. y = x.cox.
Câu 52:
Hàm số nào sau đây có giá trị cực đại bằng 2?
A. y = tan2x.
B. y = cot2x.
π

C. y = 2 ( sin x − cos x )
D. y = sin  2 x − ÷ .

4

Câu 53:
Hàm số nào sau đây có giá trị cực tiểu khác - 2?
2
A. y = - 2sinx.
B. y = sin x − 2 .
C. y = sinx + cosx
D.

π

y = 2sin  2 x − ÷
3

Phần 2: Phương trình lượng giác cơ bản
1.Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình sinx = m.
2
Câu 54:
Phương trình sin x = có số nghiệm trong khoảng ( −π ,π ) là:
3
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
sin
x
=
1
Câu 55:

Phương trình
có nghiệm là:
Trang
5/15


A. x =

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu
Câu

Câu

Câu
Câu

B. x = −

π
+ 2 kπ
2

C. x =

π
+ k 2π
2

D. x =

−π
+ kπ
2

−1
có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn: 0 < x < π
2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
1
−π
π
≤x≤
57:
Phương trình: sin x = có nghiệm thỏa mãn
là:

2
2
2
5π
π
π
π
+ k 2π
A. x =
B. x =
C. x = + k 2π
D. x =
6
6
3
3
 2x
0
58:
Phương trình: sin  − 60 ÷ = 0 có nhghiệm là:
 3

5π k 3π
π
π k 3π
+
A. x = ±
B. x = kπ
C. x = + kπ
D. x = +

2
2
3
2
2
−1
59:
Phương trình: sin 2x =
có bao nhiêu nghiệm thõa: 0 < x < π
2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
1
−π
π
≤x≤
60:
Phương trình: sin x = có nghiệm thõa
là:
2
2
2
5π
π
π
π
+ k 2π
A. x =

B. x =
C. x = + k 2π
D. x =
6
6
3
3
π

61:
Số nghiệm của phương trình: sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 3π là:
4

A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
 2x

− 600 ÷ = 0 có nhghiệm là:
62:
Phương trình: sin 
 3

5π k 3π
π
π k 3π
+
A. x = ±
B. x = kπ

C. x = + kπ
D. x = +
2
2
3
2
2
63:
Phương trình sinx = 1 có nghiệm là:
π
π
A. x = + k 2π ; k ∈ ¢ B. x = + kπ ; k ∈ ¢ C. x = k 2π ; k ∈ ¢
D. x = kπ ; k ∈ ¢
2
2
1
64:
Phương trình sin2x =
có số nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) là:
2
A. 1
B. 2
C. 4
D. giá trị khác
0
0
65:
Nghiệm của phương trình sin(2 x − 15 ) = sin 75 (với k ∈ Z) là:
 x = 450 + k1800
 x = 900 + k 3600

 x = 450 + k1800
A. 
B. 
C. 
D. Có nghiệm
0
0
0
0
0
0
 x = −60 + k180
 x = 120 + k 360
 x = 60 + k180
kháC.
66:
Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
π
A. sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
B. sin x = 0 ⇔ x = kπ
2
π
C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π
D. sin x = 1 ⇔ x = + k 2π
2
1
67:
Các nghiệm của phương trình sin ( x + 200 ) = với 00 < x < 1800 là:
2
0

0
A.
B. x = 50 ; x = 130 C. x = 100 ; x = 1700 D. x = 500 ; x = 1700
68:
Phương trình 2sin x = 1 có nghiệm là
π
7π
π
2π
+ k 2π
+ k 2π
A. x = − + k 2π ; x =
B. x = + k 2π ; x =
6
6
3
3

Câu 56:

Câu

π
+ kπ
2

Phương trình: sin 2 x =

Trang
6/15

π
5π
π
5π
+ kπ ; x =
+ kπ
+ k 2π
D. x = + k 2π ; x =
6
6
6
6
2.Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình cosx = m.
1
69:
Phương trình cos x = có nghiệm là:
2
5π
2π
π
π
+ k 2π
+ k 2π
A. x = ±
B. x = ±
C. x = ± + k 2π
D. x = ± + k 2π
6

3
6
3
70:
Phương trình cos x = 1 có nghiệm là:
π
3π
π
+ k 2π
A. x = + kπ
B. x = 2kπ
C. x =
D. x = + k 2π
2
2
2
71:
Phương trình cos 2 x = 1 có nghiệm là:
π
A. x = π + k 2π, k ∈ ¢ B. x = k , k ∈ ¢
C. x = k π, k ∈ ¢
D. x = k 2π, k ∈ ¢
2
72:
Phương trình lượng giác: cos 3x = cos120 có nghiệm là:
π
π k 2π
−π k 2π
π k 2π
+

+
A. x = ± + k 2π
B. x = ± +
C. x =
D. x =
15
45
3
45
3
45
3
73:
Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
π
π
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2
2
π
C. cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ −π + k 2π
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k 2π
2
3
74:
Phương trình cosx =
có nghiệm là:
2
π

π
π
π
A. x = ± + k 2π
B. x = ± + kπ
C. x = ± + k 2π
D. x = ± + kπ
3
6
6
3
π
3
75:
Phương trình cot( x − ) =
có nghiệm là:
6
3
π
π
π
π
A. x = + k 2π
B. x = − + kπ
C. x = + kπ
D. x = + kπ
3
3
2
6

76:
Phương trình cos x = −1 có các nghiệm là:
π
π
A. x = π + k 2π
B. x = + k 2π
C. x = + kπ
D. x = k 2π
2
2
x
77:
Giải phương trình lượng giác: 2 cos + 3 = 0 có nghiệm là
2
5π
5π
5π
5π
+ k 2π
+ k 2π
+ k 4π
+ k 4π
A. x = ±
B. x = ±
C. x = ±
D. x = ±
3
6
6
3

π

78:
Số nghiệm của phương trình: 2 cos  x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là:
3

A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
C. x =

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

( k∈Z)
Phương trình 1+ 2cos2x = 0 có nghiệm
π
π
π
A. x = ± + kπ
B. x = ± + k2π
C. x = ± kπ
3
3
3

Câu 79:

D. x =

π
+ kπ
3

3. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại
giữa sin và cosin.
Câu 80:
Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0; π ) là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Câu 81:
Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là:
Trang
7/15


A. x = k 2π

 x = k 2π
B. 
 x = π + k 2π

2

C. x =

π
+ k 2π
4

π

 x = 4 + k 2π
D. 
 x = − π + k 2π

4

Nghiệm của phương trình sin 2 x + cos 2 x = 1 , là:
 x = kπ

 x = k 2π

A.
B. 
 x = π + kπ
 x = π + k 2π

4

4
π
π


 x = 4 + k 2π
 x = 4 + kπ
;k ∈¢ .
C. 
.
D. 
 x = 3π + k 2π
 x = 3π + kπ


4
4

Câu 82:

Câu 83:

Số nghiệm của phương trình

A. 1

B. 4

 π 7π
3 sin 2 x + cos 2 x = 1 trong khoảng  − ;
 2 6
C. 3
D. 2


÷ là


4. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình tanx = m.
Câu 84:
Phương trình tan x = 1 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = + 2kπ
C. x = + k 2π
D. x = + kπ
4
4

2
2
π


Câu 85:
Số nghiệm của phương trình 3 tan  x + ÷ = 1 thuộc đoạn [ −π; 2π] là:
3

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 86:
Phương trình lượng giác: 3.tan x + 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = − + k 2π
C. x = + kπ
D. x = − + kπ
3
3
6
3
2
Câu 87:
Giải phương trình: tan x = 3 có nghiệm là:

π
π
π
A. x = − + kπ
B. x = ± + kπ
C. vô nghiệm
D. x = + kπ
6
6
6
5. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình cotx =m.
Câu 88:
Phương trình cot x = 1 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = + k 2π
C. x = + k 2π
D. x = + kπ
2
2
4
4
6. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại
giữa tan và cot.
7.Mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình lượng giác thuộc
khoảng đoạn cho trước và
8.Phương trình đưa về dạng tích cơ bản bằng cách sử dụng công

thức nhân đôi, cung hơn kém.
9.Tìm tập xác định hàm số chứa phương trình lượng giác cơ bản.
10.Câu hỏi khác.
Câu 89:

m
2
cm ≥1
D. m ≤ −1 hoÆ

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: cos2x =

A. −2 ≤ m ≤ 2

B. m ≤ 1

C. −1 ≤ m ≤ 1

Trang
8/15


Phương trình: cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là:
 m < −1
A. 
B. m > 1
C. −1 ≤ m ≤ 1
m > 1
Câu 91:
Phương trình sin x = m + 1 có nghiệm khi:

A. m ∈ [ −1;1]
B. m ∈ [ −2; 0]
C. m ∈ [ −2; 2]
Câu 92:
Phương trình: cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là:
 m < −1
A. 
B. m > 1
C. −1 ≤ m ≤ 1
m > 1
Câu 90:

D. m < −1
D. m ∈ [ 0; 2]
D. m < −1

Phần 3: Một số dạng phương trình lượng giác cơ bản
1.Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất với 1 hàm số
lượng giác
Hàm sin.
Câu 93:
[1D1-2] Nghiệm phương trình 2sinx − 3 = 0 là:
A.

π

 x = 3 + kπ
( k ∈¢)

2π

x =
+ kπ
3


. B.

.

D.

π

 x = 6 + k2π
( k ∈¢)
 5π
x =
+ k2π
6


.

C.

π

 x = 3 + k2π
( k ∈¢)


2π
x =
+ k2π
3


π

 x = 6 + kπ
( k ∈¢)
 5π
x =
+ kπ
6


Hàm cosin.
Câu 94:
Phương trình 2 cos x + 1 = 0 có nghiệm là:
4π
π
+ k π, k ∈ ¢
A. x = ±
B. x = ± + k π, k ∈ ¢
3
3
π
2π
+ k 2π, k ∈ ¢
C. x = ± + k 2π, k ∈ ¢

D. x = ±
6
3
Câu 95:
Phương trình 2 2 cos x + 6 = 0 chỉ có các nghiệm là:
5π
π
5π
π
+ k 2π
+ k 2π
A. x = ±
B. x = ± + k 2π
C. x = ±
D. x = ± + k 2π
6
6
3
3
Hàm tan.
Câu 96:
[1D1-2] Nghiệm phương trình 3tanx − 3 = 0 là:
A. x =

π
+ k2π ( k ∈ ¢ )
3

.

B. x =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
6

. C. x = −

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
6

. D. x =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
3

Hàm cot.
Câu 97:
[1D1-2] Nghiệm phương trình 3cotx + 3 = 0 là:
A. x = −

π
+ k2π ( k ∈ ¢ )
6

. B. x = −

π

+ kπ ( k ∈ ¢ )
6

. C. x = −

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
3

. D. x = −

π
+ k2π ( k ∈ ¢ )
3

.
Câu 98:

[1D1-2] Nghiệm phương trình

A. x = −

π
+ k2π ( k ∈ ¢ )
6

. B. x = −

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )

6

π

3cot  x + ÷ − 1= 0
3


là:

. C. x = k2π ( k ∈ ¢ ) .

D. x = kπ ( k ∈ ¢ )

2. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc hai với 1 hàm số
lượng giác
Hàm sin:Dùng thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức lượng
giác.
Câu 99:
Nghiệm của phương trình lượng giác: sin 2 x − 2sin x = 0 có nghiệm là:

Trang
9/15


π
π
+ kπ
D. x = + k 2π
2

2
2
Phương trình 2sin x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
kπ
B. + kπ
C. + k 2π
D. − + k 2π
2
2
6
2
Nghiệm của phương trình sin x − 4sin x + 3 = 0 , là:
π
π
x = + k 2π , k ∈ Z .
B. x = + kπ , k ∈ Z .
2
2
x = kπ , k ∈ Z .
D. x = k 2π , k ∈ Z .

A. x = k 2π
Câu 100:
A.
Câu 101:
A.
C.

B. x = kπ

C. x =

2
Các nghiệm của phương trình 2sin x − 5cos x + 1 = 0 là:
π
A. x = ± + k 2π ; x = ± arccos ( −3) + k 2π ( k Î Ζ)
3
π
B. x = ± + k 2π ; x = ± arccos ( −3) + k 2π ( k Î Ζ)
6
C.
π
D. x = ± + k 2π ( k Î Ζ)
6
Câu 103: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 thõa điều kiện

Câu 102:

π
là:
2
π
π
π
5π
x=
B. x =

C. x =
D. x =
3
2
6
6
2
Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin x + 5sin x − 3 = 0 là:
π
π
3π
5π
x=
B. x =
C. x =
D. x =
6
2
2
6
2
Nghiệm của phương trình lượng giác: sin x − 2sin x = 0 có nghiệm là:
π
π
x = k 2π
B. x = kπ
C. x = + kπ
D. x = + k 2π
2
2

0≤ x<
A.
Câu 104:
A.
Câu 105:
A.

Hàm cosin : Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
3
2
Câu 106: Phương trình: cos 2 x + cos 2 x − = 0 có nghiệm là:
4
2π
π
π
π
+ kπ
A. x = ±
B. x = ± + kπ
C. x = ± + kπ
D. x = ± + k 2π
3
3
6
6
2
Câu 107: Phương trình lượng giác: cos x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là ( k ∈ Z ) :
π

A. x = kπ
B. x = k 2π
C. x = + k 2π
D. Vô nghiệm
2
2
Câu 108: Nghiệm của phương trình lượng giác: cos x − cos x = 0 thõa điều kiện
0 < x < π là:
π
−π
A. x =
B. x = 0
C. x = π
D. x =
2
2
Hàm tan: Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
Hàm cot: Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
Trang
10/15


 Hàm mở rộng hỗn hợp giữa các hàm (1 câu).
3. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc bậc 3 với 1 hàm số
lượng giác
Hàm sin Dùng công thức nhân đôi, nhân 3, các hằng đẳng thức
lượng giáC.
2

3
Câu 109: Nghiệm của phương trình sin x + sin x + sin x = 0 , là:
π
x = + kπ ; k ∈ ¢
2
A. x = π + k 2π .
B. x = kπ .
C. x = k 2π .
D.
.
Hàm cosin Dùng công thức nhân đôi, nhân 3; các hằng đẳng thức
lượng giác.
Hàm tan: Dùng công thức nhân đôi, nhân 3 các hằng đẳng thức
lượng giác.
Hàm cot: Dùng công thức nhân đôi, các hằng đẳng thức lượng giác.
4.Ứng dụng hàm số bậc hai vào tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số.
5. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất đối với sinx
và cosx và ứng dụng
5.1. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Câu 110: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 0 là:
π
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = − + kπ
C. x = − + k 2π
D. x = + k 2π

4
4
4
4
Câu 111: Phương trình 3 sin x + cos x = 1 tương đương với phương trình
π 1
π
 1

π
 1
π
 1
A. cos  + x ÷=
B. sin  x − ÷ =
C. sin  + x ÷ =
D. cos  − x ÷ =
6 2
6
 2

3
 2
3
 2
Câu 112: Phương trình: 3.sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình nào sau
đây:
π
1
π

π
π
1
π 1




A. sin  3x − ÷ = −
B. sin  3x + ÷ = − C. sin  3x + ÷ = − D. sin  3x + ÷ =
6
2
6
6
6
2
6 2




Câu 113:

cos x − 3 sin x
=0
có nghiệm là:
1
sin x −
2
π

7π
+ k 2π
B. Vô nghiệm
C. x = + kπ
D. x =
6
6

Phương trình lượng giác:

A. x =

π
+ k 2π
6

5.2.Tìm đk của tham số để phương trình có nghiệm.
Câu 114: Điều kiện để phương trình 3sin x + m cos x = 5 vô nghiệm là
 m ≤ −4
A. 
B. m > 4
C. m < −4
D. −4 < m < 4
m ≥ 4
Câu 115: Điều kiện để phương trình m.sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là:
 m ≤ −4
A. m ≥ 4
B. −4 ≤ m ≤ 4
C. m ≥ 34
D. 

m ≥ 4
Câu 116: Phương trình m cos 2 x + sin 2 x = m − 2 có nghiệm khi và chỉ khi:
Trang
11/15


4
3

3

4


A. m ∈  −∞; 
B. m ∈  ; +∞ ÷
C. m ∈  ; +∞ ÷
D. m ∈  −∞; 
3
4

4

3


Câu 117: Tìm m để phương trình sin2x - 2.(m - 1).sinx.cosx - (m - 1).cos2x = m có
nghiệm.
A. 0 < m < 1
B. 0 ≤ m ≤ 1

C. m > 1
D. m ≤ 0
Câu 118: Tìm m để phương trình cos2x - sinx + m = 0 có nghiệm.
1
5
5
5
A. - £ m £ 1
B. - £ m £ 1
C. - £ m £ - 1
D. m ³ 4
4
4
4
2
Câu 119: Tìm m để phương trình m.sin 2 x + 2(m − 1) cos x = 3m có nghiệm
A. m ∈ [ −3;0]
B. m ∈ [ −4;1]
C. m ∈  −1 − 2; −1 + 2 
D. m ∈ [ −4;0]
Câu 120: Điều kiện để phương trình m sin x + 8cos x = 10 vô nghiệm là
 m ≤ −6
A. m > 6
B. 
C. m < −6
D. −6 < m < 6
m ≥ 6

2
Câu 121: Để phương trình: sin x + 2 ( m + 1) sin x − 3m ( m − 2 ) = 0 có nghiệm, các giá trị thích

hợp của tham số m là:

 1

1

− ≤m<
2
A.  2
1 ≤ m ≤ 2

 1

1

− ≤m≤
3
B.  3
1 ≤ m ≤ 3

 −2 ≤ m ≤ −1

C. 
0 ≤ m ≤ 1

 −1 ≤ m ≤ 1

D. 
3 ≤ m ≤ 4

5.3.Ứng dụng điều kiện có nghiệm của pt vào tìm GTNN, GTLN.
2
Câu 122: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = cos x + 4 cos x + 7 là:
A. 1
B. 3
C. 7
D. 4
Câu 123: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 x
 x 
y = 6 sin 4  ÷+ cos 4  ÷ − cos x − 2 Khi đó giá trị của M-m là
2
 2 

49
49
A. 2
B. −
C. -2
D.
12
12
Câu 124: Gọi M,m lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của
phương trình 2sin 2 x + 3cosx − 3 = 0 . Giá trị của M+m là
π
π
π
A.
B. −

C. 0
D. −
6
3
6
6. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đẳng cấp bậc hai
6.1. Dạng phương trình asin 2 x + bsinx.cosx + ccos 2 x = 0 .
7. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đẳng cấp bậc bA.
8. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đối xứng.
Câu 125: Nghiệm dương nhỏ nhất phương trình: sin x − cos x + sin2x = 2cos2 x là
π
2π
π
π
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
6
3
4
3
9. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bán đối xứng.
10.Phương trình tích cơ bản
10.1.Chứa nhân tử là sinx hoặc bội của x.
10.2.Chứa nhân tử là cosx hoặc bội của x.
10.3.Chứa nhân tử là 1 ± cosx .
sin x
1+ cos x 4
+

=
Câu 126: Phương trình
tương đương với các phương trình:
1+ cos x
sin x
3
1
1
3
3
A. sin x =
B. sin x =C. sin x =D. sin x =
2
2
2
2
10.4.Chứa nhân tử là 1 ± sinx .
Trang
12/15


10.5. Chứa nhân tử chung chẳng hạn như là: sinx ± cosx; 1 ± tanx ,
π

sinα ± cosα = 2sin  α ± ÷.
4


Câu 127:

π
π


Phương trình: cos  2 x + ÷+ cos  2 x − ÷+ 4sin x = 2 + 2 ( 1 − sin x )
4
4



có nghiệm

là:

π
π
π



x
=
+
k
2
π
x
=
+ k 2π
x

=
+
k
2
π



6
3
12
A. 
B. 
C. 
 x = 5π + k 2π
 x = 2π + k 2π
 x = 11π + k 2π



12
6
3

Câu 128: Phương trình sin x + cos x = 2 sin 5 x có nghiệm là:
π
π
π
π
π

π



 x = 16 + k 2
x = 4 + k 2
 x = 12 + k 2
A. 
B. 
C. 
x = π + k π
x = π + k π
x = π + k π



6
3
24
3
8
3
Câu 129:

π

x
=
+ k 2π


4
D. 
.
 x = 3π + k 2π

4
π
π

 x = 18 + k 2
D. 
x = π + k π

9
3

1
2

Phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2x có nghiệm là:

π
π

x
=
+
k

6

2
A. 
x = k π

4

π

π
π
x
=
+ kπ



x = + kπ
x = + k 2π
8


4
2
B. 
C.
D.


x = k π
 x = kπ

 x = k 2π

2
cos 2 x
Câu 130: Phương trình cos x + sin x =
có nghiệm là:
1 − sin 2 x
π
π
3π
5π




 x = − 4 + k 2π
 x = 4 + k 2π
 x = 4 + kπ
 x = 4 + kπ




π
π
π
3π




x
=
+
k
π
x
=
+
k
π
x
=
−
+
k
2
π
+ kπ
A.
B.
C.
D.  x =




8
2
2
8


 x = kπ
 x = k 2π

x = k π


x = k π




2
4
10.6. Chứa nhân tử nhờ mối liên hệ giữa các hệ số, nhẩm nghiệm đặc biệt.
11. Phương trình tích nâng cao: Sử dụng hỗn hợp nhiều công thức.
Câu 131: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x = 2
B. cos 4 x =
4
2
2
C. 2sin x + 3cos x = 1
D. cot x − cot x + 5 = 0
Câu 132: Nghiệm của phương trình: sin x. 2 cos x − 3 = 0 là:

(

A.
Câu 133:
A.
C.
Câu 134:

)

 x = kπ
 x = kπ

B. 
C.
 x = ± π + k 2π
 x = ± π + kπ
6
6


Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
sin x + 3 = 0
B.
tan x + 3 = 0
D.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. sin x + 3 = 0
C. tan x + 3 = 0

 x = k 2π


 x = ± π + k 2π
3


D. x = ±

π
+ k 2π
6

2 cos 2 x − cos x − 1 = 0
3sin x – 2 = 0

2
B. 2 cos x − cos x − 1 = 0
D. 3sin x – 2 = 0

Trang
13/15


2π
+ k 2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
3
A. 2 cos x − 1 = 0
B. 2 cos x + 1 = 0
C. 2 sin x + 1 = 0
D. 2sin x − 3 = 0
Câu 136: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

2
A. sin x + 3 = 0
B. 2 cos x − cos x − 1 = 0
C. tan x + 3 = 0
D. 3sin x – 2 = 0
Câu 137: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 3 sin 2 x − cos 2 x = 2
B. 3sin x − 4 cos x = 5
Câu 135:

Cho biết x = ±

π
D. 3 sin x − cos x = −3
3
Câu 138: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
 x = α + k 2π
π
A. tan x = tan α ⇔ 
B. tan 2 x = tan 2α ⇔ x = α + k
2
 x = π + α + k 2π
 x = α + k 2π
C. cot x = cot α ⇔ x = α + kπ
D. cosx = cos α ⇔ 
 x = π − α + k 2π
Câu 139: Phương trình sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2sin x.cos 2 x   tương đương với phương trình
sin x = 0
sin x = 0
sin x = 0

sin x = 0

1
1
A.
B. sin x = 1
C. sin x = −1
D. 


sin x =
sin x = −

2

2
cos x(1- 2sin x)
= 3.
Câu 140: Giải phương trình
2cos2 x − sin x -1
C. sin x =

A. x = −
Câu 141:

π
6

+ k2π ( k Î Ζ)

Số nghiệm của phương trình

B. x = ±

π
6

+ k2π ( k Î Ζ)

(1 − 2sinx) cosx
= 3
(1 + 2sinx)(1 − s inx)

trong khoảng

 π 3π 
 − ; ÷ là
 4 2 
A. 2
B. 3
C. 1.
D. 4
12. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác đối xứng
với tan và cot.
13. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác có dạng
sin2n và cos2n.
Câu 142: Phương trình 2 cos 2 x − 3 3 sin 2 x − 4sin 2 x = −4 có tập nghiệm là?
π

x = + kπ


π
2
( k Î Ζ)
A. x = + kπ ( k Î Ζ)
B. 
2
 x = π + kπ

6
é π
êx = + kπ2
π
ê 2
( k Î Ζ)
C. x = + kπ ( k Î Ζ)
D. ê
6
ê π
êx = + kπ
ê
ë 6
14. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
công thức hạ bậc.
Câu 143: Phương trình cos 4 x + 2sin 6 x = 2 3 sin 3 x.cosx + cos 2 x tương đương với
sin 3 x = 0
sin 3 x = 0
A. 
B. 
s inx + 3 cos x = 2 cos 3 x

s inx + 3 cos x = −2 cos 3 x
Trang
14/15


sin 3 x = 0
sin 3 x = 0
C. 
D. 
s inx + 3 cos x = 4 cos 3 x
s inx + 3 cos x = −4 cos 3 x
15. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
cung hơn kém.
16. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ ).
17. Mối quan hệ giữa nghiệm và một số phương trình lượng giác
qua các kì thi ĐH.
18.Câu hỏi khác.
Câu 144:

cos 3a + cos 2a + cos a
ta được:
sin 3a + sin 2a + sin a
B. tan a
C. tan 2a

Rút gọn biểu thức A =

A. cot 2a
C. x = −

Câu 145:
A.
Câu 146:
A.
C.
Câu 147:
A.

π
6

π

+ k 2π , x = − + k 2π ( k Î Ζ)
2

D. x =

π
6

D. cot a

+ k 2π ( k Î Ζ)

sin α + cos α
Cho cot α = 2 . Giá trị của biểu thức P =
là
sin α − cos α
-1

B. 1
C. 3
D. -3
Trong những khẳng định sau, những khẳng định nào sai
a+b
a −b
a+b
a−b
cos a − cos b = −2sin
.sin
.cos
B. s ina+sinb=2sin
2
2
2
2
x
1
2 π
cos a.sin b = [ sin(a − b) + sin(a + b) ]
D. 1 − sin x = 2sin  − ÷
2
 4 2
1
π 
Cho α ∈  ; π ÷;sin α = . Giá trị biểu thức P = sin α + cos α + 1 là
3
2 
4+2 2
3

B.

12 + 2 2
9

C.

12 − 2 2
9

D.

4−2 2
3

 π π
Cho α ∈  − ; ÷. Trong những khẳng định sau, khẳng định nào đúng
 3 3
π
π
π
π




A. cos  α + ÷ > 0
B. tan  α + ÷ > 0
C. sin  α + ÷ > 0

D. cot  α + ÷ > 0 .
3
3
3
3





Câu 148:

Trang
15/15