2D2 7 01 3

Câu 1.

[2D2-7.1-3] (THPT-YÊN-LẠC) Bác Bình tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của
công ty bảo hiểm với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm bác Bình đóng vào công ty 20
triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi 6% / năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm bác Bình
thu về tổng tất cả số tiền lớn hơn 400 triệu đồng?
A. 14 năm.
B. 12 năm.
C. 11 năm Toán.
D. 13 năm.
Lời giải
Tác giả:Vân Hà ; Fb: Ha Van
Chọn D
Gọi số tiền mỗi năm bác Bình đóng vào công ty là A .
Đặt q  1  6%  1, 06 .
Gọi

Sn

là số tiền cả gốc và lãi sau năm thứ n , ta có:

S1  A  A.6%  Aq
S2  ( S1  A)  ( S1  A).6%  ( S1  A)q  Aq 2  Aq

.

….
Sn   S n 1  A    S n 1  A  .6%   Sn 1  A  .q  Aq n  Aq n 1  K  Aq  Aq.

qn 1
q 1 .

Để thu về tổng số tiền lớn hơn 400 triệu thì

400  q  1
�400  q  1 �
qn  1
 400 � q n 
 1 � n  log q �
 1�
q 1
Aq
� Aq
�.

S n  400 � Aq.

Thay q  1, 06; A  20 suy ra n  12,99 . Vậy sau ít nhất 13 năm bác Bình thu về tổng tất cả số
tiền lớn hơn 400 triệu đồng.
Câu 2.

sin x
2
[2D2-7.1-3] (SỞ LÀO CAI 2019) Phương trình 2019  sin x  2  cos x có bao nhiêu
 5 ; 2019  ?
nghiệm thực trên đoạn
A. 2019 .
B. 2025 .
C. Vô nghiệm.
D. 2024 .

Lời giải
Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung
Chọn B
sin x
2
sin x
2
 1 .
Ta có 2019  sin x  2  cos x � 2019  sin x  1  sin x

x � 5 ; 2019  � t � 1;1
Đặt sin x  t , ta có
.
Phương trình

 1

� ln 2019t  ln

Xét hàm số



t
2
trở thành 2019  t  1  t



t 2  1  t � t .ln 2019  ln

f  t   t.ln 2019  ln



t2 1  t



 2 .



t 2 1  t  0

 , t � 1;1 .

(do hai vế của

 2

luôn dương).


t

1
2
1
t


1
f�
 ln 2019 
 t   ln 2019  2
2
t 1  t
t 1 .
Ta có
ln 2019  ln e  1
�
1
�
� ln 2019 
0
1
� t2 �
2
1 1
1
t

1
�
t � 1;1
t2 1
ta có �
.
Suy ra

f�
 t   0 , t � 1;1 , suy ra f  t  đồng biến trên đoạn  1;1 .
f  0  0

Mặt khác

nên phương trình

 2

có nghiệm duy nhất t  0 .

� sin x  0 � x  k , k ��.
Ta có
Suy ra

x � 5 ; 2019  � 5 �k �2019 � 5 �k �2019

k � 5;  4;...; 2019

.

, suy ra có 2025 giá trị k .

x � 5 ; 2019 
Vậy có 2025 nghiệm thực
.
Câu 3.

[2D2-7.1-3] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Ông A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi

suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả
nợ và đều đặn cứ mỗi tháng ông A sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết
rằng tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ
cho ngân hàng?
A. 22 tháng.
B. 23 tháng.
C. 24 tháng.
D. 25 tháng.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen
Chọn C
+ Bài toán tổng quát:
Giả sử ông A vay ban đầu là X đồng. Sau đúng một tháng trả T đồng với lãi suất hàng tháng
r % . Hỏi sau bao lâu ông A trả hết nợ?
X  1 r   T
- Số tiền ông A còn nợ sau một tháng :
.
- Số tiền ông A còn nợ sau hai tháng:

 X  1 r 
X  1 r   T �
�
 1  r   1�
 1 r   T  X  1 r   T �
�
�
�
�
2

2

 1 r 
T

2

1

r

.

- Số tiền ông A còn nợ sau ba tháng:

 X  1 r 

2

 X  1 r 



3
2
�
T �
 1  r   1�
 1  r    1  r   1�
�

� 1  r   T  X  1  r   T �
�

3

 1 r 
T
r

3

1
.

C  X 1 r

n

 1 r 
T

r
- Quy nạp ta được: Số tiền ông A còn nợ sau n tháng:
Để trả hết nợ thì n là số nguyên dương nhỏ nhất để C �0
+ Áp dụng bài toán ta được:
Ông A trả nợ hết ngân hàng khi:
n
� 0, 6 �
1
n

�
� 1
100 �
� 0, 6 �
�
200. �
1
�0
� 9.
0, 6
n
n
� 100 �
 200.  1, 006  1500. �
ۣ
1, 006   1�

�
�
100

n

1
.


15
n
 1,006  ۳�n

ۣ 1500 1300.  1, 006 
13
24
Từ đó suy ra sau
tháng thì ông A trả hết nợ.
n

Câu 4.

ۣ

log1,006

15
13

23,92

.

[2D2-7.1-3] (CỤM-CHUYÊN-MÔN-HẢI-PHÒNG) Một người gửi 100 triệu đồng vào tài
khoẳn tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0, 6% / tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500
nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất
với phương án nào dưới đây? (biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo
số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó).
A. 108 triệu đồng.
B. 102 triệu đồng.
C.104 triệu đồng.
D. 106 triệu đồng.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương; Fb: Nguyễn Tuấn Phương
Chọn C
Sau lần rútthứ nhất, số tiền còn lại là: 10 .1,006  5.10 (đồng).
8

5

Sau lần rút thứ 2, số tiền còn lại là:
2
�
108.1, 006  5.105 �
.1, 006  5.105  108.  1, 006   5.106.  1, 006  1
�
�
(đồng).

Sau lần rút thứ 3, số tiền còn lại là:
2
3
�
108. 1, 006   5.105  1, 006  1 �
.1, 006  5.10 5  108.  1, 006   5.105  1, 0062  1, 006  1
� 
�
(đồng).

...
Một cách tổng quát, sau lần rút tiền thứ n , số tiền còn lại là:

10 .1, 006  5.10 . �

 1, 006 
�
(đồng).
8

n

5

n 1

  1, 006 

n 2

n
8
n
5 1, 006  1

10
.1,
006

5.10
.
 ...  1, 006  1�
1, 006  1
�

Vậy sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại là:

10 .  1, 006 
8

36

 1, 006 
 5.10 .

36

5

0, 006



1

�104.106
(đồng). Chọn đáp án C.