2D2 7 01 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (97.48 KB, 2 trang )
Câu 1.
[2D2-7.1-4] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho phương trình
log 2 ( 2 x 2 − 4 x + 4 ) = 2 y + y 2 − x 2 + 2 x − 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x; y ) và
2
0 < x < 100
A.
thỏa mãn phương trình đã cho?
4.
B.
C. 1 .
3.
D.
2.
Lời giải
Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop
Chọn C
Điều kiện: 2 x 2 −
4x + 4 > 0
(*)
log 2 ( 2 x 2 − 4 x + 4 ) = 2 y + y 2 − x 2 + 2 x − 1
2
Ta có
⇔ log 2 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x 2 − 2 x + 1) = 2 y + y 2
2
⇔ log 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) + log 2 2 + ( x 2 − 2 x + 1) = 2 y + y 2
2
⇔ log 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x 2 − 2 x + 2 ) = 2 y + y 2 (1).
2
f ( t ) = 2t + t
Xét hàm
Ta có
f ′ ( t ) = 2t.ln 2 + 1 > 0 ∀ t ∈ ¡
Hàm số đồng biến trên
(1) ⇔
(
.
)
(
)
f log 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) = f ( y 2 ) ⇔ log 2 x 2 − 2 x + 2 = y 2 ⇔ x 2 − 2 x + 2 = 2 y2
⇔ ( x − 1) + 1 = 2 y
2
Do
¡
.
2
.
2
2
y
2
0 < x < 100 ⇒ 1 ≤ ( x − 1) + 1 = 2 ≤ 99 + 1 ⇒ 0 ≤ y ≤ log 2 ( 99 + 1) ; do y
2
nên ta suy ra 1 ≤
2
nguyên dương
y ≤ 3.
+)
y = 1 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 2 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 2 (Thỏa mãn Đk (*) và x nguyên dương).
+)
y = 2 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 16 ⇒ x 2 − 2 x − 14 = 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn).
+)
y = 3 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 512 ⇒ x 2 − 2 x − 510 = 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn).
Vậy có một cặp nguyên dương
( x; y ) = ( 2;1)
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2.
[2D2-7.1-4]
(THPT-YÊN-LẠC)
27 x + 3x.9 x + ( 3x 2 + 1) 3x = ( m3 − 1) x3 + ( m − 1) x ,
Cho
m
phương
là tham số. Biết rằng giá trị
trình
m
nhỏ nhất
để phương trình đã cho có nghiệm trên
của biểu thức 17a +
3b
( 0;+∞ )
là
a + eln b , với a, b
C.
48 .
là các số nguyên. Giá trị
bằng
B. 54 .
A. 26 .
D. 18 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương; Fb: Nguyễn Tuấn Phương
Chọn A
x3 + 3x 2 3x + 3x. ( 3x ) + ( 3x ) + x + 3x = ( mx ) + mx
2
Phương trình đã cho tương đương
3
3
⇔ ( x + 3x ) + x + 3x = ( mx ) + mx (*)
3
Xét hàm số
3
f ( t ) = t3 + t
f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀ t ∈ ¡ ⇒ f ( t )
có
là hàm đồng biến trên
¡
.
3x
1+ = m
Do đó từ ( *) suy ra x + 3x = mx . Vì x > 0 suy ra
.
x
3x
f ( x) = 1 +
Xét hàm số
x trên ( 0;+∞ ) .
Ta có
f ′ ( x)
Dấu của
( 3 ln 3) x − 3
=
f ′ ( x)
x
x2
x
= 0 ⇔ 3x ( x ln 3 − 1) = 0 ⇔ x =
cũng là dấu của nhị thức bậc nhất
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của
Suy ra
m
1
= log 3 e
.
ln 3
x ln3 − 1 , do đó ta có bảng biến thiên:
để phương trình có nghiệm là
a = 1, b = 3 ⇒ 17a + 3b = 17 + 9 = 26 . Do đó chọn đáp án A.
m = 1 + eln3 .
