2H3 5 11 3

Câu 1.

[2H3-5.11-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Trong không gian
,

B ( 3;4;5)

và mặt phẳng

trong mặt phẳng
khi

AH = BK

( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 . Gọi ∆

là một đường thẳng thay đổi nằm

( P ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B trên ∆ . Biết rằng

thì trung điểm của

của đường thẳng

Oxyz , cho hai điểm A ( 1;2;3)

d

HK

luôn thuộc một đường thẳng

d

cố định, phương trình

là

x = 1

 y = 13 − 2t

A.  z = − 4 + t .

x = t

 y = 13 − 2t

B.  z = − 4 + t .

x = t

 y = 13 − 2t

C.  z = − 4 − t .

x = t

 y = 13 + 2t

D.  z = − 4 + t .

Lời giải
Tác giả: Đàm Văn Thượng ; Fb:Thượng Đàm
Chọn B
Ta kiểm tra được

Gọi

I

A ∈ ( P) , B ∉ ( P) .

là trung điểm của

HK , ta có AH = BK , IH = IK nên ∆ AHI = ∆ BKI

suy ra

IA = IB .

( Q ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
uuur
Q
M
2;3;4
( ) là trung điểm của đoạn AB và nhận AB = ( 2;2;2 )
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm
Do đó

I

nằm trên mặt phẳng

là

một véctơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng
Ta có

( Q ) là: 2 ( x − 2) + 2 ( y − 3) + 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ x + y + z − 9 = 0 .

I ∈ ( P ) , I ∈ ( Q ) , suy ra I ∈ d

là giao tuyến của mặt phẳng

( P)

uuur
n
là ( P ) = ( 1;2;3) .
uuur
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) là n( Q ) = ( 1;1;1) .
uuur uuur
uuur uuur
r
 n P , n Q  = ( − 1;2; − 1)
n P ,n Q 
. Véctơ  ( ) ( )  cùng phương u = ( 1; − 2;1) .
 ( ) ( )

r
u
Suy ra đường thẳng d có một véctơ chỉ phương = ( 1; − 2;1) .

và

( Q) .

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

 2 y + 3 z − 14 = 0  y = 13
⇔
A ( 0; y; z ) thuộc giao tuyến của ( P ) và ( Q ) . Ta có  y + z − 9 = 0
 z = −4 .
Chọn điểm


r
d đi qua điểm A ( 0;13; − 4 ) có một véctơ chỉ phương u = ( 1; − 2;1) có phương
Đường thẳng
x = t

 y = 13 − 2t

trình là  z = − 4 + t .