7 thi online độ dài đường tròn, cung tròn diện tích hình quạt tròn

ĐỀ THI ONLINE –ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN; DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT
TRÒN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi
+) Ôn tập các công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn.
+) Ôn tập các công thức tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn
+) Vận dụng các công thức đã học để tính diện tích, chu vi của một số hình đặc biệt.
Câu 1 (NB): Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB  14cm . Chu vi đường tròn là:
B. 28 (cm)

A. 28(cm)

C. 14 (cm)

D. 14(cm)

Câu 2 (NB): Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB  20cm . Diện tích đường tròn là:
A. 20 (cm2 )

B. 100 (cm)

C. 100(cm2 )

D. 100 (cm2 )

Câu 3 (NB): Cho đường tròn (O, 5cm), đường kính AB. Điểm M  (O) sao cho MAB  450 . Tính độ dài
cung MB.
A.

3
(cm)
2

B. 3 (cm)

C.

5
(cm)
2

D. 5 (cm)

Câu 4 (TH): Cho đường tròn (O, 10cm), đường kính AB. Điểm M  (O) sao cho BAM  450 . Tính diện tích
hình quạt AOM.
A. 5 (cm2 )

B. 25 (cm2 )

C. 50 (cm2 )

D.

25
 (cm2 )
2

Câu 5 (TH): Cho đường tròn (O) đường kính AB = 4 3 cm. Điểm C  (O) sao cho ABC  300 . Tính diện
tích hình viên phân AC.
A.   3 3

B. 2  3 3

C. 4  3 3

D. 2  3

Câu 6 (TH): Cho đường tròn (O) đường kính AB  2 2 cm . Điểm C  (O) sao cho ABC  300 . Tính diện
tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC.
B. 2  2 3

A.   3 3

C.   3

D. 2  3

Câu 7 (VD): Cho A, B, C, D là 4 đỉnh của hình vuông có cạnh là a . Tính diện tích của hình hoa 4 cánh giới
hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a , tâm là các đỉnh của hình vuông.
A. S     2  a 2

B. S  2    2 a 2

C. S     2  a 2

D. S  2    2  a 2

Câu 8 (TH): Cho đường tròn tâm (O,R). A là điểm trên đường tròn, dựng đường tròn tâm O’ đường kính OA.
Gọi M là điểm nằm trên (O’), tia OM cắt đường tròn (O, R) tại N. Khi đó, kết luận nào sau đây đúng?
A. AM  AN

B. AM  AN

C. AM  AN

D. AM 

11
AN
10

Câu 9 (VDC): Cho tam giác đều ABC tâm O có cạnh bằng a . Dựng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác

OAB, OBC, OCA chúng đôi một cắt nhau tạo thành hình hoa thị 3 cánh. Diện tích hình hoa thị khi a  6 là:

1

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


B. 2  2 3

A.   3 3

D. 2  3 3

C.   3

Câu 10 (VD): Cho A, B, C là ba đỉnh của tam giác đều cạnh a . Dựng ba cung tròn tâm là A, B, C bán kính a .
Diện tích hình giới hạn bởi ba cung tròn khi a  2 là:
B. 2  2 3

A.   3 3

D. 2  3 3

C.   3

Câu 11 (VD): Cho hai đường tròn bằng nhau  O, R  và  O ', R  , tâm đường tròn này nằm trên đường tròn kia.
Diện tích phần giao của hai hình tròn là:
A.

4  3 3 2
R
6

B.

4  3 3 2
R
3

C.

4  3 2
R
6

D.

 3 3

6

R2

Câu 12 (VD): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O  . Độ dài của các cung AB, BC, CA đều bằng

4 . Diện tích của tam giác đều ABC là:
A. 29 3

C. 27 3

B. 7 3

D. 9 3

Câu 13 (VD): Tính diện tích hình hoa thị bốn cánh (như hình vẽ), cạnh
hình vuông bằng 2a .



A. 2a 2   2





B. a 2   2 2

C. a   2 



D. 2a   2 

2

2

Câu 14 (TH): Một hình quạt có chu vi bằng 28(cm) và diện tích bằng 49(cm2 ) . Bán kính của hình quạt bằng?
A. R  5(cm)

B. R  6(cm)

C. R  7(cm)

D. R  8(cm)

Câu 15 (VDC): Một hình viên phân có số đo cung 900 , diện tích 2  4 . Tính độ dài dây của hình viên phân.
A. 1

C. 3

B. 2

D. 4

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1C

2D

3C

4B

5B

6C

7C

8A

9D

10B

11A

12C

13D

14C

15D

2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa

- GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn: C  2 R
Cách làm: Ta có R 

AB
 7cm . Suy ra C  2 R  2 .7  14 (cm)
2

Chọn C
Câu 2.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích đường tròn: S   R2
Cách làm: Ta có R 

AB
 10cm . Suy ra S   R2   .102  100 (cm2 )
2

Chọn D
Câu 3.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn: l 

 Rn
180

Cách làm: Xét đường tròn (O) có:

Góc MAB là góc nội tiếp chắn cung BM.

 MB  2MAB  2.900  1800.
Vậy độ dài cung MB là l 

 Rn
180



 .5.90
180



5
cm.
2

Chọn C
Câu 4.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn có bán kính R với góc ở tâm n 0 :
 R 2 n lR
Sq 

360
2
Cách làm: Xét đường tròn tam giác AOM có:

OA  OM

 AOM là tam giác vuông cân.

0
MAO  45

 MOA  900.
Vậy diện tích hình quạt AOM là Sq 

3

 R2n
360



 .102.90
360

 25 (cm2 )

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Chọn B
Câu 5.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích hình viên phân.

Svp AC  SqAOC  S AOC
Cách làm: Xét đường tròn (O) có:

ABC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC.
 AC  2.ABC  2.300  600.
 SqAOC 

R 2 .60 R 2

.
360
6

AOC có AOC  60 và OA  OC  R nên tam giác AOC đều
cạnh bằng R.
Giả sử CH là đường cao của tam giác AOC, ta có:
3
.R
2
1
1 3
3 2
 CH.OA  . .R.R 
.R .
2
2 2
4

CH  CO.sin 600 
 SAOC

Diện tích hình viên phân AC là:

SqAOC  SAOC 

R 2
3 2 
3  2  2  3 3 

.R   
 .R  
 . 2 3
6
4
6
4
12









2

 2  3 3 .

Chọn B
Câu 6.
Phương pháp: Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC là: S 

1
S(O )  S ABC
2

Cách làm: Diện tích hình tròn (O) là: S(O )   R 2
Ta có góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  ACB  900.

 BAC  900  CBA  900  300  600.
Tam giác AOC có CAO  60 và OA  OC  R nên
tam giác AOC đều cạnh bằng R.
Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC, ta có:

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


3
.R
2
1
1 3
3 2
 CH.AB  .
R.2R 
R .
2
2 2

2

CH  CO.sin 600 
 SABC

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC là:







1
1
3 2 1
1
S(O)  SABC  R 2 
R    3 R2    3
2
2
2
2
2

 2 

2

   3.

Chọn C
Câu 7.
Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích cung tròn: S 

R 2 n
.
360

Cách làm:
Ta có diện tích của hình hoa cần tình băng 4 lần diện tích của hình viên phân AC:

S  4Svp AC .
Có: Svp AC  Scung AC  SADC 
 S  4Svp AC  4.

R 2 .900 1 2   1  2   2 2
 R    R 
a .
3600
2
4
 4 2

2 2
a     2 a 2.
4

Chọn C
Câu 8.

Phương pháp: Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn: l 

 Rn
180

Cách làm: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.
Tam giác O’OM có O’O  O’M , suy ra tam giác O’OM cân, O ' A 

1
R
2

Đặt AOM  n0 thì AOM  2n0 (mối quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở
Tâm cùng chắn 1 cung).
Suy ra số đo cung AM là 2n 0 .

Xét (O’) có độ dài cung AM là:
Xét (O) có độ dài cung AN là:

5

R
2
180

 . .2n



 .Rn

180

 .Rn
180

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Vậy AM  AN
Chọn A
Câu 9.
Phương pháp: Hình hoa thị gồm 6 hình viên phân bằng nhau. Do đó, cần tìm diện tích hình viên phân giới hạn
bởi cung AO và đoạn AO.
Cách làm: Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:
AH  AB.sin 600 

3
a
2

Vì O là tâm của tam giác đều ABC nên O đồng thời là
trọng tâm, trực tâm… của tam giác nên ta có:
AO 

2
2 3
3
AH  .
a

a
3
3 2
3

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Tam giác ABC là tam giác đều nên ta có:


OI  OB
 AOB  1200.

0

OAB  OBA  30
Lại OI là đường trung trực của AB do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO.

 AIBO là hình thoi  BA là phân giác của IAO  IAO  2.BAO  2.300  600 .
 AIO là tam giác đều cạnh AO 

a 3
 AIO  600.
3

2

 SAIO

3a 3
a2 3



.


4  3 
12
2

Ta có: Squat IAO

 Svp AO  Sq

IO2 .600   a 3 
a 2


.

.


3600
6  3 
18
IAO  SAIO 

Với a  6  Svp AO 

a 2 a 2 3 2  3 3 2



a .
18
12
36

2  3 3
36

 6

2



2  3 3
.
6

Diện tích hình hoa thị cần tính là: S  6Svp OA  6.

2  3 3
 2  3 3  dvdt .
6

Chọn D

6

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Câu 10.
Phương pháp: Diện tích giới hạn bởi ba đường cong là diện tích ba hình viên phân và diện tích tam giác đều
ABC.
Cách làm: Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:
AH  AB.sin 600 
S ABC 

3
a
2

1
1a 3
a2 3
AH.BC 
.a 
2
2 2
4

Mặt khác: SqABC 

 a 2 .60
360



 a2
6

Suy ra diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB và đoạn AB là:
SqABC  S ABC 

 a2
6



a2 3
4

Diện tích giới hạn bởi ba đường cong là diện tích ba hình viên phân bằng nhau và diện tích tam giác đều ABC.
Vậy diện tích giới hạn bằng:



2
  a2 a2 3  a2 3  a2 a2 3 a   3
S  3 




 
6
4

4
2
2
2





Khi a  2 ta có S  2  2 3
Chọn B
Câu 11.
Phương pháp:


Đặt S1 là diện tích tam giác đều AOO’



Đặt S 2 là diện tích hình viên phân giới hạn bởi đoạn AO và cung AO



Diện tích phần giao giữa hai đường tròn là: S  2S1  4S2

Cách làm: Tam giác AOO’ là tam giác đều cạnh R.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AOM, ta có:

AM  OM 2  OA2  4R2  R2  3R
Giả sử AH là đường cao của tam giác AOO’.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có:
OA.AM  AH.OM  AH 

7

OA.AM R. 3R
3R


OM
2R
2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


1
1 3
3
Vậy S1  SAOO '  AH.OO'  . R.R  R
2
2 2
4

2

R 2 n R 2 .60 R 2




360
360
6



Ta có SqOO ' A



R 2
3 2 
3  2 2  3 3 2

R   
R
Suy ra S2  SqOO ' A  S1 
 R 
6
4
12
6 4 
Diện tích phần giao giữa hai đường tròn là:
3 2
2  3 3 2
3 2 2  3 3 2
R 4.
R 
R 

R
4
12
2
3
 3 2  3 3  2  4  3 3  2
 

 R  
 R
3
6
 2




S  2S1  4S2  2.

Chọn A
Câu 12.
Phương pháp:





Áp dụng công thức tính chu vi hình tròn
Tính chất của tam giác cân
Sử dụng định lý Pitago

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Cách làm: Gọi R là bán kính của đường tròn  O  . Ta có 2 R  4  4  4  12 .
Suy ra R  6 hay OA  OB  OC  6
Ta cũng có AOB  BOC  COA  1200
1
Suy ra AOB  AOC  BOC  ABC
3

OAC  OCA  300
Xét tam giác AOC có: 
0
COA  120
Kẻ đường cao OE, ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc COA . Ta có
1
AOE  COE  AOC
2

Xét tam giác COE có:

ECO  300
1
R
 OE  CO 

0
2
2
CEO  90
2

3
R
R
Áp dụng định lý Pitago ta có: CE  OC 2  OE 2  R 2    
2
2

8

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


1
1 R 3R
3R 2
Vậy SCOE  OE .CE  . .

2
2 2 2
8
SCOA  2SCOE 

Suy ra

3 3R 2 3 3R 2
3R 2
và SABC  3SCOA 


 27 3
4
4
4

Chọn C
Câu 13.
Phương pháp: Hình hoa thị gồm 8 hình viên phân có diện tích bằng nhau. Do đó, cần tìm diện tích hình viên
phân giới hạn bởi cung AO và đoạn AO.
Cách làm: Ta có: S AOE 

1
1
AE.OE  a 2
2
2

  a  .90
2

Mặt khác: SqAOE 

360



 a2
4

Suy ra diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AO và đoạn AO là:

SqAOE  S AOE

 a2

a2 a2


   2 
4
2
4

Hình hoa thị gồm 8 hình viên phân có diện tích bằng nhau. Vậy diện tích hình hoa thị bằng:
S  8  SqAOE  S AOE   2a 2   2 

Chọn D
Câu 14.
Phương pháp:


Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn có bán kính R với góc ở tâm n : Sq 



Áp dụng công thức tính chu vi hình quạt C  l  2R

0

 R2n
360



lR
2

 lR
lR  98
l.2 R  196
2 R  14
R  7
  49




Cách làm: Ta có  2
.
l  14
l  2 R  28 l  2 R  28 l  2 R  28 l  14
Vậy R  7(cm)
Chọn C
Câu 15.
Phương pháp:


Giả sử hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB . Ta có

9

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


S  SqOAB  SOAB



Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn có bán kính R với góc ở tâm n 0 : Sq 

 R2n
360



lR
2

Cách làm: Giả sử hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB . Ta có S  SqOAB  SOAB

1
1 2

 SOAB  2 OA.OB  2 R
Theo giả thiết hình viên phân có số đo cung 900 nên ta có 
 R 2 .90  R 2
S


 qOAB

360
4
Suy ra ta có phương trình cũng có

 R2

1
 R 2  2  4
4
2
 1
 R 2     2  4
 4 2
 2  4 
 R2 
  2  4
 8 
 R2  8  R  2 2
Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2  OA2  OB2  2R2  16  AB  4
Chọn D

10

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!