108 bài toán chọn lọc lớp 5

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▲ñ✐ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮ − ◆❣æ ❚❤à ◆❤➣

❉

r❛
❢t

✶✵✽ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❍➴◆ ▲➴❈ ▲❰P ✺


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙




t ồ ồ ợ
ợ t t r
ởt t t ữỡ tr ồ ợ
õ ứ ừ ữ ổ t tự
ổ ổ
ự t t ự tờ ứ t ồ
ử t r t t t q t tỏ tứ
ỗ ữủ s ữù ụ t t ữ ủ
ộ ữ õ ỗ t ởt t tố t t ữ số
t ợ
ồ t ổ ọ ừ ỳ ữớ s s tr ỷ
P ồ s t ổ ử
sỷ ử
tr trồ ỡ sỹ q t ừ ồ
ị
stsr

▼Ö❈ ▲Ö❈

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

▼ö❝ ❧ö❝
✶
✷
✸
✹
✺
✻
✼

P❤➙♥ sè✱ ❤é♥ sè
❙è t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ t➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠
✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ t➾ ❧➺ t❤✉➟♥✱ t➾ ❧➺ ♥❣❤à❝❤✱ t➾ ❧➺ ❦➨♣
❙è ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ t♦→♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉
❍➻♥❤ ❤å❝
▼ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝
✣→♣ →♥ ✈➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝

✷

✸
✺
✼

✾
✶✷
✶✾
✷✶




P số ộ số
35 85 65 75 189
út ồ số s 28
; ; ;
;

51 39 100 105
1313 131313
út ồ rỗ s s số s 39
;
;
42 1414 141414

s số s 45 ; 87 ; 89 ; 12
11
ổ q ỗ tỷ số số s s số s
45 32

11
59 24

15

14

15
16

97
96

95
96

17
13

27
23

số tỹ t
x9 = 53

85
17
=

x
105

x8 + 32 = 76

27

x 3 7 = 135


86 = 15

x

ởt số tố s ở t ỡ tỷ số ở
t ỡ số t ữủ ởt số ợ số

số 112 ọ ở t tỷ số số ừ số
ũ ởt số tỹ ữủ số 74

số õ tỷ số ợ ỡ số ỡ s rút ồ t ữủ
số 35

số tố mn t r số m n+ n số mn




❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✵✳ ▼ët tr↕✐ ❝❤➠♥ ♥✉æ✐ ❝â 43 sè ❜á ❜➡♥❣ 23 sè ❞➯✱ ❜✐➳t sè ❜á ➼t ❤ì♥ sè ❞➯ ❧➔ ✶✷
❝♦♥✳ ❍ä✐ tr↕✐ ❝❤➠♥ ♥✉æ✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❜á❄ ❇❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝♦♥ ❞➯❄

✶✶✳ ❚✉ê✐ ❇è ❜➡♥❣ 89 t✉ê✐ ▼➭✱ t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣ 14 t✉ê✐ ▼➭✱ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛ ❇è ✈➔

▲❛♥ ❧➔ ✹✹ t✉ê✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄

✶✷✳ ❈â ❜❛ ❜➻♥❤ ♥÷î❝ ♠➢♠ ❝❤ù❛ tê♥❣ ❝ë♥❣ ✻✻ ❧➼t✱ ❜➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù❛ ❜➡♥❣ 21

❜➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ ❜➻♥❤ t❤ù ❜❛ ❝❤ù❛ ❜➡♥❣ 23 ❜➻♥❤ t❤ù ❤❛✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ❜➻♥❤ ❝❤ù❛ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ❧➼t ♥÷î❝ ♠➢♠❄

✶✸✳ ❍❛✐ ✈á✐ ♥÷î❝ ❝ò♥❣ ❝❤↔② ✈➔♦ ♠ët ❜➸ ❝↕♥✳ ◆➳✉ ✈á✐ t❤ù ♥❤➜t ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤
tr♦♥❣ ✺ ❣✐í t❤➻ s➩ ✤➛② ❜➸✳ ◆➳✉ ✈á✐ t❤ù ❤❛✐ ❝❤↔② ♠ët ♠➻♥❤ t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉ ✼
❣✐í✳ ❍ä✐ ♥➳✉ ❝↔ ❤❛✐ ✈á✐ ❝ò♥❣ ❝❤↔② t❤➻ ❜➸ s➩ ✤➛② s❛✉ ♠➜② ❣✐í❄

✶✹✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ ❝❤✉♥❣ ♠ët ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ tr♦♥❣ ✶✷ ❣✐í t❤➻ ①♦♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t
❧➔♠ ♠ët ♠➻♥❤ 23 ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ t❤➻ ♠➜t ✶✵ ❣✐í✱ ❤ä✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ 13 ❝æ♥❣ ✈✐➺❝
❝á♥ ❧↕✐ ♠➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❧➙✉❄

✶✺✳ ▲î♣ ✺❆✶ ✈➔ ✺❆✷ ❝â ✽✼ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❜✐➳t r➡♥❣ 75 sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧î♣ ✺❆✶ ❜➡♥❣
2
3

sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❧î♣ ✺❆✷✳ ❍ä✐ ♠é✐ ❧î♣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤å❝ s✐♥❤❄

✶✻✳ ▼ët ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧➔ ✶✷✵❝♠✳ ❙è ✤♦ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ t➾ ❧➺ ✈î✐

5, 12, 13✳

❚➻♠ sè ✤♦ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

✶✼✳ ▼ët ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ✸ ♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ✤÷ñ❝ 72

❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷ñ❝ 38 ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔♠ ♥èt ✺✼ ♠➨t ❝✉è✐✳
❍ä✐ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄

✶✽✳ ▼ët æ tæ ❝❤↕② q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇ tr♦♥❣ ✸ ❣✐í✳ ●✐í ✤➛✉ ❝❤↕② ✤÷ñ❝ 25 q✉➣♥❣

✤÷í♥❣ ❆❇✳ ●✐í t❤ù ❤❛✐ ❝❤↕② ✤÷ñ❝ 25 q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ✈➔ t❤➯♠ ✹❦♠✳ ●✐í
t❤ù ❜❛ ❝❤↕② ♥èt ✺✵❦♠ ❝✉è✐✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇✳
✹


✷ ❙è t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ t➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✶✾✳ ❱✐➳t ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉ ✤➙② ❞÷î✐ ❞↕♥❣ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
5 2 17 16 132
; ; ; ;
2 5 8 25 125

✷✵✳ ❱✐➳t ❝→❝ sè s❛✉ t❤➔♥❤ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
3 2 18 1
26 ; 7 ; 5 ; 1
8 5 25 2

✷✶✳ ❱✐➳t ❝→❝ sè t❤➟♣ ♣❤➙♥ s❛✉ ✤➙② ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♣❤➙♥ sè✿
2, 15; 5, 022; 4, 6; 0, 324

✷✷✳ ❑❤✐ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈î✐ ✶✷✹✱ ♠ët ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ✤➦t ❝→❝ t➼❝❤ r✐➯♥❣ t❤➥♥❣ ❝ët

✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ s❛✐ ❧➔ ✽✽✱✷✳ ❊♠ ❤➣② t➻♠ ❦➳t q✉↔ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣
♥❤➙♥✳

✷✸✳ ▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ✽✻✱✺ t↕ ✤÷í♥❣✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❝û❛ ❤➔♥❣ ❜→♥ ✤÷ñ❝ ✷✻✱✼ t↕✱

♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❜→♥ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ♥❣➔② t❤ù ♥❤➜t ✻✱✼✽ t↕✳ ❍ä✐ s❛✉ ❤❛✐ ♥❣➔② ❜→♥✱
❝û❛ ❤➔♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t↕ ✤÷í♥❣❄

✷✹✳ ❈â ❜❛ tê ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ✤➢♣ ✤÷í♥❣✱ tê ♠ët ✤➢♣ ✤÷ñ❝ ✷✺✱✼♠✱ tê ❤❛✐

✤➢♣ ✤÷ñ❝ ❤ì♥ tê ♠ët ✺✱✸♠ ✈➔ ✤➢♣ ❦➨♠ tê ❜❛ ✸✱✺♠✳ ❍ä✐ ❝↔ ❜❛ tê ✤➢♣ ✤÷ñ❝ t➜t
❝↔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄

✷✺✳ ▼ët såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ tê♥❣ ❝ë♥❣ ✼✻✱✻✺❦❣✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ❧➜② ✹❦❣ ð såt t❤ù ♥❤➜t
❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ såt t❤ù ❤❛✐ t❤➻ såt t❤ù ❤❛✐ ♥➦♥❣ ❤ì♥ såt t❤ù ♥❤➜t ✶✱✽✺❦❣✳ ❍ä✐ ♠é✐
såt ❝❛♠ ♥➦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❦✐❧❣❛♠❄

✷✻✳ ◆❤➔ ❆♥ ♥✉æ✐ ✽ ❝♦♥ ❜á✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ✸ ❝♦♥ ❜á ✤ü❝✳ ❍ä✐

❛✮ ❙è ❜á ✤ü❝ ❝❤✐➳♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤➛♥ tr➠♠ tê♥❣ sè ❜á❄
❜✮ ❚➾ sè ♣❤➛♥ tr➠♠ ❣✐ú❛ sè ❜á ✤ü❝ ✈➔ sè ❜á ❝→✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄
✺




ởt õ ổ ữủ t tờ tr õ tờ ởt

40% tờ số ổ ọ
ờ ởt õ ổ
số tr ỳ số ổ tờ ởt số ổ tờ


ởt ữớ q s tố ợ ỗ t r ữớ õ
ữủ 9% ố ọ ữớ õ ữủ t

ì 5, 1 30, 3 ì 3, 4 + 14, 58
A = 20,14,2 58
ì 460 + 7, 29 ì 540 ì 2

số t tr ở ừ ú số tỹ ợ t õ
ỳ số số 80% số

r ởt số t tữỡ ú tỹ
ởt ồ s q t ởt số tữỡ ú tỷ
tữỡ ợ số ữủ ởt số ọ ỡ số ỡ
số số

õ t tờ ở t õ tự t 43

tự tự t ỡ tờ số õ ữủ t
ọ ộ ữủ t õ

ữợ ự 4% ố ờ t ữợ
ữợ t ố tr 2%

ởt ữớ ỷ tt tr ỗ ợ st 1, 1% ởt t
ố t s ởt t
ố t ố s t ữớ õ rút t ởt
ố t ố s t ữớ õ rút t ởt

ởt ỳ t õ rở 75% t
t t t t t 12m2 t ừ ỳ
t õ

s s t A = 19, 93 ì 19, 99; B = 19, 96 ì 19, 96

ữủ t t t t



ờ ợ õ ồ s trỗ ữủ ọ ợ trỗ ữủ

t r ợ õ ồ s số ộ ồ s trỗ
ữủ

ởt ỷ ởt ữủ õ ợ ỹ t ừ tr
ộ ữủ õ ữ tỹ t ộ ỷ õ
ữủ õ ọ ợ số õ t ừ ữủ


út ữợ ừ ởt ỗ ữớ t sỷ ử ỡ
tr ớ ọ út ỗ õ tr ớ t sỷ ử
ỡ t st ữ

ởt tờ tủ õ ữớ tr ữủ ở q

ọ tờ õ õ ữớ tr t s ữủ
ở q t st ừ ộ ữớ ữ

ởt ở ổ õ ữớ ữủ ử t ổ
tr ữủ t ổ ữủ ỡ
ọ ở ổ õ t ổ ữủ tr
t st ừ ồ ữớ tr ởt ữ

ởt ữ ở õ ữớ ữủ ử õ ởt ổ

tr ộ ớ t õ ữớ ữủ
số ỏ t tớ ộ t
ớ ọ ữ õ t ố ữủ ổ ữủ tr
t st ừ ộ ữớ ữ

ởt ỡ ở ở ữớ tr

ữủ t õ ữớ ỡ ọ số ỏ ừ số
ữớ ỏ ừ ỡ õ tr ỳ t r ự
ừ ồ ữớ tr ởt ữ






ởt ỡ ở ở õ ữớ t ỹ ừ

tr ữ s õ õ ữớ s ỡ
t ọ số ỏ ỡ õ t ữủ
ỳ t ộ ữớ tr ởt t số ữ

ừ ởt ỡ ở ở ừ s tr

ử ởt t s t õ ởt số s ữủ
ử t số ữủ ỡ ỹ
ọ õ s ữủ t

ồ út q t ỗ t t

ởt út t ởt q t ụ út
q ữ t ỗ

ởt ữớ ỹ tứ tr ớ ữ trớ ữ

tố tỹ t 45 tố ỹ ọ ữớ õ ỡ ỹ


ởt ở õ ỗ tờ tờ t tờ

t ọ ộ tờ õ t r tờ số
õ ộ ởt ữủt

õ tũ ữợ ữ ỹ ữủ tt t s õ
t t ữợ ọ ỏ tũ ữợ


ỷ õ tú ỷ t ỏ tú ọ

trữợ ỷ õ

ố ợ õ tờ ở ồ s t r ự ồ s t õ
ồ s ỳ ọ ố ợ õ ồ s ồ s
ỳ

ữớ ởt ữớ tr ọ ố
ữớ õ tr t õ ữớ

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✺✸✳ ▼ët ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ♠ët sè ❞➛✉ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ♣❤➛♥

t❤ù ♥❤➜t ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤ò♥❣ ✶✺ ❧➼t✱ ♣❤➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤ò♥❣ ✷✵ ❧➼t✱
tê♥❣ sè t❤ò♥❣ ❞➛✉ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❧➔ ✶✹ t❤ò♥❣✳ ❍ä✐ ❝û❛ ❤➔♥❣ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t❤ò♥❣ ♠é✐
❧♦↕✐❄

✺✹✳ ◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ♠✉❛ ♠ët ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♥❤➜t ✤à♥❤ ✤➸ ❧➔♠ tr↕✐ ❝❤➠♥
♥✉æ✐✳ ◆➳✉ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝õ❛ ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❧➔ ✽✵♠ t❤➻ ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ✻✵♠✱ ♥❤÷♥❣
❝❤➾ t➻♠ ✤÷ñ❝ ♠✐➳♥❣ ✤➜t ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ✹✵♠✳ ❱➟② ♣❤↔✐ ❧➜② ❝❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❧➔ ❜❛♦
♥❤✐➯✉ ✤➸ ❝â ✤õ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❞ü trú❄

✹ ❙è ✤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ t♦→♥ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ✤➲✉
✺✺✳ ❍➡♥❣ ♥❣➔② ♠ët ①❡ ❦❤→❝❤ ✤✐ tø ❜➳♥ ❆ ✤➳♥ ❜➳♥ ❇ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✹✺❦♠✴❣✐í✳ ❍æ♠

♥❛② ✈➻ ①✉➜t ♣❤→t ♠✉ë♥ ✾ ♣❤ót ♥➯♥ ①❡ æ tæ ♣❤↔✐ t➠♥❣ ✈➟♥ tè❝ t❤➯♠ ✺❦♠✴❣✐í ✈➔
✤➳♥ ❇ ✤ó♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ♠å✐ ❤æ♠✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇✳

✺✻✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë tø ❆ ✤➳♥ ❇ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✻❦♠✴❣✐í✳ ❑❤✐ tø ❇ ✈➲ ❆✱ ♥❣÷í✐

✤â ✤➣ ✤✐ ❜➡♥❣ ①❡ ✤↕♣ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✽❦♠✴❣✐í tr➯♥ ♠ët ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ❦❤→❝ ❞➔✐ ❤ì♥
q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❧ó❝ ✤✐ ❧➔ ✻❦♠✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❧ó❝ ✤✐ ❜✐➳t r➡♥❣ tê♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
♥❣÷í✐ ✤â ✤✐ ✈➔ ✈➲ ❤➳t ✸ ❣✐í ✹✵ ♣❤ót✳

✺✼✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✸✵ ♣❤ót ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✺❦♠✴❣✐í✳

❙❛✉ ✤â✱ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ♠→② ❝ô♥❣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✸✻❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐
✤✐ ①❡ ♠→② ♣❤↔✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❧ó❝ ♥➔♦ ✤➸ ✤➳♥ ❇ ❝ò♥❣ ♠ët ❧ó❝ ✈î✐ ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣❄
❇✐➳t r➡♥❣ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ❆❇ ❞➔✐ ✺✹❦♠✳

✺✽✳ ❍❛✐ ❜➳♥ sæ♥❣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✺✹❦♠✳ ▼ët ❝❛ ♥æ ①✉æ✐ ❞á♥❣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❤➳t
✷ ❣✐í✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤✐ ♥❣÷ñ❝ ❞á♥❣ tø ❇ ✈➲ ❆ t❤➻ ❤➳t ✸ ❣✐í✳ ❚➼♥❤ ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ ❞á♥❣
♥÷î❝ ❝❤↔②✳

✺✾✳ ❚➼♥❤ ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ ♠ët ✤♦➔♥ t➔✉ ❤ä❛ ❞➔✐ ✶✽✵♠✳ ❇✐➳t r➡♥❣✿

❛✮ ✣♦➔♥ t➔✐ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ❝ët ✤✐➺♥ ❜➯♥ ✤÷í♥❣ ❤➳t ✶✺ ❣✐➙②✳
❜✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ❝➙② ❝➛✉ ❞➔✐ ✶✷✺✵♠ ❤➳t ✷ ♣❤ót ✶✵ ❣✐➙②✳
❝✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ ❝ò♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✵✱✽❦♠✴❣✐í
❤➳t ✸✵ ❣✐➙②✳
❞✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ✤↕♣ ♥❣÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✷✱✻❦♠✴❣✐í
❤➳t ✶✷ ❣✐➙②✳
✾


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✻✵✳ ❚➼♥❤ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝õ❛ ✤♦➔♥ t➔✉ ❤ä❛ ❜✐➳t ✤♦➔♥ t➔✉ ❝â ✈➟♥ tè❝ ✺✹❦♠✴❣✐í ✈➔✿

❛✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ❝ët ✤✐➺♥ ❜➯♥ ✤÷í♥❣ ❤➳t ✶✵ ❣✐➙②✳
❜✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ❝❤✐➳❝ ❤➛♠ ❞➔✐ ✷✶✺✵♠ ❤➳t ✷ ♣❤ót ✸✵ ❣✐➙②✳
❝✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë ❝ò♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✼✱✷❦♠✴❣✐í ❤➳t
✶✹ ❣✐➙②✳
❞✮ ✣♦➔♥ t➔✉ ✤â ✈÷ñt q✉❛ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ①❡ ♠→② ♥❣÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✹✸✱✷❦♠✴❣✐í
❤➳t ✽ ❣✐➙②✳

✻✶✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë✱ rí✐ ❦❤ä✐ ♥❤➔ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✈➔ ✤✐ ✤➳♥ ❝❤ñ ❧ó❝ ✽ ❣✐í ✷✹ ♣❤ót t❤➻
✤➳♥ ❝❤ñ✱ ❜✐➳t q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ♥❤➔ ✤➳♥ ❝❤ñ ❞➔✐ ✷❦♠✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐ ✤â ✤✐ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝
❜➡♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✻✷✳ ▼ët ♥❣÷í✐ ❝❤↕② tø ✤✐➸♠ ❆ ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❇ ✈➔ tø ❇ ❝❤↕② ✈➲ ✤✐➸♠ ❆✱ t❤í✐ ❣✐❛♥

❝❤↕② ❤➳t ✸ ♣❤ót ✺✵ ❣✐➙②✱ ❜✐➳t ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❆ ✈➔ ❇ ❞➔✐ ✺✼✺♠✳ ❚➼♥❤
✈➟♥ tè❝ ❝❤↕② ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ✤â ❜➡♥❣ ♠✴❣✐➙②✳

✻✸✳ ▲ó❝ ✼ ❣✐í✱ ♠ët ♥❣÷í✐ ✤✐ ❜ë ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø ①➣ ❆ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✻❦♠✴❣✐í✱ ✤✐ ✤➳♥
✼ ❣✐í ✸✵ ♣❤ót ♥❣÷í✐ ✤â ♥❣❤➾ ❧↕✐ ✶✺ ♣❤ót rç✐ ❧➯♥ æ tæ ✤✐ t✐➳♣ ✤➳♥ ①➣ ❇ ❧ó❝ ✽ ❣✐í
✸✵ ♣❤ót✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ①➣ ❆ ✤➳♥ ①➣ ❇✱ ❜✐➳t æ tæ ✤✐ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✻✵❦♠✴❣✐í✳

✻✹✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í ♠ët ①❡ ♠→② ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø t➾♥❤ ❆ ✤✐ ✈➲ ❤÷î♥❣ t➾♥❤ ❇ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝
✹✹❦♠✴❣✐í✱ ❧ó❝ ✻ ❣✐í ✸✵ ♣❤ót ♠ët ♥❣÷í✐ ❦❤→❝ ✤✐ æ tæ tø t➾♥❤ ❇ ✈➲ t➾♥❤ ❆ ✈î✐ ✈➟♥
tè❝ ✺✻❦♠✴❣✐í✱ ✈➔ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❧ó❝ ✼ ❣✐í ✶✺ ♣❤ót✳ ❚➼♥❤ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø
t➾♥❤ ❆ ✤➳♥ t➾♥❤ ❇✳

✻✺✳ ❍❛✐ t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✼✷❦♠✱ ❧ó❝ ✼ ❣✐í ♠ët æ tæ ✤✐ tø t➾♥❤ ❆ ✈î✐ ✈➟♥
tæ❝ s✹✽❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ♥❣÷í✐ ✤â ✤➳♥ t➾♥❤ ❇❄

✻✻✳ ❍❛✐ ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✶✷❦♠✳ ❆♥❤ ❉ô♥❣ rí✐ ①➣ ❆ ✤➸ ✤✐ ✤➳♥ ①➣ ❇✱ ✤✐
❜ë ✤÷ñ❝ ✸❦♠✱ ❛♥❤ ❉ô♥❣ ❧➯♥ ①❡ ♠→② ✤✐ t❤➯♠ ✶✺ ♣❤ót ♥ú❛ t❤➻ ✤➳♥ ①➣ ❇✳ ❍ä✐
♥➳✉ ❛♥❤ ❉ô♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② ♥❣❛② tø ✤➛✉ t❤➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤✐ tø ①➣ ❆ ✤➳♥ ①➣ ❇ ❧➔ ❜❛♦ ❧➙✉❄

✻✼✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ð ❤❛✐ ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✶✽❦♠✱ ❝ò♥❣ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ①❡ ✤↕♣ ❧ó❝

✻ ❣✐í ✈➔ ✤✐ ♥❣÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ ♥❤❛✉✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✤✐ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✹❦♠✴❣✐í✱ ♥❣÷í✐
t❤ù ❤❛✐ ✤✐ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✵❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉❄

✶✵


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✻✽✳ ❍❛✐ t❤à ①➣ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✺✹❦♠✳ ❆♥❤ ❇➡♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② tø ❆ ✤➳♥ ❇ ✈➔
❛♥❤ ❉ô♥❣ ❝ô♥❣ ✤✐ ①❡ ♠→② ♥❤÷♥❣ tø ❇ ✈➲ ❆✱ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❝ô♥❣ ♠ët ❧ó❝
✈➔ s❛✉ ✺✹ ♣❤ót t❤➻ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉✱ ❝❤é ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❝→❝ t❤à ①➣ ❆ ✷✺✱✷❦♠✳ ❍ä✐
✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✻✾✳ ❇❛ t➾♥❤ ❆✱ ❇ ✈➔ ❈ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ✈➔ t➾♥❤ ❇ ð ❣✐ú❛ ❤❛✐

t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❈❀ ❤❛✐ t➾♥❤ ❆ ✈➔ ❇ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ✸✷❦♠✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í ♠ët ♥❣÷í✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤
tø ❇ ✤✐ ✈➲ ❈ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✷✸❦♠✴❣✐í✱ ❝ò♥❣ ❧ó❝ ✤â ❝â ♠ët ♥❣÷ð✐ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ tø ❆
❝ô♥❣ ✤✐ ✈➲ ❈ ✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✸✾❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ❧ó❝ ♠➜② ❣✐í t❤➻ ♥❣÷í✐ ✤✐ tø ❆ ✤✉ê✐
❦à♣ ♥❣÷í✐ ✤✐ tø ❇❄

✼✵✳ ❇→❝ ❇❛ ✈➔ ❜→❝ ❚÷ ✤➲✉ ✤✐ tø t➾♥❤ ❆ ✤➳♥ t➾♥❤ ❇✱ ❧ó❝ ✻ ❣✐í ❜→❝ ❇❛ ❜➢t ✤➛✉ ✤✐

✈î✐ ✈➟♥ tè❝ ✶✷❦♠✴❣✐í✱ ✤➳♥ ✻ ❣✐í ✹✺ ♣❤ót ❜→❝ ❚÷ ♠î✐ ❜➢t ✤➛✉ ✤✐ ✈➔ ✤✐ ✈î✐ ✈➟♥
tè❝ ✶✺❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥ ♠➜② ❣✐í ❜→❝ ❚÷ ♠î✐ ❞✉ê✐ ❦à♣ ❜→❝ ❇❛❄

✼✶✳ ◗✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ tø ❆ ✤➳♥ ❇ ❝õ❛ ♠ët ❦❤ó❝ sæ♥❣ ❧➔ ✶✹✸❦♠❀ ✈➟♥ tè❝ ❞á♥❣ ♥÷î❝

❧➔ ✻❦♠✴❣✐í✳ ▼ët ❝❛ ♥æ tø ❆ ①✉æ✐ ❞á♥❣ ✈➲ ❇✱ ♠ët ❝❛ ♥æ ❦❤→❝ ♥❣÷ñ❝ ❞á♥❣ tø ❇
✈➲ ❆✱ ❤❛✐ ❝❛ ♥æ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ❧ó❝ ✼ ❣✐í✱ ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ é✐ ❝❛ ♥æ ❧➔ ✷✻❦♠✴❣✐í✳ ❍ä✐ ✤➳♥
♠➜② ❣✐í ❤❛✐ ❝❛ ♥æ ❣➦♣ ♥❤❛✉❄

✼✷✳ ▲ó❝ ✻ ❣✐í✱ t↕✐ ✤✐➸♠ ❆ ❝â ♠ët ❝❤✐➳❝ t❤✉②➲♥ ❦❤ð✐ ❤➔♥❤ ①✉æ✐ t❤❡♦ ❞á♥❣ ♥÷î❝✱

✤✐ ✤÷ñ❝ ♠ët q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ t❤✉②➲♥ q✉❛② ♥❣÷ñ❝ ❞á♥❣ ✈➔ ✈➲ ✤➳♥ ❇ ❧ó❝ ✾ ❣✐í✳
❍ä✐ t❤✉②➲♥ ✤✐ ❝→❝❤ ✤✐➸♠ ❆ ❜❛♦ ①❛ ♠î✐ q✉❛② ❧↕✐❄ ❇✐➳t ✈➟♥ tè❝ ❝õ❛ t❤✉②➲♥ ❧➔
✷✺❦♠✴❣✐í✱ ✈➟♥ tè❝ ❞á♥❣ ♥÷î❝ ❧➔ ✺❦♠✴❣✐í✳

✶✶


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✺ ❍➻♥❤ ❤å❝

✼✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❝â ✤✐➸♠ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❈✱ tr➯♥ ❤➻♥❤
✤â ❝â ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❇▼◆❊ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳ ◆è✐ ❇ ✈î✐ ◆✱ ♥è✐ ❊ ✈î✐ ▼✱ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
♥➔② ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð ✤✐➸♠ ❖✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❖❇▼ ✈➔ ❖❊◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊▼❈ ✈î✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❆❊▼❇✳

✼✹✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❇❈✱ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛
❝↕♥❤ ❆❈✳ ❆▼ ✈➔ ❆◆ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ●✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❇●▼✱ ❈●▼✱ ❆●◆✱ ❈●◆✳
❜✮ ◆è✐ ❈ ✈î✐ ● ✈➔ ❦➨♦ ❞➔✐ ❈● ❝➢t ❝↕♥❤ ❆❇ t↕✐ P✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❆P ❂ ❇P✳

✼✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈✳ ▼ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❇❈✱ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛

❝↕♥❤ ❆❈✱ P ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❆❇✱ ❜❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❆▼✱ ❇◆ ✈➔ ❈P
❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ●✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❆▼✱ ❇◆ ✈➔ ❈P ❝❤✐❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ t❤➔♥❤ ✻ t❛♠
❣✐→❝ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
AG
BG

CG 2
=
=
= ✳
❜✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ AM
BN
CP
3

✶✷


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✼✻✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉✳ ❇✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❖❉
✈➔ ❉❖❈ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳

✼✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ✈✉æ♥❣ ▼◆P◗ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ t↕✐ ▼ ✈➔ ◗❀ P Q = 12 M N ✳ ❑➨♦
❞➔✐ ▼◗ ✈➔ ◆P ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ❆✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ▼◆P ✈➔ ▼◗◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❆◗P ✈➔ ❆◗◆✳
❝✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ▼◆P◗ ❜➡♥❣ 63cm2✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆◗P✳

✶✸


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✼✽✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉ ✭❤❛✐ ✤→② ❧➔ ❆❇✱ ❈❉✮✳ ❚r➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❆❈ ❧➜② ✤✐➸♠

▼ s❛♦ ❝❤♦ ▼❆ ❂ ▼❈✳ ❚ø ▼ ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❉❇ ❝➢t
❉❈ t↕✐ ◆ ✭❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❇◆ ❝❤✐❛ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉
t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

✼✾✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❆❇❈❉ ❝â ❆❇ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❈❉ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ 40cm ✳
2

❑➨♦ ❞➔✐ ❆❇ ♠ët ✤♦↕♥ ❇▼ s❛♦ ❝❤♦ ❆❇ ❂ ❇▼✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❇❈ ♠ët ✤♦↕♥ ❈◆ s❛♦
❝❤♦ ❇❈ ❂ ❈◆✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❈❉ ♠ët ✤♦↕♥ ❉P s❛♦ ❝❤♦ ❈❉ ❂ ❉P✱ ❦➨♦ ❞➔✐ ❉❆ ♠ët
✤♦↕♥ ❆◗ s❛♦ ❝❤♦ ❉❆ ❂ ❆◗✳ ◆è✐ ▼✱ ◆✱ P✱ ◗✳ ❚➻♠ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ▼◆P◗✳

✶✹


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✵✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉ ❝â ❝❤✉ ✈✐ ❧➔ ✼✽❝♠✱ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❆❇ ❤ì♥ ❝❤✐➲✉ rë♥❣

❇❈ ❧➔ ✶✺❝♠✳ ❚r➯♥ ❇❈ ❧➜② ✤✐➸♠ ▼✱ tr➯♥ ❈❉ ❧➜② ✤✐➸♠ ◆ s❛♦ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
❆▼✱ ❆◆ ❝❤✐❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t t❤➔♥❤ ✸ ♣❤➛♥ ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚➼♥❤ ✤ë ❞➔✐
✤♦↕♥ ❈▼✱ ❈◆✳

✽✶✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳ ❚r➯♥ ❝↕♥❤ ❆❇ ❧➜② ✤✐➸♠ ▼ ❜➜t ❦➻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
r➡♥❣ SDM C = 12 SABCD ✳

✶✺


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✷✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳ ■ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❇✳ ◆è✐ ❉ ✈î✐ ■✱ ✤♦↕♥

t❤➥♥❣ ❉❇ ❝➢t ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ■❈ t↕✐ ❑ ✭❤➻♥❤ ✈➩✮✳
❛✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ SDIK = 12 SDBC ✳
❜✮ ❑➫ ■P ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ❉❇❀ ❦➫ ❈◗ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ❉❇✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
SDIC = 3SDIK ✳
❝✮ ❇✐➳t SDIK = 8cm2✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉✳

✽✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❆❇❈❉ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ▼✱ ❖✱ ■ s❛♦ ❝❤♦ ▼■ ❂ ■❉ ✈➔ ❆❖
❂ ❖■ ✭❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❇✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ▼❖■ ❧➔ 25m2✳ ❍ä✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú
♥❤➟t ❆❇❈❉ ❜➡♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤➨❝✲t❛❄

✶✻


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✹✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ ❖ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✹ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❆❇❈❉ ✭♥❤÷ ❤➻♥❤
✈➩✮✳ ❇✐➳t ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ 400cm2✳ ❚➼♥❤✿
❛✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ ❖✳
❜✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳

✽✺✳ ▼ët ♣❤á♥❣ ❤å❝ tr♦♥❣ ❧á♥❣ ❞➔✐ ✼♠✱ rë♥❣ ✺♠✱ ❝❛♦ ✸✱✺♠✳ ❈→❝ ❝û❛ r❛ ✈➔♦ ✈➔

❝❤✐➳♠ 16m2✳ ❚➻♠ ♣❤➼ tê♥ q✉➨t ✈æ✐ t÷í♥❣ ♣❤➛♥ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❝➠♥ ♣❤á♥❣✳ ❇✐➳t r➡♥❣
q✉➨t ✈æ✐ 1m2 tè♥ ✺✵✵✵ ✤ç♥❣✳

✽✻✳ ✣❡♠ ✾✱✷✺♠ ❞➙② ❣❛✐ ❜✉ë❝ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➦t ❝õ❛ ♠ët

❝→✐ t❤ò♥❣ ❝→❝ tæ♥❣ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ P❤➛♥ ❝→❝ ❝ët ♥ót ❝❤✐➳♠

✷✱✺❞♠✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝→✐ t❤ò♥❣✳

✶✼


❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

✽✼✳ ❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❆❇❈❉ ❝â ❝↕♥❤ ❞➔✐ ✺❝♠ ✈➔ ❝â ▼✱ ◆✱ P✱ ◗ ❧➔ ❝→❝ tr✉♥❣ ✤✐➸♠
❝õ❛ ❜è♥ ❝↕♥❤✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳

✽✽✳ ❇✐➳t ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠é✐ æ ✈✉æ♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❞÷î✐ ✤➲✉ ❞➔✐ ✶❝♠✳ ❚➼♥❤ tê♥❣ ❝❤✉ ✈✐
✈➔ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ð tr♦♥❣ ✤â✳

✽✾✳ ❇→❝ ❚÷ ❝â ♠ët t❤û❛ r✉ë♥❣ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝â ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ❞➔✐

✻✵♠ ✈➔ ✸✵♠✳ ◆➠♠ ♥❛② ①➣ ✤➔♦ ♠ët ❝♦♥ ♠÷ì♥❣ rë♥❣ ✸♠ ❝❤↕② ❞å❝ t❤❡♦ ❝↕♥❤ ✻✵♠
✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❊♠ ❤➣② t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❤û❛ r✉ë♥❣ ❝á♥ ❧↕✐✳

✾✵✳ ▲➔♠ ①♦♥❣ ♠ët ♠↔♥❤ ✤➜t ❤➻♥❤ t❤❛♥❣✱ ❜↕♥ ❆♥ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤→② ❜➨ ❞➔✐ ✷✺♠✱

❜↕♥ ❇➻♥❤ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤→② ❜➨ ❞➔✐ ✷✵♠✱ ❝á♥ ❜↕♥ ❍♦❛ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤→② ❧î♥ ❞➔✐ ❣➜♣
❞æ✐ ✤→② ❜➨✳ ❈æ ❣✐→♦ ♥â✐ ✧❈→❝ ❡♠ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤➲✉ s❛✐✳ ×î❝ ❧÷ñ♥❣ ♥❤÷ ❆♥ t❤➻ ❞✐➺♥
t➼❝❤ ♠↔♥❤ ✤➜t t➠♥❣ t❤➯♠ 45m2✱ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ♥❤÷ ❇➻♥❤ t❤➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠↔♥❤ ✤➜t
t➠♥❣ t❤➯♠ 45m2✱ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ♥❤÷ ❍♦❛ t❤➻ ✤✐➲✉ ✤â ❝❤➾ ✤ó♥❣ ❦❤✐ ❝↔ ✤→② ❧î♥ ✈➔ ✤→②
❜➨ ❝ò♥❣ ✤÷ñ❝ t➠♥❣ t❤➯♠ ✷♠ ♥ú❛✧✳ ❊♠ ❤➣② t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠↔♥❤ ✤➜t ❤➻♥❤ t❤❛♥❣
✤â✳
✶✽

ởt số t
số ỏ t

1+
9

+3 :4=

8
9

ởt ở q ữ t ỡ ỷ số tự

tr q t q tự ú s
ỡ ỷ số tự ỏ q tự
ú t tự ỏ tự ữ ữủ
ọ õ tự

ởt rờ t ữủ ồ ữớ ộ ữớ q
t t s tứ r q t ộ ữớ q t t s t q
t ọ õ ữớ rờ t õ õ q t tr rờ

ởt õ ổ ỹ t ữớ t ữủ

ồ s t ổ sợ ỡ tr ỏ t ữủ
ổ ừ ồ s tr s ợ ọ ữớ
t

r số 4, 7, 10, ã ã ã , 295, 298 ố số tự

õ ừ ởt s ở s
ỡ trữợ ố ũ õ ọ õ
t õ tt

t ợ
34 = 3 + 4 + 5 + 6
56 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
63 = 6 + 7 + 8

tr ừ tr t n8 = 60

t ợ 88
13
15

11

12

3 11 2
=
4 32 5

6
8
=
7 35

47

5
9
=
8 56

ởt ở õ ự ỳ ở ự





tr tr ở tr tr ở tr ở
ở ự ọ ở ự tr số
tr

ố t ộ ởt s t ồ tứ

ữợ r ố ự õ số
số t ừ ữớ ổ ữớ ự ỡ ữớ t ữ t
ỡ ữớ ữớ t ỡ ữớ t t số t
ồ số ợ ú t ữợ ừ ồ số t
tr s

ởt ổ õ tọ ú õ tt õ
ọ õ tọ

ởt trố q t t ỗ ũ r ố tớ ữ

ởt õ q ởt q
ữủ ợ q t ọ tr õ õ trố

1
1

2+
3+

1
4+

1
5

1 ì1 5 + 5 ì1 9 + 9 ì1 13 + ã ã ã + 97 ì1 101
õ ổ tt ổ tt tr ọ r
ọ tt tr ởt ỏ tố õ ữủ ởt
tt ũ

t tr ởt ý t t tú ổ tr ợ

t t tr ý t õ õ t t ồ s õ ũ
ọ số ồ s tố t tr ợ

ồ s ừ trữớ t ồ s t ởt ở t t
ồ số tr ừ số tr ừ
ỳ ọ t số ỳ số

❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

♥❛♠ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄

✶✵✽✳ ❈→❝ ♠→② ❆✱ ❇ ✈➔ ❈ tr♦♥❣ ①÷ð♥❣ ❧➛♥ ❧÷ñt ♠➜t ✹✱ ✺ ✈➔ ✻ ♣❤ót ✤➸ s↔♥ ①✉➜t
✶✵✵✵ ✈✐➯♥ t❤✉è❝✳ ❈❤õ ①÷ð♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤ì♥ ✤➦t ❤➔♥❣ ✼✹✵ ✵✵✵ ✈✐➯♥ t❤✉è❝ ✤â✳
❍ä✐ ❜→❝ ➜② ❝➛♥ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♠→② sè ❧÷ñ♥❣ ✈✐➯♥ t❤✉è❝ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜➢t
✤➛✉ ✈➔ ❦➳t t❤ó❝ ð ❝ò♥❣ ♠ët t❤í✐ ✤✐➸♠❄

✼ ✣→♣ →♥ ✈➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝
❇➔✐ ✸✳ ❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♣❤➙♥ sè s❛✉✿ 45 ; 87 ; 89 ; 12
11

8
<
✣→♣ sè✿ 45 < 98 < 12
11 7

❇➔✐ ✶✶✳ ❚✉ê✐ ❇è ❜➡♥❣ 98 t✉ê✐ ▼➭✱ t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣ 14 t✉ê✐ ▼➭✱ tê♥❣ sè t✉ê✐ ❝õ❛
❇è ✈➔ ▲❛♥ ❧➔ ✹✹ t✉ê✐✳ ❍ä✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✉ê✐❄

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❚❛ ❝â 41 = 28 ✳ ❱➟② t✉ê✐ ▲❛♥ ❜➡♥❣ 82 t✉ê✐ ♠➭✳
❈♦✐ t✉ê✐ ▼➭ ❣ç♠ ✽ ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ t✉ê✐ ▲❛♥ ❣ç♠ ✷ ♣❤➛♥ ✈➔ t✉ê✐ ❇è ❣ç♠
✾ ♣❤➛♥✳
✹✹ t✉ê✐ ❣ç♠✿ 9 + 2 = 11 ♣❤➛♥✳
❚✉ê✐ ❝õ❛ ❇è ❧➔✿ 44 : 11 × 9 = 36 ✭t✉ê✐✮

❚✉ê✐ ❝õ❛ ▲❛♥ ❧➔✿ 44 − 36 = 8 ✭t✉ê✐✮
❚✉ê✐ ❝õ❛ ▼➭ ❧➔✿ 8 × 4 = 32 ✭t✉ê✐✮✳
✣→♣ sè✿ ❇è✿ ✸✻ t✉ê✐❀ ▼➭✿ ✸✷ t✉ê✐❀ ▲❛♥✿ ✽ t✉ê✐✳

❇➔✐ ✶✼✳ ▼ët ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ✸ ♥❣➔②✳ ◆❣➔② t❤ù ♥❤➜t ❧➔♠ ✤÷ñ❝

❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❤❛✐ ❧➔♠ ✤÷ñ❝ 38 ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔♠ ♥èt ✺✼ ♠➨t
❝✉è✐✳ ❍ä✐ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠➨t ✤÷í♥❣❄
2
7

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❙❛✉ ❤❛✐ ♥❣➔② ✤➛✉ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ✤â ❧➔♠ ✤÷ñ❝ sè ♣❤➛♥ sæ♥❣ ✈✐➺❝ ❧➔✿
2 3 37
+ =
7 8 56

✭❝æ♥❣ ✈✐➺❝✮

P❤➙♥ sè ❝❤➾ sè ♣❤➛♥ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤ë✐ ❝æ♥❣ ♥❤➙♥ ❧➔♠ tr♦♥❣ ♥❣➔② t❤ù ❜❛ ❧➔✿
✷✶




1

37 19
=

56 56

ổ

ố t ữớ ở ổ õ
57 : 19 ì 56 = 168

số ữớ



ổ ỏ tr õ õ ỏ ỹ ọ
ố ỏ ỹ tr tờ số ỏ
số tr ỳ số ỏ ỹ số ỏ



ố tr ỏ ỹ 3 : 8 = 0, 375 = 37, 5%
ố ỏ 8 3 = 5
số tr ỳ số ỏ ỹ số ỏ 3 : 5 = 0, 6 = 60%
số 37, 5% 60%

ởt ữớ ỷ tt tr ỗ ợ st 1, 1% ởt t

ố t s ởt t
ố t ố s t ữớ õ rút t ởt
ố t ố s t ữớ õ rút t ởt

ố t s ởt t ỷ

ỗ
ố t ố s t tự t
15000000 + 165000 = 15165000 ỗ
ố t ừ t tự
15165000 : 100 ì 1, 1 = 166815 ỗ
ố t ố s t ỷ t
15165000 + 166815 = 15331815 ỗ
ố t ừ t tự
15331815 : 100 ì 1, 1 = 168649, 965 ỗ
ố t ố s t ỷ t
15331815 + 168649, 965 = 15500464, 965 ỗ
số ỗ ỗ ỗ
15000000 : 100 ì 1, 1 = 165000




❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙

❇➔✐ ✹✸✳ ▼ët ✤ì♥ ✈à ❜ë ✤ë✐ ❝❤✉➞♥ ❜à ❣↕♦ ❝❤♦ ✼✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ ✸✵ ♥❣➔②✳ ❙❛✉
❦❤✐ ➠♥ ✤÷ñ❝ ✻ ♥❣➔② t❤➻ ❝â ✶✵ ♥❣÷í✐ ❝❤✉②➸♥ ✤✐ ♥ì✐ ❦❤→❝✳ ❍ä✐ sè ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ
❝❤♦ sè ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à ✤â ➠♥ tr♦♥❣ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣➔② ♥ú❛❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ♠ù❝
➠♥ ❝õ❛ ♠å✐ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ♠ët ♥❣➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❙è ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ ❝❤♦ ✼✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ sè ♥❣➔② ❧➔✿ 30 − 6 = 24 ✭♥❣➔②✮
❙è ♥❣÷í✐ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔✿ 70 − 10 = 60 ✭♥❣➔②✮

❚➾ sè sè ♥❣÷í✐ tr÷î❝ ✈➔ s❛✉ ❦❤✐ ❝❤✉②➸♥ ✤✐ ❧➔✿ 70 : 60 = 70
60
❱î✐ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❧÷ñ♥❣ ❣↕♦ t❤➻ sè ♥❣÷í✐ ✈➔ sè ♥❣➔② ➠♥ ❧➔ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ t➾ ❧➺
70 60
♥❣❤à❝❤ ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➯♥ t➾ sè sè ♥❣➔② ➠♥ ❧➔✿ 1 − 60
=
70
❙è ❣↕♦ ❝á♥ ❧↕✐ ✤õ ❝❤♦ ✻✵ ♥❣÷í✐ ➠♥ tr♦♥❣ sè ♥❣➔② ❧➔✿ 24 × 70 : 60 = 28 ✭♥❣➔②✮
✣→♣ sè✿ ✷✽ ♥❣➔②✳

❇➔✐ ✹✽✳ ▼ët ✤ë✐ ①❡ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝â ✸✾ ①❡ ❣ç♠ ❤❛✐ tê✿ tê ✶ ❧➔ ❝→❝ ①❡ ❧♦↕✐ ✽ t➜♥✱
tê ❤❛✐ ❧➔ ❝→❝ ①❡ ❧♦↕✐ ✺ t➜♥✳ ❍ä✐ ♠é✐ tê ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ①❡❄ ❇✐➳t r➡♥❣ ❤❛✐ tê ♥❤➟♥
❝❤ð sè ❤➔♥❣ ❤â❛ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈➔ ♠é✐ ①❡ ❝❤➾ ❝❤ð ♠ët ❧÷ñt✳
✣→♣ sè✿ ❚ê ✶✿ ✶✺ ①❡ ❧♦↕✐ ✽ t➜♥❀ tê ✷✿ ✷✹ ①❡ ❧♦↕✐ ✺ t➜♥

❇➔✐ ✼✸✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ❝â ✤✐➸♠ ◆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝↕♥❤ ❆❈✱ tr➯♥
❤➻♥❤ ✤â ❝â ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ❇▼◆❊ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✳ ◆è✐ ❇ ✈î✐ ◆✱ ♥è✐ ❊ ✈î✐ ▼✱ ❤❛✐ ✤♦↕♥
t❤➥♥❣ ♥➔② ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð ✤✐➸♠ ❖✳
❛✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❖❇▼ ✈➔ ❖❊◆✳
❜✮ ❙♦ s→♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❊▼❈ ✈î✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❆❊▼❇✳

❇➔✐ ❣✐↔✐✿

❛✮ ❍❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ▼❇❊ ✈➔ ◆❇❊ ❝â ❝❤✉♥❣ ✤→② ❇❊ ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✭✈➻
✷✸