DE VA HD HSG LOP 11 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỉNH THáI NGUYÊN
Sở GD & ĐT
=@=
CộNG HOà x hội chủ nghĩa việt namã
Độc lập Tự do Hạnh phúc
***************
đề chính thức
Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên
Năm học 2008 2009
Môn thi : toán học Lớp 11
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Hãy tìm cấp số nhân đợc lập bởi 16 số tự nhiên thỏa mãn:
1) 5 số hạng đầu là số có 9 chữ số,
2) 5 số hạng tiếp theo là số có 10 chữ số,
3) 4 số hạng tiếp theo là số có 11 chữ số
4) 2 số hạng sau cùng có 12 chữ số.
Bài 2: Giải hệ phơng trình:
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x

+ =

+ =

+ =

Bài 3: Không giảI phơng trình
3
1 0x x + =
hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 các nghiệm
của nó.
Bài 4: Giải phơng trình
( )
2 3 2
3 2 2 10 2 2 1x x x x x+ + = + + +
Bài 5: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CMR:
a b c b c a c a b a b c+ + + + + + +
Bài 6: Cho
ABC
có góc CAB bằng 45
0

; góc ABC bằng 30
0
, gọi M là trung điểm của
cạnh BC.
a. Tính góc AMC.
b. CMR:
.
2
AB BC
AM

AC
=

HếT
Hớng dẫn
Bài 2: Ta có
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
1
2 2 (1 )
2
2 2 (1 )
1
2 2 (1 )
2
1
(1)
(2)
(3)
x
y
x
x x y y x y x
y
y y z z y z y z

y
z z x x z x z
z
x
z

=



+ = =



+ = = =



+ = =


=


Do đó, ta đặt
tan , ;
2 2
x t t

=
ữ

.
Khi đó, từ (1) ta có
tan 2y t=
và từ (2) ta có
tan 4z t=
và từ (3) ta lại có
tan8x t=
tan8 tan ( )
7

k
t t t k

= = Â
2 4
tan ; tan ; tan
7 7 7
k k k
x y z

= = =
Thử điều kiện của t, ta có
{ }
3; 2; 1;0;1;2;3k
, khi đó hệ có 7 cặp nghiệm.
B i 6:
*Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC,

Đặt
; ( , 0) AH b BH a a b= = >
* Khi đó từ hai tam giác vuông AHB và AHC ta
có
0
0 2 2 2 2 2 2 0
tan 30 3
tan15 ; tan 15
b a a b
HC b AC AH HC b b
= =
= = + = +
* Vì AM là đờng trung tuyến của tam giác ACM, nên:
( )
2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2
2
2 0
2 0 0 0 2 0 0
2
2
tan 15 ) ( tan15 )
3
2 4 2 4
2tan15
7 tan 15 2 3 tan15 tan30 tan 15 2 3 tan15 1
4 1 tan 15
2
với
= vì

AC AB BC b b a b a b
AM a b
b
b
+ + + +
= = =
+ + = + =

=
* MÆt kh¸c,
·
· ·
0
1
sin sin 45
2
b
AMH AMC AMC
AM
= = = ⇒ =