Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỷ đã chuyển đổi

Tailieumontoan.com
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Có một lớp bài toán phương trình vô tỷ mà xét tính không thể giải quyết
được nó khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa vì nó quá phức tạp và cũng không
thể sử dụng phép ẩn phụ hóa vì không tìm được mối liên hệ hỗ trợ giữa các đại
lượng. Tuy nhiên ta lại dễ dàng nhẩm được nghiệm của phương trình, khi đó
phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp sẽ phát huy vai trò của nó. Bản chất của
phương pháp này là lạm dụng đại lương liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung
rồi phân tích phương trình thành tích.
• Cơ sở phương pháp. Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x = x 0

hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành ( x − x 0 ) P(x) = 0 và P(x) = 0 có
thể vô nghiệm hoặc giải được.
• Cách nhẩm nghiệm. Ta thường thử các giá trị x 0 để trong căn là bình phương
hoặc lập phương của một số hữu tỷ.
• Một số phép biến đổi nhân lượng liên hợp

Dạng 2.

3

3

f ( x)  a =

3

f ( x) + g ( x)
f ( x)  g ( x)

3

f2 ( x)

3

f ( x ). 3 g ( x ) + 3 g 2 ( x )

f ( x) − a2

f ( x) + a
f ( x)  a3

3

f 2 ( x ) a. 3 f ( x ) + a 2

f ( x) − g ( x) =

Dạng 5.

Dạng 6.

f ( x)  3 g ( x) =
f ( x) − a =

Dạng 3.

Dạng 4.

f ( x) − g ( x)

f ( x) − g ( x) =

Dạng 1.

f ( x)  g ( x) =

f ( x) − g2 ( x)

f ( x) + g ( x)
f ( x)  g3 ( x)

3

f 2 ( x)

3

f ( x ) .g ( x ) + g 2 ( x )

• Một số kinh nghiệm xử sử dụng phương pháp nhân đại lượng liên hợp

+ Phương trình nhẩm được nghiệm hữu tỉ.
+ Phương trình chứa nhiều căn thức cùng bậc.
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An

Tailieumontoan.com
+ Phương trình chứa cả căn bậc hai và căn bậc ba.
1. Nhân thêm lượng liên hợp
Ví dụ 1. Giải phương trình

3x + 1 + 2x = x − 4 − 5 .

Phân tích và lời giải
Nhận thấy ( 3x + 1) − ( x − 4 ) = 2x + 5 và
thực hiện phép biến đổi

3x + 1 − x − 4 =

3x + 1 + x − 4  0 với x  4 , do đó ta

2x + 5
3x + 1 + x − 4

để làm xuất hiện nhân tử

chung ( 2x + 5 )
Từ đó ta có lời giải như sau
Điều kiện xác định của phương trình x  4 . Ta có
3x + 1 + 2x = x − 4 − 5  3x + 1 − x − 4 + 2x + 5 = 0




1
+ 2x + 5 = 0  ( 2x + 5 ) 

+ 1 = 0
3x + 1 + x − 4
 3x + 1 + x − 4

2x + 5

Dễ thấy với x  4 thì

1

+1  0.

3x + 1 + x − 4

5
Do đó từ phương trình trên ta được 2x + 5 = 0  x = − , không thỏa mãn điều kiện
2
xác định.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình

x2 + x − 2 + x2 = 2 ( x − 1) + 1 .

Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình đã cho, do đó ta dự đoán nhân
tử chung khi phân tích phương trình thành tích là x − 1 . Để ý ta thấy

(x

2

)

+ x − 2 − ( 2x − 2 ) = x ( x − 1) và x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) . Tuy nhiên khi x = 1 thì

x2 + x − 2 + 2 ( x − 1) = 0 ,

x 2 + x − 2 − 2 ( x − 1) =

do

đó

x2 − x

x 2 + x − 2 + 2 ( x − 1)

biến

đổi

nhân

liên

hợp

là một biến đổi không có nghĩa.

Vì vậy trước khi nhân lượng liên hợp ta cần chú ý đến biểu thức liên hợp đã khác 0

hay chưa. Để xử lý dạng phương trình này ta cần xét các trường hợp để lượng liên hợp
bằng 0 và khác 0. Cụ thể với ví dụ này ta xử lý như sau
Điều kiện xác định của phương trình là x  1 . Nhận thấy x = 1 là một
nghiệm của phương trình.
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Với x  0 , khi đó phương trình đã cho tương đương với

x2 − x

x + x − 2 − 2 ( x − 1) + x − 1 = 0 
2

2

x + x − 2 + 2 ( x − 1)
2

+ x2 − 1 = 0



x

 ( x − 1)
+ x + 1 = 0

 x 2 + x − 2 + 2 ( x − 1)



x
Do x  1 nên x − 1  0 và
+ x+1 0 .
x2 + x − 2 + 2 ( x − 1)



x
Từ đó suy ra phương trình ( x − 1) 
+ x + 1 = 0 vô nghiệm.
 x2 + x − 2 + 2 ( x − 1)



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Ví dụ 3. Giải phương trình

x + 1 + 1 = 4x 2 + 3x .

Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho có hai căn thức bậc hai, nếu biến đổi nâng lên lũy thừa thì sau
hai lần phương trình thu được có bậc 8, do đó không nên sử dụng biến đổi nâng lên lũy
thừa để giải phương trình. Nhẩm một số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có nghiệm

x=

1
, do đó khi phân tích phương trình thành tích sẽ có chứa nhân tử chung là 2x − 1 . Để
2

ý tiếp ta lại thấy 4x 2 − 1 = ( 2x − 1)( 2x + 1) và

(

3x − x + 1

)(

)

3x + x + 1 = 2x − 1 và

3x + x + 1  0 nên ta nghĩ đến nhận thêm đại lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân tử
2x − 1 .

Điều kiện xác định của phương trình là x  0 . Phương trình đã cho tương
đương với

(

) (

4x 2 − 1 +

)

3x − x + 1 = 0  ( 2x − 1)( 2x + 1) +

(

3x − x + 1

)(

3x + x + 1

3x + x + 1


2x − 1
1
 ( 2x − 1)( 2x + 1) +
= 0  ( 2x − 1)  2x + 1 +
=0
3x + x + 1
3x + x + 1 

 2x − 1 = 0

1
 2x + 1 +
=0

3x + x + 1
1
• Với 2x − 1 = 0  x = , thỏa mãn điều kiện xác định.

2

Nguyễn Công Lợi

) =0

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
• Với x  0 thì 2x + 1 +

1
3x + x + 1

 0 , do đó 2x + 1 +

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =
Ví dụ 4. Giải phương trình

1
3x + x + 1

= 0 vô nghiệm.

1
.
2

10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2 .

Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = 3 là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử
chung là x − 3 . Để ý ta lại thấy ( 10x + 1) − ( 9x + 4 ) = ( 3x − 5 ) − ( 2x − 2 ) = x − 3 . Mặt khác
10x + 1 + 9x + 4  0 và

ta lại thấy với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì
3x − 5 + 2x − 2  0 .

Điều kiện xác định của phương trình là x 
đương với

(

) (

10x + 1 − 9x + 4 +
x−3



5
. Phương trình đã cho tương
3

)

3x − 5 − 2x − 2 = 0
x−3

+

=0
10x + 1 + 9x + 4
3x − 5 + 2x − 2


1
1
 ( x − 3) 
+
=0
3x − 5 + 2x − 2 
 10x + 1 + 9x + 4
1
1
5
Dễ thấy khi x  thì
+
 0.
3
10x + 1 + 9x + 4
3x − 5 + 2x − 2
Do đó phương trình trên ta đực x − 3 = 0  x = 3 .
Kết hợp với điều kiện xác định ta được x = 3 là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Ví dụ 5. Giải phương trình sau

(

)

3x2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3 x 2 − x − 1 − x 2 − 3x + 4 .

Phân tích và lời giải
Kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 nên ta sẽ cố
gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử ( x − 2 ) . Ta có nhận
xét rằng:

(
(

) (

)

 3x 2 − 5x + 1 − 3x 2 − 3x − 3 = −2 ( x − 2 )

 2
2
 x − 2 − x − 3x + 4 = 3 ( x − 2 )

) (

)

Từ đó ta có lời giải như sau

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

3x 2 − 5x + 1  0

Điều kiện xác định của phương trình là x 2 − x − 1  0 . Phương trình đã cho
x 2 − 2  0

tương đương với

(

)

3x 2 − 5x + 1 − 3 x 2 − x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4


−2x + 4

(

3x 2 − 5x + 1 + 3 x 2 − x + 1

)

3x − 6

=

x − 2 + x 2 − 3x + 4
2



2
3

=0
 (x − 2)
+

2
2
2
2
x − 2 + x − 3x + 4 
 3x − 5x + 1 + 3 x − x − 1


(

Mặt khác ta lại có

2

(

)

3x − 5x + 1 + 3 x − x − 1
2

2

)

+

3
x − 2 + x − 3x + 4
2

2

 0 với mọi x

Do đó từ phương trình trên ta được x − 2 = 0  x = 2 , thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 2 .
Ví dụ 6. Giải phương trình

3

2x + 3 − 3 x − 1 + x + 4 = 0 .

Phân tích và lời giải
Nhận thấy ( 2x + 3 ) − ( x − 1) = x + 4 và không tồn tại x  R để biểu thức 2x + 3 và
x − 1 đồng thời bằng 0. Do đó ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân

tử chung x + 4 . Từ đó ta có lời giải như sau
3

x+4

2x + 3 − 3 x − 1 + x + 4 = 0 
3

( 2x + 3 ) − 3 ( 2x + 3 )( x − 1) + 3 ( x − 1)
2

2

+x+4 =0



1

 (x + 4)
+ 1 = 0
3

2
2
3
 ( 2x + 3 ) − 3 ( 2x + 3 )( x − 1) + ( x − 1)

x+4
Do

+ 1  0 với mọi x.
2
2
3
3
3
( 2x + 3) − ( 2x + 3)( x − 1) + ( x − 1)
Do đó từ phương trình trên ta được x + 4 = 0  x = −4 . Vậy phương trình có
nghiệm x = −4 .
Ví dụ 7. Giải phương trình

3

x2 + 3x + 1 + x2 = 3 5x + 1 + 2x .

Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

(

)

Nhận thấy x2 + 3x + 1 − ( 5x + 1) = x 2 − 2x và không tồn tại x  R để biểu thức

x2 + 3x + 1 và 5x + 1 đồng thời bằng 0. Do đó ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm
xuất hiện nhân tử chung x 2 − 2x . Từ đó ta có lời giải như sau

x2 + 3x + 1 + x 2 = 3 5x + 1 + 2x  3 x 2 + 3x + 1 − 3 5x + 1 + x 2 − 2x = 0

3

x2 − 2x


3

(x

2

)

(

)

+ 3x + 1 − 3 x 2 + 3x + 1 ( 5x + 1) + 3 ( 5x + 1)
2

+ x2 − 2x = 0






1
 x − 2x 
+ 1 = 0
2
 3 x 2 + 3x + 1 − 3 x 2 + 3x + 1 ( 5x + 1) + 3 ( 5x + 1) 



(

)

2

(

)

(

)

x2 − 2x

Dễ thấy
3

(x

2

)

2

+ 3x + 1 −

3

(x

2

)

+ 3x + 1 ( 5x + 1) +

3

( 5x + 1)

+ 1  0 với mọi x.

Do đó từ phương trình trên ta được x2 − 2x = 0  x = 0; x = 2 là nghiệm của
phương trình.
Ví dụ 8. Giải phương trình

2x − 3 − x = 2x − 6

Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho có hai căn thức bậc hai, ta có thể sử dụng biến đổi nâng lên lũy
thừa để giải phương trình. Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được phương trình bậc
bốn. Nhẩm một số giá trị ta thấy x = 3 là một nghiệm, như vậy phương trình bậc bốn có
thể phân tích được. Tuy nhiên với x = 3 là một nghiệm, ta dự đoán khi phân tích phương
trình thành tích sẽ có nhân tử chung là x − 3 . Lại để ý thì thấy ( 2x − 3 ) − x = x − 3 và
2x − 6 = 2 ( x − 3 ) , do đó ta sử dụng lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân chung x − 3 . Ta

có lời giải như sau
Điều kiện xác định của phương trình là x 

3
. Phương trình đã cho tương đương
2

với

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

(

2x − 3 − x

)(

2x − 3 + x

2x − 3 + x

) = 2 ( x − 3)  ( x − 3) 


1
− 2 = 0

 2x − 3 + x


x − 3 = 0
x = 3



1
1


−2 =0
=2
 2x − 3 + x
 2x − 3 + x

3
thì
2

2x − 3 + x 

3
 1 do đó
2

1

 1.
2x − 3 + x
1
3
Từ đó ta được
= 2 vô nghiệm khi x  .
2
2x − 3 + x
Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được x = 3 là nghiệm duy
Ta có với x 

nhất.
Ví dụ 9. Giải phương trình

3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0

Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = 5 là nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung khi
viết phương trình thành tích là x − 5 . Để ý ta thấy khi x = 5 thì
nhóm

3x + 1 − 4 và nhân với lượng liên hợp là

6 − x − 1 và nhân với lượng liên hợp là

3x + 1 − 4 = 0 , do đó ta

3x + 1 + 4 , cũng tương tự thì ta nhóm

6 − x + 1 . Từ đó ta có lời giải như sau

1
Điều kiện xác định của phương trình là −  x  6 . Phương trình đã cho tương
3
đương với

( 3x + 1 − 4) − ( 6 − x − 1) + 3x − 14x − 5 = 0
( 3x + 1 − 4 )( 3x + 1 + 4 ) − ( 6 − x − 1)( 6 − x + 1) + ( x − 5)( 3x + 1) = 0

2

3x + 1 + 4
6 −x +1


3
1
 ( x − 5) 
+
+ 3x + 1  = 0
6−x +1

 3x + 1 + 4

3
1
1
Để ý là với −  x  6 thì
+
+ 3x + 1  0 .
3
3x + 1 + 4
6 −x +1
Do đó từ phương trình trên ta được x − 5 = 0  x = 5 .

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x = 5 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 10. Giải phương trình x + x + 1 + x 2 + x − 1 = 2 + 2 .
Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử chung
khi

viết

phương

trình

thành

tích

là

x − 1.

x + 1 = 2; x2 + x − 1 = 1 , từ đó ta thực hiện nhóm
đó đại lượng liên hợp tương ứng sẽ là

x + 1 + 2 và

Chú

ý

là

khi

x=1

thì

x 2 + x − 1 − 1 , khi

x + 1 − 2 và

x 2 + x − 1 + 1 . Ta có lời giải như

sau
x + 1  0
5 −1
x
Điều kiện xác định của phương trình là  2
.
2
x + x − 1  0
Phương trình đã cho tương đương với

x −1+

(

) (

x+1 − 2 +

)

x + x −1 −1 = 0  x −1+
2

( x + 1) − 2 + ( x
x+1 + 2

2

)

+ x −1 −1

x2 + x − 1 + 1

=0



1
x+2
 ( x − 1)  1 +
+
=0
2
x
+
1
+
2
x + x −1 +1

1
x+2
5 −1
+
 0.
thì 1 +

2
2
x+1 + 2
x + x −1 +1
Do đó từ phương trình trên ta được x − 1 = 0  x = 1 .
Để ý ta thấy với x 

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Ví dụ 11. Giải phương trình 2 3 3x − 2 − 3 6 − 5x + 16 = 0
Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = −2 là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử
chung khi phân tích phương trình thành tích là x + 2 . Để ý rằng khi x = −2 thì
3

3x − 2 + 2 = 0; 6 − 5x − 4 = 0 . Khi đó sử dụng nhân đại lượng liên hợp để xử lý phương

trình.
Điều kiện xác định của phương trình là 6 − 5x  0 . Phương trình đã cho
tương đương với
2 ( 3x − 2 + 8 )
3 ( 6 − 5x + 16 )
2 3 3x − 2 + 2 − 3 6 − 5x − 4 = 0 
−
=0
2
3
3
6
−

5x
+
4
3x − 2 − 2 3x − 2 + 4

(



 (x + 2) 



) (

(

3

)

(

)



+
=0
2

3
6
−
5x
+
4
3x − 2 − 2 3x − 2 + 4



Nguyễn Công Lợi

)

6

15

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Dễ thấy

(

6

3

3x − 2

) −2
2

3

3x − 2 + 4

+

15
6 − 5x + 4

 0 với mọi x 

6
.
5

Do đó từ phương trình trên ta được x + 2 = 0  x = −2 , thỏa mãn điều kiện xác
định
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = −2 .
5x − 1 + 3 9 − x = 2x 2 + 3x − 1

Ví dụ 12. Giải phương trình
Phân tích và lời giải

Nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, do đó khi phân tích phương
trình thành tích thì có chứa nhân tử chung là x − 1 . Với x = 1 thì

5x − 1 = 2; 3 9 − x = 2 do đó ta thực hiện phép nhóm

5x − 1 − 2 và

3

9 − x = 2 . Từ đó ta

có lời giải như sau
Điều kiện xác định của phương trình là x 

1
. Phương trình đã cho tương đương
5

với:

5x − 1 − 2 + 3 9 − x − 2 = 2x 2 + 3x − 5


5 ( x − 1)

5x − 1 + 2

+

(

1− x

3

9−x

) +2
2

3

9−x +4

= ( x − 1)( 2x + 5 )



5
1


 ( x − 1)  2x + 5 −
+
=0
2
3
3
5x
−
1
+
2

9
−
x
+
2
9
−
x
+
4






5 5x − 1 + 5
1


 ( x − 1)  2x +
+
=0
2
3
3
5x
−
1
+

2
9−x + 2 9 −x + 4




(

)

(

Để ý ta thấy 2x +

5 5x − 1 + 5
5x − 1 + 2

+

(

)

1

3

9−x

) +2

2

3

9−x +4

 0 với mọi x 

1
5

Do đó từ phương trình trên ta được x − 1 = 0  x = 1 , thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1 .
Ví dụ 13. Giải phương trình

3 − x + 2 + x = x3 + x2 − 4x − 4 + x + x − 1
Lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Điều kiện xác định của phương trình là −2  x  3 . Phương trình đã cho tương
đương với

(

) (

−x 2 + x + 2



)

3 − x − x −1 +

3 − x + x −1

+

2 + x − x = x3 + x2 − 4x − 4

−x 2 + x + 2
2+x + x

= ( x + 2 )( x + 1)( x − 2 )



1
1
 ( 2 − x )( x + 1) 
+
+ ( x + 2 ) = 0
 3 − x + x − 1

2+x + x

1
1
+
+ (x + 2)  0
Dễ thấy với −2  x  3 thì
3 − x + x −1
2+x + x
Do đó từ phương trình trên ta được ( 2 − x )( x + 1) = 0  x = 2; x = −1 , thỏa mãn điều
kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = −1; 2
Ví dụ 14. Giải phương trình

3

x2 − 1 + x − 3 + x + 1 + x =

x+3
+5
x2 − 6

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x  3 . Phương trình đã cho tương đương
với

(

3

)

x2 − 1 − 2 + x − 3 +

(

x2 − 1 − 8


3

(x

2

−1

)

2

)

x + 1 − 2 + ( x − 3) =
+ x−3 +

+ 2 3 x2 − 1 + 4

x+3
−2
x2 − 6

x +1− 4
x+1 + 2

+ ( x − 3) =

15 + x − 2x 2
x2 − 6



x − 3 ( x + 3)
x − 3 ( 2x + 5 ) 

x−3
 x−3
+ 1+
+ x−3 +
=0
2
x2 − 6
x+1 + 2
 3 x2 − 1 + 2 3 x2 − 1 + 4




(

)

x − 3 ( x + 3)

Dễ thấy
3

(x

2

)

2

+ 1+

−1 + 2 x −1 + 4
3

2

Do đó từ phương trình trên ta được

x−3
x+1 + 2

+ x−3 +

x − 3 ( 2x + 5 )
x2 − 6

 0.

x − 3 = 0  x = 3 , thỏa mãn điều kiện xác

định.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 3 .
Ví dụ 15. Giải phương trình 2x 2 − x − 2 = 5x + 6 .
Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Phương trình đã cho có dạng cơ bản nên ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa.
Sau bước nâng lên lũy thừa ta được một phương trình bậc 4, nếu ta nhẩm được nghiệm
của phương trình bậc 4 thì xem như phương trình giải đươc. Nhẩm được x = 2 và x = −1
là hai nghiệm của phương trình, như vậy ta đã giải được phương trình bằng cách nâng lên
lũy thừa. Ta thử giải phương trình với phương pháp nhân lượng liên hợp xem sao. Do
phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = −1 nên ta dự đoán khi phân tích phương trình
thành tích thì phương trình chứa nhân tử chung ( x + 1)( x − 2 ) = x 2 − x − 2 . Giả sử ta cần
nhóm

5x + 6 − A để khi nhân lượng liên hợp ta có

5x + 6 − A =

5x + 6 − A 2
5x + 6 + A

và tử

thức có dạng x 2 − x − 2 . Điều này làm ta nghĩ đến A = ax + b , ta cần xác định các hệ số a
và b. Như vậy ta xét nhóm

5x + 6 − ( ax + b ) , với x = 2 và x = −1 là nghiệm của phương

trình nên ta có
 5. ( −1) + 6 − ( −a + b ) = 0
−a + b = 1
a = 1




2a + b = 4
b = 2
 5.2 + 6 − ( 2a + b ) = 0
Từ đó ta có lời giải như sau
6
Điều kiện xác định của phương trình là 5x + 6  0  x  − . Phương trình
5

tương đương với
2x 2 − x − 2 = 5x + 6  2x 2 − 2x − 4 = 5x + 6 − ( x + 2 )
 5x + 6 − ( x + 2 )   5x + 6 + ( x + 2 ) 


 2 x2 − x − 2 = 

5x + 6 + x + 2
2


x −x−2
1
 2 x2 − x − 2 +
= 0  x2 − x − 2  2 +
=0
5x + 6 + x + 2
5x + 6 + x + 2 

1
6
Dễ thấy 2 +
 0 với mọi x  − .
5
5x + 6 + x + 2

(

)

(

)

(

)

Do đó phương trình trên ta được x 2 − x − 2 = 0  ( x + 1)( x − 2 ) = 0  x = −1; x = 2 .
Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S = −1; 2 .
Ví dụ 16. Giải phương trình x 2 − 4x + 12 = 4 4 − x + 3x + 16
Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = 0 và x = 3 là hai nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân
tử chung khi phân tích phương trình thành tích là x2 − 3x . Vì phương trình chứa hai căn
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
thức nên ta cầm phải tìm lương liên hợp cho hai căn thức nay. Với căn thức

4 − x ta cần

nhóm A = ax + b , khi đó do x = 0 và x = 3 là nghiệm của phương trình nên ta được

1
4 − x − ( ax + b ) = 0 tại x = 0 và x = 3 , từ đó ta tìm được a = − ; b = 2 . Do đó ta thực
3
hiện phép nhóm

 1

4 − x −  − x + 2  . Hoàn toàn tương tự với căn thức
 3


hiện phép nhóm

1

3x + 16 −  x + 4  . Đến đây ta có lời giải như sau
3


Điều kiện xác định của phương trình là −

16 + 3x ta thực

16
 x  4 . Phương trình đã cho tương
3

đương với



x  
x

x 2 − 3x = 4  4 − x −  2 −   +  3x + 16 −  + 4  
3  

3


2

4 3x − x
3x − x 2
 x 2 − 3x =
+
x
x
4−x +2−
3x + 16 + + 4
3
3




4
1
 x 2 − 3x  1 +
+
=0
x
x

4−x +2−
3x + 16 + + 4 
3
3


4
1

16
+
 0 với mọi −  x  4 .
Dễ thấy 1 +
x
x
3
4−x +2−
3x + 16 + + 4
3
3
Do đó từ phương trình trên ta được x2 − 3x = 0  x = 0; x = 3 , thỏa mãn điều kiện

(

(

)

)

xác định.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 0; 3 .
2. Tách biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp
Ta đã biết mục đích sử dụng phép nhân thêm một lương liên hợp đó là đưa
phương trình vô tỷ về dạng tích. Tuy nhiên trong một số bài toán thì kỹ thuật nhân
thêm đại lương liên hợp không đảm bảo cho mẫu số khác 0 hoặc việc giải quyết
biểu thức còn lại trong phương trình tích gặp nhiều khó khăn. Khi đó ta có thể lựa
chọn phương án khác đó là tách một biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp để
thay thế.

Ví dụ 1. Giải phương trình 2 + x − 1 + 3x − 5 = x .

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Phân tích và lời giải
Nhận thấy

(

x − 1 + 3x − 5

nhân liên hợp kiểu

)(

x − 1 + 3x − 5 =

)

3x − 5 − x − 1 = 2 ( x − 2 ) , do đó nếu ta thực hiện

(

x − 1 + 3x − 5

)(

3x − 5 − x − 1

3x − 5 − x − 1

) = 2 ( x − 2 ) thì

phương trình sẽ có nhân tử chung là x − 2 . Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh ở đây là lương
liên hợp ta nhân vào chưa đảm bảo khác 0. Để khắc phục vấn đề này ta có thể xét hai
3x − 5 − x − 1 = 0 và

trường hợp

3x − 5 − x − 1  0 . Nhưng thay vì thực hiện cách

khác phục như trên ta có thể biến đổi theo cách ngược lại đó là

2 ( x − 2) =

(

x − 1 + 3x − 5

)(

)

3x − 5 − x − 1 .

Điều kiện xác định của phương trình là 3x  5 . Phương trình đã cho tương

đương với

2 (x − 2) − 2

(
(



(

)

3x − 5 + x − 1 = 0

)(
x − 1 )(

) ( 3x − 3 + x − 1 ) = 0
 3x − 5 + x − 1 = 0
x − 1 − 2) = 0  
 3x − 5 − x − 1 − 2 = 0

x − 1 + 3x − 5

3x − 5 − x − 1 − 2

3x − 3 +

3x − 5 −




 3x − 5 = 0
, hệ vô nghiệm.
3x − 5 + x − 1 = 0  
x
−
1
=
0


• Với 3x − 5 − x − 1 − 2 , biến đổi phương trình ta được
x  4
3x − 5 = x − 1 + 2  x − 4 = 2 x − 1   2
 x = 10
x − 12x + 20 = 0
Kết hợp điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là x = 10 .
• Với

Ví dụ 2. Giải phương trình

x2 + x − 2 + x − 1 = x2 − 1

Phân tích và lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x  1 .
Để ý rằng

(

x2 + x − 2 − x − 1

)(

)

x 2 + x − 2 + x − 1 = x 2 − 1 . Do đó ta biến đổi

phương trình về dạng
x2 + x − 2 + x − 1 =

Nguyễn Công Lợi

(

x2 + x − 2 + x − 1

)(

)

x 2 + x − 2 − x − 1 hay ta được

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
 x2 + x − 2 + x − 1 = 0

x + x − 2 + x −1
x + x − 2 − x −1 −1 = 0  
 x 2 + x − 2 − x − 1 − 1 = 0
x 2 + x − 2 = 0
2
• Với x + x − 2 + x − 1 = 0  
 x =1.
x − 1 = 0
x  2
x  2
• Với x 2 + x − 2 − x − 1 − 1 = 0   4

.

3
2
2
x
−
2
x
+
2x
−
4
=
0
x
−
4x

−
4x
+
8
=
0
(
)



(

)(

2

)

2

(

)

Ta có x3 + 2x2 − 4  2 2 + 2.2 − 4 = 2 2  0 với mọi x  2 .
Do đó từ phương trình trên ta được x − 2 = 0  x = 2 .
Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S = 1; 2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình x2 − 10x + 14 = 2 2x + 1
Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản do đó ta có thể sử dụng phép nâng lên lũy
thừa, khi đó phương trình thu được có bậc bốn, tuy nhiên cách làm này có vẻ không hợp lý
vì ta không nhẩm được các nghiệm đẹp. Do đó ta sẽ sử dụng phương pháp nhân lượng liên
hợp, có điều khi liên hợp với một số cũng không hợp lý vì phương trình không nhẩm được
nghiệm đẹp nên khả năng nhân tử chung sau liên hợp sẽ có bậc hai. Vậy nên ta sẽ liên hợp
với một biểu thức dạng ax + b . Giả sử ta thực hiện phép nhóm và nhân nhân lượng liên
hợp

2x + 1 − ( ax + b ) =
Khi

đó

phương

x − 10x + 14 − 2 ( ax + b ) = 2.
2

trình

2x + 1 − ( ax + b )

x + ( −2a − 10 ) x + 14 − 2b = 2.
2

đã

2x + 1 − ( ax + b )

2

2x + 1 + ax + b
cho
tương

đương

với

2

2x + 1 + ax + b

−a 2 x2 + ( 2 − 2ab ) x + 1 − b2
2x + 1 + ax + b

hay

ta

được

. Để hai vế của phương trình có

nhân tử chung thì hệ số của đa thức vế trái và tử thức ở vế phải tương ứng tỉ lệ với nhau.
Từ đó ta có dãy tỷ số

−a 2
2 − 2ab
1 − b2

=
=
. Bây giờ ta cần xác định các hệ số a, b càng
1
−2a − 10 14 − 2b

đẹp càng tốt.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

−a 2
1 − b2
Từ
=
 b2 + 2a 2 b − 1 − 14a 2 = 0 , ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn b, khi
1
14 − 2b
đó ta có biệt thức ' = a4 + 14a2 + 1 . Để thu được nghiệm b đẹp thì
Chọn một số giá trị của a ta được khi a = 1 thì

 ' phải là số hữu tỷ.

 ' = 4 . Như vậy với a = 1 thì b = −5 và

với a = −1 thì b = 3 . Ta thử giải bài toán với phép nhóm

2x + 1 − ( x − 5 ) .

1
Điều kiện xác định của phương trình là x  − . Phương trình đã cho tương đương
2
với

x2 − 10x + 14 − 2 ( x − 5 ) = 2  2x + 1 − ( x − 5 )


2
 x 2 − 12x + 24 = 2  2x + 1 − ( x − 5 )   ( x − 5 ) − ( 2x + 1) = 2  2x + 1 − ( x − 5 )




 x − 5 − 2x + 1 x − 5 + 2x + 1 = 2  2x + 1 − ( x − 5 ) 


 x − 5 − 2x + 1 = 0
 x − 5 − 2x + 1 x − 3 + 2x + 1 = 0  
 x − 3 + 2x + 1 = 0

x  5
• Với x − 5 − 2x + 1 = 0  x − 5 = 2x + 1 
 x =6+2 3
2
x
−

5
=
2x
+
1
(
)



x  3
• Với x − 3 + 2x + 1 = 0  3 − x = 2x + 1  
 x = 4−2 2
2
3
−
x
=
2x
+
1
(
)


Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là

(
(



S = 4 − 2 2; 6 + 2 3

)(
)(

)
)



Nhận xét. Sẽ là sai lầm nếu ta thực hiện phép nhân lượng liên hợp theo kiểu sau

x − 10x + 14 − 2 ( x − 5 ) = 2  2x + 1 − ( x − 5 )  x − 12x + 24 = 2.


2

2

2x + 1 − ( x − 5 )

2

2x + 1 + x − 5

Rõ ràng phương trình trên không xác định khi x = 6 − 2 3 .
Do đó để khắc phục sai lầm trên thì thực hiện phép biến đổi ngược đó là phân tích vế
trái thành tích sao cho có chứa nhân tử chung là

2x + 1 − ( x − 5 ) , như vậy sẽ tránh được

xét nhiều trường hợp.
Ví dụ 4. Giải phương trình 2 (1 − x ) x 2 + 2x − 1 + 2x + 1 = x 2
Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho không nhẩm được nghiệm đẹp do đó ta dự đoán sau khi nhân
lượng liên hợp thì nhân tử chung là một đa thức bậc hai. Để ý rằng biểu thức trong căn có
Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
dạng đa thức bậc hai và biểu thức ngoài căn cũng có bậc hai, do đó ta có thể nhóm liên hợp
với một hằng số hoặc với một biểu thức có dạng ax + b .
• Trước hết ta nhóm liên hợp với hằng số, giả sử ta thực hiện nhóm như sau

2 ( 1 − x ) x 2 + 2x − 1 + 2x + 1 = x 2
 2 (1 − x )
 2 (1 − x )

(

)

x 2 + 2x − 1 − a = x 2 − 2x − 1 − 2a (1 − x )

x 2 + 2x − 1 − a 2

= x 2 + ( 2a − 2 ) x − 2a − 1

x + 2x − 1 + a
Để hai vế của phương trình xuất hiện nhân tử chung thì ta cần có
2 = 2a − 2
 a = 2.

2
−1 − a = −2a − 1
Điều này có nghĩa là ta nhóm liên hợp với a = 2 .
2

• Nhóm lên hợp với biểu thức dạng ax + b , ta thực hiện như sau

2 ( 1 − x ) x 2 + 2x − 1 + 2x + 1 = x 2
 2 ( 1 − x )  x 2 + 2x − 1 − ( ax + b )  = x 2 − 2x − 1 − 2 ( ax + b )(1 − x )


2
2
1 − a x + ( 2 − 2ab ) x − b 2 − 1
 2 (1 − x )
= ( 1 + 2a ) x 2 + ( 2b − 2a − 2 ) x − 2b − 1
x 2 + 2x − 1 + ( ax + b )

(

)

(

)

Khi đó nhân tử chung của hai vế sẽ là 1 − a 2 x2 + ( 2 − 2ab ) x − b2 − 1 và để xuất

1 − a2
2 − 2ab
−1 − b 2
=
=
.
1 + 2a 2b − 2a − 2 −1 − 2b
Thực hiện tương tự như ví dụ trên ta tìm được bộ số ( a; b ) = ( −2; 0 ) thỏa mãn, điều

hiện nhân tử chung trong vế phải thì ta cần có

này có nghĩa là ta thực hiện nhóm liên hợp x 2 + 2x − 1 + 2x . Đến đây ta có lời giải như
sau
Điều kiện xác định của phương trình là x2 + 2x − 1  0 . Phương trình đã cho
tương đương với

(
 2 (1 − x ) (
 2 (1 − x ) (
 2 (1 − x ) (

 2 (1 − x )

)
x + 2x − 1 + 2x ) = −3x + 2x − 1

x + 2x − 1 + 2x ) = ( x + 2x − 1) − ( 4x )
x + 2x − 1 + 2x ) = ( x + 2x − 1 − 2x )(

x 2 + 2x − 1 + 2x = x 2 − 2x − 1 + 4x (1 − x )
2

2

2

2

2

2

2

x 2 + 2x − 1 + 2x

)

 x 2 + 2x − 1 + 2x = 0
 x 2 + 2x − 1 = −2x


 2 ( 1 − x ) = x 2 + 2x − 1 − 2x
 x 2 + 2x − 1 = 2

Giải các trường hợp trên ta được x = −1  6 thỏa mãn điều kiện xác định.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Nhận xét.
x  0
x 2 + 2x − 1 − 2x = 0  x 2 + 2x − 1 = 2x  
, vô nghiệm.
2
−3x + 2x − 1 = 0
Do đó ta có thể nhân lượng liên hợp theo cách sau
• Vì

2 ( 1 − x )  x 2 + 2x − 1 + 2x  = −3x 2 + 2x − 1


 2 (1 − x )

−3x 2 + 2x − 1
x 2 + 2x − 1 − 2x

= −3x 2 + 2x − 1 

2 (1 − x )
x 2 + 2x − 1 − 2x

=1

 x 2 + 2x − 1 − 2x = 2 − 2x  x 2 + 2x − 1 = 2  x = −1  6
• Để ý rằng

x 2 + 2x − 1 + 2  0 với mọi x nên ta có thể nhân lương liên hợp cách khác

như sau

2 ( 1 − x ) x 2 + 2x − 1 + 2x + 1 = x 2  2 (1 − x )

(

)

x 2 + 2x − 1 − 2 = x 2 − 2x − 1 − 4 (1 − x )



2 − 2x
= x 2 + 2x − 4  x 2 + 2x − 5 
− 1 = 0
2
x 2 + 2x − 1 + 2
 x + 2x − 1 + 2 

x 2 + 2x − 1 − 4

 2 (1 − x )

(

)

Đến đây ta xét các trường hợp thì được nghiệm x = −1  6 .
Ví dụ 5. Giải phương trình x2 + x − 1 = ( x + 2 ) x2 − 2x + 2
Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho không nhẩm được nghiệm đẹp, do đó ta dự đoán rằng nhân tử
chung là một đa thức bậc hai có nghiệm vô tỉ. Để tìm nhân tử chung cho phương trình ta
viết lại phương trình như sau
Do x = −2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình
x2 + x − 1
cho x + 2 thì được x 2 − 2x + 2 =
. Giả sử ta cần thêm vào hai vế của phương
x+2
x2 + x − 1
− ( ax + b ) . Thực
trình một lượng ax + b , khi đó ta có x 2 − 2x + 2 − ( ax + b ) =
x+2
hiện nhân lượng liên hợp thì được
1 − a 2 x 2 − 2 ( 1 + ab ) x + 2 − b 2 ( 1 − a ) x 2 + ( 1 − 2a − b ) x − 1 − 2a
=
x+2
x 2 − 2x + 2 + ( ax + b )

(

)

Để làm xuất hiện nhân tử chung cho phương trình trên thì ta cần chọn a, b thỏa mãn dãy
tỉ số sau

1 − a 2 2 (1 + ab ) b2 − 2
=
=
1 − a 2a + b − 1 2b + 1

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
x − 2x + 2 − 3 =

Từ đó ta chọn được a = 0; b = 3 , do đó ta có

2

x 2 − 2x − 7
x 2 − 2x + 2 + 3

.

Điều này có nghĩa nhân tử chung chọn được là x 2 − 2x − 7 . Từ đó ta trình bày lời giải như
sau

(

)

Điều kiện xác định của phương trình là ( x + 2 ) x2 + x − 1  0 . Phương trình đã cho

tương đương với

x 2 − 2x − 7 + 3 ( x + 2 ) − ( x + 2 ) x 2 − 2x + 2 = 0

)

(



x+2
 x 2 − 2x − 7 + ( x + 2 ) 3 − x 2 − 2x + 2 = 0  x 2 − 2x − 7  1 −
=0
x 2 − 2x + 2 + 3 

 x 2 − 2x − 7 = 0
2



( x − 1) + 1 − ( x − 1 ) 
 x 2 − 2x − 7  1 −
=
0

 ( x − 1) 2 + 1 − ( x − 1 )


x 2 − 2x + 2 + 3 
=0





x 2 − 2x + 2 + 3

(

(

)

)

x = 1 + 7
• Với x2 − 2x − 7 = 0  
, thỏa mãn điều kiện xác định.
 x = 1 − 7
• Do

( x − 1)

2

+ 1 − ( x − 1)

x 2 − 2x + 2 + 3

 0 với mọi x nên

( x − 1)



2

+ 1 − ( x − 1)

x 2 − 2x + 2 + 3

= 0 vô nghiệm.



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 1 − 7 ;1 + 7 .
3. Một số kỹ thuật xử lý sau nhân lượng liên hợp
Để giải bài toán phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dung đại lương
liên hợp ta thường biến đổi phương trình về dạng

(ax

2

( x − x ) .A ( x ) = 0
0

hoặc

)

+ bx + c .A ( x ) = 0 . Vấn để nay sinh sau khi nhân lương liện hợp đó là xử lý

phương trình A ( x ) = 0 bằng cách nào. Thông thường thì phương trình A ( x ) = 0
vô nghiệm. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh được A ( x )  0 hoặc A ( x )  0 .
Tuy nhiên biểu thức A ( x ) thường rất phức tạp và các đại lượng trong A ( x )
không phải khi nào cũng cùng dấu. Để giải quyết hiểu vấn đề này ta đi tìm hiểu
một số ví dụ sau.
Ví dụ 1. Giải phương trình

2x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 10

Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Nhẩm được x = 0 là một nghiệm của phương trình nên ta dự đoán nhân tử chung
khi

( 2x

phân
2

tích

phương

) (

trình

là

x

và

lại

thấy

)

− 7x + 10 − x 2 − 12x + 10 = x 2 + 5x = x ( x + 5 ) do đó ta sẽ nhân lượng liên hợp để

giải phương trinh. Để ý rằng

2x2 − 7x + 10 + x2 − 12x + 10  0 . Do đó ta có lời giải như

sau.
2
x  6 + 26

2x − 7x + 10  0
Điều kiện xác định của phương trình là  2
.


 x  6 − 26

x − 12x + 10  0

Phương trình đã cho tương đương với

2x 2 − 7x + 10 − x 2 − 12x + 10 = x

(


2x 2 − 7x + 10 − x 2 − 12x + 10

)(

2x 2 − 7x + 10 + x 2 − 12x + 10

)=x

2x 2 − 7x + 10 + x 2 − 12x + 10
2x 2 − 7x + 10 − x 2 − 12x + 10
x ( x + 5)

=x
=x
2x 2 − 7x + 10 + x 2 − 12x + 10
2x 2 − 7x + 10 + x 2 − 12x + 10
x = 0
 

x+5
=1
2
 2x − 7x + 10 + x 2 − 12x + 10

(

Với

) (

x+5
2x − 7x + 10 + x − 12x + 10
2

2

)

= 1 ta được

2x2 − 7x + 10 + x2 − 12x + 10 = x + 5

 2x 2 − 7x + 10 − x 2 − 12x + 10 = x
Kết hợp với phương trình đã cho ta được 
.
2
2
2x
−

7x
+
10
+
x
−
12x
+
10
=
x
+
5


12  129
2
 12 − 129 12 + 129 
;
Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm là S = 0;

2
2


Nhận xét.
Từ hệ phương trình trên ta được 2 x2 − 12x + 10 = 5  x =

• Trong ví dụ trên, phương trình P ( x ) = 0 sau khi nhân lượng liên hợp là một phương

trình phức tạp. Tuy nhiên để ý ta ghép P ( x ) = 0 với phương trình ban đầu cho ta một hệ
phương trình mà ta gọi là hệ tạm. Việc đưa phương trình về hệ tạm thực chất là sử dụng
phương trình hệ quả, do đó sau khi giải được các nghiệm cần phải thử lại vào phương trình
ban đầu rồi mới kết luận tập nghiệm.

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
• Một vấn đề đặt ra là khi nào ta sử dụng hệ tạm sau phép nhân liên hợp. Thông thường

thì với phương trình có dạng

f ( x )  g ( x ) = ax + b . Một điều cần lưu ý đó là khi nhân

lượng liên hợp ta cần đảm bảo mẫu các biểu thức phải khác 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 20 .
Phân tích và lời giải
x 2 − 7x + 10  0
 x  10

Điều kiện xác định của phương trình là  2
x − 12x + 20  0
x  2
Cũng bằng cách kiểm tra ta thấy phương trình đã cho nhận x = 1 làm một

nghiệm nên ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình tích xuất hiện nhân
tử ( x − 1) .

Do đó phương trình đã cho tương đương với
2  x 2 − 7x + 10 − ( x + 1)  =  x 2 − 12x + 20 − ( x + 2 ) 

 


Ta có

x2 − 7x + 10 + ( x + 1)  0 và

x2 − 12x + 20 + ( x + 2 )  0 với x thuộc điều kiện

xác định.
Do đó phương trình trên tương đương với
−18 ( x − 1)

−16 ( x − 1)

=

x 2 − 7x + 10 + x + 1
x 2 − 12x + 20 + x + 2


9
8
 ( x − 1) 
−
 = 0
2

x 2 − 12x + 20 + x + 2 
 x − 7x + 10 + x + 1
x − 1 = 0
 
9
8
−
=0
 x 2 − 7x + 10 + x + 1
x 2 − 12x + 20 + x + 2
• Với x − 1 = 0  x = 1 , thỏa mãn điều kiện xác định.
• Với

9
x − 7x + 10 + x + 1
2

−

8
x − 12x + 20 + x + 2
2

=0

Ta có phương trình 8 x2 − 7x + 10 − 9 x2 − 12x + 20 = x + 10
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ sau
8 x 2 − 7x + 10 − 9 x 2 − 12x + 20 = x + 10

2 x 2 − 7x + 10 − x 2 − 12x + 20 = x

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

5
15 + 5 5
x 
x=
Do đó ta được 5 x − 7x + 10 = 4x − 5  
4
2
x 2 − 15x + 25 = 0

2

Thử lại vào phương trình ban đầu ta được tập nghiệm của phương trình là
 15 + 5 5 
S = 1;

2



2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4

Ví dụ 3. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x + 4  0
Nhận thấy
Xét

2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1  0 với mọi x. Do đó x + 4  0

2x2 + x + 9 = 2x2 − x + 1  2x2 + x + 9 = 2x2 − x + 1  x + 4 = 0 , không thỏa

mãn.

2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1  0 , khi đó phương trình đã cho tương đương với

Do đó

(

2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1

)(

2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1

) = x+4

2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1
2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1
2 (x + 4)


= x+4 
= x+4
2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1
2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1


2
 ( x + 4 ) 
− 1  = 0
2
2
 2x + x + 9 + 2x − x + 1 

(

) (

)

 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = 2
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ phương trình
 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1 = 2

 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4
x = 0
x + 6  0

Do đó ta được 2 2x + x + 9 = x + 6  
2 
2

4
2x
+
x
+
9
=
x
+
6
( ) x = 78

 8
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 0;  .
 7
2

Ví dụ 4. Giải phương trình

(

(

)

x 2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1

)(

)

5x 2 + 1 − 2x 2 + 1 = 3x 2

Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Để ý ta thấy

(

5x 2 + 1 + 2x 2 + 1

)(

)

5x 2 + 1 − 2x 2 + 1 = 3x 2 và

5x2 + 1 + 2x2 + 1  0 do đó ta liến hành nhân lượng liên hợp như sau
Phương trình các định với mọi số thực x. Phương trình đã cho tương đương với

x2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1
5x2 + 1 + 2x2 + 1

 x 2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1 

.3x2 = 3x2  3x2 
− 1 = 0
2
2


5x
+
1
+
2x
+
1



• Khi 3x2 = 0  x = 0 .
• Khi

x 2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1
5x 2 + 1 + 2x 2 + 1

− 1 = 0 ta được phương trình

x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1 = 5x2 + 1 + 2x2 + 1
Chú ý rằng x = 0 cũng là một nghiệm của phương trình trên
Xét x  0 , khi đó ta có

x2 + x + 1  4x2 + x + 1; 5x2 + 1  2x2 + 1 do đó ta được
x 2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1 = 5x 2 + 1 + 2x 2 + 1



3x 2
4x 2 + x + 1 − x 2 + x + 1

=

3x 2
5x 2 + 1 − 2x 2 + 1

 4x 2 + x + 1 − x 2 + x + 1 = 5x 2 + 1 − 2x 2 + 1
 x 2 + x + 1 + 4x 2 + x + 1 = 5x 2 + 1 + 2x 2 + 1
Kết hợp hai phương trình ta có hệ 
 4x 2 + x + 1 − x 2 + x + 1 = 5x 2 + 1 − 2x 2 + 1

Từ hệ phương trình trên ta được

4x2 + x + 1 = 5x2 + 1  x2 − x = 0  x = 1 .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 0;1 .
Ví dụ 5. Giải phương trình:

x ( x + 2 ) + x ( x − 1) = 2 x2
Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x  −2 hoặc x  −1 .
Để ý rằng

x ( x − 1) − x ( x + 2 )  0 , do đó phương trình đã cho tương đương với

x2 − x − x 2 − 2x

x ( x − 1) − x ( x + 2 )

=2 x 

−3x

x ( x − 1) − x ( x + 2 )

=2 x


3
3
 x ( x − 1) − x ( x + 2 ) = − 2
• Nếu x  −1 thì ta có 
 2 x ( x − 1) = 2x −
2
 x ( x − 1) + x ( x + 2 ) = 2x


Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com


3
3
 x ( x − 1) − x ( x + 2 ) = 2
• Nếu x  −2 thì ta có 
 2 x ( x − 1) = −2x +
2
 x ( x − 1) + x ( x + 2 ) = −2x

Nhận xét. Ngoài cách giải như trên ta có thể giải phương trình bằng cách sau.
• Nếu x  −1 ta chia cả hai vế cho

x + 2 + x −1 = 2 x

x ta được

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm nghiệm của phương trình.
• Nếu x  −2 , đặt t = −x  2 và thay vào phương trình ta được

t ( t − 2 ) + t ( t + 1) = 2

(t)

2

 t −2 + t +1 = 2 t

Bình phương hai vế tìm được t rồi từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình.
8x + 1 + 46 − 10x = −x 3 + 5x 2 + 4x + 1 .

Ví dụ 6. Giải phương trình:

Phân tích và lời giải
Nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, do đó ta dự đoán nhân tử
chung khi phân tích phương trình thành tích là x − 1 . Để ý rằng với x = 1 thì
8x + 1 − 3 = 0; 46 − 10x − 6 = 0 . Do đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là

−1
46
. Phương trình đã cho
x
8
10

tương đương với

8x + 1 − 3 + 46 − 10x − 6 = −x 3 + 5x 2 + 4x − 8



(

8x + 1 − 3

)(

8x + 1 + 3

)+(

46 − 10x − 6

)(

46 − 10x + 6

8x + 1 + 3
46 − 10x + 6
−8 ( 1 − x )
10 ( 1 − x )

+
= ( 1 − x ) x 2 − 4x + 8
8x + 1 + 3
46 − 10x + 6
1 − x = 0

−8
10

+
= x 2 − 4x + 8
 8x + 1 + 3
46 − 10x + 6

(

) = (1 − x ) ( x

2

− 4x + 8

)

)

• Với 1 − x = 0 suy ra x = 1 , thỏa mãn điều kiện xác định.
2
−8
10
• Với
+
= x2 − 4x + 8 . Ta có x2 – 4x + 8 = ( x – 2 ) + 4  4 .
8x + 1 + 3
46 − 10x + 6
10
10 5
Mặt khác ta lại thấy 46 − 10x  0  46 − 10x + 6  6 

=
46 − 10x + 6 6 3
1
−8
10
8
5
Do đó
+

=
−

46 − 10x + 6
8x + 1 + 3
46 − 10x + 6
8x + 1 + 3 3

Từ đó ta được

10
46 − 10x + 6

Nguyễn Công Lợi

+

−8
8x + 1 + 3

 x2 − 4x + 8 với mọi x.

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com

−8

Như vậy

8x + 1 + 3

10

+

= x2 − 4x + 8 vô nghiệm.

46 − 10x + 6

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .

(

)

Ví dụ 7. Giải phương trình 4 2 10 − 2x − 3 9x − 37 = 4x2 − 15x − 33 .
Phân tích và lờ giải
Nhẩm được x = −3 là một nghiệm của phương trình, do đó tư dự đoán
nhân tử chung là x + 3 . Để ý ta thấy khi x = −3 thì 4 + 3 9x − 37 = 0; 4 − 10 − 2x = 0 .
Do đó ta sử dụng nhân lượng liên hợp để giải bài toán như sau
Điều kiện xác định của phương trình là x  5 . Phương trình đã cho tương
đương với

(

) (

)

4 4 + 3 9x − 37 + 8 4 − 10 − 2x + 4x 2 − 15x − 81 = 0
4 ( 27 + 9x )



16 − 4 9x − 37 +
3

(

3

9x − 37

)

2

+

8 ( 6 + 2x )

4 + 10 − 2x

+ ( x + 3 )( 4x − 27 ) = 0



36

16


 ( x + 3) 
+
+ 4x − 27  = 0
2
4 + 10 − 2x
 16 − 4 3 9x − 37 + 3 9x − 37



• Với x + 3 = 0  x = −3 , thỏa mãn điều kiện xác định.
36
16
• Với
+
+ 4x − 27 = 0
2
4 + 10 − 2x
16 − 4 3 9x − 37 + 3 9x − 37

(

(

)

Phương trình tương đương với
Do x  5 nên nên

12 +

(

)

12 +

36
3

9x − 37 − 2

(

)

36
3

2

9x − 37 − 2

+

)

2

16
4 + 10 − 2x

+

16
4 + 10 − 2x

+ 4x − 27 

+ 4x − 27 = 0 (*)

36 16
+ + 4.5 − 27 = 0 .
12 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5 .
Do đó phương trình (*) có nghiệm x = 5 , thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −3; 5
Ví dụ 8. Giải phương trình

3

x2 − 1 + x = x3 − 2 .

Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An


Tailieumontoan.com
Điều kiện xác định của phương trình là x  3 2 . Nhận thấy x = 3 là nghiệm
của phương trình và chú ý là khi x = 3 thì

x 2 − 1 − 2 = 0 và

3

x 3 − 2 − 5 = 0 , nên ta

biến đổi phương trình như sau
3

x2 − 1 − 2 + x − 3 = x3 − 2 − 5



 ( x − 3 ) 1 +



Với x  3 2 ta có 1 +

(

3


2
 ( x − 3 ) x + 3x + 9
=
2
3 2
2
x3 − 2 + 5
3
x −1 + 2 x −1 + 4

x+3
x+3
x 2 + 3x + 9
= 1+

2

2
2
3 2
x3 − 2 + 5
x −1 +1 + 3
x2 − 1 + 2 3 x2 − 1 + 4

(

x+3

(

)

)

)

(

)

Do đó từ phương trình trên ta được x − 3 = 0  x = 3 , thỏa mãn điều kiện xác định
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 .
Ví dụ 9. Giải phương trình 3 3 x2 + x2 + 8 − 2 = x2 + 15 .
Phân tích và lời giải
Ta dự đoán được nghiệm x = 1 và ta viết lại phương trình như sau

3


(

3

)(

x2 − 1 +

(

3 x2 − 1

)

) (

x2 + 8 − 3 =
x2 − 1

+

x 2 + 15 − 4

)

x2 − 1

=

x4 + 3 x2 + 1
x2 + 8 + 3
x 2 + 15 + 4
x2 = 1


1
1
1
+
=

3
3
 x 4 + x 2 + 1
x2 + 8 + 3
x 2 + 15 + 4
3

• Với x2 − 1 = 0  x2 = 1  x = 1
1
1
1
• Với
+
−
=0
3 4
x + 3 x2 + 1
x2 + 8 + 3
x 2 + 15 + 4

Ta có

x2 + 15  x 2 + 8  x 2 + 15 + 4  x 2 + 8 + 3 

Nên phương trình

1

+

1

−

1
x2 + 15 + 4

1

x4 + 3 x2 + 1
x2 + 8 + 3
x 2 + 15 + 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = −1;1 .
3

Ví dụ 10. Giải phương trình

3



1
x2 + 8 + 3

= 0 vô nghiệm.

162x3 + 2 − 27x2 − 9x + 1 = 1 .

Phân tích và lời giải

Nguyễn Công Lợi

Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An