chuyen de boi duong HS gioi

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
CHỦ ĐỀ; CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Người viết: Vâ Hoa Th¬m
Giáo viên trường THCS Toµn th¾ng
Mở đầu: Đối với cấp THCS Các bài toán về cực trị chủ yếu chỉ xét các biểu
thức chứa biến đơn giản, các hàn số không quá phức tạp. Do vậy trong phạm vi bài
viết này tôi chỉ đưa ra vài phương pháp giải hay gặp để các bạn tham khảo.(Các ví
dụ minh họa chỉ giải vắn tắt)
Phần I: Giới thiệu một số phương pháp giải
1) Phương pháp tìm cực trị dựa vào lũy thừa bậc chẵn sau khi biến đổi
hàm số y = f(x) sao cho được:
+ y = M - g(x)
2n
(n
∈
Z) Khi đó y
≤
M : y
max
= M khi và chỉ khi g(x) =0
+ y = m + h(x)
2k
(k
∈
Z) Khi đó y
≥
m : y
min
= m khi và chỉ khi h(x) =0

Ví dụ 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Giải:
Ta có: y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
⇔
y = (x
2
+5x +4) (x
2
+5x +6)
⇔
y = (x
2
+5x +4)
[ ]
( 2 5 4) 2x x+ + +

⇔
y = (x
2
+5x+4)
2
+2(x
2
+5x+4) + 1-1
⇔
y = (x
2
+5x+4+1)
2
-1

⇔
y = (x
2
+5x+5 )
2
-1
⇒
y
≥
-1
vậy y
Min
= -1
⇔
x
2
+5x+5 =0

⇔
x =
5 5
2
− ±
Ví dụ 2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số S = x
6
+y
6
biết x
2

+y
2
=1
Giải:
Ta có: x
2
+y
2
=1
⇔
y
2
=1- x
2
và y
6
=(y
2
)
3
⇒
S = x
6
+(1- x
2
)
3
= 3(x
2
-

1
2
)
2
+
1 1
4 4
≥
Vậy S =
1
4
tại x
2
=
1
2
⇔
x =
2
2
hoặc x = -
2
2
Mặt khác: x
2
+ y
2
= 1
⇒
x

2
≤
1
⇔
-1
≤
x
≤
1

⇒
S
Max
⇔
(x
2
-
1
2
) đạt Max
⇔ x
= 1 Hoặc
x
= 0
Vậy: S
Min
=
1
4
;

S
Max

= 3(
1
2
)
2
+
1
4
= 1
Ví dụ 3
Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức A= 2x
2
+2xy +y
2
– 2x+2y +1
Giải
Ta có: A= 2x
2
+2xy +y
2
– 2x+2y +1
⇔

A= (x+y+1)
2
+(x- 2)
2

– 4
≥
-4

⇒
A
Min
= - 4
⇔
x-2 = 0 và x+y+1 = 0
⇔
x=2 và y = -3.
2) Phương pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm số
Ví dụ
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =
2 6 1
2 1
x x
x
+ +
+
Giải:
Hàm số xác định với mọi giá trị của x vì x
2
+1
≥
1 với mọi x
Gọi y
0
=

2 6 1
2 1
x x
x
+ +
+


⇔
y
0
(x
2
+1) = x
2
+6x+1 (Luôn có nghiệm)

⇔
y
0
(x
2
+1) - x
2
- 6x- 1= 0 (Luôn có nghiệm)

⇔
(y
0
- 1)x

2
- 6x +y
0

– 1= 0 (Luôn có nghiệm)
* Với y
0
= 1 thì x = 0 được giá trị thích hợp
* Với y
0

≠
1 :
∆
= 9- (y
0
-1)
2

≥
0
⇔
(y
0
-1)
2
≤
9

( 1)yo −

≤
3

⇔
-3
≤
y
0
-1
≤
3

⇔
-2
≤
y
0
≤
4
Vậy: y
Min
=-2
y
max
= 4
3. Phương pháp tìm cực trị dựa vào tính chất bất đẳng thức
a. Dựa vào bất đẳng thức couxi (Giáo viên tự tìm hiểu BĐT cou xi )
Ví dụ
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 3x (3-2x)
Giải :

Ta có: y = 3x (3-2x) =
3
2
.2x (3-2x)
Dựa vào tính chất bất đẳng thức Couxi, chọn a = 2x ; b = 3- 2x
khi đó a + b =3
Do đó y
Max
=
(
2
a b+
)
2
= (
3
2
)
2
=
9
4


⇔
x = y =
3
2
b. Dựa vào bất đẳng thức Bunhicopxky (Giáo viên tự tìm hiểu BĐT
Bunhicopxky)

Ví dụ
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y =
6 x−
+
2x +
( Với y > 0)
Giải:
Điều kiện 6-x
≥
0; x+2
≥
0
⇔
-2
≤
x
≤
6
Vì y > 0 nên y
2
= (
6 x−
+
2x +
)
2
Dựa vào bất đăng thức Bunhicopxky chọn a = 1; c =
6 x−
; b=1; d=
2x +

⇒
y
2
= (1+1)(6-x +x+2)
= 2.8 = 16
y
2
= 16
⇒ y
= 4

⇔
-4
≤
y
≤
4
vì y > 0 nên ta có 0
≤
y
≤
4
vậy y
Max
= 4
⇔
6 x−
=
2x +

⇔
x=2
KL: y
Max
= 4 khi x=2
4. Phương pháp tìm cực trị bằng cách đặt ẩn phụ
Ví dụ:
Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
P
(x)
=
4 4 16 3 56 2 80 365
2 2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
(1)
Giải:
Chia tử thức cho mẫu thức ở biểu thức (1)ta được:
P
(x)
= 4x
2
+ 8x + 20 +
256
2 2 5x x+ +

= 4(x
2

+2x+5) +
256
2 2 5x x+ +
Đặt X= x
2
+2x+5 ta được
P
(x)
= 4X+
256
X
Mặt khác X= x
2
+2x+5 = (x+1)
2
+4
≥
4 với mọi x
⇒
X > 0
⇒
4X > 0 Và
256
X
> 0 với mọi x
Vậy P
(x)
đạt giá trị nhỏ nhất khi 4X =
256
X

⇔
X= 8
tức là x
2
+2x+5 =8
⇔
x
2
+2x - 3 = 0
⇔
x=1 và x= -3
Vậy với x= 1 hoặc x= -3 thì biểu thức P
(x)
đạt giá trị nhỏ nhất
Phần II: Một số bài tập tự giải
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
(x)
= 2x
2
-8x +1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
(x)
=
2 15 16
3
x x
x
+ +
với x > 0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
(x)
=
3 2 6 10
2 2 3
x x
x x
+ +
+ +
Bài 4: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
(x)
=
8 2 2x
x
+
với x >0
Bài 5: Tìm các giá trị x; y; z sao cho biểu thức P
(x)
= x
2
+ y
2
+z
2
đạt giá trị
nhỏ nhất biết x +y +Z = 1995
Bài 6: Tìm các giá trị m; p sao cho biểu thức
Q
(x)
= m

2
-4mp+5p
2
+10m-22p+28 đạt giá trị nhỏ nhất
Ngày 5/8/2010