Chủ đề 02 hệ thức độc lập với thời gian

CHỦ ĐỀ 2: HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
■ Xét hai dao động cùng pha x và y, có phương trình:
x
= cos ( ω t + ϕ )
 x = A cos ( ω t + ϕ )
x y
A
 A
⇒
⇒
= ⇒ x = y ⇒ x = Cy ( C > 0 ) .

A B
B
 x = Bcos ( ω t + ϕ )
 y = cos ( ω t + ϕ )
 B
+) Tại mọi thời điểm x và y luôn cùng dấu.
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ có hệ số góc dương (C).
VD:

+) Fhp = ma : Fhp và a là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau
+) p = mv : p và v là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau...

■ Xét hai dao động ngược pha x và y, có phương trình:
 x
= cos ( ωt + ϕ )
 x = A cos ( ωt + ϕ )
x
y

 A
⇒
⇒
=−

A
B
 y = B cos ( ωt + ϕ + π ) = −Bcos ( ωt + ϕ )
 − y = cos ( ωt + ϕ )
 B
⇔x=−

A
y ⇔ x = −Cy ( C > 0 )
B

+) Tại mọi thời điểm x, y luôn trái dấu.
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng có hệ số góc âm (-C).

VD:

+) a = −ω2 x : a và x là 2 dao động điều hòa ngược pha với nhau.
+) Fhp = −kx : Fhp , x là 2 dao động điều hòa ngược pha nhau...

■ Xét hai dao động vuông pha x và y, có phương trình:
 x
= cos ( ωt + ϕ )
2
2
 x = A cos ( ωt + ϕ )

 A
 x  y
⇒
⇒  ÷ + ÷ =1

 A  B
 y = Bcos ( ωt + ϕ + π / 2 ) = − Bsin ( ωt + ϕ )
 y = − sin ( ωt + ϕ )
 B
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một Elip.


 2
v2
2
 A =x + 2
x  v 
ω
+) ( x, v ) vuông pha:  ÷ + 
÷ =1⇒ 
 A   Aω 
 v = ±ω A 2 − x 2

2

VD:

2

2

2

 v   a 
+) ( v, a ) vuông pha: 
÷ +
÷ =1
 v max   a max 

Chú ý: Sử dụng mối quan hệ độc lập thời gian của hai đại lượng dao động điều hòa vuông pha:
2

x
y
+) Nếu
= 0 ⇒  ÷ = 1 ⇒ y = ± B : tức, một đại lượng đang ở vtcb thì đại lượng kia đang ở biên
A
B

+) Nếu

x
1
y
3
=± ⇒ =±
.
A
2
B

2

+) Nếu

x
1
y
1
=±
⇒ =±
A
B
2
2.

Ví dụ minh họa: Tính tần số góc của một vật dao động điều hoà. Biết
a) tại thời điểm t1 , vật có li độ x1 và vận tốc là v1 , tại thời điểm t 2 vật có li độ là x 2 ( x1 ≠ x 2 ) và vận
tốc là v 2 .
b) tại thời điểm t1 vật có vận tốc là x1 và gia tốc là a1, tại thời điểm t 2 vật có vận tốc là v 2 và gia tốc là
a2 .
Lời giải:
2
2
r r
x  v 
a) Do x ⊥ v suy ra  ÷ + 
÷ = 1.
 A   −ωA 

  x1 2  v1  2

 ÷ + 
÷ =1
v12
v22
v12 − v22
 A   ωA 
2
2
2
2
⇔
x
+
=
x
+
=
A
⇒
ω
=
Theo đề bài ta có 
1
2
2
2
ω2
ω2
x 22 − x12
 x 2   v 2 

+
÷ =1
 A ÷
  ωA 

⇒ω=

v12 − v 22
=
x 22 − x12

v 22 − v12
. Đặc biệt khi
x12 − x 22

 v2 = 0 ⇒ x 2 = A
v
⇒ ω = max .

A
 v1 = v max ⇒ x1 = 0


 v12 a12
2
r r  ω2 + ω4 = A
a 22 − a12
2
v
⊥

a
⇒
⇒
ω
=
⇒ω=
b) Do
 2
2
2
2
v
−
v
v
a
1
2
 2 + 2 = A2
 ω2 ω4
⇒ω=

a12 − a 22
=
v 22 − v12

a 22 − a12
.
v12 − v 22

 v = 0 ⇒ a 2 = a max
a
a 22 − a12
⇒ ω = max .
. Đặc biệt khi  2
2
2
v max
v1 − v 2
 v1 = v max ⇒ a1 = 0

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T = 2 s và biên độ A =10 cm. Tốc độ
của vật khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 6 cm là:
A. 8π cm/s.

B. 6π cm/s.

C. 8 cm/s.
Lời giải

D. 10 cm/s.

r r
v2
2π
Do x ⊥ v ⇒ x 2 + 2 = A 2 ⇒ v = ω A 2 − x 2 =
10 2 − 62 = 8π cm/s. Chọn A.
ω
T

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với tần số góc là 4 rad / s. Biết rằng khi vật đi qua điểm có li độ -8 cm
thì nó có tốc độ là 8 cm / s. Biên độ dao động của vật là:
A. A = 16cm.

B. A = 8 2cm.

C. A = 4 5cm.
Lời giải

D. A = 4 3cm.

2
r r
v2
v2
8
Do x ⊥ v ⇒ x 2 + 2 = A 2 ⇒ A = x 2 + 2 = ( −82 ) +  ÷ = 4 5 . Chọn C.
ω
ω
4

Ví dụ 3: [Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017], Một vật dao động điều hoà với biên độ 20 cm. Khi li độ là
10 cm thì vận tốc của vật là 20π 3 cm/s. . Chu kì dao động của vật là:
A. 0,1 s.

B. 0,5 s.

C. 1 s.
Lời giải

D. 5 s.

v
v2
2π
= 2π ⇒ T =
= 1s. Chọn C.
Ta có: A = x + 2 ⇒ ω =
2
2
ω
ω
A −x
2

2

Ví dụ 4: : [Trích đề thi đại học năm 2009] Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình

x = A cos ( ωt + ϕ ) . . Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là:
A.

v2 a 2
+ 2 = A2 .
4
ω ω

B.

v2 a 2

+ 2 = A2 .
2
ω ω

C.
Lời giải

v2 a 2
+ 4 = A2 .
2
ω ω

2
2
r r  v 2  a 2
 v   a 
Ta có: v ⊥ a ⇒ 
÷ +
÷ =1⇒ 
÷ +  2 ÷ =1
 ωA   ω A 
 v max   a max 

v2 a 2
⇔ 2 + 4 = A 2 . Chọn C.
ω ω

D.

ω2 a 2

+ 4 = A2 .
2
v
ω


Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1 cm , và có vận tốc v1 = 30 cm / s. Đến
thời điểm t 2 vật có li độ x2 = 3 cm và có vận tốc v 2 = 10 cm / s. Hãy xác định biên độ, tần số góc của vật.
A. A = 10 cm;ω = 10 rad/s.
C. A = 10 cm;ω = π rad/s.

B. A = 10 cm;ω = 10 rad/s.
D. A = 10 cm;ω = 10 rad/s.
Lời giải

2
2
r r
x  v 
Do x ⊥ v suy ra  ÷ + 
÷ = 1.
 A   −ωA 

  x1  2  v1 2
1
1

900
 1
=

 ÷ + 
+
=
1
2

÷ =1
A
10
 A   ωA 
 A 2 ω2 A 2

⇔
⇔
Theo đề bài ta có: 


2
2

 x 2   v 2 
 9 + 100 = 1  1 = 1 ⇔  A = 10cm
+
=
1
2
2
2
2
2


÷
 A
 A ÷
 ω A
1000
ωA
ω = 10rad / s
  ωA 

Chọn A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 và có vận tốc v1 . Đến thời điểm t2 vật
có li độ x 2 ( x1 ≠ x 2 ) ) và có vận tốc v 2 . Chu kì dao động của vật là
A. T = 2π

x12 − x 22
.
v12 − v 22

B. T = 2π

x12 − x 22
.
v 22 − v12

C. T = 2π

v12 − v 22
.
x12 − x 22

D. T = 2π

v 22 − v12
.
x12 − x 22

Lời giải
2
2
r r
x  v 
Do x ⊥ v suy ra  ÷ + 
÷ = 1.
 A   −ωA 

  x1  2  v1 2
 ÷ + 
÷ =1
v12
v 22
v12 − v22
 A   ωA 
2
2
2
2
⇔
x
+

=
x
+
=
A
⇒
ω
=
Theo đề bài ta có: 
1
2
2
2
ω2
ω2
x 22 − x12
 x 2   v 2 
+
÷ =1
 A ÷
  ωA 

⇒T=

2π
x 2 − x 22
x 22 − x12
= 2π 12
=
2

π
. . Chọn B.
ω
v 2 − v12
v12 − v 22

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox , ở thời điểm t1 , vật có li độ x1 , và có vận tốc
v1 . Đến thời điểm t2 vật có li độ x 2 ( x1 ≠ x 2 ) và có vận tốc v 2 . Biên độ dao động của vật
A. A =

v 22 x12 − v12 x 22
.
v 22 − v12

B. A =

v12 x 22 − v 22 x12
.
v 22 − v12

C. A =

v12 x12 − v 22 x 22
.
v 22 − v12

D. A =

v 22 x 22 − v12 x12
.

v 22 − v12

Lời giải


2
2
r r
x  v 
Do x ⊥ v suy ra  ÷ + 
÷ =1
 A   −ωA 

  x1  2  v1 2
 ÷ + 
÷ =1
v12
v 22
v12
v22
 A   ωA 
2
2
2
2
⇔
x
+
=
x

+
=
A
⇒
ω
=
=
Ta có: 
1
2
2
2
ω2
ω2
A 2 − x12 A 2 − x 22
 x 2   v 2 
+
÷ =1
 A ÷
  ωA 

⇔ v12 A 2 − v12 x 22 = A 2 v 22 − v12 v 22 ⇒ A =

v12 x 22 − x12 v 22
=
v12 − v 22

v 22 x12 − v12 x 22
. Chọn A
v 22 − v12

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox, tại thời điểm t1 vật có li độ là x1 =3 cm và vận tốc
là v1 = 6π 3 cm/s , tại thời điểm t2 vật có li độ là x 2 = 3 2cm và vận tốc là v 2 = 6π 2cm / s . Tốc độ lớn
nhất của vật trong quá trình dao động là:
A. v max = 12πcm / s.

Ta có: ω =

B. v max = 18πcm / s.

C. v max = 24πcm / s.
Lời giải

D. v max = 9πcm / s.

v12 − v 22
v12
2
=
2
π
⇒
A
=
x
+
= 6 ⇒ v max = 12π. Chọn A.
1
x 22 − x12
ω2

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ x = 4 3 cm thì vận tốc của vật là v = 8πcm/s và gia tốc
là −16π2 3 cm/s 2 . Chu kì và biên độ của dao động lần lượt là
A. T = 1s;A = 10cm.
2
2
Ta có: a = −ω x ⇒ ω =

B. T = 2s;A = 8cm.

C. T = 1s;A = 8cm.
Lời giải

D. T = 1s;A = 6cm.

a
2π
= 4 π2 ⇒ ω = 2 π ⇒ T =
= 1( s )
−x
ω

v2
48π2
2
Áp dụng hệ thức độc lập ta có: x + 2 = A ⇔ 4 3 +
= A 2 ⇒ A = 8 ( cm ) . Chọn C.
2
ω
4π

(

2

)

Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm có tốc độ là v1 thì gia tốc của
nó là a1. Khi chất điểm có tốc độ là v 2 ( v 2 ≠ v1 ) thì gia tốc của nó là a2. Tần số góc của chất điểm là
A. ω =

a 22 − a12
v12 − v 22

B. ω =

a 22 − a12
v12 − v 22

C. ω =

a 22 − a12
v 22 − v12

D. ω =

v 22 − v12
a12 − a 22

Lời giải

 v12 a12
2
r r  ω2 + ω4 = A
a 22 − a12
2
⇒ω = 2
⇒ω=
Do v ⊥ a ⇒  2
2
v1 − v 22
 v2 + a 2 = A2
 ω2 ω4

a 22 − a 12
. Chọn B
v12 − v 22

Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 20 cm / s. Khi chất điểm có tốc độ 16 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là 24 cm / s2. Biên độ
dao động của chất điểm là


A. A = 20 cm.

B. A = 8 cm.

C. A = 16 cm.
Lời giải

D. A = 10 cm.

Ta có: v1 = v max = 20 ⇒ a1 = 0 và v 2 = 16;a 2 = 24.
 v12 a12
2
2
 2 + 4 = A
24 )
a 22 − a12
(
ω ω
2
⇒ω = 2
=
=4⇒ω=2
Mặt khác:  2
2
v1 − v22 20 2 − 162
 v2 + a 2 = A2
 ω2 ω4
⇒A=

v max v1
= = 10 ( cm ) . Chọn D.
ω
4

Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm ở vị trí biên thì gia tốc của nó
là 36 cm/s 2 . . Khi chất điểm cách vị trí cân bằng một khoảng 3 cm thì tốc độ của nó là 3 7cm / s. . Biên độ
dao động của vật là.
A. A = 6 cm.

C. A = 4 cm.
Lời giải

B. A = 6 7 cm.

D. A = 8 cm.

2
Khi vật ở vị trí biên ta có: a max = ω A = 36

(

3 7
v2
2
2
A
=
x
+
=
9
+
Ta có:
36
ω2
A

)

2

⇔ A2 = 9 +

7A
⇒ A = 4cm. Chọn C
4

Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quỹ đạo là đoạn thẳng dài l = 16 cm . Tại một thời
điểm nào đó vận tốc của vật lần lượt là 40cm/s và 4 3 m/s 2 . Chu kì dao động của vật là:
A. T =

π
s
10

B. T =

π
s
5

C. T =

π
s
20

D. T =

3π
s
10

Lời giải
l
= 8 ( cm ) .
2

Biên độ dao động của vật là: A =
2

2

2
2
r r  v   a 
 v   a 
Ta có: v ⊥ a ⇒ 
÷ +
÷ =1⇒ 
÷ +  2 ÷ =1
 ωA   ω A 
 v max   a max 

(

400 3
402

⇔ 2 +
ω
ω4
Do đó: T =

)

2
t=

1

= 64 
→1600t + 480000t 2 = 64 ⇒ t =
ω2

1
⇒ ω = 10rad / s.
100

2π π
= s . Chọn B.
ω 5

Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 4 cm / s. Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là
8 3cm / s 2 . . Biên độ dao động của chất điểm là.
A. 2 cm.

B. 4 cm.

C. 1 cm.
Lời giải

D. 2 3 cm.


Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: v = v max = ωA = 4cm / s.

(

)

8 3
r r  v 2  a 2
22
Do v ⊥ a ⇒ 
÷ +
÷ =1 ⇔ 2 + 2
4
a max
 v max   a max 

2

= 1 ⇒ a max = 16cm / s 2

 v max = ωA
v 2max
⇒

A
=
= 1cm. Chọn C.
Mặt khác 
2
a max
a max = ω A
Ví dụ 15: :[ Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017]. Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là v max
tần số góc ω thì khi đi qua vị trí có li độ x1 sẽ có vận tốc v1 thoã mãn:
2
2 2
2
A. v1 = ω x1 − vmax .

2
2 2
2
B. v1 = ω x1 + vmax .

2
2
2 2
C. v1 = v max − ω x1 .

2
D. v12 = vmax
−

ω2 x12 .
2

Lời giải

v12
x12
x12
ω2 x12
2
=1− 2 =1−
= 1 − 2 ⇒ v12 = v max
− ω2 x12
2
2
A
v max
Ta có: v max
. Chọn C.
 v max 

÷
 ω 
x 2 v2
Ví dụ 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ v, x dạng
+
= 4 , trong đó x (cm), v
4 16
(cm/s). Biên độ và tần số góc dao động của vật là
A. 2 cm; 2 rad/s.

B. 4 cm; 2 rad/s.

C. 4 cm; 4 rad/s.
Lời giải

D. 2 cm; 4 rad/s.

A = 4cm

x 2 v2
x 2 v2
x2
v2
+
=
4
⇔
+
=
1
=
+
⇒
Ta có:
Chọn B.
2
2
4 16
16 64
A
( ωA )

ωA = 8 ⇒ ω = 2rad / s
Ví dụ 17: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ và chu kỳ lần lượt là T1 và T2 = 2T1 . Khi chúng
có cùng ly độ thì tỉ số độ lớn vận tốc là
A.

v1
2
=
v2
2

B.

v1
=2
v2

C.

v1 1
=
v2 2

D.

v1
= 2
v2

Lời giải

Ta có: v = ω A 2 − x 2 . Do đó

v1 ω1 A 2 − x 2 T2
=
=
= 2 . Chọn B.
v 2 ω2 A 2 − x 2 T1

Ví dụ 18: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia
tốc cực đại là 320 cm / s2. Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm / s2 thì tốc độ của nó là
40 3cm/s . Biên độ dao động của chất điểm là:
A. 20 cm.

B. 8 cm.
2

C. 10 cm.
Lời giải
2

r r  a   v 
Ta có: Do a ⊥ v ⇒ 
÷ +
÷ = 1 ⇒ v max = 80 ( cm / s )
 a max   v max 

D. 16 cm.


Khi đó A =

v 2max
= 20cm . Chọn A
a max

Ví dụ 19: [Trích đề thi thử sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn
thẳng dài 20 cm. Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5 cm thì nó có tốc độ 5π 3cm / s . Dao động của chất
điểm có chu kì là:
A. 1 s.

B. 2 s.

C. 0,2 s.
Lời giải

D. 1,5 s.

Ta có: x 2 +

v2
l
v2
2
.
Trong
đó
A
=
=
10cm

⇒
= 75 ⇒ ω = π ( rad / s ) .
=
A
2
ω2
ω2

Do đó T =

2π
= 2s. Chọn B
ω

Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm. Khi độ dời là 5 cm vật có tốc độ
v = 10π 3 ( cm / s ) . Lấy π2 = 10 . Chu kì dao động của vật là
A. T = 0,5 (s).

B. T = 1 (s).

C. T = 1,5 (s).
Lời giải

D. T = 2 (s).

Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm
=> Biên độ dao động của vật là A = 10 cm
Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc v = 10π 3 ( cm / s ) .
2

v2
v
Áp dụng hệ thức độc lập x 2 +  ÷ = A 2 ⇔ ω =
= 2π ( rad / s )
A2 − x 2
 ω

Chu kỳ dao động của vật là: T =

2π
= 1( s ) . Chọn B
ω

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm và chu kì T = 2(s). Lấy π2 = 10 . Tại thời điểm
vật có tốc độ v = 2,5π ( cm / s ) thì độ lớn gia tốc của vật là
2
A. a = 25 ( cm / s )

2
B. a = 25 2 ( cm / s )

2
C. a = 25 3 ( cm / s )

2
D. a = 50 ( cm / s )

Lời giải
Tần số gốc của vật ω =

2π
= π ( rad / s )
T

Khi có vận tốc v = 2,5π ( cm / s ) . Áp dụng hệ thức độc lập ta có:
2

2

2

2

2

 v   a 
 v   a 
 v 
2
2

÷ +
÷ =1⇔ 
÷ +  2 ÷ = 1 ⇔ a = ω A 1− 
÷ = 25 3 ( cm / s ) Chọn C.
 ωA   ω A 
 ωA 
 v max   a max 
Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2Hz. Khi pha dao động tại thời điểm t bằng

π
thì gia
3

tốc của chất điểm là a = −8m / s 2 . Lấy π2 = 10 . Tốc độ của vật của vật khi đi qua li độ x = 2,5 2 ( cm )
A. 20 ( cm / s ) .

B. 20 3 ( cm / s ) .

C. 20 5 ( cm / s ) .

D. 20 10 ( cm / s ) .


Lời giải
Tần số góc của vật là: ω = 2πf = 4π ( rad / s )
Pha dao động tại thời điểm t bằng

π
A
⇒ x = A cos ϕ =
3
2

Gia tốc tại thời điếm này là a = −ω2 x = −

ω2 A
⇔ A = 0,05m = 5cm
2

Tốc độ của vật khi qua li độ x = 2, 5 2 ( cm ) là v = ω A 2 − x 2 = 20 5 ( cm / s ) . Chọn C.
Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = A cos ( ωt + ϕ ) ( cm ) . Tại thời điểm t1 vật có li độ
x = 5cm, vận tốc v = 10π 3 ( cm / s ) . Tại thời điểm t2 vật có li độ x = 5 2 ( cm ) và vận tốc
v = 10π 2 ( cm / s ) . Biên độ dao động của vật là?
A. 5 cm

B. 10 cm

C. 15 cm
Lời giải

D. 20 cm

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:
2


 10π 3 
2
2
 2 v1
 5 +
2
= A2
÷
x
+
=
A


÷
1

 A = 10cm

 ω 
ω2
⇒
⇔
⇔
. Chọn B


2
2
ω = 2π

2
 10π 2 
x 2 + v2 = A 2

= A2
÷
 2 ω2
 5 2 + 
÷

 ω 


(

)

Ví dụ 24: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là
π
π


x1 = A1 cos  ωt − ÷cm ; x 2 = A 2 cos  ωt + ÷cm. Tại thời điểm t1 chất diểm thứ nhất có li độ 5 cm thì chất
2
2



điểm thứ hai có li độ −3 3cm . Tại thời điểm t 2 chất điểm thứ nhất có li độ -2cm thì chất điểm thứ hai có li
độ là
A. 1, 2 3cm

B. −1, 2 3cm

C. 1, 6 3cm
Lời giải

D. −1, 6 3cm

x1 và x2 ngược pha ta có mối quan hệ:
x1
x
x

A
= − 2 ⇒ 1 = − 1 tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số
A1
A2
x2
A2

x 
x 
 −2 
 5 
⇒ 1 ÷ = 1 ÷ ⇔
=  ÷ ⇒ ( x 2 ) t 2 = 1, 2 3 cm. Chọn A.
÷
 −3 3  t1  x 2  t 2
 x 2  t1  x 2  t 2
Ví dụ 25: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là:

x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) , x 2 = A 2 cos ( ωt + ϕ 2 ) . . Cho biết 4x12 + x 22 = 25cm 2 . Khi chất điểm thứ nhất có li độ là
x1 = 2 cm. thì tốc độ của chất điểm thứ nhất là 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là


A. 12 cm/s.

B. 6 cm/s.

C. 16 cm/s.
Lời giải

D. 8 cm/s.

2
2
2
Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: 4x1 + x 2 = 25 cm ( 1) , được:

4.2x1.v1 + 2x 2 .v 2 = 0 ⇔ 4x1v1 + 2x 2 v 2 = 0 ⇒ 4 x1 . v1 = x 2 v 2

(2)

Khi x1 = 2 cm thay vào ( 1) ⇒ x 2 = 3
Thay vào (2) ta được 4.2.6 = 3. v 2 ⇒ v 2 = 16 cm/s.
x12 x 22
25 2
+
= 1 ⇒ x1 , x 2
2
Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được 25 25
vuông pha A1 = ;A 2 = 25
4
4
Khi x1 = 2 cm, thay vào ( 1) ⇒ x 2 = 3.
Hai chất điểm dao động cùng tần số
ω=

v1
A12 − x12

=

v2
A 22 − x 22

⇔

6
=
25
2
−2
4

v2
25 − 32

⇒ v 2 = 16 cm/s.

Chọn C.

Ví dụ 26: Cho 2 vật dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 = A1 cos ( 40t + ϕ1 ) cm và

x 2 = A 2 cos ( 40t + ϕ2 ) cm. . Biết vận tốc của vật thứ hai và li độ vật thứ nhất tại mọi thời điểm liên hệ với
nhau bởi công thức v 2 = −20x1 , trong đó v có đơn vị cm/s, x có đơn vị cm. Khi li độ của vật thứ nhất là 5
cm thì li độ của vật thứ hai là −2,5 3cm . Tổng biên độ của 2 vật A1 + A 2 là
A. 15 cm

B. 12,5 cm

Do v 2 = −20x1 ⇒ v 2 và x1 ngược pha:
Đồng nhất hệ số:

C. 13,5 cm
Lời giải

D. 25 cm

v2
x
ωA 2
= − 1 ⇒ v2 = −
x1
ωA 2
A1
A1

ωA 2
A
1
= 20 ⇒ 2 =
A1
A1 2

( 1)

x1 ngược pha với v 2 , mà v 2 vuông pha với x 2 ⇒ x1 vuông pha x 2 :
2

2

2

2

 x1   x 2 
 5   −2,5 3 
÷
 ÷ +
÷ = 1 ⇒  ÷ + 
÷ =1
 A1   A 2 
 A1   A 2 

( 2) .

Từ (1) và (2) ta được: A1 = 5cm, A 2 = 10 cm ⇒ A1 + A 2 = 15 cm. Chọn A.
Ví dụ 27: Đồ thị biểu diễn liên hệ giữa vận tốc và li độ của một vật dao động điều hòa được cho như hình
vẽ bên. Gia tốc cực đại của vật dao động điều hòa bằng
A. 500 cm/s 2

B. 750 cm/s 2
Lời giải

C. 1500 cm/s 2

Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s.

D. 1000 cm/s 2


Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có

2

2

2

2

x  v 
 6   80 
 ÷ +
÷ =1⇒  ÷ + 
÷ = 1 ⇒ ω = 10rad / s
 A   Aω 
 10   10ω 
a max = ω2 A = 102.10 = 1000 cm/s 2 . Chọn D.

Ví dụ 28: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox. Cho ba điểm M, I, N trên Ox với I là trung
điểm của đoạn MN. Gia tổc của chất điểm khi ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s 2 và 10 cm/s2. Gia
tốc chuyển động của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là
A. 15 cm/s 2

B. 30 cm/s 2

C. 5 cm/s 2
Lời giải

D. 0 cm/s 2

v 0 = v max cm/s 2 ; a N = 10cm/s 2 và có a = −ω2 x

I trung điểm MN: x1 =

xN + xM
⇒ x N = 2x1 − x M ;
2

2
2
2
Nhân cả 2 vế cho −ω2 : −ω x N = 2 ( −ω x1 ) − ( −ω x M )

⇔ a N = 2a1 − a M
⇒ a N = 2.10 − 20 = 0 cm/s 2 . Chọn D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc vật ở li độ − 2 ( cm ) ) thì có vận tốc
−π 2 ( cm / s ) và gia tốc π2 2 ( cm / s 2 ) . Tốc độ cực đại của vật là
A. 2πcm / s.
Câu 2: Một chất

B. 20πrad / s.

C. 2cm / s.

D. 2π 2cm / s

điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi li độ

x = ± A / 2. tốc độ của vật bằng

A. v max .

B. v max / 2

C.

3v max / 2

D. v max / 2

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng nửa tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
A. x = A / 4.

B. x = A / 2

C. x = A 3 / 2

D. x = A / 2

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng v max / 2 thì li độ thỏa mãn
A. x = A / 4.

B. x = A / 2

C. x = 2A 2 / 3

D. x = A / 2

Câu 5: Một vật dao động điều hòa, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng có độ 20π ( cm / s ) và gia tốc
2
2
cực đại của vật là 200π ( cm / s ) Tính biên độ dao động

A. 2 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 4 cm


Câu 6: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng dài 4 cm. Khi ở cách vị trí cân bằng lcm,vật có
tốc độ 31,4 cm/s. Chu kỳ dao động của vật là
A. T = 1, 25 ( s ) .

B. T = 0,77 ( s ) .

C. T = 0,63 ( s ) .

D. T = 0,35 ( s ) .

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm. Khi nó có li độ là 2 cm thì vận tốc là 1 m/s. Tần số
dao động là:
B. f = 1, 2Hz

A. f = 1Hz

C. f = 3Hz

D. f = 4,6Hz

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 ( s ) , biên độ A = 4cm. Tại thời điểm t vật có li độ tốc
độ v = 2π cm/s. thì vật cách VTCB một khoảng là
A. 3, 24 cm/s.
Câu 9: Một vật dao

B. 3,64 cm/s.

C. 2,00 cm/s.

D. 3, 46cm/s

động điều hòa trong nửa chu kì đi được quãng đường 10cm. Khi vật có li độ

3cm thì có vận tốc 16πcm / s. . Chu kì dao động của vật là
A. 0,5 s.
Câu 10: Một vật dao

B. 1,6 s.

C. 1s

D. 2s

động điều hòa trên trụcOx, xung quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ. Gia tốc

của vật phụ thuộc vào li độ x theo phương trình a = −400π2 x. Số dao động toàn phần vật thực hiện được

trong mỗi giây là
A. 20

B. 10

C. 40

D. 5

Câu 11: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ 3 cm thì tốc độ của nó là 15 3cm / s , và khi vật có li
độ 3 2 cm thì tốc độ 15 2cm / s . Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A. 20 ( cm / s ) .

B. 25 ( cm / s ) .

C. 50 ( cm / s ) .

D. 30 ( cm / s ) .

Câu 12: Một dao động điều hòa khi có li độ 5 3cm thì vận tốc v1 = 4π 3 ( cm / s ) khi có li độ
x 2 = 2 2 ( cm ) thì có vận tốc v 2 = 4π 2 ( cm / s ) . Biên độ và tần số dao động của vật là
A. 8cm và 2Hz

B. 4 cm và 1Hz

C. 4 2cm và 2 Hz

D. 4 2cm và 1 Hz

Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ

của nó là 20cm / s . Khi chất điểm có tốc độ là 10cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn 40 3cm / s 2 . Biên độ
dao động của chất điểm là
A. 5 cm
Câu 14: Một vật dao

B. 4 cm

C. 10 cm

D. 8 cm

động điều hòa với chu kỳ tần số f = 2 Hz. Tại thời điểm t vật có li độ x = 4 cm và tốc

độ
v = 8πcm / s thì quỹ đạo chuyển động của vật có độ dài là (lấy gần đúng)
A. 4,94 cm.

B. 4,47 cm.

C. 7,68 cm.

D. 8,94cm

Câu 15: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại là v max = 16πcm / s và gia tốc cực đại
a max = 8π2cm / s 2 thì chu kỳ dao động của vật là

A. T = 2s.

B. T = 4s

C. T = 0,5s

D. T =8s.


Câu 16: Một vật dao động điều

hòa với chu kỳ T = π / 5 ( s ) , khi vật có ly độ x = 2 cm thì vận tốc

tương ứng là 20 3cm / s , biên độ dao động của vật có trị số
A. A =5 cm.

B. A = 4 3 cm.

C. A = 2 3 cm.

D. A =4 cm.

Câu 17: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14 (s). Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị
trí x = 2 cm với vận tốc v = 0,04 m/s ?
B. −π / 4 rad.

A. 0rad.

C. π / 6 rad.

D. π / 3 rad.

Câu 18: Một vật dao động điều hoà khi qua VTCB có tốc độ 8π cm/s . Khi vật qua vị trí biên có độ lớn
gia tốc là 8π2 cm/s 2 . Độ dài quỹ đạo chuyển động của vật là

A. 16 cm

B. 4 cm

C. 8 cm

D. 32 cm

Câu 19: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại là v max . Khi li độ x = ±

A
tốc
3

độ của vật bằng
A. v max

B.

2v max 2
3

C.

3v max
.
2

D.

v max
2

Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng một phần ba tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
A. x = A / 4.

B. x = A / 2.

C. x = 2A 2 / 3.

Câu 21: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ a, v dạng

D. x = A / 2.

v2
a2
+
= 1 trong đó v
360 1,44

( cm / s ) ,a ( m / s 2 ) . Biên độ dao động của vật
A. 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 2 2 cm

Câu 22: Một vật dao động điều hoà với biên độ A quanh vị trí cân bằng O. Khi vật qua vị trí M có li độ
x1 và tốc độ v1 . Khi qua vị trí N có li độ x 2 và tốc độ v 2 . Biên độ A là
A.

v12 x 22 + v 22 x12
.
v12 − v22

v12 x 22 − v 22 x12
.
v12 + v 22

B.

C.

v12 x 22 − v 22 x12
.
v12 − v 22

D.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
2
2
Câu 1: Ta có: a = −ω2 x do đó x = − 2;a = π 2 ⇒ ω = π ⇒ ω = π ( rad / s )

Lại có: x 2 +

v2
2π 2
2
=
A
⇒
A
=
2
+
= 2cm ⇒ v max = ωA = 2π cm/s . Chọn A
ω2
π2
2

2

±A
1
v2
3
x  v 
v max
Câu 2: Ta có:  ÷ + 
ta có: + 2 = 1 ⇒ v = ±
÷ = 1. Khi x =
2
4 v max
2
 A   v max 

Khi đó tốc độ của vật là

3
v max .Chọn C.
2

v12 x 22 + v 22 x12
.
v12 + v 22


2

2

2
v max
x  v 
x 1
v
=
±
=
1
Câu 3: Ta có:  ÷ + 
.
Khi
ta
có:

÷
 ÷ + =1
2
 A   v max 
A 4

Suy ra:

x2 3
A 3
= ⇒ x =
. Chọn C.
2
A
4
2
2

2

v max
x  v 
Câu 4: Ta có:  ÷ + 
ta có:
÷ = 1 Khi v = ±
2
 A   v max 
Suy ra:

2

x 1
 ÷ + =1
A 2

x2 1
A
= ⇒ x =
. Chọn D
2
A
2
2

Câu 5: Khi vật qua vị trí cân bằng: v = v max = 20π ⇒ ωA = 20π
2
2
Gia tốc cực đại của vật là: a max = ω A = 200π ⇒ ω =

Khi đó: A =

a max
= 10π
v max

v max
= 2 ( cm ) . Chọn A.
ω

Câu 6: Biên độ dao động A =

Tần số góc: ω =

4
= 2 cm.
2

v2
2π
= 18,13 rad/s ⇒ T =
= 0,35s. Chọn D.
2
2
A −x
ω

Câu 7: Tần số góc ω =
Câu 8: Tần số góc ω =

ω
v2
= 4,6Hz. Chọn D.
= 28,87 rad/s. tần số dao động f =
2
2
2π
A −x
2π
= π rad/s.
T

Tại thời điểm t vật cách vị trí cân bằng một khoảng là: x = A 2 −
Câu 9: Trong

v2
= 3, 46cm. Chọn D.
ω2

1
chu kì vật đi được quãng là: s = 2A = 10 cm ⇒ A=5cm.
2

2
16π
Lại có: x + v 2 = A 2 ⇒ 32 + ( 2 ) = 52 ⇒ ω = 4π ⇒ T = 2π = 0,5s. . Chọn A
ω
ω
ω
2

2

2
2
Câu 10: Ta có: a = −ω x = −400π x → ω = 20 π → f =

1 ω
=
= 10Hz
T 2π

Do đó số dao động toàn phần vật thực hiện được mỗi giây là 10. Chọn B.
Câu 11: Ta có hệ thức độc lập: x 2 +

v2
= A2
ω2

(

)

2

15
3
 32 +
= A2
2
 t = t 1 → x = 3cm; v = 15 3cm / s

ω
⇒

2
 t = t 2 → x = 3 2cm; v = 15 2cm / s 
15 2
2
3 2 +
= A2
ω2



(

)

(

)


 A 2 = 36
A=6


⇒ 1
1 ⇒ ω = 5 rad / s ta có v max = ωA = 30 ( cm / s ) Chọn D
(
)

 2 =
25
ω

Câu 12: Ta có hệ thức độc lập: x 2 +

v2
= A2
ω2

(

)

2


4
π
3

 22 +
= A2
2
 t = t1 → x1 = 2cm; v1 = 4π 3cm / s

ω
⇒

2
 t = t 2 → x 2 = 2 2cm; v 2 = 4π 2cm / s 
4π 2
2

 2 2 +
= A2
2

ω


(

(

)

)

 A 2 = 16
A=4

1 ω

⇒ 1
= 1Hz . Chọn B
1 ⇒ ω = 2π rad / s Khi đó . A = 4cm;f = =
(
)
T 2π

 2 = 2
4π
ω

Câu 13: Khi vật qua VTCB v = vmax = ω A= 20 cm/s
2

2

2


 

Do đó ta có:  v ÷ +  a ÷ = 1 ⇒ a = 1 −  10 ÷ = 3 ⇒
2
a max
4
 20 
 v max   a max 
2
Suy ra a max = ω A = 80 ⇒ A =

2

(

40 3
a

)

2

2
max

=

3
4

v 2max
= 5 ( cm / s ) Chọn A.
a max

Câu 14: Tần số gốc ω = 2πf = 4π rad/s. . Biên độ A =

v2
+ x 2 = 2 5 cm.
ω2

Quỹ đạo chuyển động của vật 2A = 8,94 cm/s . Chọn D

 v max = ωA = 16πcm / s
a
⇒ ω = max = 0,5πrad / s
Câu 15: Ta có: 
2
2
v max
a max = ω A = 8π cm / s
⇒T=

2π
= 4s. Chọn B
ω

Câu 16: Tần số góc: ω =

2π
v2
= 10rad / s ⇒ Biên độ A =
+ x 2 = 4 cm . Chọn D
T
ω2

Câu 17: Tần số góc ω =

2π
v2
= 2 rad/s. Biên độ A =
+ x 2 = 2 2cm
2
T
ω

Ta có:
1 
π

2  ⇒ Pha dao động ωt + ϕ = − rad . Chọn B
4
v = −2 2ω sin ( ωt + ϕ ) > 0 ⇒ sin ( ωt + ϕ ) < 0 

x = 2 2 cos ( ωt + ϕ ) = 2 ⇒ cos ( ωt + ϕ ) =

Câu 18: Tốc độ khi đi qua vị trí cân bằng v max = ωA = 8π cm/s
2

2
Độ lớn gia tốc ở vị trí biên a max = ω A = 8π cm/s.


⇒ Biên độ A =

v 2max
= 8cm. Độ dài quỹ đạo chuyển động 2A = 16 cm . CHọn A.
a max
2

2

±A
1 v2
±2 2
x  v 
vmax
Câu 19: Ta có:  ÷ + 
ta có: + 2 = 1 ⇒ v =
÷ = 1 . Khi x =
3
9 v max
3
 A   v max 

Khi đó tốc độ của vật là
2

2 2

v max . Chọn B.
3
2

x  v 
v
x2 1
2A 2
Câu 20: Ta có  ÷ + 
. Chọn C.
÷ = 1 . Khi v = ± max ⇒ 2 + = 1 ⇒ x =
3
A
9
3
 A   v max 

Câu 21: áp dụng hệ thức vuông pha giữa gia tốc và vận tốc:
2
2
 v max = 6 10 ( cm / s )
 v   a 
v2
a2
⇒
+
=1⇒ 
÷ +
÷ = 1⇒
2

360 1, 44
 v max   a max 
 a max = 1, 2 ( m / s )

v 2max ω2 A 2
⇒
= 2 = A ⇒ A = 3cm . Chọn B
a max
ωA
Câu 22: áp dụng hệ thức vuông pha giữa vận tốc và li độ: ta có:
 2
v12
 2 v12
2
ω = 2
 x1 + 2 = A
A − x12
v12
v 22

ω
⇔
⇔
=
⇔ v12 A 2 − v12 x 22 = v 22 A 2 − v 22 x12


2
2
2

2
2
2
A − x1 A − x 2
x 2 + v2 = A 2
ω2 = v 2
2
2
2
2

ω
A − x2

⇒ A 2 ( v12 − v 22 ) = v12 x 22 − v22 x 22 ⇔ A =

v12 x 22 − v 22 x 22
. Chọn C.
v12 − v22