md101 toanthptqg2019

Lời giải chi tiết mã đề 101

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
MÔN TOÁN

Hà Nội, ngày 12 tháng 03 năm 2020


LỜI NÓI ĐẦU
Tôi soạn ra tài liệu “Lời giải chi tiết mã đề 101 đề thi THPT Quốc gia năm
2019 môn Toán” bởi vì
- Để tự mình trải nghiệm một mã đề thi (đối với những mã đề khác, các câu hỏi có
nội dung tương tự).
- Để nghiên cứu các phần mềm toán học hỗ trợ giải toán hay để minh hoạ cho lời
giải.
- Có thể chia sẻ với bạn đọc, các em học sinh thân yêu, những cô cậu học trò yêu
toán.
- Có thể được trao đổi, học hỏi từ bạn đọc, các thầy cô đồng nghiệp và những người
yêu toán.
Tài liệu này gồm 3 phần
- Đề thi môn toán THPT Quốc Gia năm 2019, mã đề 101;
- Đáp án mã đề 101;
- Lời giải chi tiết mã đề 101.
Ở mỗi câu, phần lời giải thường được trình bày gồm 2 ý:
+ Ý thứ nhất thường là công thức, phương pháp chung giải toán hoặc những gợi ý cần
thiết.
+ Ý thứ hai là trình bày lời giải, hầu hết giải theo hướng tự luận.
Ngoài ra, ở một vài câu có nhận xét hoặc bình luận.
Tôi rất mong được sự phê bình, góp ý của bạn đọc để tài liệu được chính xác
và phong phú hơn. Tôi cũng muốn có những lời khích lệ, cổ vũ từ bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Liên hệ: - Bùi Lương Phúc, giáo viên THPT Ngọc Tảo- Phúc Thọ- Hà Nội
- Điện thoại: 0986510719
- Email:

Trang 1/40


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có … trang)

Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: ……………………………………………...
Số báo danh: ……………………………………………...

Mã đề thi 101

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là
một vectơ pháp tuyến của ( P) ?
uu
r
uu
r
uu
r

uu
r
n3  (1; 2; 1)
n4  (1;2;3)
n1  (1;3; 1)
n2  (2;3; 1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 2: Với a là số thực dương tuỳ ý,
A.

2 log 5 a

log 5 a

2  log a

.

2

bằng
1
 log 5 a

2
C.
.

5 .
B.
Câu 3: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2;0) .
B. (2; �) .
C. (0;2) .

1
log 5 a
2
D.
.

D. (0; �) .

2 x1

 27 là
Câu 4: Nghiệm của phương trình 3
A. x  5 .
B. x  1 .
C. x  2 .
D. x  4 .
u

u  3 u2  9
Câu 5: Cho cấp số cộng  n  với 1
,
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
3
2
A. y  x  3x  3 .

3
2
B. y   x  3x  3 .
4
2
C. y  x  2 x  3 .

4
2
D. y   x  2 x  3 .

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
đây là một vectơ chỉ phương của d ?
uu
r
uu
r

uu
r
u3  (1;2;1)
u 2  (2;1;1)
u4  (1; 2; 3)
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 8: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
1 2
4 2
r h
r h
2
A. 3
.
B.  r h .
C. 3
.
Câu 9: Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
7

A. 2 .

B.

A 72

.

C.
Trang 2/40

C 72

.

. Vectơ nào dưới
D.

uu
r
u1  (2;1; 3)

2

D. 2 r h .
2

D. 7 .

.


Câu 10: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1; 1) trên trục Oz có
toạ độ là
A. (2;1;0) .

B. (0;0; 1) .
C. (2;0;0) .
D. (0;1;0) .
1

1

f ( x)dx  2
�

1

 f ( x)  g ( x) dx
�

g ( x)dx  3
�

Câu 11: Biết 0
và 0
, khi đó 0
bằng

5
5
A.
.
B. .
C. 1 .
D. 1 .

Câu 12: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
1
Bh
Bh
A. 3Bh .
B. Bh .
C. 3 .
D. 3
.
Câu 13: Số phức liên hợp của số phức 3  4i là
A. 3  4i .
B. 3  4i .
C. 3  4i .
D. 4  3i .
Câu 14: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x  2 .
B. x  1 .

C. x  1 .
Câu 15: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là
2

2

A. x  5 x  C .

2

B. 2 x  5 x  C .
C. 2x  C .
Câu 16: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

D. x  3 .
2

D. x  C .

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)  3  0 là
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .

D. 3 .
Câu 17: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ,

SA  2a , tam giác ABC vuông tại B , AB  3 a và BC  a (minh hoạ
như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 90�.
B. 45�.
C. 30�.
D. 60�.
Câu 18: Gọi
bằng
A. 16 .

z1 , z 2

2

B. 56 .

x
Câu 19: Hàm số y  2
x
A. (2 x  3).2

2

2

2
z  z2
là hai nghiệm phức của phương trình z  6 z  10  0 . Giá trị của 1

3 x

2

3 x

.ln 2 .

C. 20 .

D. 26 .

có đạo hàm là

x
B. 2

Trang 3/40

2

3 x

.ln 2 .


x
C. (2 x  3).2

2

3 x

2
x
D. ( x  3x).2

.

2

3 x 1

.

3

Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x  3 x  2 trên đoạn [  3;3] bằng
A. 16 .
B. 20 .
C. 0 .
D. 4 .
2
2
2
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 z  7  0 . Bán kính
của mặt cầu đã cho bằng
A. 7 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 15 .
Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều
cạnh a và AA '  3a (minh hoạ như hình vẽ bên). Thể tích của khối

lăng trụ đã cho bằng
3a 3
A. 4 .
a3
C. 4 .

3a 3
B. 2 .
a3
D. 2 .

2
( x )  x( x  2) , x �R . Số điểm cực trị của hàm số
Câu 23: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f �
đã cho là
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

4log 2 a  log 2 b
Câu 24: Cho a và b là hai số thực dương thoả mãn a b  16 . Giá trị của
bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 16 .
D. 8 .
4

Câu 25: Cho hai số phức

3z  z2

số phức 1
A. (4; 1) .

z1  1  i

có toạ độ là
B. (1;4) .

và

z2  1  2i

. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn
C. (4;1) .

log ( x  1)  1  log (4 x  1)

D. (1;4) .

3
3
Câu 26: Nghiệm của phương trình
là
x

3
x


3
x

4
A.
.
B.
.

C.
.
D. x  2 .
Câu 27: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần
lượt bằng 1 m và 1,2 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao
và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm
gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1,8 m .
B. 1, 4 m .
C. 2, 2 m .
D. 1,6 m .

Câu 28: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 29: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích
Trang 4/40


hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  0, x  1, x  4
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

A.

4

S  �
f ( x)dx  �
f ( x)dx
1

S

1

1

4

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

S
.

B.

1

4

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �
1

.

4

S  �
f ( x) dx  �
f ( x)dx

1
1
D.
.
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;0) và B (5;1; 2) . Mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB có phương trình là

C.

.

A. 2 x  y  z  5  0 .
C. x  y  2 z  3  0 .

B. 2 x  y  z  5  0 .
D. 3x  2 y  z  14  0 .

f ( x) 

2x 1
2

( x  1) trên khoảng (1; �) là
Câu 31: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3
2ln( x  1) 
C
2ln( x  1) 
C
x 1
x 1
A.
.
B.
.
2
3
2ln( x  1) 
C
2ln( x  1) 
C
x


1
x

1
C.
.
D.
.

4

�f ( x)dx
2
�
f
(
x
)
f
(0)

4
f
(
x
)

2
cos

x

1,

x
��
Câu 32: Cho hàm số
. Biết
và
, khi đó 0
bằng
2 4
 2  14
 2  16  4
 2  16  16
16
16
C.
.
D.
.
Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(1;2;0) , B (2;0;2) , C (2; 1;3) và D (1;1;3) .
Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng ( ABD) có phương trình là

A.

16

.

�x  2  4t
�
�y  2  3t
�
A. �z  2  t .

B.

16

.

�x  2  4t
�
�y  1  3t
�
B. �z  3  t .

�x  2  4t
�
�y  4  3t
�
C. �z  2  t .

�x  4  2t
�
�y  3  t
�
D. �z  1  3t .



Câu 34: Cho số phức z thoả mãn 3 z  i  (2  i ) z  3  10i . Môđun của z bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 3 .
( x) như sau:
Câu 35: Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f �
Hàm số y  f (3  2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (4; �) .
B. ( 2;1) .
C. (2;4) .
Trang 5/40

D. (1;2) .


( x) liên tục trên R và có đồ thị
Câu 36: Cho hàm số f ( x) , hàm số f �
như hình vẽ bên. Bất phương trình f ( x)  x  m ( m là tham số thực)
nghiệm đúng với mọi x �(0;2) khi và chỉ khi
A. m �f (2)  2 .
B. m �f (0) .
C. m  f (2)  2 .
D. m  f (0) .
Câu 37: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số có tổng là một số chẵn bằng
1
13

12
313
A. 2 .
B. 25 .
C. 25 .
D. 625 .
Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song
với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích
xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 10 3  .
B. 5 39  .
C. 20 3  .
D. 10 39  .
2

log 9 x  log 3 (3 x  1)   log 3 m m
Câu 39: Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng đáy (minh hoạ như hình vẽ bên). Khoảng cách từ
A đến mặt phẳng ( SBD) bằng
A.

21 a

4 .

C.

2a
2 .

B.

21 a
7 .

D.

21 a
28 .
1

Câu 41: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (4)  1 và
4

xf (4 x) dx  1
�
0

, khi đó

2

x f�

( x)dx
�
0

31
A. 2 .

bằng
B. 16 .

C. 8 .
D. 14 .
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;4; 3) . Xét đường thẳng d thay đổi, song
song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ
nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. P (3;0; 3) .
B. M (0; 3; 5) .
C. N (0;3; 5) .
D. Q (0;5; 3) .
Câu 43: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên.
4
f ( x 3  3x ) 
3 là
Số nghiệm thực của phương trình
Trang 6/40


A. 3 .
C. 7 .

B. 8 .
D. 4 .

Câu 44: Xét các số phức z thoả mãn z  2 . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm

4  iz
1  z là đường tròn có bán kính bằng
biểu diễn các số phức
A. 34 .
B. 26 .
C. 34 .
1
y  x2  a
2
Câu 45: Cho đường thẳng y  x và parabol
w

D.

26 .

S
S
( a là tham số thực dương). Gọi 1 và 2 lần lượt là diện
tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
S  S2
Khi 1
thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
�3 1 �
� 1�

0; �
�; �
�
7
2
3�
�
�
�
A.
.
B.
.

�1 2 �
�; �
C. �3 5 �
.

�2 3 �
�; �
D. �5 7 �
.
( x) như sau:
Câu 46: Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của hàm số f �

2

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x  2 x) là
A. 9 .

B. 3 .
C. 7 .
D. 5 .
Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh
bằng 6. Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' và BCC ' B ' . Thể
tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng
A. 27 3 .
B. 21 3 .
C. 30 3 .
D. 36 3 .



Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  2  3 . Có tất cả bao
nhiêu điểm A( a; b; c) ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy ) sao cho có ít nhất hai
tiếp tuyến của ( S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12 .
B. 8 .
C. 16 .
D. 4 .
x  3 x  2 x 1
x
y



x  2 x 1
x
x  1 và y  x  2  x  m ( m là tham số
Câu 49: Cho hai hàm số

2

(C )

(C2 )

thực) có đồ thị lần lượt là 1 và
nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. (�;2] .

B. [2; �) .

2

2

(C )
(C )
. Tập hợp tất cả các giá trị của m để 1 và 2 cắt
C. (�;2) .
Trang 7/40

D. (2; �) .


(4log 22 x  log 2 x  5) 7 x  m  0 m
Câu 50: Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả
m
bao nhiêu giá trị nguyên dương của

để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt ?
49
47
A. .
B.
.
C. Vô số.
D. 48 .
---Hết---

Trang 8/40


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài thi: TOÁN

Đáp án mã đề thi 101
1B
16C
31B
46C

2A
17B
32C

47A

3C
18A
33C
48A

4C
19A
34C
49B

5D 6A 7C 8A 9C 10B 11A B
13C 14C 15A
20B 21C 22A 23D 24A 25A 26D 27D 28D 29B 30B
35B 36B 37C 38C 39A 40B 41B 42C 43B 44A 45C
50B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là
một vectơ pháp tuyến của ( P) ?
uu
r
uu
r
uu
r
uu
r
n3  (1; 2; 1)

n4  (1;2;3)
n1  (1;3; 1)
n2  (2;3; 1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Chú ý:
Cho mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 . Ta có

r

- Một vectơ pháp tuyến của ( P ) là n  (a; b; c) .
ur
n
(
P
)
- Mọi vectơ pháp tuyến của
đều phải có dạng là '  (ka; kb; kc), k �0 .
Lời giải
Một vectơ pháp tuyến của ( P) : x  2 y  3 z  1  0 là
Chọn B.
Câu 2: Với a là số thực dương tuỳ ý,
A.

2 log 5 a

.

B.

2  log 5 a

log 5 a 2

uu
r
n4  (1;2;3)

bằng
1
 log 5 a
C. 2
.

.

.

Chú ý:
Cho a  0,1 �c  0, k �R ta có
1
log c  a k   k log c a log c k a  k log c a
;
.

Lời giải
2
a  0 , log 5 a  2log 5 a .

Chọn A.

Trang 9/40

1
log 5 a
D. 2
.


Câu 3: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2;0) .
B. (2; �) .
C. (0;2) .

D. (0; �) .

Chú ý:
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)
x �(a; b), f �
( x)  0 thì f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b) .

x �(a; b), f �
( x)  0 thì f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) .

Lời giải
x �(0;2), f �
( x)  0 nên f ( x) nghịch biến trên khoảng (0;2) .
Chọn C.
Câu 4: Nghiệm của phương trình 3
A. x  5 .

2 x1

B. x  1 .

 27 là

C. x  2 .

D. x  4 .

Chú ý:
Cho 1 �a  0, b  0, u �R, v �R ta có

a u  b � u  log a b

au  av � u  v .
Lời giải
Phương trình 3

2 x1

 27

� 32 x1  33
� 2x 1  3
� x  2.
Chọn C.
Câu 5: Cho cấp số cộng
A. 6 .

Chú ý:
Cấp số cộng

 un 
B. 3 .

 un 

với

u1  3 u2  9
,

. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
C. 12 .
D. 6 .

có công sai d xác định như sau
Trang 10/40


d  u 2  u1  u3  u 2  u 4  u3  ...  u n 1  u n , n �1

d

u n  u1

Lời giải
Cấp số cộng
Chọn D.

n 1

 un 

,n 1

.

.

có công sai

d  u2  u1  9  3  6

.

Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
3
2
A. y  x  3 x  3 .
3
2

B. y   x  3x  3 .

4
2
C. y  x  2 x  3 .
4
2
D. y   x  2 x  3 .

Chú ý:
3

2

+ Hình dạng đồ thị của hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d (a �0)
a > 0, 2 cực trịa < 0, 2 cực trị
a > 0, không có cực trịa < 0, không có cực trị
4

2

+ Hình dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c (a �0)
a > 0, 3 cực trịa < 0, 3 cực trị
a > 0, 1 cực trịa < 0, 1 cực trị
Lời giải
Từ hai bảng tổng hợp trên kết hợp với đường cong đã cho, ta có
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba và a  0 .
3
2
Suy ra hàm số y  x  3 x  3 thoả mãn.

Chọn A.

d:

x  2 y 1 z  3


1
2
1 . Vectơ nào dưới

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
đây là một vectơ chỉ phương của d ?
uu
r
uu
r
uu
r
u
 (1;2;1)
u  (2;1;1)
u  (1; 2; 3)
A. 2
.
B. 4
.
C. 3
.
Chú ý:

Cho đường thẳng d có phương trình
Trang 11/40

D.

uu
r
u1  (2;1; 3)

.


x  x0
dạng tham số
Ta có

a



y  y0
b



z  z0
c

hay dạng chính tắc

�x  x0  at
�
�y  y  bt
�
0
�
�z  z0  ct

.

r
u
- Một vectơ chỉ phương của d là  ( a; b; c) .
ur

- Mọi vectơ chỉ phương của d đèu có dạng u '  (ka; kb; kc), k �0 .
Lời giải
uu
r
x  2 y 1 z  3
d:


u
 (1;2;1)
1
2
1 là 3
Một vectơ chỉ phương của
.

Chọn C.
Câu 8: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
1 2
4 2
r h
r h
2
A. 3
.
B.  r h .
C. 3
.

2

D. 2 r h .

Chú ý:
Công thức
2

Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là V   r h . (hình 1)
1
V   r 2h
3
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
. (hình 2)
4 3
V  r
3

Thể tích của khối cầu có bán kính đáy r là
. (hình 3)

Lời giải
1 2
r h
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 3
.
Chọn A.

Câu 9: Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
7

A. 2 .

B.

A 72

.

C.

C72

Chú ý:
Cho tập hợp X có n phần tử.
Trang 12/40

.

2

D. 7 .


k

A
Số cách lấy thứ tự k phần tử từ n phần tử (trong X ) là n .
Số cách xếp thứ tự n phần tử từ n phần tử (trong X ) là

A nn

.

Số cách lấy ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử (trong X ) là
n!
n!
k
k
n
A n  Pn  n ! A n  (n  k )! C n  k !(n  k )!
Ngoài ra,
;
;
.
Lời giải

C kn

.

2

Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
Chọn C.

C7

.

Câu 10: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1; 1) trên trục Oz có
toạ độ là
A. (2;1;0) .
B. (0;0; 1) .
C. (2;0;0) .
D. (0;1;0) .
Chú ý:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M (a; b; c) .
Hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz có toạ độ lần lượt là (a;0;0),(0;b;0),(0;0;c).
Hình chiếu của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy ),(Oyz ),(Ozx) có toạ độ lần lượt là
(a; b;0),(0;b; c),(a;0;c).
Lời giải
Hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1; 1) trên trục Oz có toạ độ là (0;0; 1) .
Chọn B.
1

Câu 11: Biết

f ( x)dx  2
�
0

A. 5 .

1

và

g ( x)dx  3
�
0

B. 5 .

1

 f ( x)  g ( x) dx
�

, khi đó 0
C. 1 .

Chú ý:

Tính chất: Cho

b

b

a

a

f ( x)dx  M , �
g ( x)dx  N .
�

b

b

a

a

b

b

a

a

Ta có

f ( x)dx  �
g ( x )dx  M  N .

�
f ( x)dx  �
g ( x )dx  M  N .
�

Trang 13/40

bằng
D. 1 .


b

kf ( x)dx  kM , (k ��)
�
a

.

Lời giải
1

1

1

0

0

f ( x)dx  �
g ( x)dx  2  3  5
 f ( x)  g ( x) dx  �
�

Ta có 0
Chọn A.

.

Câu 12: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
1
Bh
Bh
A. 3Bh .
B. Bh .
C. 3 .
D. 3
.
Chú ý:
Công thức
V

1
Bh
3
.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh .
Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước a, b, c là V  abc .
3

Thể tích của khối lập phương cạnh a là V  a .
Lời giải
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là Bh .
Chọn B.
Câu 13: Số phức liên hợp của số phức 3  4i là
A. 3  4i .

B. 3  4i .

C. 3  4i .

Chú ý:
Số phức liên hợp của z  a  bi, (a, b �R) là z thì z  a  bi .
Tính chất: z  z ;
Lời giải

z  z  2a, z  z  2bi .

Số phức liên hợp của số phức 3  4i là 3  4i .
Chọn C.
Câu 14: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Trang 14/40

D. 4  3i .

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x  2 .

B. x  1 .

C. x  1 .

D. x  3 .

Chú ý:
Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng
Dấu hiệu (I) nhận biết cực tiểu
x
f(x)

x0 h

x0

x0 +
h

+

f(x)

( x0  h; x0  h)

với h  0 .

Dấu hiệu (I) nhận biết cực đại

x
f(x)

x0 h

f(x)

CT

x0

x0 +
h

+
CĐ

Kí hiệu  nghĩa là: || (không xác định) hoặc là số 0.
Như vậy trong hai bảng trên, f(x) không xác định tại điểm x0 hoặc f(x0) = 0.
Phát biểu:
Nếu khi x đi qua điểm x0, đạo hàm đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x0.
Hơn nữa,
Nếu khi x đi qua điểm x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu khi x đi qua điểm x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Lời giải
( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua
Ta có f ( x) xác định trên khoảng ( �; �) và f �
điểm x  1 .

Vậy f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x  1 .
Chọn C.
Câu 15: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là
2

A. x  5 x  C .

2

2

B. 2 x  5 x  C .

C. 2x  C .

2

D. x  C .

Chú ý:
+ Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K .

f ( x)dx  F ( x)  C �  F ( x) � f ( x)
�

F ( x )  C gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) trên khoảng K .
f�
( x)dx  f ( x)  C
( x) .
+ Ta có �

nghĩa là f ( x)  C là họ tất cả các nguyên hàm của f �
Lời giải
Trang 15/40


2
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x  5 là x  5 x  C vì
 x 2  5 x  � 2 x  5  f ( x) .
Chọn A.

Câu 16: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)  3  0 là
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .

D. 3 .

Chú ý:
+ Số nghiệm thực của phương trình f ( x)  k chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y  f ( x) và đường thẳng y  k .
+ Bảng biến thiên của một hàm số là “hình ảnh thô” của đồ thị hàm số đó.
Lời giải
3
2 f ( x )  3  0 � f ( x) 
2.
Phương trình

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy số nghiệm thực của phương trình này là 4.

Chọn C.
Câu 17: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ,

SA  2a , tam giác ABC vuông tại B , AB  3 a và BC  a (minh hoạ
như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 90�.
B. 45�.
C. 30�.
D. 60�.
Chú ý:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) . Gọi d ' là hình chiếu vuông góc
của d trên ( P) .
Trang 16/40

d
)
d'


Góc giữa d và ( P) chính là góc giữa d và d ' (hình bên).
Lời giải
Đường thẳng SC có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng ( ABC ) là AC
�
nên SCA chính là góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) .
Tam giác ABC vuông tại B , AB  3 a và BC  a suy ra
2

2

AC  AB  BC  2a .

Tam giác SAC vuông tại A , SA  AC  2a suy ra
ABC là tam giác vuông cân tại A .
�
Vậy SCA  45�
.
Chọn B.

Câu 18: Gọi
bằng

z1 , z 2

2
z12  z22
z

6
z

10

0
là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của

A. 16 .

B. 56 .

C. 20 .

D. 26 .

Chú ý:
2
Xét phương trình bậc hai ẩn z trên tập hợp C : az  bz  c  0 (với a, b, c  R; a
2

+ Nếu   b  4ac  0 thì (1) có hai nghiệm:

z1 , z 2

+ Gọi
là hai nghiệm của (1) thì
Lời giải

z1  z2 

z1 

b  i |  |
b  i |  |
; z2 
.
2a
2a

b
c

; z1.z2  .
a
a

2
z  3  i, z 2  3  i
Phương trình z  6 z  10  0 có hai nghiệm 1
.

z12  z 22  (3  i ) 2  (3  i ) 2  16

.

Chọn A.
Cách khác: Áp dụng hệ thức Viet ta có
2

2

2

z1  z 2  6, z1z 2  10

2

z1  z 2  ( z1  z 2 )  2 z1z 2  6  2.10  16
x
Câu 19: Hàm số y  2

A. (2 x  3).2

2

x 3 x

x
C. (2 x  3).2

2

3 x

.

2

3 x

.

có đạo hàm là
x 2 3 x

.ln 2 .

B. 2

.

2

x
D. ( x  3x).2

Chú ý:
Trang 17/40

.ln 2 .
2

3 x 1

.

0 ) (1).


Đạo hàm hàm số hợp với hàm số trung gian u
 a u  � a u .u�
.ln a
 eu  � eu .u�

Đạo hàm hàm số mũ
 a x  � a x .ln a
 e x  � e x
Lời giải



 2x
Ta có y�

2

3 x

 �  x 2  3x  �.2 x 3x.ln 2

  2 x  3 .2

2

2

x 3 x

.ln 2 .

Chọn A.
3
Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x  3 x  2 trên đoạn [  3;3] bằng
A. 16 .
B. 20 .
C. 0 .
D. 4 .

Chú ý:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó
+ f ( x) luôn đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b] .
+ gọi

M  max f ( x ), m  min f ( x)

. Ta tìm M , m như sau:
(1) Tính đạo hàm của hàm số;
(2) Tìm trên khoảng (a; b) những điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;
[ a ;b ]

[ a ;b ]

giả sử có hữu hạn điểm.
(3) Tính giá trị của hàm số tại những điểm ở (2).
(4) So sánh các giá trị tính được ở (3),
giá trị nào lớn nhất là M ; giá trị nào nhỏ nhất là m .
Lời giải
2
( x)  3 x  3 ;
Ta có f �
2

f�
( x)  0 � 3x  3  0 � x  �
1.

Giá trị lớn nhất của hàm số là
Chọn B.

max f ( x)  max{ f ( 3), f ( 1), f (1), f (3)}  f (3)  20

[ 3;3]

.

2
2
2
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 z  7  0 . Bán kính
của mặt cầu đã cho bằng

A.

7.

B. 9 .

C. 3 .

D. 15 .

Chú ý:
2
2
2
2
2
2
Mặt cầu ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 (với a  b  c  d  0 ) có
+ Tâm I (a; b; c) ;

Trang 18/40

2

2

2

+ Bán kính R  a  b  c  d .
Lời giải
2
2
2
Từ phương trình mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 z  7  0 suy ra

a  1
�
�
b0
�
2
2
2
� R  (1)  0  1  7  3
�
c 1
�
�
d  7
�

Bán kính của ( S ) bằng 3 .
Chọn C.
2
2
2
2
2
2
Cách khác: Ta có x  y  z  2 x  2 z  7  0 � ( x  1)  y  ( z  1)  9 .

Vậy R  3 .

Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều
cạnh a và AA '  3a (minh hoạ như hình vẽ bên). Thể tích của khối
lăng trụ đã cho bằng
3a 3
A. 4 .

3a 3
B. 2 .

a3
C. 4 .

a3
D. 2 .

Chú ý:
+ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là S và chiều cao là h bằng Sh .
+ Diện tích tam giác đều cạnh a là

Lời giải

S

3a 2
4 .

3a 2
S
4 .
Tam giác ABC đều cạnh a có diện tích bằng

Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có chiều cao bằng AA '  3a .
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng
Chọn A.

V  S . AA ' 

3a 2
3a 3
. 3a 
.
4
4

2
( x )  x( x  2) , x �R . Số điểm cực trị của hàm số
Câu 23: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f �
đã cho là
A. 0 .

B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

Chú ý:
Phát biểu: (xem thêm chú ý câu 14)
Trang 19/40


Nếu khi x đi qua điểm x0, đạo hàm đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x0.
Lời giải
x0
�
2
f�
( x)  0 � x( x  2)  0 � �
x  2
�
( x) như sau
Dấu của f �
2
0 +

( x) đổi dấu đúng một lần khi x đi qua điểm 0.
Ta có f �
Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.
Chọn D.

4log 2 a  log 2 b
Câu 24: Cho a và b là hai số thực dương thoả mãn a b  16 . Giá trị của

bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 16 .
D. 8 .
4

Chú ý:
Cho a  0, b  0,1 �c  0, k �R ta có
+

a  b � log c a  log c b

.

a
k
log c ( ab)  log c a  log c b log c b  log c a  log c b log c  a   k log c a
+
;
;
.

Lời giải
4
4
� log 2 ( a b)  log 2 16
a
b


16
Từ
4

4

� log 2 ( a )  log 2 b  log 2 (2 )

� 4log 2 a  log 2 b  4

.

Chọn A.
Câu 25: Cho hai số phức

3z  z2

số phức 1
A. (4; 1) .

z1  1  i

có toạ độ là
B. (1;4) .

và

z2  1  2i

. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn

C. (4;1) .

D. (1;4) .

Chú ý:
+ Cho hai số phức

z1  a  bi

và

z2  c  di (a, b, c, d �R)
,
. Ta có

z1  z 2  (a  c)  (b  d )i

z1  z2  (a  c)  (b  d )i
kz1  ka  kbi (k �R)
+ Số phức z  x  yi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy là M ( x; y ) .
Lời giải
Trang 20/40


+

3 z1  z2  3(1  i)  (1  2i)  4  i
.

+ Số phức 4  i biểu thị bởi điểm có toạ độ là (4; 1) .

Chọn A.
Câu 26: Nghiệm của phương trình
A. x  3 .

log 3 ( x  1)  1  log 3 (4 x  1)

B. x  3 .

C. x  4 .

là

D. x  2 .

Chú ý:
(xem thêm chú ý câu 24)
log c a
+ Biểu thức
xác định (có nghĩa) khi a  0,1 �c  0 .
+ Cho a  0, b  0,1 �c  0 ta có
log a a  1 log c a  log c b  log c ( ab)

;

log c a  log c b � a  b

.

Lời giải
Điều kiện xác định:

�x  1  0
1
�x
�
4
�4 x  1  0

Phương trình đã cho

� log 3 3( x  1)  log 3 (4 x  1)

.

� 3( x  1)  (4 x  1)

� x  2 (thoả mãn điều kiện).
Chọn D.
Câu 27: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần
lượt bằng 1 m và 1,2 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao
và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm
gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1,8 m .
B. 1, 4 m .
C. 2, 2 m .
D. 1,6 m .
Chú ý:
(xem thêm chú ý câu 8)
2

Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là V   r h .
Lời giải
Gọi chiều cao của bể nước dự định làm (cũng là chiều cao của hai bể nước đã có) là h .
Gọi bán kính đáy của bể nước dự định làm là r (đơn vị: mét).
Ta có phương trình
 r 2 h   .12.h   .1, 2 2.h
2

2

� r  1  1, 2

2

� r  12  1, 2 2 �1.5620499351813308788259445471518 .
Trang 21/40


Chọn D.
Câu 28: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Chú ý:
+ Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị là (C ) .
lim f ( x)  y0
lim f ( x)  y0

y  y0
Nếu x��
hoặc x��
thì (C ) có tiệm cận ngang
.
lim f ( x)  �
lim f ( x)  �
lim f ( x)  �
x�x0
x�x0
x�x0
Nếu
hoặc
hoặc
hoặc
lim f ( x)  �

x  x0
thì (C ) có tiệm cận đứng
.
+ Để tìm tiệm cận của (C ) : y  f ( x) ta thực hiện các bước sau:
 Tìm tập xác định của hàm số;
 Tính các giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực (nếu có);
 Từ chú ý trên suy ra tiệm cận (nếu có).
Lời giải
Hàm số có tập xác định là R \ {0} .
x �x0

lim f ( x)  2

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 ;
lim f ( x)  �
x �0 
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 .
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2.
Chọn D.
x ��

Câu 29: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích
hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  0, x  1, x  4
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

A.

4

S  �
f ( x)dx  �
f ( x)dx
1

1

S
.

B.
Trang 22/40

1

4

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

.


S
C.

1

4

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

.

D.

1

4

1

1

S  �
f ( x) dx  �
f ( x)dx

.

Chú ý:
+ Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y  f ( x ), y  0, x  a, x  b .
b

 Nếu f ( x) �0x �[a; b] thì

S�
f ( x)dx
a

(hình 1);

b

 Nếu f ( x) �0x �[a; b] thì

S  �
f ( x)dx
a

(hình 2);

b

 Tổng quát: f ( x ) nhận giá trị tuỳ ý trên đoạn [a; b] thì

S�
f ( x) dx
a

.

b

�f ( x) dx

+ Để tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối a
ta làm như sau:
 Tìm nghiệm của phương trình f ( x)  0 trên khoảng (a; b) ;

 Giả sử phương trình có nghiệm là c , khi đó

b

c

b

a

a

c

�f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx

 a; c ,  c; b .
 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối tuỳ theo dấu của f ( x ) trên mỗi đoạn
Lời giải
4

S

�f ( x) dx

1
1



4

�f ( x) dx  �f ( x) dx

1



1

1

4

1

1

f ( x)dx
�f ( x)dx  �

Chọn B.

Trang 23/40

;


Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;0) và B (5;1; 2) . Mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 2 x  y  z  5  0 .
B. 2 x  y  z  5  0 .

C. x  y  2 z  3  0 .

D. 3x  2 y  z  14  0 .

Chú ý:
+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm đoạn thẳng AB và
vuông góc với AB .
+ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( x; y; z ), B( x '; y '; z ') . Ta có
uuur
 Toạ độ của vectơ AB là ( x ' x; y ' y; z ' z ) ;

�x  x ' y  y ' z  z ' �
;
;
�
�
2
2 �
 Trung điểm I của đoạn thẳng AB có toạ độ là � 2
.
Lời giải
Gọi ( P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

uuur
AB  (4; 2; 2) là vectơ pháp tuyến của ( P) ;

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB � I  3;2; 1 .

uuur

( P ) đi qua I  3;2; 1 và có vectơ pháp tuyến AB  (4; 2; 2) nên có phương trình
4( x  3)  2( y  2)  2( z  1)  0
� 2x  y  z  5  0 .
Chọn B.

f ( x) 

2x 1
2

( x  1) trên khoảng (1; �) là
Câu 31: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3
2ln( x  1) 
C
2ln( x  1) 
C
x

1
x

1
A.
.
B.
.
2
3

2ln( x  1) 
C
2ln( x  1) 
C
x

1
x

1
C.
.
D.
.
Chú ý:
Cho các hàm số f ( x) và g ( x) xác định trên khoảng K .

f ( x)dx  �
g ( x ) dx
 f ( x)  g ( x) dx  �
�
f ( x)dx  �
g ( x)dx
 f ( x)  g ( x) dx  �
�
f ( x)dx, k �0
 kf ( x) dx  k �
�

1

1

f (ax  b)dx  �
f (ax  b)d (ax  b)  F (ax  b)  C , a �0
�
a
a
Ngoài ra,
Trang 24/40