ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Môn Toán
Năm học : 2010 – 2011
Thời gian : 180 phút
Ngày 24/12/2010 ( Vòng 1 )
Bài 1 : Cho
, ,a b c
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c c a
a c b a c b
a c b a c b
+ + + + + +
+ + ≥ + +
+ + +
+ + +
.
Bài 2 : Gọi D là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC và E,Z lần lượt là hình chiếu
của D trên AB,AC. Giả sử T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E,Z với đường tròn
đường kính AD. Chứng minh rằng TB = TC.
Bài 3 : Tìm tất cả hàm
:f →¡ ¡
thỏa mãn với mọi số thực
,x y
th
2
( ( )) ( f ( ))f xf x y f y x x+ = +
.
Bài 4 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương

( , , , )x y z t
thỏa mãn hai
số bất kì trong chúng đều nguyên tố cùng nhau và
3 3 2 4
y z tx + + =
.
Bài 5 : Cho 2010 điểm
1 2 2010
, ,...,A A A
trong mặt phẳng và một đường tròn bán kính
1
tùy ý, chứng minh rằng tồn tại một điểm
S
trên đường tròn đó sao cho
1 2 2010
... 2010SA SA
SA
+ + + ≥
.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Môn Toán
Năm học : 2010 – 2011
Thời gian : 180 phút
Ngày 24/12/2010 ( Vòng 2 )
Bài 6 : Một hàm
f
được gọi là rất lồi nếu nó thỏa mãn :
( ) ( )
( ) | |
2 2

f x f y x y
f x y
+ +
≥ + −
với mọi số thực
,x y
. Tìm tất cả các hàm rất lồi.
Bài 7 : Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác lồi ABCD.
Phân giác của góc ACD cắt cạnh BA tại K. Nếu MA.MC + MA.CD = MB.MD, chứng
minh rằng góc BKC bằng góc CDB.
Bài 8 : Tìm tất cả hàm
: (0, ) (0, )f
+∞ → +∞
thỏa mãn với mọi số dương
w, , ,x y z

thỏa mãn
wx yz
=
thì
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
f w f x w x
f y f z y z
+ +
=
+ +
.

Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của
n
sao cho tồn tại
n
số nguyên dương thỏa mãn tổng
các lũy thừa bậc 4 của chúng có giá trị là 1998.
Bài 10 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
( , )x y
thỏa mãn
y x
y
x
>
.