Chuyên đề nhị thức newton và các bài toán liên quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (611.95 KB, 39 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 11
1D2-3
ĐT:0946798489
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
Mục lục
Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ............................................................................................................. 2
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton.......................................................................................... 3
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ............................................................................................................................. 3
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................... 3
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ...................................................................................................... 4
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ............................ 5
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) ................................................................................ 8
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 11
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak ........................................................................................................... 11
n
m
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk ......................................................................... 12
m
l
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn ........................................................................................... 12
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 13
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 13
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................. 14
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ........................................................................................................... 14
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton........................................................................................ 16
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ........................................................................................................................... 16
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................. 16
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k .................................................................................................... 18
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n .......................... 20
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) .............................................................................. 27
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 31
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak ........................................................................................................... 31
n
m
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk ......................................................................... 33
m
l
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn ........................................................................................... 35
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 35
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 36
Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Câu 1.
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển
50
x 2 là
A. 49 .
Câu 2.
B. 50 .
D. 51 .
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
2018
2 x 3
A. 2019 .
Câu 3.
C. 52 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2020 .
5
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn x y .
A. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
C. x5 5 x 4 y 10 x3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
B. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
D. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
(3 2 x)2019 có bao nhiêu số hạng?
A. 2019 .
B. 2018 .
C. 2020 .
D. 2021 .
Câu 5.
Từ khai triển biểu thức x 1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 6.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức x 1
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 7.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong khai
2018
triển 1 2x .
10
10
A. 1.
B. 1.
C. 2018 .
D. 2018 .
Câu 8.
(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển ( 5 4 7)124 . Có bao nhiêu số
hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30 .
B. 31 .
C. 32 .
D. 33 .
Câu 9.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của
P( x) ( 3 2 x 3)2018 thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673.
B. 675.
C. 674.
D. 672.
Câu 10.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 .
20
Giá trị của a0 a1 a2 bằng
A. 801.
B. 800.
Câu 11.
C. 1.
D. 721.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai
triển của biểu thức
A. 136 .
3
3 5 5
2019
?
B. 403 .
C. 135 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 134 .
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2019
Câu 12.
1 1
1 1
(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của x 15 y 3 x 3 y 5 , số hạng mà lũy thừa
của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
A. 1348 .
B. 1346 .
C. 1345 .
D. 1347 .
20
Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển 1 2x a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 . Giá trị của
a0 a1 a2 a20 bằng:
B. 320 .
A. 1.
D. 1.
C. 0 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển nhị thức
12
2
x
(với x 0 ) là:
x x
A. 376 .
B. 264 .
Câu 15.
C. 264 .
D. 260 .
(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai
13
1
triển nhị thức x , (với x 0 ).
x
A. 1716.
B. 68.
Câu 16.
C. 176.
D. 286.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của x31 trong khai triển
40
1
x 2 , x 0 là.
x
4
A. C40 .
Câu 17.
B. C402 .
3
C. C40
.
5
D. C40
.
1 3
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển x
4 4
9
27
27
27
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
32
32
64
128
n
Câu 18.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180 .Tìm n .
A. n 8 .
B. n 12 .
C. n 14 .
D. n 10 .
Câu 19.
(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 1 x .
A. 90 .
B. 720 .
C. 120 .
D. 45 .
Câu 20.
4
10
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai triển
7
2 2
x .
x
A. h 84 .
B. h 672 .
C. h 560 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. h 280 .
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 21.
ĐT:0946798489
6
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
15
2
Newton x 2 là
x
A. 3640 .
Câu 22.
B. 3640 .
C. 455.
D. 1863680
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của x 25 y10 trong
15
khai triển x 3 xy .
A. 58690.
B. 4004.
C. 3003.
D. 5005.
6
2
Câu 23. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
6
2
Câu 24. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Câu 25.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3 x là 90 . Tìm n .
A. n 7 .
B. n 6 .
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26.
C. n 8 .
D. n 5 .
15
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển 2 x
bằng?
A. 3640x13 .
B. 3640x12 .
C. 420x12 .
D. 3640 .
9
Câu 27.
Câu 28.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x .
2x
1
1
A. C93 x 3 .
B. C93 x 3 .
C. C93 x 3 .
D. C93 x 3 .
8
8
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
1
x .
x
A. C133 .
Câu 29.
B. C133 x 7 .
C. C134 x 7 .
D. C134 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa x 31 trong khai triển
40
1
x 2 ?
x
4 31
A. C 40x .
Câu 30.
B. C 4037x 31 .
37 31
x .
C. C 40
D. C 403 x 31 .
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa x 34 trong khai
1
triển x
x
40
là
Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
37
40
34
A. C x .
Câu 31.
ĐT:0946798489
3
40
34
B. C x .
2
40
34
4
40
C. C x .
34
D. C x .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai
n
triển 1 4 x là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
A. 28 .
B. 26 .
C. 24 .
D. 20 .
Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3x là 90 . Tìm n .
A. n 5 .
Câu 33.
B. n 8 .
C. n 6 .
D. n 7 .
n
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180
. Tìm n .
A. n 12 .
B. n 14 .
C. n 8 .
D. n 10 .
Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của
5
2
biểu thức 3x 3 2 .
x
A. 810 .
B. 826 .
D. 421 .
C. 810 .
Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển
40
1
x 2 .
x
37
A. C40
.
31
B. C 40
.
4
C. C40
.
D. C402 .
6
2
3
Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển x
, hệ số của x x 0 là:
x
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
n
3
Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 ... 2 n.Cnn 59049 . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của x 2
x
81
có giá trị bằng
n . Khi đó giá trị của x bằng
2
A. 1
B. 2 .
C. 1
D. 2 .
n
1
Câu 38. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2 x 2 3 , trong đó số nguyên dương n
x
5
3
thỏa mãn An 72n . Tìm số hạng chứa x trong khai triển.
A. 26 C104 x5 .
Câu 39.
B. 25 C105 x5 .
C. 27 C103 x5 .
D. 26 C107 x5 .
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n
3
Newton của 2 x 2 x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn 256n ( Cnk là số tổ hợp
x
chập k của n phần tử).
A. 489888
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 40.
ĐT:0946798489
n
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho khai triển 1 3 x a0 a1 x1 ... an x n
a
a
trong đó n * và các hệ số thỏa mãn hệ thức a0 1 ... nn 4096 . Tìm hệ số ai lớn nhất.
3
3
A. 1732104.
B. 3897234.
C. 4330260.
D. 3247695 .
3 n 1
1
Câu 41. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của x trong khai triển x3
x
2
2
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1 nP2 4 An .
6
A. 210 x6 .
C. 120 x 6 .
B. 210.
D. 120.
3
Câu 42. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2 x 2
x
2
14
1
x 0 , biết rằng 2 3 Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Cn 3Cn n
A. 326592 .
B. 3265922
C. 3265592
D. 32692 .
n
6
Câu 43.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển
n
1
1
2
n
20
7
4 x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức C2 n 1 C2 n 1 ... C2 n1 2 1 .
x
A. 325 .
B. 210 .
C. 200 .
D. 152 .
Câu 44.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn Cnn46 nAn2 454
n
2
, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x 3
x
( với x 0 ) bằng
A. 1972 .
B. 786 .
C. 1692 .
D. 1792 .
4
Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn3 13n ,
n
1
hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x 2 3 bằng.
x
A. 120 .
B. 252 .
C. 45 .
D. 210 .
5
Câu 46.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3
A C C 4n 6 . Hệ số của số hạng chứa x của khai triển biểu thức P x x 2 bằng:
x
A. 18564 .
B. 64152 .
C. 192456 .
D. 194265 .
2
n
2
n
1
n
9
Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3Cn31 3 An2 52 n 1 . Trong khai triển biểu thức x 3 2 y 2 , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ
của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là
A. 54912 .
B. 1287 .
C. 2574 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 41184 .
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 49.
ĐT:0946798489
1
n
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C Cn2 5 . Tìm hệ
n
1
số a của x 4 trong khai triển của biểu thức 2 x 2 .
x
A. a 11520 .
B. a 256 .
C. a 45 .
D. a 3360 .
Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
2n
1
3 Ann 2 Cn3 40 . Hệ số của x 6 trong khai triển 2 x là
x
A. 1024 .
B. 1024 .
C. 1042 .
Câu 51.
D. 1042 .
(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với n là số nguyên
3
dương thoả mãn A 3C 120 , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức x4
x
bằng
A. 295245 .
B. 245295 .
C. 292545 .
D. 259254 .
2
n
Câu 52.
n
1
n
(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
2n
n x
nhị thức Niutơn của , x 0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 An2 50.
2x 2
97
29
297
279
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
51
512
215
Câu 53.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
n
3
của 2 x 2
x
của n phần tử).
A. 489888 .
Câu 54.
x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... nCnn 256n
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
n
(THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Giả sử có khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
. Tìm a5 biết a0 a1 a2 71.
A. 672 .
B. 672 .
Câu 55.
( Cnk là số tổ hợp chập k
C. 627 .
D. 627 .
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
n
2
A C 10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x trong khai triển x 2 3 với x 0 .
x
5
5
A. a5 10 .
B. a5 10 x .
C. a5 10 x .
D. a5 10 .
2
n
Câu 56.
3
n
(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 1 3x
An3 2 An2 100
A. 61236 .
Câu 57.
5
B. 63216 .
C. 61326 .
2n
biết
D. 66321 .
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
n
3n Cn0 3n 1 Cn1 3n 2 Cn2 ..... 1 Cnn 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển x 2 là:
A. 11264 .
B. 22 .
C. 220 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 24 .
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
n
Câu 58.
Câu 59.
1
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển 3x 2 biết hệ số của x 3 là 34 C n5
x
. Giá trị n có thể nhận là
A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 16 .
(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
n
1
n 1
n
5
3 x ; x 0 biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 là
x
A. 1303 .
B. 313 .
C. 495 .
D. 13129 .
n
1
Câu 60. (CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 2 x 5 với x 0
x
5
4
, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An 18 An 2 .
A. 8064 .
B. 3360 .
C. 13440 .
D. 15360 .
4
Câu 61.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
2 1
2
2
x biết An Cn 105 .
x
A. 3003 .
B. 5005 .
Câu 62.
D. 3003 .
(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của
2n
2 3x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C20n1 C22n1 C24n1 ... C22nn1 1024 .
A. 2099529 .
Câu 63.
C. 5005 .
B. 2099520 .
C. 1959552 .
D. 1959552 .
[HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
n
2
Câu 64. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Tìm số hạng chứa x trong khai triển x ,
x
4
biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn3 n 2Cn2
3
A. 134
B. 144
C. 115
D. 141
5
2
Câu 65. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển x 3
x
n 1
n2
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 78 .
A. 112640 .
B. 112643 .
C. 112640 .
D. 112643 .
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)
n
9
8
Câu 66. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong khai triển x 2 , số hạng không
x
chứa x là
A. 40096.
B. 43008.
C. 512.
D. 84.
Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 67.
ĐT:0946798489
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng độc lập với x trong
8
2
khai triển x 3 là
x
A. 1792 .
Câu 68.
B. 792 .
C. 972 .
D. 1972 .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
3 1
x .
x
A. 220 .
Câu 69.
B. 220 .
C. 924 .
D. 924 .
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương, số
30
2
hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x
là
x
10
A. 2 20 .
B. 220 C30
.
C. 210 C3020 .
Câu 70.
D. C3020 .
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x trong
45
khai triển x 1 là
x2
5
5
15
15
A. C45
.
B. C45
.
C. C45
.
D. C45
.
10
2
Câu 71. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển x
x
là
A. C105 .
B. C105 .25 .
C. C105 .
D. C105 .25 .
7
1
Câu 72. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là:
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
Câu 73.
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
1
2x 2 , x 0 .
x
A. 240 .
Câu 74.
B. 15 .
C. 240 .
D. 15 .
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
12
1
A x 2 là
x
A. 924 .
B. 495 .
C. 495 .
D. 924 .
1
Câu 75. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển x 2
x
15
30
5
15
A. C45 .
B. C45 .
C. C45 .
D. C45 .
45
là
5
Câu 76.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 2 3 .
x
A. 10 .
B. 20 .
C. 5 .
D. 1 .
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
7
Câu 77.
Câu 78.
1
(Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x
30
2
trong khai triển nhị thức x
là
x
10
B. 2 20.C30
.
A. 2 20 .
C. 210.C3020 .
D. C 3020 .
10
x 1
x 1
Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho biểu thức P
với x 0 , x 1 . Tìm
3 2
x 3 x 1 x x
số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P .
A. 200 .
B. 160 .
C. 210 .
D. 100 .
Câu 80.
(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Số hạng không chứa x trong khai
9
2
triển f x x 2 , x 0 bằng
x
A. 5376 .
B. 5376 .
Câu 81.
C. 672 .
D. 672 .
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
14
2
của 3 x 4 với x 0 là:
x
6 8
A. 2 C14 .
B. 26 C146 .
Câu 82.
C. 28 C148 .
D. 28 C148 .
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x
11
1
trong khai triển của x x 5 với x 0 .
x
A. 485 .
B. 238 .
C. 165 .
11
D. 525 .
Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn2 55 , số hạng
n
2
không chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 2 bằng
x
A. 13440
B. 3360
C. 80640
Câu 84.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không chứa
n
1
x trong khai triển của x x 4 với x 0 , nếu biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
x
C n2 C n1 44 .
A. 485.
Câu 85.
D. 322560
B. 525.
C. 165.
D. 238
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
n
1
2
1
x x 4 , với x 0 , nếu biết rằng Cn Cn 44 .
x
A. 165 .
B. 238 .
C. 485 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 525 .
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 86. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
2n
3
3
2
2 x 3 với x 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2n An 1 là:
x
12 4 12
16 0
A. C16 .2 .3 .
B. C160 .216 .
C. C1612 .24.312 .
D. C16
.2 .
Câu 87.
(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn Cn2 n 27 , trong khai triển
n
2
x 2 số hạng không chứa x là
x
A. 84 .
B. 672 .
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak
Câu 88.
(HKI
–
1 3x 2 x
D. 5376 .
n
TRIỆU
2 2017
C. 8 .
QUANG
PHỤC
Cho
2018-2019)
khai
triển
a0 a1 x a2 x 2 ... a4034 x 4034 . Tìm a2 .
A. 9136578
B. 16269122 .
C. 8132544 .
D. 18302258 .
10
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển f x 1 3 x 2 x3 thành
đa thức.
A. 204120 .
B. 262440 .
C. 4320 .
D. 62640 .
9
Câu 90. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho khai triển 3 2 x x 2 a0 x18 a1 x17 a2 x16 ... a18 .
Giá trị a15 bằng
A. 218700 .
Câu 91.
B. 489888 .
C. 804816 .
D. 174960 .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và rút gọn các
9
1
đơn thức đồng dạng của x 2 x 2 , x 0 .
x
A. 2940 .
B. 3210 .
C. 2940 .
Câu 92.
D. 3210 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 7
6
trong khai triển x 2 3 x 2 bằng
A. 6432 .
B. 4032 .
C. 1632 .
D. 5418 .
10
Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển 1 x x 2 x 3 .
A. 582 .
B. 1902 .
C. 7752 .
D. 252 .
Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
3Cn0 4Cn1 5Cn2 ... (n 3)Cnn 3840 .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển
(1 x x 2 x 3 ) n là
A. 410 .
Câu 95. (THPT
1 x x
B. 49 .
CHUYÊN
2
3
VĨNH
10 11
x ... x
C. 210 .
PHÚC
2
3
D. 29 .
LẦN
110
a0 a1 x a2 x a3 x ... a110 x
4
-
2018)
Giả
sử
với a0 , a1 , a2 ,…, a110 là các hệ số.
Giá trị của tổng T C110 a11 C111 a10 C112 a9 C113 a8 ... C1110 a1 C1111a0 bằng
A. T 11 .
B. T 11 .
C. T 0 .
D. T 1 .
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
n
ĐT:0946798489
m
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk
Câu 96.
h
(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì
18
1
P ( x ) (1 x )12 x 2 có tất cả bao nhiêu số hạng
x
A. 27 .
B. 28 .
C. 30 .
D. 25
Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức P x x 2
2017
3 2 x
2018
a2018 x 2018 a2017 x 2017 ... a1 x a0 . Khi đó S a2018 a2017 ... a1 a0 bằng
B. 1.
A. 0 .
C. 2018 .
D. 2017 .
Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
12
21
3
1
f x x 2 2 x 3 2 thì f x có bao nhiêu số hạng?
x
x
A. 30 .
B. 32 .
C. 29 .
Câu 99.
D. 35 .
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
6
7
12
P x x 1 x 1 ... x 1 .
A. 1716 .
B. 1715 .
C. 1287 .
D. 1711 .
Câu 100. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức:
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:
P x a0 a1 x a2 x 2 ... a12 x12 . Tìm hệ số a8 .
A. 720 .
B. 700 .
C. 715 .
D. 730 .
Câu 101. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức
P x a0 a1 x ... a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i 0; 1; 2; ...; 12 .
A. 5 .
B. 7936 .
C. 0 .
D. 7920 .
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn
l
Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển
11
nhị thức Newton 1 2 x 3 x .
A. 4620 .
B. 1380 .
Câu 103. (THPT
CHUYÊN
THĂNG
2 2
10
3 4x 4x
1 2 x
A. 482496 .
C. 9405 .
LONG
-
ĐÀ
LẠT
D. 2890 .
-
2018)
Cho
khai
triển
a0 x a1 x a2 x a14 x . Tìm giá trị của a6 .
2
B. 529536 .
14
C. 278016 .
D. 453504 .
Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hệ số của x6 trong khai triển
2 x 16 x 2 x
A.
1 6
C14 .
2
4
1
thành đa thức là
4
1
B. C146 .
4
C. C146 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 4C148 .
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng
Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của
6
8
x 2 x 1 x 3 bằng
A. 1752
B. 1272
x5 trong khai triển biểu thức
C. 1272
D. 1752
6
8
Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển x 3 x 1 2 x 1 bằng
A. 3007
B. 577
C. 3007
D. 577
Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x 2)6 (3 x 1)8
bằng
A. 13548
B. 13668
C. 13668
D. 13548
6
8
6
8
Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x 2 x 1 3 x 1
bằng
A. 13848
B. 13368
C. 13848
D. 13368
Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của x 5 trong khai triển x x 2 3 x 1
bằng
A. 13548 .
B. 13548 .
C. 13668 .
D. 13668 .
Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của x 5
trong khai triển đa thức
f x x 1 x x 2 1 2x .
5
A. 965.
10
B. 263.
C. 632.
D. 956.
Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
5
10
P x x 1 2 x x 2 1 3x .
A. 3240 .
B. 3320 .
C. 80 .
D. 259200 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán
Câu 112. (LẦN
01_VĨNH
YÊN_VĨNH
PHÚC_2019)
1 20
0
1
2
S 319 C20
318 C20
317 C20
... C20
. Giá trị 3S là
3
419
4 18
A. 4 20 .
B.
.
C.
.
3
3
Cho
D.
biểu
thức
4 21
.
3
1
2
3
2017
C2017
C2017
... C2017
Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng C2017
bằng.
A. 2 2017 1 .
B. 2 2017 1 .
C. 2 2017 .
D. 4 2017 .
1
2
2018
Câu 114. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng C2018
C2018
... C2018
bằng
A. 2 2018 .
B. 2 2018 1 .
C. 2 2018 1 .
D. 4 2016 .
1
3
5
2017
Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tổng T C2017
bằng:
C2017
C2017
... C2017
A. 2 2017 1 .
B. 2 2016 .
C. 2 2017 .
D. 2 2016 1 .
Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng S C50 2C51 2 2 C52 ... 25 C55 bằng:
A. 324 .
B. 435 .
C. 243 .
D. 342 .
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 117. (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S C 2C 2 C 2 C .
A. S 59050 .
B. S 59049 .
C. S 1025 .
D. S 1024 .
0
10
1
10
2
2
10
10
10
10
10
Câu 118. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng S C100 2C101 22 C102 23 C103 210 C10
.
A. S 59050.
B. S 1024.
C. S 59049.
D. S 1025.
1
2
3
2016
Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng C2016
bằng
C2016
C2016
... C2016
2016
2016
2016
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 1 .
D. 2 2016 1 .
Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
Cn0 4Cn1 4 2 Cn2 ... 4 n Cnn 15625 . Tìm n .
A. n 3 .
B. n 5 .
C. n 6 .
D. n 4 .
1
2
2018
2019
Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng S 2C2019
tương ứng
3C2019
... 2019C2019
2020C2019
bằng:
A. 2020.2 2019 .
B. 2019.2 2018 .
C. 2021.2 2018 1 .
D. 2020.2 2019 1 .
12
13
20
Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng S C22
C22
.... C 22
C2221 C2222 .
11
C22
C 11
11
.
C. S 2 21 22 .
D. S 221 C22
.
2
2
Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử
B. S 221
11
A. S 221 C22
.
0 k n; k , n
tính tổng sau:
0
1
2
2017
2018
S C2018
2C2018
3C2018
... 2018C2018
2019C2018
A. 1009.22016 .
Câu 124. (TOÁN
C. 1010.22018 .
B. 1006.22018 .
HỌC
TUỔI
2
TRẺ
-
9
A. 10! .
8
B. 20! .
THÁNG
4
-
2018)
Biểu
thức
10
1 x
x
x 1 x x 1 x
.
.
...
10! 9! 1!
8!
2!
10!
10
D. 1007.22018 14 .
bằng
C.
1
.
10!
D.
1
.
100!
Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho
S 2 C10 C20 ... Cn0 C11 C21 ... Cn1 ... Cnn11 Cnn 1 Cnn là một số có 1000 chữ số?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1.
Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
1
1
1
1024
.....
1! n 1 ! 3! n 3 ! 5! n 5 !
n 1!1! n !
Tìm mệnh đề đúng.
A. n là số chia hết cho 10 .
B. n là số nguyên tố.
C. n là số chia hết cho 3 .
D. n là số chia hết cho 4 .
Câu 1.
Câu 2.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Số số hạng trong khai triển là: n 1 50 1 51 .
n
2018
Trong khai triển nhị thức a b thì số các số hạng là n 1 nên trong khai triển 2 x 3
có
2019 số hạng.
Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 3.
ĐT:0946798489
Ta có:
5
5
1
2
x y x y C50 x5 C51 x 4 y C52 x 3 y
5
Hay x y x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
Câu 5.
3
4
C53 x 2 y C54 x1 y C55 y
5
Chọn C
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a b)n có n 1 số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 x)2019 có 2020 số hạng.
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Câu 6.
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Câu 7.
0
1
2
3
2018
Xét khai triển (1 2x)2018 C2018
2 x.C2018
(2 x) 2 .C2018
(2 x)3 .C2018
... (2 x) 2018 .C2018
0
1
2
3
2018
Tổng các hệ số trong khai triển là: S C2018
2.C2018
(2) 2 .C2018
(2)3 .C2018
... (2) 2018 .C2018
0
1
2
Cho x 1 ta có: (1 2.1) 2018 C2018
2.1.C2018
(2.1)2 .C2018
(2.1)3 .C32018 ... (2.1) 2018 .C2018
2018
1
2018
S S 1
124
Câu 8.
k
124 k
2
k
Ta có ( 5 4 7)124 C124
. 1 .5
k
.7 4
k 0
124 k
2
k 0; 4;8;12;...;124 .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với
k
4
Vậy số các giá trị k là:
Câu 9.
124 0
1 32 .
4
Chọn A
2018
P( x) ( 3 2 x 3) 2018
k 0
3
2x
2018 k
2018
3k 2
2018 k
3
.3k x 2018k
k 0
Để hệ số nguyên dương thì 2018 k 3 2018 k 3t k 2018 3t ,do 0 k 2018 nên ta
có 0 2018 3t 2018 0 t
Câu 10.
2018
672, 6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị
3
Chọn A
Ta có 1 2 x
20
20
k
2
0
1
2
4C202 .
C20k 2 x k , k Z a0 C20 , a1 2.C20 , a2 2 C20
k 0
0
1
2
Vậy a0 a1 a2 C20
2C20
4C20
801.
Câu 11.
Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có
3
3 5 5
2019
ĐT:0946798489
2019
k
C2019
.
k 0
3
3
2019 k
.
k
2019
5 C
5
k
2019
.3
2019 k
3
k
5
.5 .
k 0
k
k
0 k 2019
0 k 2019
2019 k
k
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì
673
3
3
k
k
5
5
k
0 k 2019 .
k 15
Ta có k 15 k 15m mà 0 k 2019 0 15 m 2019 0 m 134, 6 . Suy ra có 135 số
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 12.
Chọn D
2019 k
k
2019 4
2019 2
k
k
151 13
13 51
k
15 15
y 3 15
Ta có số hạng thứ k 1 là : C x y
x y C2019 x
2019 4
2019 2
Theo đề bài ta có;
k
k k 1346
15
15
3
15
Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 .
k
2019
A. 20.
Câu15.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang
20
(2 x 1) a0 a1 x a2 x 2 .... a20 x 20 . Tìm a1
B. 40.
C. -40. D. -760. Chọn C
Ta có: a1 là hệ số của x
lần
1-
18-19)
Cho
khai
triển
19
Hạng tử chứa x trong khai triển là: C20
2 x a1 40
Câu 13.
1 2x
20
a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 1 .
Thay x 1 vào 1 ta có:
20
a0 a1 a2 a20 1 1 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
Chọn C
12
2
Số hạng tổng quát của khai triển x
(với x 0 ) là
x x
k
3k
5k
12
2
k
k
k
12 k
k
2
2
Tk 1 C .x .
.
2 .C12 .x .x 2 .C12 .x
x x
5k
Số hạng trên chứa x 7 suy ra 12
7 k 2.
2
2
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển trên là 2 .C122 264 .
k
12
12 k
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 15.
ĐT:0946798489
Chọn D
13
1
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức x .
x
k
1
Tk 1 C x C13k x13 2 k .
x
7
Tk 1 chứa x 13 2k 7 k 3 .
k 13 k
13
13
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x bằng: C133 286 .
x
Câu 16. Chọn C
7
40
40
40
1
k 40 k 2 k
k 40 3 k
x 2 C40 x .x C40 x
x
k 0
k 0
Theo giả thiết: 40 3k 31 k 3 .
3
Vậy hệ số của x31 là C40
9880 .
Câu 17. Chọn D
4
4k
k
4
1 3
1 3
Ta có x C4k . .
4 4 k 0
4 4
1
3
27 2 27 3 81 4
x
x
x
x
256 64
128
64
256
27
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là
.
64
Câu 18.
Chọn D
Ta có: Tk 1 Cnk .2k x k . .
Hệ số của x 2 trong khai triển bằng 180
Cn2 .22 180
Câu 19.
n 10
n!
.22 180 n n 1 90 n2 n 90 0
n 2 .2
n 9 l
Chọn D
Số hạng tổng quát là: Tk 1 C10k .x k .
Số hạng chứa x 7 trong khai triển 1 x là: T8 C108 .x 7 nên hệ số là 45.
Câu 20. Chọn D
10
7 k
7
7
7
k 2
2
Ta có: x 2 C7k x 2 C7k .27 k .x 3k 7 .
x
x
k 0
k 0
Cần tìm k sao cho 3k 7 5 , suy ra k 4.
7
2
Vậy hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển x 2 là h C74 .23 280.
x
Câu 21. Chọn A
5
15
k
15
15
2
2 15 k 15 k
k
k 15 3 k
k 15 k
2 k
k
x 2 C15 x 2 C15 x 2 x C15 2 x
x
x k 0
k 0
k 0
k 15 3 k
k
Số hạng tổng quát của khái triển Tk 1 C15 2 x
Số của số hạng chứa x 6 : 15 3k 6 k 3 . Hệ số của số hạng chứa x6
k
3
C15k 2 C153 2 3640
Câu 22. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là C . x
k
15
3 15 k
k
k
15
. xy C .x
45 2 k
k
.y ,
với 0 k 15 , k . Số hạng này chứa x 25 y10 khi và chỉ khi k 10 (thỏa mãn).
15
10
3003.
Vậy hệ số của x 25 y10 trong khai triển x 3 xy là C15
Câu 23.
Chọn D
6
k
3k
6
k
3k
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 24. Chọn D
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 25. Chọn D
n
k
Số hạng thứ k 1 trong khai triển của 1 3 x là: Tk 1 Cnk 3 x k .
Số hạng chứa x 2 ứng với k 2 .
2
Ta có: Cn2 3 90 Cn2 10 (với n 2 ; n )
n 5
n!
10 n n 1 20
. Vậy n 5 .
2! n 2 !
n 4 L
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26. Chọn B
15
15
Ta có 2 x C15k .215k. x
k
k 0
12
12 1512
.2 . x 3640 x12 .
Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với k 12 . C15
Câu 27.
Chọn A
k
k
1
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: Tk 1 C x C9k x9 2 .
2x
2
3
Số hạng chứa x có giá trị k thỏa mãn: 9 2k 3 k 3 .
1
Vậy số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C93 x 3 .
8
Câu 28. Chọn B
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
k
9
9 k
k
k
k
1
Tk 1 C x . C13k x13k 1 x k C13k . 1 x132 k
x
Số hạng chứa x7 khi và chỉ khi 13 2k 7 k 3 .
Vậy số hạng chứa x 7 trong khai triển là C133 x 7 .
Câu 29. Chọn D
k 13 k
13
40
40
40
k
1
Ta có khai triển: x 2 C40k x 40 k x 2 C40k x 40 3k
x
k 0
k 0
Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
40
Số hạng tổng quát trong khai triển: C x
40 3 k
Số hạng chứa x 31 ứng với: 40 3k 31 k 3
3 31
Vậy số hạng chứa x 31 là: C40
x
Câu 30. Chọn B
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển x
x
40
là:
k
k
40
ak 1 C x
40 k
1
. C40k x 40 k x k C40k x 40 2 k .
x
Số hạng chứa x
1
trong khai triển x
x
34
Vậy số hạng chứa x
Câu 31.
34
40
tương ứng với: 40 2k 34 k 3 .
1
trong khai triển x
x
40
3 34
là: C40
x .
Chọn D
n
n
n
k
Ta có: 1 4 x Cnk 4 x Cnk 4k x k .
k 0
2
k 0
2 2
n
Hệ số của số hạng chứa x là: C 4 .
Giả thiết suy ra Cn2 4 2 3040 Cn2 190
Câu 32.
n 20 t/m
n n 1
.
190 n 2 n 380 0
2
n 19 loai
k
k
Số hạng tổng quát thứ k 1 là Tk 1 Cnk 3x Cnk 3 x k .
Vì hệ số của x 2 nên cho k 2 .
2
Khi đó ta có Cn2 3 90 Cn2 10
n 5 n
n n 1
.
10
2
n 4 l
Vậy n 5 .
n
2
n
Câu 33. Ta có 1 2 x Cn0 Cn1 .2 x Cn2 . 2 x ... Cnn 2 x .
Hệ số của x 2 bằng 180 4.Cn2 180 4
n!
180 n n 1 90
2! n 2 !
n 9 l
.
n 2 n 90 0
n 10
Vậy n 10 .
k
5
5
5
5 k 2
2
k
k
Câu 34. Ta có 3x3 2 1 .C5k . 3x3 . 2 1 .C5k .35 k .2k x155k .
x k 0
x k 0
10
Số hạng chứa x ứng với 15 5k 10 k 1 .
1
Hệ số của số hạng chứa x10 là 1 C51.34.21 810 .
40
Câu 35.
k
40
40
1
1
Ta có: x 2 C40k .x 40 k . 2 C40k .x 403k .
x
x k 0
k 0
Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk 1 C40k .x 403k .
Số hạng chứa x31 trong khai triển tương ứng với 40 3k 31 k 3 .
Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
3
40
Vậy hệ số cần tìm là: C C
37
40
k
n
(theo tính chất của tổ hợp: C C
Ta
có:
6
k
6
k
C .2 x
).
k
6
6
Câu 36.
nk
n
1
1
1
6
6
2
6k
6k
k
k
k
2
2
2
x
x 2 x C6 x 2 x C6 .2 x 2 x
x
k
0
k
0
k
3
6 k
2
k 0
3
6 k
2
3
x3 6 k 3 k 2
2
3
2 2
Hệ số của x x 0 là: C6 .2 60 .
Theo đề bài, x
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37. Chọn C
n
Ta có: Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 ... 2 n.Cnn 59049 2 1 59049 3n 310 n 10 .
10
3
Ta được nhị thức x 2 .
x
Số hạng thứ ba của khai triển là T3 C . x
2
10
Theo giả thiết ta có: 405 x14
Câu 38.
2 8
2
3
. 405 x14 .
x
81
n 405 x14 405 x14 1 x 1 .
2
Chọn C
Ta có: An3 72n
n!
72n n n 1 n 2 72n n 10 .
n 3 !
Xét khai triển:
10
k
10
10
10
2 1
k
2 10 k 1
k
10 k 20 2 k
.x 3k C10k .210 k x 20 5 k .
2 x 3 C10 2 x 3 C10 .2 x
x
x k 0
k 0
k 0
5
Số hạng chứa x trong khai triển tương đương với: 20 5k 5 k 3 .
Suy ra số hạng chứa x 5 trong khai triển là: 27 C103 x5 .
Câu 39. Chọn A
Tìm n.
k
Trước hết ta chứng minh công thức Cnk Cnk11 với 1 k n và n 2.
n
k k k
n!
( n 1)!
Thật vậy, Cn .
Cnk11. (đpcm)
n
n k !( n k )! ( k 1)!( n k )!
Áp dụng công thức trên ta có
2
3
n
1
1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn n .Cn1 .Cn2 .Cn3 ... .Cnn
n
n
n
n
0
1
2
n 1
n 1
n Cn 1 C n 1 C n 1 ... C n 1 n 2
Theo đề 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn 256n n 2 n 1 256n 2 n 1 256 n 9.
Chọn A.
Câu 40. Chọn C
n
Xét khai triển 1 3 x a0 a1 x1 ... an x n .
Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Cho x
1
ta được
3
12
ĐT:0946798489
n
an
1
a1
n
1 3. a0 1 ... n 2 4096 n 12.
3
3
3
12
Khi đó 1 3 x C12k .3k .x k .
k 0
Ta có hệ số ak 3k C12k 3k .
12!
k !. 12 k !
12!
12!
k
k 1
3
.
3
.
k !. 12 k !
k 1!. 12 k 1!
ak ak 1
Hệ số ak lớn nhất nên
12!
12!
ak ak 1
3k .
3k 1.
k !. 12 k !
k 1!. 12 k 1!
1
39
3
k
k 13 k
39 3k k
4
k 1 36 3k
1 3
k 35
12 k k 1
4
Vì k nên nhận k 9.
Vậy hệ số lớn nhất a9 39.C129 4330260.
Câu 41. Chọn B
Đk: n 2, n .
3Cn21 nP2 4 An2
3
n 1! 2!n 4 n!
n 1!2!
n 2!
3
n n 1 2n 4n n 1
2
n 0 L
5
15
n2 n 0
2
2
n 3
10
1
Với n 3 , nhị thức trở thành x3 .
x
10 k
k
1
Số hạng tổng quát là C10k . . x3 C10k .x 4 k 10
x
Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k 10 6 k 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa x6 là C104 210.
Câu 42. Chọn A
2
14
1
Xét phương trình 2 3 1
Cn 3Cn n
Điều kiện: n 3, n
1
2. n 2 !.2! 14 n 3!.3! 1
4
28
1
n!
3.n !
n
n n 1 n n 1 n 2 n
n 9
4
28
1 4 n 2 28 n 1 n 2 n2 7n 18 0
n 1 n 1 n 2
n 2 l
Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
9
9
3
Với n 9 ta có: 2 x 2 C9k . 2 x 2
x k 0
9k
k
9
k
3
. C9k .29k . 3 .x183k
x k 0
k
Số hạng tổng quát của khai triển là C9k .29 k . 3 .x183k
4
Cho 18 3k 6 k 4 hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển là C94 .25. 3 326592 .
Câu 43. Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra C20n 1 C21n 1 C22n1 ... C2nn 1 220 .
Mặt khác: C2kn 1 C22nn11k , k , 0 k 2n 1 nên ta có:
1
1
2 n 1
C20n 1 C21n 1 C22n1 ... C2nn1 C20n 1 C21n 1 C22n 1 ... C22nn11 1 1
22 n .
2
2
Suy ra: 22 n 2 20 n 10 .
10 k
10
1
1
Số hạng tổng quát trong khai triển 4 x 7 là: Tk 1 C10k 4
x
x
k
Hệ số của x 26 là C10 với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6 .
7 k
x
C10k x11k 40 .
Vậy hệ số của x 26 là C106 210 .
Câu 44. Điều kiện n 6 và n .
n 4 ! n n! 454 n 5 n 4 2
Cnn46 nAn2 454
n n 1 454
2
n 6 !2! n 2 !
2n3 n 2 9n 888 0 n 8 (Vì n ).
8
2
Khi đó ta có khai triển: x3 .
x
8 k
k
k
2
Số hạng tổng quát của khai triển là C x 3 C8k 1 28 k x 4 k 8 .
x
4
Hệ số của số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k 8 4 k 3 .
3
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C83 1 25 1792 .
k
8
Câu 45.
Cn1 Cn3 13n n
n n 1 n 2
n!
13n n
13n 6 n2 3n 2 78 .
3! n 3 !
6
n 7
n 2 3n 70 0
. Vì n là số nguyên dương nên n 10 .
n 10
10
1
Ta có khai triển: x 2 3 .
x
k
1
. 3 C10k x 205k .
x
5
Số hạng chứa x ứng với 20 5k 5 k 3 . Vậy hệ số của số hạng chứa C103 120 .
n!
n!
n!
4n 6
Câu 46. An2 Cn2 Cn1 4n 6
n 2 ! n 2 !.2! n 1!.1!
Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1 C10k x
n n 1
210 k
n 1 l
n n 1
.
n 4n 6 n 2 11n 12 0
2
n 12 n
Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
12
3
Khi đó P x x 2 .
x
Công thức số hạng tổng quát: Tk 1 C . x
k
12
2 12 k
k
3
. C12k .3k .x 243k .
x
Số hạng chứa x 9 24 3k 9 k 5 .
Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C125 .35 192456 .
Câu 47.
Ta có: Cnn 1 Cnn 2 78
n!
n!
n 1 n 78
78 n
2
n 1!.1! n 2 !.2!
n 12
n 2 n 156 0
n 12 (vì n là số nguyên dương).
n 13
k
12
12 k 2
2
k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển x 3 là: 1 C12k x 3 1 C12k .2k .x 36 4 k .
x
x
Cho 36 4k 8 k 7 .
12
2
Vậy số hạng chứa x trong khai triển x 3 là C127 .27.x8 101376x 8 .
x
*
Câu 48. Điều kiện: n 2 , n .
n 1 ! 3 n ! 52 n 1
Ta có 3Cn31 3 An2 52 n 1 3.
3! n 2 !
n 2!
8
n 1 n n 1 3 n
2
n 1 52 n 1 n 2 n 6 n 104
n 13
n 2 5 n 104 0
n 13 .
n 8
x
3
13
2 y2
13
3 13 k
2 k
C x 2 y
k
13
0
13
C13k 2 k x 39 3 k y 2 k .
0
Ta có: 39 3k 2 k 34 k 5 . Vậy hệ số C135 2 5 41184 .
Câu 49. Điều kiện n , n 2 .
n n 1
n 1
Có 5Cn1 Cn2 5 5n
5 n2 11n 10 0
2
n 10
Do n 2 n 10 .
10
k
10
10
1
10 k 1
Xét khai triển: 2 x 2 C10k 2 x . 2 C10k 210 k x103k
x
x k 0
k 0
4
Hệ số a của x trong khai triển tương ứng với 10 3k 4 k 2 .
Vậy hệ số cần tìm là a C102 .28 11520 .
Câu 50. Điều kiện n 3, n .
Ta có 3 Ann 2 Cn3 40 3
Vì
3
n!
n!
1
40 n !
40 .
2! 3! n 3 !
2 6 n 3 !
3
1
1 nên n ! 40 . Lần lượt thử các giá trị n 3, 4 ta có n 4 thỏa mãn.
2 6 n 3 !
Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
8
1
1
8 k
k
Với n 4 , số hạng tổng quát trong khai triển 2x là C8k 2 x C8k 28 k 1 x8 2 k .
x
x
1
Số hạng chứa x 6 tương ứng với 8 2k 6 k 1 . Do đó hệ số cần tìm là C81 281 1 1024 .
Câu 51.
Giải phương trình: An2 3Cn1 120 , Đk: n 2, n .
n 10
An2 3Cn1 120 n n 1 3n 120
n 12 l
n
10
3
k
Có x 4 C10k 3 x 40 5 k .
x k 0
Số hạng không chứa x khi 40 5k 0 k 8 .
8
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C108 . 3 295245 .
Câu 52.
điều kiện n N , n 3.
n!
n!
Cn3 An2 50
50
3! n 3 ! n 2 !
n n 1 n 2 6n n 1 300 0
n3 3n 2 4n 300 0 n 6 .
12
3 x
Ta có nhị thức .
x 2
12 k
k
k
12 k
3
x C .3
Số hạng tổng quát C12k . 12 k .x 2 k 12
2
x
2
Cho 2k 12 8 k 10.
C 10 .32 297
Hệ số cần tìm là 1210
.
2
512
n
Câu 53. Xét khai triển 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cn3 x3 ... Cnn x n 1
Đạo hàm hai vế của 1 ta được: n 1 x
n 1
Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x 2 ... nCnn x n1 2
Trong công thức 2 ta cho x 1 ta được:
n2n1 Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... nCnn n.2 n 1 256n 2n1 256 n 9 .
n
9
9
3
3
k
Khi đó, 2 x 2 2x 2 C9k 3 29 k .x183k .
x
x n0
9
3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 nếu 18 3k 0 hay k 6 .
x
6
Suy ra số hạng cần tìm là C96 3 23 489888 .
Câu 54.
n
n
k
Ta có 1 2 x Cnk 2 x . Vậy a0 1 ; a1 2Cn1 ; a2 4Cn2 .
k 0
Theo bài ra a0 a1 a2 71 nên ta có:
n!
n!
1 2Cn1 4Cn2 71 1 2
4
71 1 2n 2n n 1 71
1! n 1 !
2! n 2 !
2 n 2 4 n 70 0 n 2 2 n 35 0 n 7 (thỏa mãn) hoặc n 5 (loại).
5
Từ đó ta có a5 C75 2 672 .
Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 55.
ĐT:0946798489
Ta có
n!
n!
10 , n , n 3
n 2 ! 3! n 3!
An2 Cn3 10
n 2
1
1 3 3 2 4
n n 1 n n 1 n 2 10 n n n 10 0 n 6 .
6
2
3
6
n 5
So điều kiện nhận n 6 hay n 5 .
6
k
5
k
6
6
2
k
2 6 k 2
Khi n 6 , ta có x 2 3 C6k x 3 C6k 2 x12 5 k .
x
x
k 0
k 0
7
Để có x 5 thì 12 5k 5 k (loại).
5
5
5
2
k
2 5 k 2
Khi n 5 , ta có x 2 3 C5k x 3 C5k 2 x10 5 k .
x
x
k 0
k 0
5
Để có x thì 10 5k 5 k 1 .
Vậy a5 C51 2 10 .
Câu 56.
Ta có: An3 2 An2 100
n!
n!
2
100 n n 1 n 2 2n n 1 100
n 3 ! n 2 !
n3 n 2 100 0 n 5 .
2n
10
10
k
Ta có: 1 3x 1 3x C10k 3 x .
k 0
Hệ số x 5 sẽ là C105 35 61236 .
Câu 57.
n
n
Ta có 3 1 3n Cn0 3n1 Cn1 3n 2 Cn2 ..... 1 Cnn
2 n 2048 2 n 211 n 11 .
11
11
Xét khai triển x 2 C11k x11 k .2k
k 0
Tìm hệ số của x tìm k k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1 .
10
11
Vậy hệ số của x10 trong khai triển x 2 là C111 .2 22 .
n
k
n
n
nk 1
1
Câu 58. Ta có 3 x 2 Cnk 3 x 2 Cnk 3n k x 2 n 3 k .
x
x
k 0
k 0
2n 3k 3
n k 4
k 5
3
4
5
Biết hệ số của x là 3 C n nên
.
n 9
k 5
0 k n, k , n N
Vậy n 9 .
Câu 59. Điều kiện: n
Ta có
Cnn41 Cnn3 7 n 3
n 4 ! n 3 ! 7 n 3
n 1!3! n!3!
Nguyễn Bảo Vương: />
25
