các định lý hình học

Phát triển tư duy Hình học 7

Chuyên đề 5. ĐỊNH LÝ
A. Kiến thức cần nhớ
1.Định lý :
• Định lý là 1 khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.
• Mỗi định lý đều phải có 2 phần:
+ Phần đã cho gọi là giả thiết của định lý
+ Phần phải suy ra gọi là kết luận của định lý
Khi định lý được phát biểu dưới dạng “Nếu A thì B” thì A là giả thiết còn B là kết luận .
2. Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kếtluận .
3. Hệ quả là 1 định lý được suy ra trực tiếp từ 1 định lý hoặc từ 1tích chất được thừa nhận.
4. Xét định lý “Nếu A thì B” có mệnh đề đảo là “Nếu B thì A”. Nếu mệnh đề đảo này đúng thì mệnh đề đảo
được gọi là định lý đảo của định lý đã cho và định lý đã cho được gọi là định lý thuận
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Định lý “hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lý đảo không ?
Giải
Định lý : “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có
mệnh đề đảo là “ Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” là mệnh đề sai .
Ví dụ , Xét góc AOB , tia phân giác OM .(h5.1)
Rõ ràng góc AOM và BOM bằng nhau nhưng
không đối đỉnh vì mỗi cạnh của góc này không
Hình 5.1
lá tia đối của mỗi cạnh góc kia .
Vậy định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lý đảo .
Nhận xét : Một ví dụ chứng tỏ 1 mệnh đề nào đó là sai gọi là 1 phản ví dụ. Như vậy ta đã dùng
phương pháp một phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh”.
Ví dụ 2: Chứng minh định lý : “ Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau nếu hai
góc cùng nhọn hoặc cùng tù”
Giải (h5.2)
*Tìm cách giải :

Để chứng minh
ta chứng minh chúng cùng
bằng 1 góc thứ 3. Dựa vào giả thiết có các cặp
đường thẳng song song, ta nghĩ đến việc vận
dụng tích chất của hai đường thẳng song song
Hình 5.2

để tìm ra các cặp góc bằng nhau .
*Trình bày lời giải:
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng

và O’y’

Vì Oy//O’y’nên

(cặp góc đồng vị )

Vì Ox//O’x’nên

(cặp góc đồng vị )

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Do đó :

( cùng bằng

)

Nhận xét : Người ta cũng chứng minh được rằng:
Nếu hai góc có các cạnh tương ứng song song thì:
- Chúng bù nhau nếu góc này nhọn , góc kia tù.
- Góc này vuông thì góc kia vuông .

Ví dụ 3:Chứng minh định lý : “Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu
hai góc cùng nhọ hoặc cùng tù”
Giải (h5.3)

Hình 5.3

Hình 5.4

*Tìm cách giải :
Để chứng minh
ta chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ 3. Để tạo ra góc thứ 3
này ta vẽ O’m//Ox và O’n//Oy, hai tia này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ O’x’(h5.4)
Khi đó theo định lý : “ Nếu hai góc có các cạnh tương ứng song song thì chúng bằng nhau nếu hai
góc cùng nhọn hoặc cùng tù” ta được
Ta chỉ còn phải chứng minh
*Trình bày lời giải :
• Trường hợp hai góc đều nhọn
Vẽ O’m//Ox và O’n//Oy. Vì O’x’vuông góc với Ox nên O’x’ vuông góc với O’m do đó
(1)
Vì O’y’ vuông góc với Oy nên O’y’ vuông góc với O’n do đó :
Từ (1) và (2) suy ra

Mặt khác

(2)

(3)
.(4)

Từ (3) và (4) suy ra
• Trường hợp hai góc đều nhọn (cmtt)

Nhận xét : Người ta cũng chứng minh được rằng:
Nếu hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc thì :
- Chúng bù nhau nếu góc này nhọn, góc kia tù.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7
- Góc kia vuông thì góc này vuông

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

C.Bài tập vận dụng
5.1: Cho góc bẹt AOB .Trên cùng một nửa mặt phẳng vẽ các tia OC và OD sao cho

.Vẽ tia OM trong góc COD. Chứng minh rằng OM vuông góc với AB khi
và chỉ khi OM là tia phân giác của COD.
5.2: Cho định lý: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì chúng
song song với nhau”. Hãy phát biểu định lý đảo và chứng minh .
5.3: Cho định lý : “ Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau”.Hãy viết giả thiết ,
kết luận của định lý đảo của định lý này và chứng minh .
5.4: Bác bỏ các mệnh đề sau bằng cách đưa ra phản ví dụ :
a) Tổng số đo của hai góc nhọn bằng số đo của một góc tù .
b) tổng số đo của một góc nhọn và một góc tù là một góc bẹt .
5.5: Điền vào chỗ trống:
a) Cho
b) Cho

. Suy ra ........( vì ........)

và
và

. Suy ra

( vì .......)

5.6: Điền vào chỗ trống :
a) Cho AB=CD. Suy ra 3AB....3CD ( vì ..........)
b) Cho AB=CD và MN=PQ. Suy ra AB+MN.....CD+PQ ( vì..........)
5.7: Chứng minh định lý : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le
trong bằng nhau”.
5.8: Cho góc A và B là hai góc có cạnh tương ứng song song.Tính số đo của các góc A và B biết
a)
b)

5.9: Cho hai góc có cạnh tương ứng song song cùng nhọn hoặc cùng tù . Biết hai tia phân giác của
chúng không cùng nằm trên một đường thẳng . Chứng minh hai tia phân giác này song song
với nhau .

Hình 5.5
5.10: Cho điểm M và hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O nằm ngoài phạm vi tờ giấy (h.5.5).
Hãy nêu cách vẽ một đường thẳng qua M và vuông góc với tia phân giác của góc AOC.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

5.11: Cho 10 đường thẳng mà không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng tồn tại
hai đường thẳng tạo với nhau một góc nhỏ hơn hoặc bằng 18o

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5