ĐA CD21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 230 239

Phát triển tư duy Hình học 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 21. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG

CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY).
21.1. (h.21.8)
Gọi

là giao điểm của

điểm

và

ta phải chứng minh

đi qua

, tức là phải chứng minh ba

thẳng hàng.

Ta có:
và

.

Ta có

(kề bù)

là góc bẹt.

Do đó ba điểm

thẳng hàng, dẫn tới

ba đường thẳng
21.2. (h.21.9)

và

Gọi

đồng quy.

là giao điểm của hai đương thẳng
và

.

Ta phải chứng minh
Xét

vuông tại

đi qua

.

,

Ta có:
Do đó:

.
.

Điểm C nằm trên đường trung trực của MD và ME nên CD = CM = CE.
Ta có
Xét tam giác CDE cân tại C có

Vậy tam giác CDE là tam giác đều
Vậy
, hai tia ED và EO trùng
điểm D, O, E thẳng hàng. Do đó ba đường thẳng BM, AC, và DE

nhau dẫn tới ba
đồng quy.

21.3
Gọi O là giao điểm của các tia Bx và Cy.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Ta phải chứng minh đường thẳng AM đi qua O. Vẽ
Tam giác BOC là tam giác đều nên

Ta có tổng

Từ (1) và (2) ta tính được
Mặt khác
Nên

(cùng bù với

Ta có

)

(cạnh huyền – góc nhọn)

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó
Suy ra ba điểm A, M, O thẳng hàng,
dẫn tới ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy.
21.4
Gọi O là giao điểm của hai tia Ax và By.
Xét

có

nên OA = OB,

suy ra điểm O nằm trên đường trung trực d của AB.
Vậy các đường thẳng Ax, By và d đồng quy.
21.5

Gọi M là trung điểm của OA.
Xét tam giác AOB có F là trọng tâm nên đường thẳng
BF đi qua trung điểm M của AO.
Xét tam giác AOC có G là trọng tâm nên đường thẳng
CG đi qua trung điểm M của AO.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

Do đó ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy tại trung điểm M của AO.
21.6
Hai đường thẳng AB và CD không song song nên chúng cắt nhau tạo thành một góc. Hai điểm M và
N nằm trong góc đó, cùng cách đều hai đường thẳng này nên chúng nằm trên tia phân giác của góc
này. Suy ra ba đường thẳng AB, CD, và MN đồng quy tại đỉnh của góc.
21.7
Xét tam giác ABC có hai đường phân giác AD, CE cắt nhau tại O nên BO là phân giác của góc ABC.
Đường thẳng xy đi qua B và vuông góc với BO nên xy là đường phân giác ngoài tại đỉnh B của góc
ABD.
Gọi Ax là tia đối của tia AD.
Vì

nên dễ thấy

Xét tam giác ADC có AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, CE là phân giác trong tại đỉnh C nên
DE là phân giác ngoài tại đỉnh D.
Xét tam giác ABD có đường thẳng AC là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, đường thẳng xy là đường

phân giác ngoài tại đỉnh B, đường thẳng DE là đường phân giác trong tại đỉnh D. Do đó ba đường
thẳng xy, DE, và AC đồng quy.
21. 8
Điểm F nằm trên đường trung trực của DM nên FD = FM
Suy ra tam giác FDM cân tại F do đó FB là đường phân giác ngoài tại tại đỉnh của của tam giác DEF.
Chứng minh tương tự ta được EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh của tam giác DEF.
Xét tam giác DEF có hai đường phân giác ngoài cắt nhau tại A nên DA là đường phân giác của EDF
(1)
Mặt khác
góc D

nên DB là đường phân giác ngoài của

Điểm B là giao điểm của hai đường phân giác ngoài tại đỉnh F và D của tam giác DEF nên EB là
đường phân giác của góc DEF (2)
Chứng minh tương tự ta được FC là đường phân giác của góc DEF (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AD, BE, CF đồng quy.
•

Lưu ý: Nếu bỏ điều kiện nhọn của tam giác ABC thì bài toán vẫn đúng.

21.9 Xét tạm giác ABC vuông tại A,

nên

( cùng phụ với góc ABC)

Gọi M là giao điểm của AO và CK, N là giao điểm của AK và BO.
Vì K là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ACH nên
Xét tam giác AMC có

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

Chứng minh tương tự ta được
Xét tam giác AOK có AD, BO và Cklaf ba đường cao nên đồng quy.
21.10
Trên tia đối của tia AD lấy điểm K sao cho AK = BC
Xét tam giác ADC có góc KAC là góc ngoài nên
Mặt khác
Ta có
Vì
Gọi G là giao điểm của BE và CK
Xét tam giác GCE có
Chứng minh tương tự, ta có
Xét tam giác KBC có AD, BE, CF là ba đường cao nên chúng đồng quy.
21.11
Tam giác EAB vuông tại E,

nên là tam giác vuông cân.

Suy ra EA = EB, Tương tự ta có FA = FC
Từ F vẽ một đường thẳng vuông góc với CE cắt d tại G
Gọi K là giao điểm cả đường thẳng EG với BF
Ta có

( Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Ta có
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

Xét tam giác EFG có CE, BF và

là ba đường cao do đó ba đường thẳng này đồng quy.

21.12
Tam giác ABC vuông tại A,
Ta có

nên

(cùng phụ với góc ABC)

(cùng phụ với góc ACB)

Xét tam giác AFC có góc AFB là góc ngoài nên
Suy ra tam giác BAF cân tại B do đó đường phân giác của góc B đồng thời là đường trung trực của
AF
Chứng minh tương tự ta được tam giác CAE cân tại C do đó đường phân giác của góc C cũng là
đường trung trực của AE
Ta có d//AH mà AH vuông góc với EF nên d vuông góc với EF.
Xét tam giác AEF có các đường phân giác của góc B, góc C cùng với đường thẳng d là ba đường

trung trực nên chúng đồng quy.
21.13
Ta có
cân

(1)

vuông tại A
Mặt khác,
Do đó,

mà
cân

nên

(2)

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC. Vậy D là trung điểm của BC
Xét tam giác ABE vuông tại A có
là trung điểm của AC

Xét tam giác AFC vuông tại A có
Suy ra F là trung điểm của AB
Xét tam giác ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy.
21.14

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5

Phát triển tư duy Hình học 7

Tam giác ABH vuông tại H, có HM là đường trung tuyến nên

Suy ra

(vì HM = DM)

Do đó tam giác DAB vuông tại D.
Tam giác ABC có BD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân tại B

Xét

và

vuông tại H có

mà HD = HM nên AC = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC đều.
Trong tam giác đều ABC đường cao AH, đường trung tuyến CM cũng là đường phân giác. Suy ra
AH, BD, CM đồng quy.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 6