đề thi trắc nghiệm HÀM số liên tục chương trình lớp 11 có đáp án chi tiết

HÀM SỐ LIÊN TỤC (B1 )
1. Hàm số liên tục tại một điểm
f  x
y  f  x
Định nghĩa 1: Cho hàm số
xác định trên khoảng K và x0 �K . Hàm số
gọi là liên tục tại

x  x0

lim f  x   f  x0 

nếu

x � x0

.

Hàm số không liên tục tại x  x0 gọi là gián đoạn tại x0 .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
y  f  x
Định nghĩa 2: Hàm số
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó.
y  f  x
 a; b nếu nó liên tục trên  a; b  và
Hàm số
được gọi là liên tục trên

lim f  x   f  a 

x �a 

,

lim f  x   f  b 

x �b

.

3. Một số định lý cơ bản
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập �.

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác y  sin x, y  cos x ,
y  tan x, y  cot x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng.

y  g  x
x
và
là các hàm số liên tục tại điểm 0 . Khi đó
y  f  x   g  x  y  f  x   g  x  y  f  x  .g  x 
x
a) Các hàm số
,
,
liên tục tại 0 .
f  x
y
g  x0  �0
g  x
x

b) Hàm số
liên tục tại 0 nếu
.
2
�x  3 x  2
, x �1
�
f  x   � x 1
�
1
, x  1 . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  1 .
�
Cho hàm số

Định lý 2: Giả sử

VD 1.

y  f  x

Lời giải
Ta có:
+ TXĐ: D  �.
f  1  1
+
.

lim f  x   lim
x �1

x �1

 x  1  x  2   lim x  2  1  2  1
x 2  3x  2
 lim


x �1
x �1
x 1
x 1
.

� lim f  x   f  1  1
x �1

VD 2.

� hàm số liên tục tại điểm x  1 .

x2  1
x 2  5 x  6 . Xét tính liên tục của hàm số y  f  x  .
Cho hàm số
Lời giải
�x �3
x 2  5 x  6 �0 � �
�x �2 .
Hàm số có nghĩa khi
f  x 

x2  1
f  x  2
x  5 x  6 liên tục trên khoảng
Vậy theo định lí ta có hàm số

 2; � .

 �; 3 ;  3; 2 

và


VD 3.

�x 2
, x �1
� 3
�2 x
f  x  �
, 0 �x  1
1 x
�
�x sin x , x  0
y  f  x
�
Cho hàm số
. Xét tính liên tục của hàm số
.
Lời giải
TXĐ: D  �.

f  x   x2
 1; � .  1
Với x  1 ta có hàm số
liên tục trên khoảng
2 x3
f  x 
1  x liên tục trên khoảng  0;1 .  2 
Với 0  x  1 ta có hàm số
f  x   x sin x
 �;0  .  3
Với x  0 ta có
liên tục trên khoảng
2 x3
2
lim
f
x

lim
1
f  x   lim x  1 x �1   x �1
f  1  1 xlim
1 x
x �1
Với x  1 ta có
; �1
;
Suy ra

lim f  x   1  f  1

.
Vậy hàm số liên tục tại x  1 .
Với x  0 ta có:
x �1

f  0  0

;

lim f  x   lim

x �0

x �0

lim f  x   0  f  0 
x �0

2 x3
0
1 x
;

x 2 . lim
lim f  x   lim  x.sin x   xlim
�0
x �0

x �0

x �0

sin x
0
x

suy

.

 4
Vậy hàm số liên tục tại x  0 .
 1 ,  2  ,  3 và  4  suy ra hàm số liên tục trên �.
Từ

VD 4. Tìm m để hàm số

� x  1 1
khi
�
f  x  � x
�
2 x 2  3m  1 khi
�

x �0

liên tục trên �.

Lời giải

Tập xác định: D  �.

�Với x  0 ta có

x0

f  x 

x 1 1
 0;  � .
x
nên hàm số liên tục trên

2
�Với x  0 ta có f  x   2 x  3m  1 nên hàm số liên tục trên  �; 0  .
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0 .

Ta có:

f  0   3m  1

lim f  x   lim

x �0

x �0

và

x 1 1
 lim
x �0
x

Do đó hàm số liên tục tại

1
1

lim f x  lim 2 x 2  3m  1  3m  1
x  1  1 2 , x �0    x �0  
.

x  0 � 3m  1 

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  2 ?

1
1
1
m 
�m
6 hàm số liên tục trên �.
2
6 . Vậy

ra


A.
Câu 2.

y

3x  4
x2 .

Cho bốn hàm số

4
2
C. y  x  2 x  1 .

B. y  sin x .

f1  x   x 5  x  2, f 2  x  

D.

y

x
x 4 .
2

x 1
, f3  x   x
f  x  x  2
x 1
và 4
. Hỏi có bao nhiêu

hàm số liên tục tại điểm tại x  1 ?
A. 1 .
B. 4 .
Câu 3.

Câu 4.

C. 3 .
D. 2 .
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0  1 .
x 1
2x 1
x
2
y 2
y
y
y

x

1
x


2




x 1 .
x 1 .
x 1 .
A.
B.
. C.
D.
x 2 1
f ( x)  2
x  5 x  6 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng nào sau đây?
Cho hàm số
A.

Câu 5.

B.

1
.
x 1

y

Hàm số

y  f  x

 I  f  x

Câu 8.

x 1
.
x2

 3; � .

D. y  tan x.

D. 3 .

C. 2 .

B. Chỉ

 II  f  x 

liên tục tại x  1 .
 I  và  III  .
C. Chỉ

 II  .

1

lim
f
x



III
  x �1
2.
 II  và  III  .
D. Chỉ

f  x  2x 1

. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
1
x0  
f  x
f  x
2.
A. Hàm số
liên tục tại
B. Hàm số
liên tục tại x0  1 .
C. Hàm số

Câu 9.

y

D.

x 1
x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

gián đoạn tại x  1 .

Cho hàm số

 3; 2  .

có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

f  x 

 I .

C.

C.

B. 1 .

Cho hàm số

A. Chỉ

( - �; +�) ?

B. y  x .

2

A. 0 .

Câu 7.

 2;3 .

Hàm số nào sau đây liên tục trên
A.

Câu 6.

 �;3 .

f  x

gián đoạn tại

x0  1

.

D. Hàm số

f  x

gián đoạn tại

x0  

1
2.

�3 x  1
khi x �1
�
�
f  x   �x  1
�1
khi x  1
�
�3
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
f  x
f  x
A. Hàm số
liên tục tại x  1 .
B. Hàm số
liên tục tại mọi điểm.
f  x
C. Hàm số
gián đoạn tại x  1 .
D. Tất cả đều sai.


Câu 10. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x 1

x  1 liên tục với mọi x �1 .
 II  . f  x   sin x liên tục trên �.
x
f
x



 III  .
x liên tục tại x  1 .

 I  . f  x 

A. Chỉ

 I

đúng.

Câu 11. Cho hàm số
A. 3 .

f  x 

B. Chỉ

 I

và

 II  .

C. Chỉ

 I  và  III  .

D. Chỉ

 II 

và

 III  .

x 2  3x  4
f  x
f  4 
x4
với x �4 . Để hàm số
liên tục tại x  4 thì giá trị
là
B. 3 .
C. 5 .
D. 5 .

�x2  3x  2
khi x �1
�
f  x  � x  1
� a khi x  1

�
Câu 12. Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
 �;1 � 1; � và gián đoạn tại điểm x  1 .
A. Hàm số liên tục trên
 1: � .
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số gián đoạn tại điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục trên �.
�x 2  4 x  3
khi x �3
�
y  f  x  � x  3
�
m
khi x  3 . Để hàm số liên tục tại x  3 thì giá trị của m là
�
Câu 13. Cho hàm số
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 2 .
�x 2  x  2
khi x �1
�
f  x  � x 1
�
3m
khi x  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián
�

Câu 14. Cho hàm số
đoạn tại x  1.
A. m �2.
B. m �3.
C. m �2.
D. m �1.

�x 2  1 khi x �1
f  x  �
�x  m khi x  1

Câu 15. Hàm số
A. m  2 .

liên tục tại điểm x0  1 khi m nhận giá trị là
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  1 .

3 x  a  1 khi x �0
�
�
f  x  � 1 2x 1
khi x  0
�
� x
Câu 16. Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại
điểm x  0 .
A. a  1 .

B. a  3 .

C. a  2 .

D. a  4 .

�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
3 x  m khi x �1 liên tục tại điểm x  1 là
�
Câu 17. Giá trị của m sao cho hàm số
A. 5 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 5 .


�x 3  8
khi x �2
�
f  x   �x  2
�
mx  1 khi x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại
�
Câu 18. Cho hàm số
x  2.

A. 

m

17
2 .

B.

m

15
2 .

C.

m

13
2 .

D.

m

11
2.

� x 1
khi x  1

�
�x  1
f  x  �
1
�
ax  khi x �1
�
� 2
Câu 19. Giá trị của tham số a để hàm số
liên tục tại điểm x  1 là
A. 5 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 5 .

Câu 20. Cho hàm số
tục tại x  1 ?

�ax 2   a  2  x  2
khi x �1
�
f  x  �
x32
�
8  a2
khi x  1
�
B. 0 .

A. 2 .

Câu 21. Cho hàm số

Câu 22. Cho hàm số

B. 4 .

�x  1  3 x  1
khi x �0
�
f  x  �
x
�
2
khi x  0
�

A. Hàm số liên tục tại

x0  0

.
C. Hàm số gián đoạn tại x0  1 .

Câu 23. Cho hàmsố
1

A. 4 .

D. 1 .

. Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm
C. 5 .

D. 1 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 0
B. Hàm số gián đoạn tại 0
.
D. Tất cả đều sai.

� 3 x  1  3 2  6 x
khi x  1
�
y  f  x  �
x 1
�
m x
khi x �1
�

Câu 24. Tìm a để hàm số
A. 1 .

C. 3 .

�2 x 2  3 x  2
khi x �2
�

f  x  � x  2
�
m 2  mx  8 khi x  2
�

số liên tục tại x  2 .
A. 2 .

. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên

1
B. 4 .

. Để hàmsố liên tục tại x  1 thì giá trị của m là
5
C. 1 .
D. 4 .

� 4x 1 1
khi x �0
�
f  x   �ax 2   2a  1 x
�
3
khi x  0
�

1
B. 2 .

liên tục tại x  0 .

1
C. 4 .

D.



1
6.


Câu 25. Cho hàm số
tại x  0 .

� 2x  1 1
khi x �0
�
f  x  � x
�
2m  1
khi x  0
�

A. m  1 .

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục

B. m  3 .

C. m  0 .

D. m  2 .

3 x  a  1 khi x �0
�
�
f  x  � 1 2x 1
khi x  0
�
x
�
Câu 26. Cho hàm số
. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại
điểm x  0 .
A. a  1 .

B. a  3 .

Câu 27. Cho a �0 và n nguyên dương lẻ, hàm số
thức nào sau đây là đúng?
A. a  n  2 .
B. a  n  2 .

C. a  2 .

D. a  4 .

�n 1  ax  1

khi x �0
�
f  x  � x
�
2
khi x  0
�
C. a  2n  0 .

liên tục tại x  0 thì biểu

D. a  2n  0 .

�x  x  2
khi x  2
� 2
x

4
�
�
f  x   �x 2  ax  3b khi x  2
�2a  b  6 khi x  2
�
�
�
Câu 28. Cho hàm số
liên tục tại x  2. Tính I  a  b .
19
93

19
173
I
I 
I
I 
30 .
16 .
32 .
16 .
A.
B.
C.
D.
y = f ( x)

Câu 29. Cho hàm số bậc hai

y=
Hàm số

A.

 �; 2  .

(

1

f f ( x)

)

có đồ thị như hình vẽ sau.

liên tục trên khoảng nào sau đây?

 3; 1 .

 0; � .

 1;0 

B.
C.
D.
�x2 - 2x + a khi x �0
f ( x) = �
�
�
2x + 2b
khi x < 0 a, b ��, a > 1
�
�
Câu 30. Cho hàm số
,
. Biết hàm số liên tục trên � và đồ
thị của nó cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Giá trị của biểu thức
a - b bằng
A. 3.

B. 1.

C. 3.

D. 1.