BÀI TẬP MŨ LOGARIT LỚP 12

4 cấp độ TRẮC NGHIỆM MŨ,LÔGARIT
Câu 1:Cho a > 0, b > 0, b ≠ 1. Đồ thị các hàm số y = a x và y = log b x cho như hình
vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a > 1; 0 < b < 1.
B. 1 > a > 0; b > 1.
C. 0 < a < 1; 0 < b < 1.
D. a > 1; b > 1.
Đáp án A
Quan sát đồ thị ta thấy.
Hàm số y = a x đồng biến ⇒ a > 0
Hàm số y = log b x nghịch biến ⇒ 0 < b < 1

Câu 2 : Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
2
A. Khi x > 0 thì log 2 x = 2 log 2 x.

B. Khi 0 < a < 1 và b < c thì a b > a c .

C. Với a < b thì log a b < log b a < 1.

D. Điều kiện để x

2

có nghĩa là x > 0.

Đáp án C

1 < log a b
⇒ log b a < 1 < log a b
Đáp án C sai vì với a < b ⇒ 

log b a < 1
2
2
Câu 3 : Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 5 x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26. Tính S = x1 + x2 .

A. S = 10

C. y = ex + e − x .

B. S = 6.

D. y ' = 0

Đáp án A
PT ⇔ 5x −1 +

5
5x−2

5x = 125
 x = 3  x1 = 3
= 26 ⇔ 52 x − 130.5 x + 625 = 0 ⇔  x
⇔
⇒
⇒ S = 10
 x = 1  x2 = 1
5 = 5

(

)

2
Câu 4 Tổng các nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = 2log 2 x + x + 1 là:
2

B. −2.

A. 9.

C. 1.

D. 0.

Đáp án B
2

( x − 1) > 0
⇔ x ≠1
Điều kiện:  2
x
+
x
+
1
>
0



 x −1 = x2 + x + 1
x = 0
PT ⇔ ( x − 1) = ( x + x + 1) ⇔ 
⇔
2
 x − 1 = − x − x − 1  x = −2
2

Câu 5

2

2

2
Tập xác định của hàm số y = −2 x + 5 x − 2 + ln

1
là:
x −1
2


1 
C.  ; 2 ÷.
2 

B. ( 1; 2] .

A. ( 1; 2 ) .

D. [ 1; 2] .

Đáp án B
−2 x 2 + 5 x − 2 ≥ 0
1

 ≤ x≤2
⇔ 2
⇔1< x ≤ 2
Điều kiện để hàm số có nghĩa là  1
>0
 2
 x > 1, x < −1
 x −1
1 
Câu 6 : Cho a ∈  ;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
9 

9 log 31 3 a + log 21 a − log 1 a 3 + 1. Khi đó giá trị của A = 5m + 2M là:
3

3

3

A. 4.

B. 5.

C. 8.

D. 6.

Đáp án C
1 3
2
Rút gọn biểu thức P = − log 3 a + log 3 a + 3log 3 a + 1
3
1 
Đặt log 3 a = t , vì a ∈  ;3 ⇒ t ∈ [ −2;1]
9 

1 3 2
Ta được hàm số f ( t ) = − t + t + 3t + 1, t ∈ [ −2;1]
3
t = −1
f ' ( t ) = −t 2 + 2t + 3; f ' ( t ) = 0 ⇔ 
t = 3 ( L )
t
f ' ( t)

f ( t)

⇒M =

−2

−1

−

1

+

0

5
3

14
3
−

2
3

14
−2
;m=
⇒ A = 5m + 2 M = 6
3
3

x
Câu 7 Số giá trị nguyên của m để phương trình ( m − 1) 9 +

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Đáp án D
2
Đặt 3x = t > 0 ta có ( m − 1) t + 2 ( m − 3) t + m + 3 = 0

Nếu m = 1 ⇒ −4t + 4 = 0 ⇔ t = 1 thỏa mãn.
Nếu m ≠ 1 thì phương trình là phương trình bậc 2.
'
Ta có: ∆ = −8m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≤

TH1: Có 1 nghiệm dương:

3
2

c
m+3
<0⇔
< 0 ⇔ −3 < m < 1
a
m −1

2
( m − 3) 3x+1 + m + 3 = 0 có nghiệm là:
3
D. 4.

 b
m − 3
 − a > 0
 m − 1 < 0
3
⇔
⇔ 1 < m < 3 kết hợp với điều kiện của ∆ ' ta có: 1 ≤ m ≤
TH2: Có 2 nghiệm dương: 

2
c > 0
m + 3 > 0
 a
 m − 1
Kết hợp lại đáp án là −3 < m ≤

3
2

3
Câu 8 Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( x − 3x + 2 )

A. D = ( −2;1)

B. D = ( −2; +∞ )

C. D = ( 1; +∞ )

D. D = ( −2; +∞ ) \ { 1}

x ≠ 1
2
3
Hàm số đã cho xác định ⇔ x − 3x + 2 > 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 1) > 0 ⇔ 
 x > −2
Câu 9 Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2017 .
A. D = ( −∞; 0 ) .

B. D = ( 0; ∞ ) .

D. D = [ 0; +∞ ) .

C. D = ¡ .

Chọn C.
Hàm số y = x 2017 là hàm đa thức nên có tập xác định ( −∞; +∞ ) .
Câu 10 Giá trị của P = log

3
1
a

5

3

A. −
P = log

3
1
3
a

53
20

B. −

a 2 .4 a5
5

a

3

= log

−1
a3

a 2 .4 a5

79
20
a

a3

, ( a > 0, a ≠ 1) là

C. −

2 5 3
+ −
3 4 5

= log

−1
a3

62
15
a

79
60

D. −
= ( −3) .

34
15

79
−79
log a a =
60

20

Chọn đáp án B

)

(

2
2
Câu 11 Tổng các nghiệm phương trình log 2 1 + x − 5x + 5 + log 3 ( x − 5x + 7 ) = 2 là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 2

Đáp án B

(

)

log 2 1 + x 2 − 5x + 5 + log 3 ( x 2 − 5x + 7 ) = 2

(

)

⇔ log 2 1 + 1 + ( x − 1) ( x − 4 ) + log 3 ( 3 + ( x − 1) ( x − 4 ) ) = 2
 x1 = 1
⇒
⇒ x1 + x2 = 5
 x2 = 4

. Câu 12 Phương trình 2 x−3 = 32 có nghiệm là:
A. 2.

B. 4.

C. 8.

D. 16.


Cách 1: Ta có: 2 x −3 = 25 ⇔ x − 3 = 5 ⇔ x = 8.
CALC
Cách 2: Nhập 2 X −3 − 32 
→ X = các đáp án thấy X = 8 cho kết quả 0 nên x = 8 là nghiệm.

Câu 13 Hàm số nào sau đây có đạo hàm là y =
A. y = log 4 ( x − 3) .
Ta có: ( log 4 ( x − 3) ) =
'

1
?

( x − 3) ln 4
C. y =

B. y = 4 x −3.

1
( x − 3) .
ln 4

D. Đáp án khác.

1
( x − 3) ln 4

Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 1) > log 1 3 là:

Câu 14

2

A. ( 4; +∞ ) .

B. ( −∞;1) .

2

C. ( 1; 4 ) .

D. ( 1; +∞ ) .

x > 1
BPT ⇔ 
⇔1< x < 4
x −1 < 3
Câu 15 Đạo hàm của hàm số y =
A.

C.
y' =

3ln ( x + 2 )

( x − 1)

2

x+2
ln ( x + 2 ) là:
x −1

.

B.

1
ln ( x + 2 ) .
x −1
−3

( x − 1)

2

ln ( x + 2 ) +

D.

x − 1 − 3ln ( x + 2 )

( x − 1)

2

−3ln ( x + 2 )

( x − 1)

+

2

.

ln ( x + 2 )
.
x −1

−3ln ( x + 2 )
x+2 1
1

.
=
+
2
x −1 x + 2
x −1
( x − 1)

Có thể dùng CASIO nhập

d  X +2

CALC
ln ( X + 2 ) ÷ − A 
→X =2

dx  X − 1
 x =2

Với A là các đáp án, thấy kết quả nào tiến tới 0 hay sát 0 thì chọn.
Câu 16

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. 2 x.2 y = 2 xy.

B. x a , a ∈ ¡ xác định khi x > 0.

C. log 2 b > log 2 c ⇔ b > c > 0.

D.

log a b
= log c b.
log a c

A sai vì 2 x.2 y = 2 x + y.
Câu 17 Nếu a = log 3 5 và log 7 5 = ab thì log175 3 bằng:
2a
.
A.
ab + 2

b
.
B.
2ab + 1

1
D.
b .
3ab − 1
a+

ab
.
C.
ab − 2a + b

Đáp án B

Ta có

log175 3 =

1
1
1
=
=
log 3 175 2log 3 5 + log 3 7 2log 5 +
3

1
log 7 3

=

1
1
2a +
b

=

b
.
2ab + 1


Câu 18 : Cho hàm số y = ex + e − x . Nghiệm của phương trình y ' = 0 là:

A. 0.

C. − 1.

B. 1.

D. 2.

Đáp án C Ta có: y ' = 0 ⇔ e − e − x = 0 ⇔ x = −1.
Câu 19
A.

 x −1 
Đạo hàm của hàm số y = log 2 
÷ là:
 ln x 

x ln x + 1 − x
.
x ( x − 1) ln 2

x ln x + 1 − x
.
( x − 1) ln x ln 2

B.

C.

x ln x + 1 − x

.
( x − 1) ln 2

D.

x ln x + 1 − x
.
x ( x − 1) ln 2.ln x

'

 x −1 

÷
x ln x + 1 − x
Đáp án D Ta có: y ' =  ln x  =
.
x −1
x
x
−
1
ln
2.ln
x
(
)
ln 2
ln x
Câu 20 Giá trị x thỏa mãn 2 x− 2 = ln 2 thuộc:

 3
A.  0; ÷.
 2

3 
B.  ; 2 ÷.
2 

3 
C.  ;1÷.
4 

5 
D.  ; 2 ÷.
3 

Đáp án A
 3
x−2
Cách 1. 2 = ln 2 ⇔ x − 2 = log 2 ( ln 2 ) ⇔ x = 2 + log 2 ( ln 2 ) ∈  0; ÷
 2

Cách 2. Dùng tính chất y = f ( x ) liên tục trong khoảng ( a; b ) xác định tại a, b khi đó nếu
f ( a ) f ( b ) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
Tập xác định của hàm số y = log 1 ( x − 2 ) là:

Câu 21

2

A. ( 2;3] .

B. [ 3; +∞ ) .

C. ( −∞; 2 ) .

D. ( 2;3) .

x − 2 > 0
x > 2

⇔ 2< x≤3
Đáp án A Ta có: log ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔ 
1
x − 2 ≤1


 2

Cho a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 22
A. log c

a
= log c a − log c b.
b

C. log a b =

log c b
.
log c a

Đáp án D D sai vì log c2
Câu 23

B. log c2 a =
D. log c2

1
log c a.
2

a 1
1
= log c a − log c b.
2
b
2
2

a 1
= log c a − log c b
b2 2
log 2 b

Giá trị của y = a log a 2 .b 2

A. ab 2 .

Đáp án C Ta có: a log a 2 .b 2

B. abln 2 .
log 2 b

là:
C. 2bb .

D. Đáp án khác.

= 2b b

Câu 24 Với giá trị nào của m thì phương trình 4 x − m 2 x + m 2 − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu?
A. ( −∞; −1) .
Đáp án D

B. ( 0;1) .

C. ( 2;5 ) .

D. Không tồn tại m.


x
Đặt t = 2 ( t > 0 ) . Phương trình đã cho trở thành:

t 2 − mt + m 2 − 1 = 0 ⇔ ( t − 1) + ( 2 − m ) ( t − 1) + m 2 − m = 0 ( ∗)
2

Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì phương trình ( ∗) phải có hai nghiệm dương phân biệt, một

m 2 − m < 0

⇔ Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
nghiệm t lớn hơn 1, một nghiệm t nhỏ hơn 1 ⇔ m > 0
m 2 − 1 > 0

4
2
Tổng tất cả các giá trị của m để phương trình x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập

Câu 25

thành cấp số cộng là:
A.

14
.
9

B.

32
.
9

C.

17
.

3

D.

19
.
3

Đáp án B
x = 1

.
Do x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ⇔  x = −1
 x 2 = 2m + 1
4

2

−1

 2m + 1 > 0
m >
⇔
2.
Nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 

2
m
+
1

≠
1

 m ≠ 0
 2m + 1 = 3
m = 4
 2m + 1 − 1 = 1 − (−1)


⇔
Mà 4 nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên 
−4
1⇔

m=
1 − 2m + 1 = 2m + 1 − − 2m + 1
2m + 1 =

9

3


(

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện là:
Câu 26 Đạo hàm của hàm số y =
'
A. y = −

y' = −

ln 2
.
x ln 2 x

( log 2 x )

'

2

ln x

=−

'
B. y =

32
.
9

1
là:
log 2 x

ln 2
.
x ln 2 x

'
C. y = −

x ln 2
.
log 22 x

'
D. y =

x ln 2
.
log 22 x

ln 2
x ln 2 x

Câu 27 Tập xác định của hàm số y = ( x 2 − 1)
A. D = ¡ .

)

B. D = ¡ \ { ±1} .

−

2
3

là:
C. D = ( −1;1) .

D. D = ¡ \ [ −1;1] .

2
2
−
Do − ∈ ¤ ⇒ hàm số y = ( x 2 − 1) 3 xác định khi x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 hay x > 1
3

Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình 2 log 3 ( x − 1) + log
A. S = ( 1; 2] .

 1 
B. S =  − ; 2 ÷.
 2 

3

C. S = [ 1; 2] .

( 2 x − 1) ≤ 2 là:
 1 
D. S =  − ; 2  .
 2 


Điều kiện: x > 1
PT ⇔ 2 log 3 ( x − 1) + 2 log 3 ( 2 x − 1) ≤ 2

⇔ log 3 ( x − 1) + log 3 ( 2 x − 1) ≤ 1
⇔ log 3 ( x − 1) ( 2 x − 1)  ≤ 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x − 1) ≤ 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 ≤ 0 ⇔ −

1
≤x≤2
2

Kết hợp điều kiện suy ra ( 1; 2] là tập nghiệm.
Câu 29 Cho log 3 2 = a,log 3 5 = b. Giá trị của biểu thức P = log 3 60 tính theo a và b là:
A. P = a + b − 1.

B. P = a − b − 1.

C. P = 2a + b + 1.

D. P = a + 2b + 1.

log 3 60 = log3 3.20 = 1 + 2 log 3 2 + log 3 5 = 2 a + b + 1
Câu 30

Số nghiệm của phương trình 9 x − 5.3x − 7 = 0 là:

A.0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô nghiệm.

Tập xác định D = ¡

PT ⇔ ( 3x ) − 5.3x − 7 = 0
2

x
2
Đặt t = 3 ⇒ t − 5t − 7 = 0 ( ∗) , do 1( −7 ) < 0 ⇒ ( ∗) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 31

b
16
Cho a, b > 0, a ≠ 1 thỏa mãn log a b = log 2 a = . Tổng a + b bằng:
4
b

A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 19.

Đáp án C
b
16
Ta có: log a b = ;log 2 a =

nên:
4
b
b
log a b 4
log 2 b =
=
= 4 ⇔ b = 16.
log a 2 b
16
16
⇒ log 2 a = = 1 ⇔ a = 2.
b
⇒ a + b = 18.
Câu 32

Cho a, b ∈ R, a, b > 1; a + b = 10; a12b 2016 là một số tự nhiên có 973 chữ số. Khi đó cặp ( a; b ) là:

A. ( 5;5 ) .

B. ( 6; 4 ) .

C. ( 8; 2 ) .

D. ( 7;3) .

Đáp án D
Xét các trường hợp:
TH1: b ≥ 4 ⇒ b 2016 ≥ 42016 = 161008 ⇒ b 2016 > 101008. Mà 101008 có 1009 chữ số nên b < 4.
TH2: b ≤ 2 ⇒ b 2016 ≤ 22016 = 8672 < 10672. Mà a < 10 ⇒ a12 < 1012 ⇒ a12 .b 2016 < 1012.10672 = 10684.

Mà 10684 có 685 chữ số nên b > 2.
Vậy b = 3 ⇒ a = 7 (thỏa mãn).


x
x
Tích các nghiệm của phương trình 3.4 + ( 3 x − 10 ) .2 + 3 − x = 0 là:

Câu 33

1
C. 2 log 2 .
3

B. − log 2 3.

A. log 2 3.

D. 2 log 2 3.

Đáp án B
Xét phương trình:
3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0
 x 1
2 = ⇔ x = − log 2 3
⇔
3
 x
 2 = 3 − x ⇔ x = 1
Vậy tích các nghiệm là − log 2 3.

Câu 34

x.log x 2.log 5 x + 1
giá trị của x là
log x 3.log 3 4.log 5 x + x log 5 x + 1

Cho log 5120 80 =

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Đáp án C.
Sử sụng casio nhập

X logX 2.log5 X + 1
CALC
− log5120 80 
→X=
logX 3.log3 4.log5 X + X log5 X + 1

Các đáp án thấy với X = 4 được kết quả 0.
Câu 35 Đạo hàm của hàm số y =
A. y ' =
C. y ' =

1 − 2 ( x + 1) ln 3
2x

3

1 − 2 ( x + 1) ln 9
3

x

x +1
9x

.

B. y ' =

.

D. y ' =

1 − ( x + 1) ln 3
32 x

.

1 − 2 ( x + 1) ln 3
3x

.

Đáp án A.
y' =

( x + 1) '.9x − ( 9x ) '.( x + 1)
92x

9x − 9x ( x + 1) ln9 1− 2( x + 1) ln3
=
=
.
92x
32x

Câu 36 Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( 2; +∞ ) .

B. ( −∞;0 ) .

5

 x−2 
log 1 
÷
 x 
3

<1

là

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 0; +∞ ) .

Đáp án B.
ĐK:

x− 2
> 0 ⇔ x < 0∨ x > 2
x

 x− 2 
log1 
÷
 x 
3

5

x− 2
−2
 x− 2
< 1⇔ log1 
< 0⇔
> 1⇔
> 0 ⇔ x < 0.
÷
x 
x

x
3

Vậy tập nghiệm của BPT là: ( −∞;0) .
x
x
Câu 37 Cho bất phương trình 9 + ( m − 1) .3 + m > 0 ( 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

(1) nghiệm đúng ∀x > 1 .


3
A. m ≥ − .
2

3
B. m > − .
2

C. m > 3 + 2 2.

D. m ≥ 3 + 2 2.

Đáp án A
Đặt t = 3x với x > 1 ⇔ t > 3 vậy ta cần tìm điều kiện của m sao cho BPT:
t 2 + ( m − 1) t + m > 0 nghiệm đúng với mọi t > 3
a > 0
2
⇒ ∆ = ( m − 1) − 4m = m 2 − 6m + 1 < 0 ⇔ 3 − 2 2 < m < 3 + 2 2
+) TH1: 

∆ < 0
m ≤ 3 − 2 2


  m ≥ 3 + 2 2
∆ ≥ 0
 −3

≤ m ≤ 3− 2 2

−3

⇔ 2
+)TH2: x1 ≤ x2 ≤ 3 ⇔  f ( 3) ≥ 0 ⇔ m ≥

2
x + x

 m ≥ 3 + 2 2
1
2

≤ 3  m ≥ −5
 2



Kết hợp hai trường hợp ta có m ≥ −

3

2

2
2
Câu 38 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log 5 ( x + 1) ≥ log 5 ( mx + 4 x + m ) có

nghiệm đúng ∀x.
A. m ∈ ( 2;3] .

B. m ∈ ( −2;3] .

C. m ∈ [ 2;3) .

D. m ∈ [ −2;3) .

Đáp án A
Để BPT nghiệm đúng với ∀x trước hết mx 2 + 4 x + m > 0 vơí ∀x
m > 0
a > 0
⇔
⇔
⇔ m > 2 ( 1)
2
∆ ' < 0
4 − m < 0

Ta có
1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ log 5 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m )
⇔ 5 ( x 2 + 1) ≥ ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ ( 5 − m ) x 2 − 4 x + ( 5 − m ) ≥ 0

BPT này nghiệm đúng với ∀x

m < 5
5 − m > 0
m < 5

⇔
⇔
⇔
⇔ m ≤ 3 ( 2)

2
( 7 − m ) ( m − 3) ≤ 0
∆ ' ≤ 0
4 − ( 5 − m ) ≤ 0



Kết hợp hai điều kiên ( 1) và ( 2 ) ⇒ 2 < m ≤ 3
Câu 39 . Chọn khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số y = a x và y = a − x đối xứng nhau qua trục Oy.
B. Đồ thị hàm số y = a − x luôn nằm dưới trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn cắt Oy tại

(0;1).

D. Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn nằm phía trên Ox.
Hàm mũ y ' = a − x luôn có giá trị dương với mọi x nên khẳng định B sai.

Câu 40

Mọi số thực dương a, b. Mệnh đề nào đúng?

A. log 3 a < log 3 b ⇔ a > b .

2
2
B. log 2 ( a + b ) = 2 log ( a + b ) .

C. log a 2 +1 a ≥ log a 2 +1 b .

1
2
D. log 2 a = log 2 a .
2

4

Vì

4

3
< 1 nên log 3 a < log 3 b ⇔ a > b .
4
4
4

nb

Câu 41 . Nếu n là số nguyên dương; b, c là số thực dương và a > 1 thì log 1  2 ÷
÷ bằng.
a  c 
A.

1
1
log a b − log a c .
n
2

B. n log a b − 2 log a c .

C.

1
log a b + 2 log a c .
n

1
D. − log a b + 2 log a c .
n

nb
nb
1
log 1  2 ÷
=
−
log

= − log a b + 2 log a c .
a 
2 ÷
÷

÷
n
a  c 
 c 
Câu 42 Với a > 0, a ≠ 1 thì phương trình log a ( 3x − a ) = 1 có nghiệm là
B. x =

A. x = 1 .

a
.
3

2a
.
3

C. x =

D. x =

Với a > 0, a ≠ 1 ta có log a ( 3x − a ) = 1 ⇔ 3x − a = a ⇔ x =

a +1
3

2a
3

Câu 43 Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x 2 + y2 + 2 ( 4x + 4y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp

( x; y )
A.

sao cho x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 .

(

)

2

10 − 2 .

B. 10 + 2 .

C.

(

)

2

10 + 2 .

D. 10 − 2 .

Đáp án A

log x 2 + y2 + 2 ( 4x + 4y − 4 ) ≥ 1 ⇔ 4x + 4y − 4 ≥ x 2 + y 2 + 2 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ≤ 2
2

2

Đây là tập hợp tất cả các điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I ( 2; 2 ) và bán kính R = 2
x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m
2

2

Đây là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I ' ( −1;1) bán kính R ' = m
Ta có II ' = 10
m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 thì hai

đường tròn nói trên tiếp xúc ngoài.
⇒ R + R ' = II ' ⇔ m + 2 = 10 ⇔ m =

(

10 − 2

)

2

Câu 44 Với a là số dương thực bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log ( 3a ) = 3log a .

1
3
B. log a = log a .
3

C. log a 3 = 3log a .

1
D. log ( 3a ) = log a .
3


ĐÁP ÁN A
Vì a > 0 ⇒ log a 3 = 3log a .
Câu 45 Tập nghiệm của bất phương trình 22x < 2 x +6 là
A. ( 0;6 ) .

B. ( −∞;6 ) .

C. ( 0;64 ) .

D. ( 6; +∞ ) .

ĐÁP ÁN B
22x < 2x +6 ⇔ 2x < x + 6 ⇒ x < 6

Câu 46
A.

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =

82
9

B.

80
9

C. 9

2
3

D. 0

ĐÁP ÁNA
.
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =
⇔ ( log 3 x )

Câu 47

4

2

1
1
1
2
⇔ log 3 x. log 3 x. log 3 x. log 3 x =
3
2
3
4
3

 x = 32 = 9
log 3 x = 2
82
= 16 ⇔ 
⇔
.
Tổng
các
nghiệm
bằng
.
1
−
2
x = 3 =
9
log 3 x = −2
9


2
1 
, f ( 0 ) = 1 và f ( 1) = 2 . Giá trị của biểu
Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \   thỏa mãn f ′ ( x ) =
2x − 1
2

thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 4 + ln15

B. 2 + ln15

C. 3 + ln15

D. ln15

ĐÁP ÁN C

2
1

u ( x ) = ∫ 2x − 1 dx = ln 2x − 1 + C1  x > 2 ÷
2



⇒ f ( x) = 
Ta có f ′ ( x ) =
2x − 1

2
1

v ( x ) =
dx = ln 2x − 1 + C1  x < ÷
∫

2x − 1
2

Ta giải phương trình tìm C1 ;C 2 từ hệ. f ( 1) = 2 ⇒ C1 = 2;f ( 0 ) = 1 ⇒ C 2 = 1 .
Từ đó u ( x ) = ln 2x − 1 + 2; v ( x ) = ln 2x − 1 + 1;
f ( −1) + f ( 3) = v ( −1) + u ( 3 ) = 3 + ln15
x
x
x
Câu 48 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16 − 2.12 + ( m − 2 ) 9 = 0 có nghiệm

dương?
A. 1

B. 2

C. 4

ĐÁP ÁN
Cách 1. ( m − 2 ) = 0 ⇔ m = −

16 x − 2.12 x
+ 2 = f ( x ) ta dùng mode 7 với

9x

D. 3


Start 0; end 9; step 0,5 ta nhận thấy f (x) giảm dần và tại x = 0 thì f (x) = 3 nên các giá trị nguyên dương của m
để phương trình có nghiệm dương là m = 1, m = 2 .
Cách 2.
2x

x

x

4
4
4
16 − 2.12 + ( m − 2 ) 9 = 0 ⇔  ÷ − 2.  ÷ + m − 2 = 0 đặt  ÷ = t
3
3
3
x

x

x

2
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành t − 2t + m − 2 = 0 ⇔ m = − t + 2t + 2 = f ( t ) ( 2 )

Để phương trình ban đầu đã cho có nghiệm dương thì phương trình

(2) có nghiệm t > 1 .

Ta dễ có bảng biến thiên của y = f ( t ) từ đó để thỏa mãn đề thì m < 3 .
Vậy tập các giá trị của m thỏa mãn đề là S = { 1, 2}
Câu 49 Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn log u1 + 2 + log u1 − 2 logu10 = 2 log u10 và u n +1 = 2u n với mọi n ≥ 1 . Giá trị
100
nhỏ nhất của n để u n > 5 bằng

A. 247

B. 248

C. 229

D. 290

ĐÁP ÁN B
9
Có u10 = 2 u1 ; log u1 + 2 + log u1 − 2 logu10 = 2 log u10 . Đặt t = 2 log u10 − log u1

PT ⇔ 2 − t = t ⇔ t = 1
1−18log 2
n −1
1−18log 2 n −1
.2 .
Có 2 log u10 − log u1 = 18log 2 + log u1 = 1 ⇔ u1 = 10
. Có u n = u1.2 = 10

100
Giải u n > 5 ⇔ n = 248 là bé nhất thỏa mãn.

Câu 50

2
Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = 3 là.

A. ±3

C. ±1

B. 2

D. 0

Cách 1: ĐK: x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1, x > 1
2
2
3
2
Khi đó log 2 ( x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 9 ⇔ x = ±3

Chọn đáp án A.
CALC
2
→ X = ±3 
→0
Cách 2: Sử dụng casio nhập log 2 ( X − 1) − 3 

⇒ x = ±3 là nghiệm
Câu 51

2
Đạo hàm của hàm số y = log 9 ( x + 1) là

A. y ' =

2x ln 9
x2 +1

B. y ' =

1
( x + 1) ln 9
2

C. y ' =

2x
x
Ta có y ' = x 2 + 1 ln 9 = x 2 + 1 ln 3
(
)
(
)

Câu 52 Tập xác định của hàm số y =

x−2

ln x − 5x + 4

(

2

)

là

x
( x + 1) ln 3
2

D. y ' =

2 ln 3
x2 +1


 5 + 13 
B. ( 4; +∞ ) \ 
 C. ( 2; +∞ )
 2 

A. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ )

D. ( 2; 4 )

x ≥ 2

 2
x > 4
5 + 13
⇔ 2
⇔ 4< x ≠
Điều kiện  x − 5x + 4 > 0
2
 x − 5x + 4 ≠ 1

2
ln x − 5x + 4 ≠ 0

(

)

Câu 53 Cho x, y > 0 và x 2 + y 2 = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 xy bằng
A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Ta có x 2 + y 2 ≥ 2xy ⇔ xy ≤ 1 ⇔ 2 xy ≤ 2
Câu 54 Để bất phương trình 16 x − 4x +1 − m > 0 có 2 nghiệm trái dấu thì số giá trị nguyên của m thỏa mãn là
A. 3

B. 4

C. 5

D. Vô số

Đáp án D
Đặt 4 x = t BPT 16 x − 4 x +1 − m > 0 ⇔ t 2 − 4t − m > 0
Do BPT t 2 − 4t − m > 0 luôn có nghiệm với mọi m hơn nữa luôn có nghiệm > 1 và < 1
Nên BPT đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu.
Câu 55 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

(điều kiện a, b, c > 0; a ≠ 1 ).

α
β
A. a < a ⇔ α < β ( a > 1)

a > 1
B. log a b > log a c ⇔ 
b < c

α
β
C. a < a ⇔ α > β ( 0 < a < 1)

α
D. Tập xác định của y = x ( α ∈ R ) là ( 0; + ∞ )

Đáp án D
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Chọn đán án D.

Câu 56 . Phương trình log 3 ( x − 1) = 2 có nghiệm thuộc khoảng
A. ( 1; 4 )

B. ( 2;5)

C. ( 8;9 )

D. ( 6;15 )

Đáp án D
B sai vì hai biểu thức không tương đương.
2
Câu 57 Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 3 x + 3) > 0 là.
2

A. ( 0;1)

B. ( 1; 2 )

C. ( 2;3)

D. ( 3; 4 )

Đáp án B
2
 x − 3 x + 3 > 0
⇔1< x < 2
Ta có PT ⇔  2
 x − 3 x + 3 < 1

Câu 58 . Biểu thức y =

a
a

A.

bc
a

7 +1

2+ 7

B.

.b 2 . c 5

.b

2 cos

b2c2
a

7π
4

.c

1
2

sau khi rút gọn trở thành.

C.

ab 2
c

D.

c2
a


Đáp án D
Sử dụng Casio nhập

A

7 +1

.B 2 . C 5

A2+ 7 .B

2 cos

7π

4

.C

1
2

CACL

→ A = 2, B = 3, C = 4 được kết quả là 8 . Sau đó thay A, B, C vào các

phương án ta chọn được đáp án D.
2

1
2 x +1  1 
Cho phương trình log 2 ( x + 2 ) + x + 3 = log 2
+ 1 + ÷ + 2 x + 2 , gọi S là tổng tất cả các
2
x
 x

Câu 59

nghiệm dương của nó. Khi đó, giá trị của S là.
A. S = −2

B. S =

1 − 13

2

C. S =

1 + 13
2

D. Đáp án khác

Đáp án C
x + 2 > 0

ĐK:  2 x + 1
>0

 x

1
1
(*) <=> log 2 x + 2 + ( x + 2 − 1) 2 = log 2 (2 + ) + (1 + ) 2
x
x
Đặt

x + 2 = t; 2 +

1
= u (t , u > 0)
x

<=> log 2 t + (t − 1) 2 = log 2 u + (u − 1) 2
 f (t) = f(u)
<=> 
 t, u > 0
f (v) = log 2 v + (v − 1) 2 (v > 0)
1
1 + 2(v − 1)v ln 2 1 + 2v 2 ln 2 − 2v ln 2 (1 − v ln 2) 2 + 2v 2 ln 2 − v 2 ln 2 2
+ 2(v − 1) =
=
=
Xét
v ln 2
v ln 2
v ln 2
v ln 2
2
2
2
(1 − v ln 2) + v (2 ln 2 − ln 2)
=
> 0∀v > 0
v ln 2
f '(v) =

=> Hàm số f (v) đồng biến với mọi v>0
=> t = u <=> x + 2 = 2 +

1
1 ± 13
<=> x =

x
2

=> Tổng các nghiệm dương S=

1 + 13
2