Chuyên đề toán 9 ôn thi vào 10 hay

Website: Tailieumontoan.com

Tập thể
Nhóm LATEX

N h´
om

LATEX

BỘ

CHUYÊN ĐỀ
ĐỀ
CHUYÊN
CHUYÊNĐỀ

9

◦

LƯU HÀNH NỘI BỘ

a
b
N h´
om

LATEX

Website: tailieumontoan.com

MỤC LỤC
I

ĐẠI SỐ

2

CHỦ ĐỀ 1 RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN

3

Dạng 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ

3

A

Loại 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

3

B

Loại 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG

4

C

Loại 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC

D

CĂN THỨC, QUY ĐỒNG

6

Loại 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN

9

Dạng 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ

11

E

Một số bài toán nâng cao đặc biệt

37

F

Bài tập làm thêm

40

CHỦ ĐỀ 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2

1

51

HÀM SỐ BẬC NHẤT

51

A

Kiến thức và phương pháp

51

B

Bài toán minh họa

52

Dạng 3. Vị trí và khoảng cách

52

Dạng 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN
56
2

HÀM SỐ BẬC HAI

58

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

58

B

BÀI TOÁN MINH HỌA

58

Dạng 5. Vẽ - đi qua - liên quan hoành, tung và khoảng cách (Cơ bản)

58

Dạng 6. Vẽ - đi qua - liên quan hoành, tung và khoảng cách (Nâng cao)

60
N h´
om

LATEX


Dự án CĐ Lớp 9

Website: tailieumontoan.com

Nhóm LATEX

Dạng 7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VIET

62

C

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

62

D

PHƯƠNG PHÁP

62

Dạng 8. VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN
E

67

Bài toán minh họa

68

Dạng 9. ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

70

F

Kiến thức cần nhớ

71

G

Bài toán minh họa

72

Dạng 10. CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
H

82

BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

86

CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

98

A

Lý thuyết

98

B

Các ví dụ và bài tập tự luyện

99

Dạng 11. Giải phương trình bậc nhất

99

Dạng 12. Giải phương trình bậc hai

100

Dạng 13. Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của
phương trình bậc hai cho trước
102

CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
1

2

106

KIẾN THỨC CƠ BẢN

106

A

Ứng dụng hệ thức Vi-ét

106

B

Các hệ thức thường gặp

106

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

107

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 1


Website: tailieumontoan.com

Phần I
ĐẠI SỐ

N h´
om

LATEX

2


Website: tailieumontoan.com

CHỦ ĐỀ

1

RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ

A.

LOẠI 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

CÂU 1. Rút gọn M =
Lời giải.

√

45 +

√
√
245 − 80.

√
√
√
√
√
√
M =
45 + 245 − 80 = 32 · 5 + 72 · 5 − 42 · 5
√
√
√
√
= 3 5 + 7 5 − 4 5 = 6 5.
√
√
CÂU 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25.
Lời giải.√
√
A = 2015 + 36 − 25 = 2015 + 6 − 5 = 2016.
√
√
√
CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A = 5 8 + 50 − 2 18.
Lời giải.

√
√
√
√
√
√
A = 5 8 + 50 − 2 18 = 5 · 2 2 + 5 2 − 2 · 3 2
√
√
√
√
√
= 10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5 − 6) 2 = 9 2.
√
√
√
CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A = 27 − 2 12 − 75.
Lời
√ giải. √
√
√
√
√
√
A = 27 − 2 27 − 75 = 3 3 − 4 3 − 5 3 = −6 3.
√
√
√
CÂU 5. Rút gọn biểu thức: A = 12 + 27 − 48.
Lời

√
√
√
√
√
√ giải.√
A = 12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = 3.
√
√
√
CÂU 6. Rút gọn biểu thức: B = 2 3 + 3 27 − 300.
Lời√giải. √
√
√
√
√
√
√
√
√
B = 2 3 + 3 27 − 300 = 2 3 + 3 32 · 3 − 102 · 3 = 2 3 + 3 · 3 · 3 − 10 3 = 3.
√
√
CÂU 7. Rút gọn biểu thức: A = 3 2 + 4 18.
Lời√giải. √
√
√
√
A = 3 2 + 4 9.2 = 3 2 + 12 2 = 15 2.
√

√
√
CÂU 8. Rút gọn biểu thức: A = 2 3 − 4 27 + 5 48.
Lời√giải. √
√
√
√
√
√
A = 2 3 − 4 27 + 5 48 = 2 3 − 12 3 + 20 3 = 10 3.
√
√
√ √
CÂU 9. Rút gọn biểu thức: M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2.
Lời giải.
√
√
√ √
√
√
√ √
√ √
M = (3 50 − 5 18 + 3 8) 2 = (15 2 − 15 2 + 6 2) 2 = 6 2 · 2 = 12.
√
√
√
√
CÂU 10. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3.
Lời √
giải. √

√
√
√
√
√
√
√ √
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5
N h´
om

LATEX

3


Dự án CĐ Lớp 9

Website: tailieumontoan.com

Nhóm LATEX

√
√
√
√
CÂU 11. Rút gọn biểu thức: A = 125 − 4 45 + 3 20 − 80.
Lời√giải. √
√
√

√
A = 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5.
√
√
√
CÂU 12. Rút gọn biểu thức: A = 2 9 + 25 − 5 4.
Lời√giải.√
√
A = 2 9 + 25 − 5 4 = 5 + 6 − 10 = 1.
√
√
√
√
CÂU 13. Rút gọn biểu thức: A = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75.
Lời giải.
√
√
√
√
A = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75
√
√
√
√
= 2 42 · 2 − 5 32 · 3 − 4 22 · 2 + 3 52 · 3
√
√
√
√
= 8 2 − 15 3 − 8 2 + 15 3 = 0.

√
√
√
CÂU 14. Rút gọn biểu thức: A = 2 3 · 52 − 3 3 · 22 + 3 · 32 .
Lời giải.
√
√
√
√
√
√
√
A = 2 · 5 · 3 − 3 · 2 · 3 + 3 3 = 10 3 − 6 3 + 3 3 = 7 3.
√
√
√
CÂU 15. Rút gọn biểu thức: A = 2 5 + 3 45 − 500.
Lời√giải. √
√
√
√
√
√
A = 2 5 + 3 45 − 500 = 2 5 + 3 · 3 5 − 10 5 = 5.
√
√
√ √
CÂU 16. Rút gọn biểu thức: M = (3 50 + 5 18 + 3 8) 2.
Lời giải.
√

√ √
√ √
√
M = (15 2 + 15 2 + 6 2) 2 = 36 2 · 2 = 72.
√
√
√
√
CÂU 17. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3.
Lời √
giải. √
√
√
√
√
√
√
√ √
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5 · 3 3 + 4 · 2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5.
√
√
√
√
CÂU 18. Rút gọn biểu thức: A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3.
Lời √
giải. √
√
√
√
√

√
√
√ √
A = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3 = (2 3 − 5 · 3 3 + 4 · 2 3) : 3 = −5 3 : 3 = −5.
√
√
√
CÂU 19. Rút gọn biểu thức: A = 3 − 12 + 27.
Lời
√
√
√ giải.
√
√
√
√
A = 3 − 22 · 3 + 32 · 3 = 3 − 2 3 + 3 3 = 2 3.
√
√
√
CÂU 20. Rút gọn biểu thức: B = 20 − 45 + 2 5.
Lời
√ giải. √
√
√
√
√
√
B = 22 · 5 − 32 · 5 + 2 5 = 2 5 − 3 5 + 2 5 = 5.
√ √

√
CÂU 21. Rút gọn biểu thức: A = 3( 27 + 4 3).
Lời
√ giải.
√
√
√
√
A = 3( 27 + 4 3) = 81 + 4 9 = 9 + 4 · 3 = 21.

B.

LOẠI 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG

»
√
√
CÂU 1. Tính: B = (2 − 3)2 + 3.
Lời giải.
√
√
√
√
√
B = |2 − 3| + 3 = 2 − 3 + 3 = 2 (Do 2 > 3).
»
»
√
√
CÂU 2. Rút gọn biểu thức: N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5.

Lời giải.
»
»
»
»
√
√
√
√
N =
6+2 5− 6−2 5= 5+2 5+1− 5−2 5+1

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 4


Website: tailieumontoan.com

Dự án CĐ Lớp 9

Nhóm LATEX

√
√

( 5 + 1)2 − ( 5 − 1)2
√
√
√
√
= | 5 + 1| − | 5 − 1| = 5 + 1 − 5 + 1 = 2.
=

CÂU 3. Rút gọn biểu thức: A =

»

√
√
1√
7 − 2 10 + 20 +
8.
2

Lời giải.
√
√
√
√
√
1√
1 √
7 − 2 10 + 20 +
8 = ( 5 − 2)2 + 2 5 + · 2 2
2 √

√
√
√
√2
√
√
√
√
√
= | 5 − 2| + 2 5 + 2 = 5 − 2 + 2 5 + 2 (Do 5 − 2 > 0)
√
= 3 5.

A =

»

√
√ »
√
CÂU 4. Rút gọn biểu thức: B = (3 2 + 6) 6 − 3 3.
Lời giải.
√
√ »
√
√ »
√
√
√
√

√
B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3 = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6.
»
√
√
CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = ( 5 − 1) 6 + 2 5.
Lời giải. »
» √
√
√
√
√
√
√
√
B = ( 5 − 1) 6 + 2 5 = ( 5 − 1) ( 5 + 1)2 = ( 5 − 1)| 5 + 1| = ( 5 − 1)( 5 + 1) = 5 − 1 = 4.

CÂU 6. Rút gọn biểu thức: A =

»

√
√
1√
7 + 2 10 + 20 −
8.
2

Lời giải.
√

√
√
√
√
1√
1 √
7 + 2 10 + 20 −
8 = ( 5 + 2)2 + 2 5 − · 2 2
2
√
√
√
√2
√
√
√
√
√
= | 5 + 2| + 2 5 − 2 = 5 + 2 + 2 5 − 2 = 3 5.

A =

»

√ »
√
√
CÂU 7. Rút gọn biểu thức: B = (3 2 + 6) 6 − 3 3.
Lời giải.
√

√ »
√
√ »
√
√
√
√
√
B = (3 2 + 6) 6 − 3 3 = (3 + 3) 12 − 6 3 = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = 9 − 3 = 6.
√
4−2 3
√ .
1− 3

»

CÂU 8. Rút gọn biểu thức: P =

Lời
» giải.√
» √
√
4−2 3
( 3 − 1)2
| 3 − 1|
√
√
√ = −1
P =
=

=
1− 3
1− 3
1− 3
√
√
2+ 3
2− 3
CÂU 9. Rút gọn biểu thức: A =
−
2
2
Lời giải.
√
√
√
√
2+ 3
2− 3
4+2 3
4−2 3
A =
−
=
+
2
2
4
4
Å √

ã
√
1
=
( 3 + 1)2 − ( 3 − 1)2
2
√
√
ä
1Ä√
1 √
=
| 3 + 1| − | 3 − 1| = ( 3 + 1 − 3 + 1) = 1.
2
2
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 5


Website: tailieumontoan.com

Dự án CĐ Lớp 9
CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B = 21

»

2+

»
√
√
3+ 6−2 5

2

−6

»

2−

Nhóm LATEX
√

3+

»

3+

√ 2
5 .

Lời giải.

Å»
»
»
√
√ ã2
√
√ ã2
√
21 Å»
4+2 3+ 6−2 5 −3
4 − 2 3 + 6 + 2 5 − 15 15
2
√
√
√
ä2
Ä√
ä2
21 Ä√
=
3 + 1 + 5 − 1 − 3 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15
2
√
√
15 √
=
( 3 + 5)2 − 15 15 = 60.
2

B =

C.

LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC
CĂN THỨC, QUY ĐỒNG
Ǹ PHƯƠNG PHÁP 1. QUY ĐỒNG

√
√
1
1
2 2− 6
√
CÂU 1. Rút gọn biểu thức: A = √
+√
+
.
3+1
3−1
2
Lời√giải. √
√
√
√
√
√
√
2 3
3−1+ 3+1
2(2 − 3)

√
√
+ 2 − 3 = 3 + 2 − 3 = 2.
+
=
A= √
3−1
( 3 + 1)( 3 − 1)
2
CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B =

1
1
√ +
√ .
3+ 7 3− 7

Lời giải.
1
1
6
6
√ +
√ =
= 3.
B=
√ 2 =
9−7
3+ 7 3− 7
32 − 7

√
√
5
CÂU 3. Rút gọn biểu thức: P = √
− 2 5.
5−2
Lời √
giải.
√
√
√ √
√
√
√
√
5
5 − 2 5( 5 − 2)
5 − 10 + 4 5
5 5 − 10
5( 5 − 2)
√
√
P =√
−2 5 =
=
= √
= √
= 5.
5−2
5−2

5−2
5−2
5−2
1
1
CÂU 4. Rút gọn biểu thức: P = √
+√
.
5−2
5+2
Lời
√ giải. √
√
P = 5 + 2 + 5 − 2 = 2 5.
1
1
√ +√
√ .
CÂU 5. Rút gọn biểu thức: B = √
3− 2
3+ 2
Lời giải.
√
√
√
√
√
√
√
√

1
1
3+ 2
3− 2 √
√ +√
√ =
B=√
+
= 3 − 2 + 3 − 2 = 2 3.
3−2
3−2
3− 2
3+ 2
Ǹ PHƯƠNG PHÁP 2. ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
√
√
3+ 3
CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = ( 3 − 1) √ .
2 3
Lời giải.
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 6

Website: tailieumontoan.com Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

√
√
3+ 3
P = ( 3 − 1) √
2 3
√ √
√
3( 3 + 1)
√
= ( 3 − 1)
2 3
√
√
( 3 − 1)( 3 + 1)
3−1
=
=
= 1.
2
2

CÂU 2. Tính Q = √

1 √
2
+ · 18.

2+2 3

Lời giải.
2
1 √
Q =√
+ · 18
2+2 3
√
√
2
9·2
√ +
=
3
1+ 2
√
√ √
2( 2 − 1) 3 2
+
=
1
−
2
3
√
√
√
√
2−2

=
+ 2 = 2 − 2 + 2 = 2.
−1

Ǹ PHƯƠNG PHÁP 3. LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
√
√
2
√ − 28 + 54.
CÂU 1. Rút gọn biểu thức A = √
7− 6
Lời giải.
√
√
2
√ − 28 + 54
7− 6
√
√
√
√
2( 7 + 6)
√ √
√ − 7·4+ 9·6
= √
( 7 − 6)( 7 + 6)
√
√
√
√

2 7+2 6
=
−2 7+3 6
√ 7 − 6√
√
√
√
= 2 7 + 2 6 − 2 7 + 3 6 = 5 6.

A =√

√
√
1
8 − 10
√ .
CÂU 2. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức B = √
−
2+1
2− 5
Lời giải.
√
√
1
8 − 10
√
A =√
−
2+1
2− 5

√
√
√
2−1
2(2 − 5)
√
−
=
1
2− 5
√
√
= 2 − 1 − 2 = −1.

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 7


Website: tailieumontoan.com

Dự án CĐ Lớp 9

Nhóm LATEX

√
√
A
3 − 1; B = 3 + 1. Tính giá trị của biểu thức A + B; A · B; ; A2 + B 2 bằng
B
cách rút gọn hoặc biến đổi thích hợp
Lời giải.
√
√
√
A + B = ( 3 − 1) + ( 3 + 1) = 2 3.
√
√
√
A · B = ( 3 − 1)( 3 + 1) = ( 3)2 − 12 = 3 − 1 = 2.
√
√
√
√
A
3−1
( 3 − 1)2
4−2 3
√
=√
= √
=
= 2 − 3.
B
2

3+1
( 3 + 1)( 3 − 1)
√
A2 + B 2 = (A + B)2 − 2AB = (2 3)2 − 2.2 = 12 − 4 = 8.
CÂU 3. Cho A =

CÂU 4. Rút gọn biểu thức P = √

√
2
3
− 27 + √ .
3−1
3

Lời giải.
Ä√

ä

√
√
3+1
ä Ä√
ä −3 3+ 3
P = Ä√
3−1
3+1
Ä√
ä

√
2 3+1
=
−2 3
√
√ 3−1 √
= 3 + 1 − 2 3 = 1 − 3.
2

√
√
2
√ − 28 + 54.
CÂU 5. Rút gọn biểu thức B = √
7− 6
Lời giải.
√
√
2
√ − 28 + 54
B =√
7− 6
√
√
√
√
2( 7 + 6)
√ √
√ − 7·4+ 9·6
= √

( 7 − 6)( 7 + 6)
√
√
√
√
2 7+2 6
=
−2 7+3 6
√ 7 − 6√
√
√
√
= 2 7 + 2 6 − 2 7 + 3 6 = 5 6.
√
√
√
5+ 5
5
3 5
√ .
CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau C = √
+√
−
5+2
5−1 3+ 5
Lời giải.
√
√
√
5+ 5

5
3 5
√
C =√
+√
−
5+2
5−1 3+ 5
√ √
√
√ √
√
(5 + 5)( 5 − 2)
5( 5 + 1)
3 5(3 − 5)
√
√
√
√
= √
+ √
−
( 5 − 2)( 5 + 2) ( 5 − 1)( 5 + 1) (3 + 5)(3 − 5)
√
√
√
5 + 5 9 5 − 15
=3 5−5+
−
4√

√ 4
√
5 + 5 − 9 5 + 15
=3 5−5+
√
√ 4√
= 3 5 − 5 + 5 − 2 5 = 5.
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 8


Website: tailieumontoan.com

Dự án CĐ Lớp 9

D.

Nhóm LATEX

LOẠI 4. KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN
CÂU 1. Cho biểu thức M =

»
√

√
6
√ + (2 − 3)2 − 75. Rút gọn M .
2− 3

Lời giải.
√
√
6
√ + |2 − 3| − 75
2− 3
√
√
√
= 6(2 + 3) + 2 − 3 − 5 3 = 14.

M =

»
√
1
√ + 7 − 4 3.
2− 3

CÂU 2. Rút gọn biểu thức A =
Lời giải.
A =
=
=
=

=

1
√
2− 3
1
√
2− 3
1
√
2− 3
1
√
2− 3
√
2+ 3
1

+
+

»

√
7−4 3

»

√
4−4 3+3

(2 −

+

√
3)2

√
+2− 3=
+2−

√

√
√
2+ 3
√
√ +2− 3
(2 − 3)(2 + 3)

3 = 4.

»
√
√
√
7−4 3
CÂU 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức B = ( 5 − 2)( 5 + 2) − √
.
3−2

Lời giải.
»
√
√ 2
(2 − 3)2
2
B = ( 5) − 2 − √
3−2
√
2− 3
=5−4− √
3−2
= 1 − (−1) = 2.

2−

CÂU 4. Thu gọn biểu thức C =
1+

√

3

2+

√

3
»
√ +

√ .
4+2 3 1− 4−2 3

»

Lời giải.
2−

√
3

√

3
»
√ +
√
1+ 4+2 3 1− 4−2 3
√
√
2− 3
2+ 3
»
»
=
+
√
√
1+ 3+2·1· 3+1 1− 3−2·1· 3+1
√

√
2− 3
2+ 3
» √
» √
=
+
1 + ( 3 + 1)2 1 − ( 3 − 1)2
√
√
2+ 3
2− 3
√
√
=
+
1+ 3+1 1− 3+1

C =

2+

»

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 9


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
√
√
2− 3 2+ 3
√ +
√
=
2+ 3 2− 3
√
√
= (4 − 4 3 + 3) + (3 + 4 3 + 3) = 14.
√
√
3
2− 3
CÂU 5. Rút gọn biểu thức D = »
√ −»
√ .
7−4 3
7+4 3
Lời giải.
√
√
2+ 3

2− 3
D =»
√ −»
√
7−4 3
7+4 3
√
√
2+ 3
2− 3
=»
−»
√
√
(2 − 3)2
(2 + 3)2
√
√
2+ 3 2− 3
√ −
√
=
2− 3 2+ 3
√
√
= (2 + 3)2 − (2 − 3)2
√
√
√
√

√
= (2 + 3 − 2 + 3)(2 + 3 + 2 − 3) = 8 3.
2+

Ã

CÂU 6. Rút gọn biểu thức sau E =

à √
√
3 3−4
3+4
√
√ .
−
2 3+1
5−2 3

Lời giải.
à √
√
3 3−4
3+4
√
√
E =
−
2 3+1
5−2 3
Ã

Ã
√
√
√
√
(3 3 − 4)(2 3 − 1)
( 3 + 4)(5 + 2 3)
=
−
12 − 1
25 − 12
√
√
22 − 11 3
26 + 13 3
=
−
11 »
13
»
√
√
= 2− 3− 2+ 3
√
√
4−2 3
4+2 3
=
−
2

2
√
√
1
1
= √ ( 3 − 1)2 − √ ( 3 + 1)2
2
2
√
√
√
1
1
=√
3 − 1 − 3 + 1 = √ · (−2) = − 2.
2
2
Ã

»
»
√
√
3
3
CÂU 7. Tính giá trị biểu thức F = 85 + 62 7 + 85 − 62 7.
Lời giải.
»
»
√

√
3
3
Đặt a = 85 + 62 7; b =
85
−
62
7.√Suy ra a + b = F .
√
Ta có»a3 + b3 = (85 »
+ 62 7) + (85 −
62
7) = 170;
»
√ 3
√
√
√
3
3
ab = 85 + 62 7 · 85 − 62 7 = 852 − (62 7)2 = 3 −19683 = −27.
Do đó F 3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = 170 − 3Ç· 27 · B.
å
F 2 + 2F + 85
3
Suy ra phương trình F + 81F − 170 = 0 ⇔ (F − 2)
= 0 ⇔ F = 2.
50
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 10


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

DẠNG 2. RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ

√
√
√
√
VÍ DỤ 1. Rút gọn biểu thức A = ( a + 2)( a − 3) − ( a + 1)2 + 9a với a ≥ 0.
Lời √
giải.
√
√
√
√
Ta có ( a + 2)(√ a − 3) = a − √a − 6; ( a√
+ 1)2 = a + 2 a + 1.
Do đó A = a − a − 6 − (a + 2 a + 1) + 3 a − 7.
Ǹ PHƯƠNG PHÁP 4. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

CÂU 1. Rút gọn biểu thức M =

(a + b)2 − (a − b)2
với ab = 0.
ab

Lời giải.
M=

(a + b)2 − (a − b)2
(a + b + a − b)(a + b − a + b)
2a · 2b
=
=
= 4.
ab
ab
ab
Ç

CÂU 2. Rút gọn biểu thức P =

√ å2
√
å Ç
1− a
1−a a √
√ + a ·
với (a ≥ 0; a = 1).
1− a

1−a

Lời giải.
Với (a ≥ 0; a = 1), ta có
√ å2
√
å Ç
1− a
1−a a √
√ + a ·
P =
1− a
1−a
√
√
√
√
Ç
å2
1− a
(1 − a)(1 + a + a2 ) √
√
√
√
+ a ·
=
1− a
(1 − a)(1 + a)
Ç
å2

Ä
ä
√
1
√
= 1+2 a+a ·
1+ a
√
1
√
= (1 + a)2 ·
= 1.
(1 + a)2
Ç

»
√
√
CÂU 3. Rút gọn biểu thức Q = x − 1 − 2 x − 2 + 1 + x − 2 với 2 ≤ x < 3.
Lời giải.
Ta có
»
√
√
Q = x−1−2 x−2+1+ x−2
√
√
= ( x − 2 − 1)2 + 1 + x − 2
√
√

= | x − 2 − 1| + 1 + x − 2
√
√
√
= − x − 2 + 1 + 1 + x − 2 ( vì 2 ≤ x < 3 nên x − 2 − 1 < 0)
= 2.

Ç

CÂU 4. Rút gọn biểu thức: A =

√
√
å Ç
å
2 x+x
1
x+2
√
√
−√
: 1−
với x ≥ 0, x = 1.
x x−1
x−1
x+ x+1

Lời giải.
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 11


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
√
√
å Ç
å
2 x+x
1
x+2
√
√
√
A=
−
: 1−
với x ≥ 0, x = 1
x x−1
x−1
x+ x+1
√
√

√
√
2 x+x
x+x+1
x + x + 1 − ( x + 2)
√
= √ 3
:
− √ 3
x+x+1
( x) − 1
( x) − 1
√
√
√
√
√
2 x+x− x−x−1
x+x+1
2 x+x− x−x−1
√
√
√
= √
.√
=
( x − 1) ( x + x + 1) x + x + 1 − x − 2
( x − 1) (x − 1)
√
x−1

1
=
.
= √
( x − 1) (x − 1)
x−1
√
x−1
x x+1
−√
(với x = 1; x ≥ 0 ).
CÂU 5. Cho biểu thức A =
x−1
x+1
√
Rút gọn A, sau đó tính giá trị A − 1 khi x = 2016 + 2 2015.
Lời giải.
Với x ≥ 0, x = 1 ta có
√
√
√
√ 3
ä
( x − 1) ( x + 1)
x − x + 1 Ä√
( x) + 1
√
√
−
= √

− x−1
A= √
( x + 1) ( x − 1)
x+1
x−1
√
√
√
2
x − x + 1 − ( x − 1)
x
√
=
=√
x−1
x−1
√
√
x − ( x − 1)
1
√
A−1=
=√
.
x − 1√
x−1
Ta có x = 2016 + 2 2015 thỏaÄ mãn điều äkiện x = 1; x ≥ 0
√
√
√

√
2
Có x = 2015 + 2 2015 + 1 =
2015 + 1 ⇒ x = 2015 + 1.
1
Thay vào biểu thức A − 1 ta được: A − 1 = √
.
2015
√
√
2
2
CÂU 6. Cho biểu thức: D = ( x − 1) · ( x + 1) . Rút gọn D.
Lời giải.
√
√
√
√
2
2
D = ( x − 1) · ( x + 1) = | x − 1| · ( x + 1).
√
√
√
Nếu x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ D = ( x − 1) ( x + 1) = x − 1.
√
√
√
Nếu x − 1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 ⇒ D = − ( x − 1) ( x + 1) = 1 − x.
Ç

Ç

CÂU 7. Cho biểu thức Q =

1
2
√
−
x−1 x−1

åÇ

√
√ å
x+ x 1− x
√
−√
(với x > 0; x = 1 )
x+1
x−x

1. Rút gọn biểu thức Q.
2. Tìm các giá trị của x để Q = −1.
Lời giải.
1. Với điều
xÇ
=1 ,√
ta có
√ å Ç

åÇ
å
Ç kiện x > 0 và å
√
2
x+ x 1− x
1
2
1
1
√
√
√
√
√
−
−
=
−
x−
Q=
x−1 x−1
x+1
x−x
x−1 x−1
x
√
√
x−1 x−1
x−1

=
. √ = √
.
x−1
x
x
√
x−1
2. Với x > 0; x = 1 , ta có Q = √
.
x
√
ä
√
√
√
x−1
1Ä
Do đó Q = √
= −1 ⇔ x − 1 = − x ⇔ 2 x = 1 ⇔ x =
thỏa mãn .
x
4
1
Vậy với x = thì Q = −1.
4
Tháng 2-2020

N h´
om

LATEX

Trang 12


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

Ǹ PHƯƠNG PHÁP 5. ÁP DỤNG QUY ĐỒNG

CÂU 1. Rút gọn biểu thức: B =

1
1
−
.
1+x 1−x

Lời giải.
(1 − x) − (1 + x)
−2x
=
.
(1 + x) (1 − x)
1 − x2
√
2
x−5

4
√ −
+
với x ≥ 0, x = 1.
CÂU 2. Rút gọn biểu thức: B = √
x+1 1− x
x−1
Lời giải.
Với x ≥ 0, x = 1 , ta có: √
x−5
4
2
√ −
B=√
+
x+1 1− x
x−1
√
√
√
−2 ( x + 1)
x−5
4 ( x − 1)
√
√
√
+ √
− √
= √
( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)

√
√
√
4 ( x − 1) − 2 ( x + 1) − ( x − 5)
√
√
=
( x + 1) ( x − 1)
√
1
x−1
√
=√
.
= √
( x + 1) ( x − 1)
x+1
1
Vậy B = √
.
x+1
√
√
x
2 x
1
CÂU 3. Rút gọn biểu thức: B = √
−
−√
với x ≥ 0 và x = 1.

x−1 x−1
x+1
Lời √
giải.
√
2 x
1
x
√
B=√
− √
−√
x − 1 ( x − 1) ( x + 1)
x+1
√
√
√
√
√
√ √
x ( x + 1) − 2 x − ( x − 1)
x+ x−2 x− x+1
√
√
√
√
=
=
( x − 1) ( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)

√
√
√
2
x−2 x+1
( x − 1)
x−1
√
√
= √
= √
=√
.
( x − 1) ( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)
x+1
√
x− x
x−1
CÂU 4. Cho biểu thức G = √
−√
. Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
x−1
x+1
Lời giải.
Điều kiện√x ≥ 0 và x = 1 √ √
√
√
√
x− x

x−1
x ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) √
√
√
G= √
−√
=
−
= x − ( x − 1) = 1.
x−1
x+1
x−1
x+1
√
√
2+ x 2− x
CÂU 5. Cho biểu thức: P = √
+√
điều kiện x ≥ 0 và x = 1. Rút gọn biểu thức P .
x+1
x−1
Lời giải. √ √
√ √
√
√
√
(2 + x) ( x − 1) (2 − x) ( x + 1)
(x + x − 2) + (−x + x + 2)
2 x
√

√
Có P = √
+ √
=
=
.
( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)
x−1
x−1
Ç √
å
x
2
x+4
CÂU 6. Rút gọn biểu thức A = √
+√
:√
với x ≥ 0 và x = 4.
x+2
x−2
x+2
Lời giải.
Ta có điều kiện là x = ±1 B =

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 13


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

Với xÇ≥ 0√và x = 4 ta có:å
2
x+4
x
+√
:√
A= √
x+2
x−2
x+2
√ √
√
Ç
å √
x ( x − 2)
2 ( x + 2)
x+2
√
√
= √
+ √
.

( x + 2) ( x − 2) ( x − 2) ( x + 2)
x+4
√
√
√
x−2 x+2 x+4 x+2
√
= √
.
( x + 2) ( x − 2) x + 4
√
1
x+2
=√
=
.
x−2
x−4
Ç
å√
x−2
1
1
√
CÂU 7. Cho B = √
+√
với x > 0 và x = 4. Rút gọn biểu thức.
x−2
x+2
x

Lời
√
√
√
Ç giải.
å√
x−2
1
1
( x + 2) + ( x − 2) x − 2
√
√
B= √
+√
= √
. √
x−2
x+2
x
( x − 2) ( x + 2)
x
√ √
2
2 x ( x − 2)
√
=√
(x > 0; x = 4) .
=√ √
x ( x − 2) ( x + 2)
x+2

Ç

CÂU 8. Rút ngắn biểu thức: P =

1
1
√
−√
a−1
a+1

å

:

a+1
.
a−1

Lời giải.
Điều Çkiện: a ≥ 0; a = 1. å
1
1
a+1
P = √
−√
:
a−1
a+1
a−1

√
√
a + 1 − ( a − 1) a + 1
2 a−1
2
√
:
=
.
=
.
= √
( a − 1) ( a + 1) a − 1
a−1 a+1
a+1
√
√
a+1
a−1
−√
(với a ∈ R, a ≥ 0 và a = 1). Rút gọn biểu thức.
CÂU 9. Cho biểu thức A = √
a−1
a+1
Lời giải.
√
√
√
√
√

√
√
2
2
( a + 1) − ( a − 1)
a+2 a+1−a+2 a−1
4 a
a+1
a−1
A= √
−√
=
=
=
.
a−1
a+1
a−1
a−1
a−1
Ç

CÂU 10. Rút gọn biểu thức: B =

1
1
√
−√
x−1
x

å

:

1
√ (x > 0; x = 1)
x− x

Lời
√
√
√
√
Ç giải.
å
1
x − ( x − 1) x − x
1
x− x
1
1
√ = √ √
√ .
−√
.
=
= 1.
B= √
:

x−1
x
x− x
x ( x − 1)
1
x− x
1
Ç
å√
1
1
x+4
√
CÂU 11. Rút gọn biểu thức: Q = √
+√
.
x+4
x−4
x
Lời√giải.
√
√
√
√
x−4+ x+4
x+4
x+4
2 x
2
√

√
Q= √
. √
= √
. √
=√
.
( x + 4) ( x − 4)
x
( x + 4) ( x − 4)
x
x−4
√ å
Ç
1+ x
1
CÂU 12. Rút gọn biểu thức: Q = 1 + √
. √ với x > 0, x = 1.
x−1
x
Lời
√
√
ñ √giải.
ô
x−1+ x+1
1
2 x
1
2

√
Q=
·√ =√
.√ = √
(0 < x = 1).
( x − 1)
x
x−1 x
x−1
Ç
å
√
1
1
CÂU 13. Rút gọn biểu thức: P = √ − √
(x x + x) với x > 0.
x
x+1
Lời giải.
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 14


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

Với xÇ> 0 có
å
Ä √
ä
1
1
√
√
P =
−
x x+x
x
x+1
√
√
Ä√
ä
ä
√
x + 1 − x Ä√
1
.x x + 1 = √ √
.x. x + 1 = x.
= √ √
x ( x + 1)
x ( x + 1)
√

Ç
å Ç√
å
1
1
a+1
a+2
CÂU 14. Cho biểu thức: P = √
−√
: √
−√
với a > 0; a = 1; a = 4. Rút
a−1
a
a−2
a−1
gọn P .
Lời
√
å Ç√
å
Ç giải.
1
a+1
a+2
1
√
√
√
√

−
:
−
P =
a−1
a
a−2
a−1
√
√
√
√
√
Ç √
å
a− a+1
( a + 1) ( a − 1) ( a + 2) ( a − 2)
√
√
= √ √
: √
− √
a ( a − 1)
( a − 2) ( a − 1) ( a − 2) ( a − 1)
√
√
√
1
( a − 2) ( a − 1)
a−2

=√ √
.
= √ .
a ( a − 1) (a − 1) − (a − 4)
3 a
3
4
12
CÂU 15. Rút gọn biểu thức B = √
+√
−
, (x ≥ 0, x = 4).
x−2
x+2 x−4
Lời giải.
Ta có
√
√
3
4
12
3( x + 2) + 4( x − 2) − 12
√
√
B =√
+√
−
=
x−2
x+2 x−4

( x − 2)( x + 2)
√
√
7( x − 2)
7
7 x − 14
√
√
= √
=√
.
= √
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
x+2
Vậy B = √

7
.
x+2
Ç

CÂU 16. Rút gọn biểu thức A =

√
å √
3 x
1
x+1
√

−√
−3 · √
với x ≥ 0 và x = 1.
x−1
x+1
x+2

Lời giải.
Với x ≥ 0 và x = 1 ta có
√
å √
x+1
3 x
1
√
−√
−3 · √
x−1
x+1
x+2
√
√ √
√
√
√
3 x( x + 1) − ( x − 1) − 3( x − 1)( x + 1)
x+1
√
√
·√

( x − 1)( x + 1)
x+2
√
√
√
3x + 3 x − x + 1 − 3x + 3
x+1
√
√
·√
( x − 1)( x + 1)
x+2
√
√
2( x + 2)
x+1
2
√
√
·√
=√
.
( x − 1)( x + 1)
x+2
x−1

Ç

A =
=

=
=
Vậy A = √

2
.
x−1
Ç

CÂU 17. Cho biểu thức P =

√
å Ç √
å
4 x
8x
x−4
1
√ −
√ +√
:
với x > 0, x = 1, x = 4. Rút
2− x 4−x
x+2 x
x

gọn biểu thức P .
Lời giải.
Ta có
Ç

P =

√
å Ç √
å
4 x
8x
x−4
1
√ −
√ +√
:
2− x 4−x
x+2 x
x

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 15


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

√
√
√
√
4 x(2 + x) − 8x
x − 4 + ( x + 2)
√
√ :
√ √
=
(2 − x)(2 + x)
x( x + 2)
√
√
2 x−2
−4x + 8 x
√
√ :√ √
=
(2 − x)(2 + x)
x( x + 2)
√
√ √
4 x
x( x + 2)
2x
√ ·
√
=
=√

.
2+ x
2 x−2
x−1
Vậy P = √

2x
.
x−1
Ç

CÂU 18. Cho biểu thức P =

1
1
√
−√
a−1
a

Ç√

å

:

√
å
a+1
a+2

√
−√
. Tìm điều kiện xác định và
a−2
a−1

rút gọn biểu thức P .
Lời giải.
Ta có điều kiện a > 0, a = 1, a = 4 thì biểu thức P thành
√
√
√
√
√
√
a − ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( a − 2)
√
√
:
P = √ √
a( a − 1)
( a − 2)( a − 1)
1
(a − 1) − (a − 4)
√
=√ √
: √
a( a − 1) ( a − 2)( a − 1)
√
√

√
1
( a − 2)( a − 1)
a−2
=√ √
·
= √ .
a( a − 1)
3
3 a
√
a−2
Vậy P = √ .
3 a
√
Ç
å
1
1
3 a
CÂU 19. Rút gọn biểu thức N = √
+√
, (a > 0, a = 4).
:
a+2
a−2
a−4
Lời giải.Ç
√
√

√
√
å
1
1
2
3 a
a−2+ a+2 a−4 2 a a−4
√
Ta có N = √
+√
= √
· √
· √ = .
:
a+2
a−2
a−4
( a + 2)( a − 2) 3 a a − 4 3 a
3
CÂU 20.
Ç

1. Rút gọn biểu thức Q =

√
√
å √
3+ x 3− x
36

x−5
√ −
√ −
, (x > 0, x = 9, x = 25).
: √
3− x 3+ x x−9
3 x−x

2. Tìm x để Q < 0.
Lời giải.
1. Với x > 0, x = 9, x = 25, ta có
√
√
å √
3+ x 3− x
36
x−5
√ −
√ −
: √
3− x 3+ x x−9
3 x−x
√ 2
√ 2
√
(3 + x) − (3 − x) + 36 3 x − x
√
√
· √
(3 + x)(3 − x)

x−5
√
√
√
√
(9 + 6 x + x) − (9 − 6 x + x) + 36
x(3 − x)
√
√
· √
(3 + x)(3 − x)
x−5
√
√ √
√
(12 x + 36)(3 − x) x
12 x
√
√ √
=√
.
(3 − x)(3 + x)( x − 5)
x−5

Ç

Q =
=
=
=

√
12 x
Vậy Q = √
.
x−5

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 16


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

√
√
√
12 x
2. Với x > 0 thì 12 x > 0. Do đó Q < 0 ⇔ √
< 0 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 25.
x−5
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x = 9.
Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0; 25) \ {9}.
Ç

CÂU 21. Cho biểu thức A =

√
√
å
3
5 x−7
2 x+3
2
√
√ , (x > 0, x = 4).
√
+ √
−
:
x − 2 2 x + 1 2x − 3 x − 2
5x − 10 x

Rút gọn biểu thức A.
Lời giải.
Với x > 0, x = 4, biểu thức có nghĩa. Ta có
√
√
å
2
3
5 x−7
2 x+3
√

√
√
+ √
−
:
x − 2 2 x + 1 2x − 3 x − 2
5x − 10 x
√
√
√
√
2(2 x + 1) + 3( x − 2) − (5 x − 7)
2 x+3
√
√
: √ √
( x − 2)(2 x + 1)
5 x( x − 2)
√
√ √
2 x+3
5 x( x − 2)
√
√
√
·
( x − 2)(2 x + 1)
2 x+3
√
5 x

√
.
2 x+1

Ç

A =
=
=
=
√
5 x
Vậy A = √
.
2 x+1

Ǹ PHƯƠNG PHÁP 6. LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU RỒI ĐƠN GIẢN
HOẶC QUY ĐỒNG
√
√
x 2
2x − 2
√ +
CÂU 1. Rút gọn biểu thức P = √
với x > 0, x = 2.
x−2
2 x+x 2
Lời giải.
Với điều kiện đã cho thì
√ √

√
√
√
x 2
2( x − 2)
x
2
√ √
√ =√
√ = 1.
P =√ √
√ + √
√ +√
2x( 2 + x) ( x − 2)( x + 2)
2+ x
x+ 2
Vậy P = 1.

√
√
x y+y x
1
CÂU 2. Chứng minh rằng
:√
√
√ = x − y với x > 0, y > 0 và x = y.
xy
x− y
Lời giải.
√

√ √
√
√
xy( x + y) √
x y+y x
1
√
Ta có
:√
· ( x − y) = x − y.
√
√ =
√
xy
x− y
xy
√
√
a b+b a
a−b
√
√ .
CÂU 3. Rút gọn biểu thức B =
+√
ab
a+ b
Lời giải.
Ta có với a, b là hai số thực dương thì
√
√ √

√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
a b+b a
a−b
ab( a + b) ( a − b)( a + b) √
√
√ =
√
√
B=
+√
+
= a + b + a − b = 2 a.
√
ab
a+ b
ab
a+ b
√
Vậy B = 2 a.
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 17


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
√ åÇ
√ å
a+ a
a−5 a
CÂU 4. Rút gọn biểu thức A = 3 + √
3− √
với a ≥ 0, a = 25.
a+1
a−5
Lời giải.
Ta có
√ å
√ åÇ
Ç
a−5 a
a+ a
3− √
A = 3+ √
a+1
a−5

√ √
√ √
Ç
åÇ
å
a( a + 1)
a( a − 5)
= 3+ √
3− √
a+1
a−5
√
√
= (3 + a)(3 − a) = 9 − a.
Ç

Vậy A = 9 − a.

√ åÇ
√ å
a+ a
a− a
√
CÂU 5. Rút gọn biểu thức P = 1 + √
1+
với a ≥ 0, a = 1.
a+1
1− a
Lời giải.
√ √

√ √
ôñ
ô
ñ
√
√
a( a + 1)
a( a − 1)
√
1+
= (1 + a)(1 − a) = 1 − a.
Với a ≥ 0, a = 1 ta có P = 1 + √
a+1
1− a
√ åÇ
√ å
Ç
a− a
a+2 a
CÂU 6. Rút gọn biểu thức P = 1 − √
1− √
với a ≥ 0, a = 1 (trình bày rõ các
a−1
a+2
bước biến đổi).
Lời giải.
Ta có
√ åÇ
√ å
Ç

a− a
a+2 a
P = 1− √
1− √
a−1
a+2
√ √
√ √
Ç
å Ç
å
a( a − 1)
a( a + 2)
= 1+ √
· 1− √
a−1
a+2
√
√
= (1 − a)(1 + a) = 1 − a.
Ç

Vậy P = 1 − a.
Ç

å

1
2
1

+√
. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
: √
CÂU 7. Cho biểu thức P =
x−4
x+2
x+2
3
thức P , từ đó tìm giá trị của x để P = .
2
Lời giải.
x≥0
x≥0
Điều kiện xác định
⇔
x−4=0
x = 4.
√
√
Ç
å
√
1
1
2+ x−2
x
2
√
+√
: √

= √
· ( x + 2) = √
.
Ta có P =
x −√
4
x+2
x+2
( x + 2)( x − 2)
x−2
√
√
√
3
x
3
Tại P = ⇔ √
= ⇔ 2 x = 3 x − 6 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa).
2
x−2
2
√ å
Ç
x
1
1
: √
CÂU 8. Cho biểu thức A = √
−
. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu

x−1 x−1
x+1
thức A.
Lời giải.
x≥0
Điều kiện xác định
x = 1.
√
√
√
x+1− x
1
1
x+1
1
√
√
Rút gọn A = √
:√
= √
·
=√
.
( x + 1)( x − 1)
x+1
( x + 1)( x − 1)
1
x−1
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 18


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
CÂU 9. Cho biểu thức P = √

1
4
−
. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
x−2 x−4

Lời giải.
Điều kiện xác định là x ≥ 0, x = 4. √
√
4
x+2−4
x−2
1
1
√
√
−

= √
= √
=√
.
Rút gọn P = √
x−2 x−4
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
x+2
√
√
x+1
1
CÂU 10. Cho biểu thức P = (
−√
)( x − 3).Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
x−9
x+3
Lời√giải.
√
1
x+1
−√
)( x − 3).
P =(
x−9
x+3
Điều kiện
x√
≥ 0, x = 9.

√
√
√
ô
ñ
√
x+1
x−3
x + 1 − ( x − 3) √
4
√
√
√
− √
( x − 3) = √
.( x − 3) = √
.
P = √
( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3)
( x + 3)( x − 3)
x+3
√
√
√
x+1
2
x−4
CÂU 11. Cho biểu thức P = ( √
−
).( x − 1 + √

) (với x > 0 và x = 4).
x
−
2
x
−
4
x
√
Chứng minh rằng P = x + 3.
Lời giải.
√
√
√
2
x+1
x−4
−
).( x − 1 + √
)
P = (√
x−2 x−4
x
√
√
√
Ç √
å Ç √
å
( x + 1)( x + 2)

2
( x − 1) x
x−4
√
=
−
+ √
.
x−4
x−4
x
x
√
x+3 x x−4
=
. √
x−4
x
√ √
x( x + 3) √
√
= x + 3.
=
x
√

x
1
√ =
CÂU 12. Chứng minh rằng với x > 0 và x = 1 thì √

−
x−1 x− x
Lời giải.
Với x > 0 và x = 1 ta có
√
√
1
1
x
x
√
√ =√
−
−√ √
x−1 x− x
x−1
x( x − 1)
√ √
x x−1
=√ √
x( x − 1)
x−1
=√ √
x( x − 1)
√
√
( x − 1)( x + 1)
√ √
=
x( x − 1)

√
x+1
= √
x

√

x+1
√
.
x

√
x
x − 2x
√ , với x > 0; x = 1.
CÂU 13. Rút gọn biểu thức: A = √
+
x−1
x− x
Lời giải.

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 19

Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
Với x > 0; x = 1 ta có
√
√
x
x − 2x
x
x − 2x
√ =√
A= √
+
+√ √
x−1
x− x
x−1
x( x − 1)
√
√
√
x
x − 2x
x(x−2 x + 1)
=√ √
+√ √
= √ √
x( x − 1)

x( x − 1)
x( x − 1)
√
2
√
( x − 1)
= x − 1.
= √
x−1
Kết luận: A =

√
x−1

√
1
x+1
x−2
√ +√
). √
với x > 0 và x = 1.
CÂU 14. Cho biểu thức P = (
x+2 x
x+2
x−1
√
x+1
Chứng minh rằng P = √
.
x

Lời giải. √
√
√
√
√
√
x−2+ x
x+1
( x − 1)( x + 2)
x+1
x+1
P = (√ √
). √
=( √ √
). √
= √
.
x( x + 2)
x−1
x( x + 2)
x−1
x
√
√
x−1 5 x−2
CÂU 15. Cho biểu thức Q = √
+
với x > 0, x = 4. Rút gọn biểu thức Q.
x+2
x−4

Lời giải.
Ta có
√
√
√
√
√
( x − 1)( x − 2) + 5 x − 2
x−1 5 x−2
+
=
Q= √
x+2
x−4
x−4
√
√
√
x−3 x+2+5 x−2
x+2 x
=
=
√ x−4
√ √x − 4
x( x + 2)
x
√
=√
.
= √

( x + 2)( x − 2)
x−2
√
CÂU 16. Với x > 0, cho biểu thức B =

√
x−1 2 x+1
√
√ . Rút gọn biểu thức B.
+
x
x+ x

Lời giải.
√
√
√
√
( x − 1)(x + x) + (2 x + 1) x
√
√
B=
x(x + x)
√
√
x x + 2x
x+2
= √
=√
.

x x+x
x+1
√
√
3+ 3
CÂU 17. Rút gọn các biểu thức sau: P = ( 3 − 1) √ .
2 3
Lời giải.
√
√ √
√
√
3+ 3
3( 3 + 1)
√
P = ( 3 − 1). √
= ( 3 − 1)
2 3
2 3
√
√
( 3 − 1)( 3 + 1)
3−1
=
=
= 1.
2
2

N h´

om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 20


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9

1
1
2
CÂU 18. Rút gọn các biểu thức sau: Q = ( √
+√
)(1 − √ ) với x > 0 và x = 4.
x−2
x+2
x
Lời giải.
1
2
1
+√
)(1 − √ )
Q = (√
x−2

x+2
x
√
√
√
x+2+ x−2
x−2
√
=( √
)( √
)
( x − 2)( x + 2)
x
√
√
2 x
x−2
2
√
=( √
)( √
)= √
( x − 2)( x + 2)
x
x+2
√
x − 12
6
√ với x > 0 và x = 36.
+

CÂU 19. Rút gọn biểu thức B = √
6 x − 36 x − 6 x
Lời giải.
Với x > 0 và x = 36 ta có
√
x − 12
6
√
B= √
+
6 x − 36 x − 6 x
√
6
x − 12
= √
+√ √
6( x − 6)
x( x − 6)
√ √
√
x( x − 12) + 6.6
x − 12 x + 36
√ √
=
= √ √
6 x( x − 6)
6 x( x − 6)
√
√
2

( x − 6)
x−6
= √ .
= √ √
6 x( x − 6)
6 x
√
1
1
x
CÂU 20. Rút gọn biểu thức C = ( √
− √ 2 √ )√
với x > 0 và x = 1.
x + 1 ( x) + x x − 1
Lời giải.
√
√
x
1
x
C = (√ √
−√ √
)√
x( x + 1)
x( x + 1) x − 1
√ √
x( x − 1)
1
√
=√ √

=√
.
x( x + 1)( x − 1)
x+1
√
1
2
x
√ )√
−
với x > 0; x = 4.
CÂU 21. Rút gọn biểu thức P = ( √
x+2 x+2 x x−2
Lời giải.
Với x > 0 và x = 4, ta có
√
1
2
x
√ )√
P = (√
−
x+2 x+2 x x−2
√
√
x
2
x
= (√ √
−√ √

)√
x( x + 2)
x( x + 2) x − 2
√
√
x−2
x
1
=√ √
.√
=√
.
x( x + 2) x − 2
x+2

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 21


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
√

√
√
x+2
x−2
x
√
CÂU 22. Cho biểu thức A = (
−
): √
với x > 0 và x = 1.
x+2 x+1
x−1
x+1
Rút gọn biểu thức A.
Lời giải.
√
√
√
x+2
x−2
x
√
−
): √
A=(
x+2 x+1
x−1
x+1
√
Ç √

å √
x+2
x−2
x+1
√
= √
. √
− √
2
( x + 1)
( x + 1)( x − 1)
x
√
√
√
Ç √
å √
( x + 2)( x − 1)
( x − 2)( x + 1)
x+1
√
√
√
√
= √
−
.
( x + 1)2 ( x − 1) ( x + 1)2 ( x − 1)
x
√

√
√
√
√
x − x + 2 x − 2 − (x + x − 2 x − 2) x + 1
√
√
=
. √
( x + 1)2 ( x − 1)
x
√
√
x+1
2
2 x
√
. √
=
.
= √
2
( x + 1) ( x − 1)
x
x−1
Vậy A =

2
.
x−1

√
√
√
x+ x
2 x−1 x−6 x+4
CÂU 23. Cho biểu thức P = √
− √
+
với x ≥ 0; x = 4. Rút gọn biểu
x−2
x+2
x−4
thức P .
Lời giải.
Với x ≥ 0; x = 4 ta có
√
√
√
x−6 x+4
x+ x 2 x−1
√
− √
+ √
P = √
x−2
x+2
( x − 2)( x + 2)
√ √
√

√
√
(x + x)( x + 2) − (2 x − 1)( x − 2) + x − 6 x + 4
√
√
=
( x − 2)( x + 2)
√
√
√
√
√
x x + 2x + x + 2 x − 2x + 4 x + x − 2 + x − 6 x + 4
√
√
=
( x − 2)( x + 2)
√
√
√
√
x x + 2x + x + 2
x( x + 2) + x + 2
√
√
= √
= √
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
√

(x + 1)( x + 2)
x+1
√
= √
=√
.
( x − 2)( x + 2)
x−2
x+1
Vậy với x ≥ 0; x = 4 thì P = √
.
x−2

√
√
x−1
x+6
x+2
x
−√
−
) : (√
− 1).
CÂU 24. Rút gọn biểu thức B = ( √
x−2
x+2
x−4
x−2
Lời giải.
Điều kiện x = 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp

√
√
x
x+6
x+2
x−1
B = (√
−√
−
) : (√
− 1)
x−2
x+2
x−4
x−2
√
√
√
√
Ç
å Ç√
å
x( x + 2)
(x − 1)( x − 2)
x+6
x+2
x−2
√
√
√

− √
− √
: √
−√
= √
( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)
x−2
x−2
√
√
√
√
Ç √
å √
x x + 2x − (x x − 2x − x + 2) − ( x + 6)
x + 2 − ( x − 2)
√
√
√
=
:
( x + 2)( x − 2)
x−2
√
4x − 8
x−2
x−2
√
= √
.

=√
.
( x + 2)( x − 2)
4
x+2
N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 22


Nhóm LATEX

Dự án CĐ Lớp 9
Ç

CÂU 25. Cho biểu thức A =

√
√
√
å
x x−1 x x+1
2(x − 2 x + 1)
√ −
√

:
(với x > 0 và x = 1).
x− x
x+ x
x−1

Rút gọn biểu thức A.
Lời giải.
√
√
√
√
ô
ñ √
2( x − 1)2
( x − 1)(x + x + 1) ( x + 1)(x − x + 1)
√
√ √
√ √
−
: √
A=
x( x − 1)
x( x − 1)
( x − 1)( x + 2)
√
√
√
Ç
å

x+ x+1 x− x+1
2( x − 1)
√
√
=
−
: √
x
x
x+1
√
√
√
2 x
x+1
x+1
= √ . √
=√
.
x 2( x − 1)
x−1
√
CÂU 26. Cho biểu thức A =

x−1
1
1
: (√ − √
) với x > 0; x = 1.
−x

x
x+1

x2

Rút gọn A.
Lời giải.
√

x−1
1
1
: (√ − √
)
−x
x
x+1
√
√
√
x−1
x+1− x
√
= √
:(√ √
)
x( x + 1)( x − 1)
x( x + 1)
√ √
1

x( x + 1)
1
= √
.
=√ .
x( x + 1)
1
x

A=

x2

√
4
3
6 a+2
CÂU 27. Cho biểu thức P = √
+√
−
) với a ≥ 0; a = 1.
a−1
a+1
a−1
Rút gọn P .
Lời giải.
√
3
6 a+2
4

+√
−
P =√
a−1
a+1
a−1
√
√
√
4( a − 1) 3( a − 1) 6 a + 2
=
+ √
−
a−1
a+1
a−1
√
a−1
1
=√
.
=
a−1
a+1

CÂU 28. Nội dung câu hỏi
Lời giải.
Ta có
P =
=

=
=

√
4
3
6 a+2
√
+√
−
a−1
a+1
a−1
√
√
√
4( a + 1) 3( a − 1)
6 a+2
√
√
+ √
− √
a−1
a+1
( a + 1)( a − 1)
√
√
√
4 a+4+3 a−3−6 a−2
√

√
( a + 1)( a − 1)
√
√
√
4 a+4+3 a−3−6 a−2
√
√
( a + 1)( a − 1)

N h´
om

LATEX

Tháng 2-2020

Trang 23