Đề thi số 2

TRUNG TM BDVH & LUYN THI I HC LUYN THI I HC NM 2010
THNH T Mụn thi: TON
************ Thi gian: 180 phỳt ( Khụng tớnh thi gian phỏt )
s 2 ------------------------------------------------
I.PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH ( 7im ):
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
43
23
+=
xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M,
N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II (2điểm)
1. Giải hệ phơng trình:



=++
=+++
yyxx
yyxyx
)2)(1(
4)(1
2
2
(x, y
R
)
2. Giải phơng trình:
3sin 2 4 os2x = 3sinx + 4 osx - 4

+
x c c
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
4
6 6
0
(sin x - os )=

I c x dx


Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A lên mặt
phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA, cắt lăng trụ
theo một thiết diện có diện tích bằng
8
3
2
a
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho:
2 2 2
1a b c+ + =
. Chng minh:
2(1 ) 0abc a b c ab ac bc+ + + + + + +
II.PHN RIấNG ( 3 im ): Thớ sinh ch c chn lm mt trong hai phn ( phn 1 hoc phn 2 )
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2
Phần 1
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P):
xxy 2

2
=
và elip (E):
1
9
2
2
=+
y
x
.
Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn. Viết phơng trình đờng tròn
đi qua 4 điểm đó.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
011642
222
=+++
zyxzyx
và mặt phẳng (

) có phơng trình 2x + 2y z + 17 = 0. Viết phơng trình
mặt phẳng (

) song song với (

) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6.
Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n

x
x








+
4
2
1
,
biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2

0
+
=
+
++++
+
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn


Phần 2
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đờng thẳng d
1
: x + y + 5 = 0, d
2
: x + 2y - 7= 0 và tam giác
ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết phơng trình đờng tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng
(P): x y z 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
MCMBMA
++
Câu VII.b (1 điểm) Gii phng trỡnh sau trờn tp hp cỏc s phc :
4z 3 7i
z 2i
z i

=

============Ht============
583 727 TRN CAO VN NNG * T: 3 759 389 3 711 165 Biờn son: Nguyn Vn Xờ
P N 2
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số
43
23
+=
xxy
1,00
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
+=+==+=
++

)4x3x(limylim,)4x3x(limylim
23
xx
23
xx
0,25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x
2
- 6x, y' = 0

x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x
-

0 2 +

y' + 0 - 0 +
y
4 +

-

0
- Hàm số đồng biến trên (-

; 0) và (2; +

), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y

CĐ
= 4, đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= 0.
0,50
3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0).
Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
I.2
Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc .....
1,00
d có phơng trình y = m(x 3) + 4.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình



=
=
=+=+
0mx
3x
0)mx)(3x(4)3x(m4x3x
2
223
0,50
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và
1)m('y).m('y
=
0,25
9

35318
m01m36m91)m6m3)(m6m3(
2

==+=+
(thỏa mãn) 0,25
II.1
Giải hệ phơng trình đại số
1,00
Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ 0,25
Hệ phơng trình tơng đơng với







=+
+
=++
+
1)2yx(
y
1x
22yx
y
1x
2
2

0,25
x
y
-1
2
O
4
2
1
Đặt
2yxv,
y
1x
u
2
+=
+
=
Ta có hệ
1vu
1uv
2vu
==



=
=+
0,25
Suy ra

=+
=
+
12yx
1
y
1x
2
. Giải hệ trên ta đợc nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) 0,25
II.2
Giải phơng trình lơng giác
1,00
1. Gii phng trỡnh:
3sin 2 4 os2x =3sinx + 4 osx - 4x c c+
6sinxcosx - 3sinx + 4(2cos
2
x - 1) - 4cosx + 4 = 0 3sinx(2cosx - 1) +
4cosx(2cosx - 1) = 0
(2cosx - 1)(3sinx + 4cosx) = 0

1
2
cos
2cos 1 0
3

2
4
3sin 4cos 0 4
tan
arctan( )
3
3
x k
x
x
x x
x
x k





= +
=


=





+ =

=
= +




.
0,25
0,25
0,25
, 0,25
III
Tính tích phân
1,00

4
6 6
0
(sin x - os )=

I c x dx

4 4
6 6 2 2 4 4
0 0
4
2
0

4 4
2
0 0
4
2 3
0
(sin - os ) (sin - os )(sin sin cos cos )
1
cos2 (1 sin 2 )
4
1
cos 2 .sin 2 cos2
4
1 1 1 1 11
sin 2 (sin 2 ) sin 2 sin 2
4 4
8 2 24 2 24
0 0
= = + +
=
=
= = =




I x c x dx x c x x x x x dx
x x dx
x xdx xdx
xd x x x

0,25
0,25
0,25
0,25
IV
Tính thể tích khối lăng trụ
1,00
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA, Khi
đó (P)

(BCH). Do góc
ã
A'AM
nhọn nên H nằm giữa AA. Thiết diện của lăng
trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
0,25
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
3
3a
AM
3
2
AO,
2
3a

AM
===
Theo bài ra
4
3a
HM
8
3a
BC.HM
2
1
8
3a
S
22
BCH
===
0,25
4
a3
16
a3
4
a3
HMAMAH
22
22
===
Do hai tam giác AAO và MAH đồng dạng nên
AH

HM
AO
O'A
=
suy ra
3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A
===
0,25
Thể tích khối lăng trụ:
12
3a
a
2
3a
3
a
2
1
BC.AM.O'A
2

1
S.O'AV
3
ABC
====
0,25
V
Tìm giá trị lớn nhất ...
1,00
T gt ta cú:
(1 )(1 )(1 ) 0a b c+ + +
suy ra:
1 0a b c ab ac bc abc
+ + + + + + +
.
Mt kh
2 2 2 2
1
(1 ) 0
2
a b c a b c ab ac bc a b c+ + + + + + + + = + + +
. Cng li ta cú pcm
0,50
0,25
0,25
VIa.1
Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)
1,00
Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phơng trình
09x37x36x91)x2x(

9
x
23422
2
=+=+
(*)
0,25
A
B
C
C
B
A
H
O
M
Xét
9x37x36x9)x(f
234
+=
, f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0,
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E)
cắt (P) tại 4 điểm phân biệt
0,25
Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ

=+
=
1y
9
x
x2xy
2
2
2
0,25
09y8x16y9x9
9y9x
y8x16x8
22
22
2
=+



=+
=

(**)
(**) là phơng trình của đờng tròn có tâm

=
9
4
;
9
8
I
, bán kính R =
9
161
Do
đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**)
0,25
VIa.2
Viết phơng trình mặt phẳng (

)....
1,00
Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y z + D = 0 (D

17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3.
0,25
Khoảng cách từ I tới () là h =
435rR
2222
==
0,25

Do đó



=
=
=+=
++
++
(loại) 17D
7D
12D54
)1(22
D3)2(21.2
222
0,25
Vậy () có phơng trình 2x + 2y z - 7 = 0
0,25
VII.a
Tìm hệ số của x
2
...
1,00
Ta có
( )

++++=+=
2
0
nn

n
22
n
1
n
0
n
2
0
n
dxxCxCxCCdx)x1(I
2
0
1nn
n
32
n
21
n
0
n
xC
1n
1
xC
3
1
xC
2
1

xC






+
++++=
+

suy ra I
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C
3
2
C

2
2
C2
+
++++=
+

(1)
0,25
Mặt khác
1n
13
)x1(
1n
1
I
1n
2
0
1n
+

=+
+
=
+
+
(2)
Từ (1) và (2) ta có
n

n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C2
+
++++=
+

1n
13
1n
+

=

+
Theo bài ra thì
7n65613
1n
6560
1n
13
1n
1n
==
+
=
+

+
+
0,25
Ta có khai triển
( )



=

=








+
7
0
4
k314
k
7
k
k
7
0
4
k7
k
7
7
4
xC
2
1

x2
1
xC
x2
1
x
0,25
Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa mãn
2k2
4
k314
==

Vậy hệ số cần tìm là
4
21
C
2
1
2
7
2
=
0,25
VIb.1
Viết phơng trình đờng tròn ....
1,00
Do B d

1
nên B = (m; - m 5), C d
2
nên C = (7 2n; n)
0,25