Chuyên đề khoảng cách trong không gian

February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
A. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
- Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán hay, đòi hỏi tư duy đối
với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi cho các em hướng giải
quyết tốt khi gặp dạng toán này. Bài viết này giới thiệu với các bạn một số phương pháp giải bài toán khoảng
cách trong hình học không gian, với hi vọng giúp các em học sinh không lúng túng khi gặp dạng toán này.
Nội dung chuyên đề bao gồm:
+ Phần I: Lý thuyết
+ Phần II: Bài tập
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. Lý thuyết

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  là MH , với
H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng  P  .
{

(

)

- Phƣơng pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phƣơng pháp chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình

chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình
chiếu của điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách
sau:
 Cách 1:
Bước 1. Tìm một mặt phẳng  Q  chứa M và vuông góc với  P  .
Bước 2. Xác định giao tuyến: d  ( P )  (Q )
Bước 3. Trong (Q) , dựng MH  d ( H  d )

( P)  (Q)


d  ( P)  (Q)   MH  ( P)  d ( M ;( P))  MH
(Q)  MH 


 Cách 2:
Nếu đã biết trước một đường thẳng d  ( P) thì ta sẽ dựng Mx d . Khi đó

H  Mx  (P ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( P )
 d ( M ;( P ))  MH

1


February 26, 2018



[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

Cách 3:

Dựa vào tính chất trục của tam giác Cho ABC nằm trên  P  . Nếu

MA  MB  MC thì hình chiếu vuông góc của điểm M lên  P  chính là tâm O
của đường tròn ngoại tiếp ABC . Khi đó: MO  ( P )  d ( M ;( P))  MO

1.1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Khoảng cách từ chân đƣờng cao tới mặt bên
Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S . Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt đáy là H . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên ( SAB )
Bước 1. Kẻ HI  AB ( I  AB )
Bước 2. Kẻ HK  SI ( K  SI )
Khi đó: d ( H , ( SAB))  HK 

SH .HI
SH 2  HI 2

2. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng (chứa đƣờng
cao)
Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
đáy là H . Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên ( SHB )
Bước 1. Kẻ AK  HB ( K  HB )
Bước 2.

AK  HB 
  AK  (SHB)
AK  SH 

Khi đó: d ( A, ( SHB ))  AK

3. Giả sử ta ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( P ) mà không thực hiện được.
Đồng thời từ điểm B ta lại dựng được trực tiếp khoảng cách tới ( P ) khi đó ta sẽ thực hiện tính khoảng cách
gián tiếp như sau:
 Cách 1 (Đổi điểm) Tính thông qua tỉ số khoảng cách

AB ( P)  d ( A, ( P))  d ( B, ( P))

2


February 26, 2018

AB  ( P)  I 



[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

d ( A, ( P)) AI

d ( B, ( P)) BI

Cách 2 (Đổi đỉnh) Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngtrong nhiều trường hợp có thể qui về bài
toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức:

h

3V
: V , S , h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của hình chóp.

S

h

V
: V , S , h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ.
S

Phƣơng pháp này áp dụng đƣợc trong trƣờng hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về
bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là
không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pytago, công thức
lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy,
chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.

2. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.
- Định nghĩa: Khoảng cách giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng ( P ) song song với a là khoảng cách từ
một điểm nào đó của a đến mặt phẳng ( P ) .
- Kí hiệu: d(a, (P)) = d(M, (P)) , trong đó M là điểm bất kì nằm trên a .
- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( P ) được quy về việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Kí hiệu: d(( ),( ) ) = d(M,( ))=d(C,( )) , trong đó M là điểm bất kì nằm trên ( ) và C là một điểm nào
đó thuộc (  )
- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.

3


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

- Định nghĩa: Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Các điểm M, N
 MN  a
lần lượt nằm trên các đường thẳng a và b sao cho 
. Khi đó, MN được gọi là đoạn vuông góc
 MN  b
chung giữa a và b . Khoảng cách giữa a và b bằng độ dài đoạn MN.
- Nhận xét
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đếnmặt
phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
- Phƣơng pháp chung
Cho a , b là hai đường thẳng chéo nhau.
Bước 1. Tìm giao điểm I giữa b và mặt phẳng đáy.
Bước 2. Qua I kẻ đường thẳng Ix song song với a . Gọi ( )
là mặt phẳng chứa b và Ix  a ( )
Bước 3. d (a, b)  d (a, ( ))  d ( M , ( ))
trong đó M là một điểm bất kì thuộc đường thẳng a . Và chú ý nếu a
đi qua chân đường cao H thì ta chọn M  H

2.1. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Phƣơng pháp
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Đường thẳng
cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy gọi là đường

vuông góc
chung của a và b. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
.
b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
TH1: Khi a , b chéo nhau và a  b
- Bước 1. Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b và vuông góc với a tại M.
- Bước 2. Trong ( P ) dựng MN  b tại N .
- Bước 3. Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b

 d (a, b)  MN
TH2: Khi a , b chéo nhau và a 
b
Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Hướng 1:
Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến một mặt phẳng.
- Bước 1. Dựng mặt phẳng ( P ) chứa b và song song với a
- Bước 2. {

(

)

4


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng song song.

Bước 1: Dựng hai mặt phẳng ( P ) , (Q) sao cho a  ( P ) (Q)  (b)
Bước 2: Khi đó d (a, b)  d ((Q ), ( P ))  d ( M , (Q ))

II. Bài tập vận dụng
Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại C . Tính khoảng cách từ B đến ( SAC )
biết AC  3a, AB  5a
Hƣớng dẫn giải:

BC  SA 
  BC  (SAC )
BC  AC 
 d ( B, ( SAC ))  BC  AB 2  AC 2  4a

Cho hình chóp
cách từ

đến

có đáy là tam giác vuông tại

với ,

và

. Khoảng

bằng

Hƣớng dẫn giải:
Kẻ BH  AC ( H  AC )  BH  ( SAC )

 d ( B, ( SAC ))  BH 

AB.BC
AB 2  BC 2



2a 5
5

Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
Khoảng cách từ đến
bằng
Hƣớng dẫn giải:
Hƣớng dẫn giải:
Kẻ AH  SB ( H  SB )

BC  AB 
  BC  (SAB)  BC  AH
SA  BC 

5

.

vuông góc với đáy,

,

.


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

BC  AH 
  AH  ( SBC )
AH  SB 
SA. AB

 d ( A, ( SBC ))  AH 

Cho hình chóp

SA2  AB 2

 2, 4

đôi một vuông góc,

có

. Tính khoảng cách từ điểm

và diện tích tam giác

bằng

đến mặt phẳng (SBC).

Hƣớng dẫn giải:
Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Kẻ AK vuông góc với SH tại K.
Khi đó d A, SBC

AK

AB 2

Ta có BC =

AC 2

AC. AB

AH

AC 2

AB 2

d ( A, (SBC )

AK

a 3 và S

a 6
, SA
3

SA. AH
SH

SBC

SH 2

a 2 33
nên SH
6
AH 2

a 5
3

a 330
33

có đáy ABC là tâm giác vuông cân tại C, cạnh huyền có độ dài bằng 8𝑎 . Gọi M là trung

Cho hình chóp

điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết

và

.

Hƣớng dẫn giải:
Kẻ BK

BK
SH

AM

AM
( ABC )

d ( B, ( SAM ))
AB
S

AMB

8a

AC
1
S
2

a 11
3

ABC

BK

SH

BK

( SAM )

BK
BC 4a 2
1
BK . AM
2

1 1
. AC.BC
2 2
6

. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng


February 26, 2018

BK

AC.BC
2 AM

4a 10
5

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

4a 10
5

d ( B, (SAM ))

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

. Cạnh bên SA vuông góc

với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ diểm A đến mặt phẳng (SBC).

Hƣớng dẫn giải:
Kẻ AI

SB
BC AB
SA ( ABCD)

SA

BC AI
AI SB

SA

SD 2

AI

AD 2

BC
( SBC )

a 21; AI

BC

( SAB)

d ( A, ( SBC ))

SA. AB
SA

d ( A,( BC ))

AI

2

AB

2

4a 21
37

4a 21
37

Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

. Đường thẳng
bằng

vuông góc với mặt phẳng đáy,

Hƣớng dẫn giải:
Vì CD ( SAB )

 d (CD, SB)  d (CD, ( SAB))  d ( D, ( SAB)).
Vì
 DA  AB
 DA  (SAB)  d ( D,(SAB))  DA  a

 DA  SA
Vậy d (CD , SB )  d (D ,(SAB )) a
Cho tứ diện đều

có cạnh bằng

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Hƣớng dẫn giải:
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Vì BCD và ACD là các tam giác đều cạnh bằng a
 AN  CD
a 3
MN ( ABN )
Nên AN  BN 
và 
 CD  ( ABN ) 
CD  MN (1)
2
 BN  CD
Mặt khác, vì AN  BN  ABN cân tại N
7

và

bằng


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

 MN  AB (2)
Từ (1) và (2)  MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD
2

 a 3   a 2 a 2
Do đó: d ( AB, CD)  MN  AN  AM  
 2    2   2


2

Vậy d ( AB, CD) 

và

a 2
2

có đáy là hình chữ nhật với

Cho hình chóp
và

2

tạo với mặt phẳng đáy

, cạnh

một góc

vuông góc với mặt phẳng đáy

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

bằng

Hƣớng dẫn giải:
Vì AB ( SCD)  d ( AB, SC )  d ( AB, ( SCD))  d ( A, ( SCD))
Trong ( SAD ) , kẻ AH  SD , ( H  SD )

CD  AD
Vì 
 CD  (SAD)  CD  AH
CD  SA
 AH  SD
Vì 
 AH  ( SCD)  d ( A,( SCD))  AH
 AH  CD
̂
̂
̂ =600
Ta có:
̂  SA  SA  AB
AB

Xét SAB vuông tại A , ta có:
̂=

a 3

Vậy d ( AB, SC)  AH 

SA. AD

SA2  AD2

[ĐHD03] Cho hai mặt phẳng

và



2a.a 3
4a2  3a2



2 a 21
7

vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao tuyến

và đặt
. Lấy C , D lần lượt thuộc
và
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) .

sao cho AC , BD vuông góc với

Hƣớng dẫn giải:

8

. Lấy A , B thuộc

và


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

( P)  (Q)

Ta có: ( P)  (Q)   
  AC  (Q)  AC  BD
AC  ( P)


AC  
Ta lại có:

BD  AB  BD  ( ABC )

(1)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống . Vì

ABC vuông cân tại A nên AH và AH 

BC a 2

2
2

Từ (1) suy ra AH  BD  AH  ( BCD )
Do đó H là chân đường cao hạ từ A lên ( BCD )  d ( A, ( BCD))  AH 

[Đề ĐH 2014 - Khối A & A1] Cho hình chóp

có đáy

a 2
2

là hình vuông cạnh a,

là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp

hình chiếu vuông góc của S cả mặt phẳng
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Hƣớng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH
Do đó SH

SD 2

HD . Ta có SH

( ABCD ) .

DH 2

SD2

1
a3
.SH .S ABCD
3
3
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và
E là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có
BD HK và BD SH , nên BD ( SHK ) .
Suy ra: VS . ABCD

Suy ra BD
Do đó HE

HE . Mà HE
( SBD) .

Ta có

̂

SK .
√

1
1
.SA.S ABCD
. 2a.a 2
3
3

HS .HK
a
Suy ra HE
2
2
3
HS
HK
VS . ABCD

Do đó d ( A, ( SBD ))

2d ( H , ( SBD ))

,

2 3
a
3

2 HE

2a
3

9

( AH 2

AD2 )

a


February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

[Đề THPT Quốc gia 2015] Cho hình chóp
mặt phẳng
, góc giữa đường thẳng

có đáy
và mặt phẳng

là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
bằng
. Hình chiếu vuông góc của S

là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp

cả mặt phẳng

và khoảng cách giữa

hai đường thẳng
Hƣớng dẫn giải
̂

Ta có ̂

Suy ra SA

AC

2a.

1
1
2 3
.SA.S ABCD
. 2a.a 2
a
3
3
3
Kẻ đường thẳng d qua B song song AC . Gọi M
là hình chiếu vuông góc của A trên d ; H là hình chiếu
vuông góc của A trên SM .
Ta có SA BM , MA BM nên AH BM , suy ra
VS . ABCD

AH

( SBM ).

Tam giác SAM vuông tại A , có đường cao AH , nên

1
AH 2

1
SA2

1
AM 2

Vậy d ( AC, SB)

AH

5
2a 2

10
a
5

[ĐH-B13] Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp
mặt phẳng
Hƣớng dẫn giải

3
a
2
Mà ( SAB ) vuông góc với ( ABCD ) theo giao tuyến AB nên
Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH

SH

AB và SH

( ABCD ).

1
a3 3
.SH .S ABCD
3
6
Do AB CD và H AB nên d ( A, ( SCD ))
Do đó VS . ABCD

d ( H , ( SCD )).

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc
của H trên SK.
Ta có: HK CD.
Mà SH CD CD ( SHK )

CD

HI . Do đó HI

( SCD).

10

là tam giác đều và nằm trong
và khoảng cách từ A đến

February 26, 2018

Suy ra d ( A, ( SCD))

HI

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

SH .HK
SH

2

HK

2

21
a
7

[Đề ĐH 2012 – Khối A & A1] Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng
bằng 60°. Tính thể tích khối chóp
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo
a.

Hƣớng dẫn giải
Ta có ̂ là góc giữa SC và S.ABC , suy ra ̂

.

Gọi D là trung điểm của cạnh AB.
Ta có HD

a
a 3
, CD=
.
6
2

a 7
a 21
, SH=HC.tan60 =
.
3
3
Kẻ Ax BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc
HC

HD 2

CD 2

của H trên Ax và SN.
3

AH nên
2
3
d ( SA, BC ) d ( B, ( SAN ))
d ( H , ( SAN )).
2
Ta có Ax ( SHN ) nên Ax HK . Do đó: HK

Ta có BC ( SAN ) và BA

Suy ra d ( H , ( SAN ))

AH

2a
, HN
3

Vậy d ( SA, BC )

( SAN ).

HK .

AH .sin 60

a 3
SH .HN
, HK=
3

SH 2 HN 2

a 42
.
12

a 42
.
8

[ĐHD12] Cho hình hộp đứng
có đáy là hình vuông, tam giác
vuông cân,
Tính thể tích tứ diện
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
theo a.
Hƣớng dẫn giải
Tam giác A ' C a vuông cân tại A và ABB ' C ' nên
a
a
.
AA ' AC
. Do đó AB B ' C '
2
2

1
1
a3 2
.B ' C '.S ABB '

.B ' C '. AB.BB '
3
6
48
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của A ' AB .
VABB 'C '

11

.


[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

February 26, 2018

BC nên AH ( A ' BC ),
( BCD '). Do đó AH d ( A, ( BCD ')).

Ta có: AH

A ' B và AH

Hay AH
Ta có

1
AH 2

1

AB 2

1
A ' A2

6
a2

AH

a 6
6

Do đó d ( A, ( BCD '))

[ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác
có đáy là hình thoi đường chéo AC = 4,
và SO vuông
góc với đáy ABCD, ở đây O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của SC. Tìm khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BM .
Hƣớng dẫn giải
Ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC
SA MO SA (MBD)

d ( SA, MB) d (SA, (MBD)) d ( S , ( MBD))
SC cắt mặt phẳng (MBD) tại trung điểm M của SC nên
d ( S , ( MBD)) d (C , ( MBD)) .
Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA, đặt H CK MO.
BD SO , lại có ABCD là hình thoi nên
Ta có SO ( ABCD )

BD

AC

BD

MO SA, CK

( SAC )

SA

CH

CH

BD (1).

MO (2).

Từ (1), (2) suy ra H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống (MBD).
Từ SA

CH

SO 2

1
CK

2

Vậy d ( SA, MB)

AO 2

1 2S ABC
2 SA

8

4

2 3, S ABC

1 2.4 2
2 2 3

1
AC.SO
2

1
.4.2 2
2

4 2 suy ra

2 6
.

3

2 6
.
3

[ĐHA10] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB
và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
giữa hai đường thẳng DM và SC
Hƣớng dẫn giải
Ta có

CDN

DAM

CN

DM
12

. Tính khoảng cách


[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

February 26, 2018
Mặt khác SH
Kẻ HK
Ta có S

SC
CMD

DM

DM

( SCN )

HK

DM

d ( SC , DM )

S

S

S ABCD

Mặt khác SCDM

ADM

1
CH .DM
2

CBM

CH

1
1
19
2
2
CH
SH
12a 2
2a 3
HK
d ( DM , SC )
19

DM

SC

HK

a2
2
2SCDM
DM

2a
5

1
HK 2

2a 3
19

[Đề thi thử ĐH_Trƣờng THPT Cao Thắng_2012] Cho hình chóp

có đái

đỉnh

của

,

là trung điểm của

gọi
, góc giữa

và

bằng

, hình chiếu vuông góc

. tính khoảng cách từ trung điểm

là tam giác vuông cân tại
lên
của

thỏa mản
đến

.

Hƣớng dẫn giải

BC 2  AB 2  AC 2  4a 2  BC  2a  BI  a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K  BK  ( SAH )  d ( B;( SAH ))  BK
Mà

1
1
1
3

 2  2
2
2
BK
BA BI
2a

 d ( B;( SAH ))  BK 

a 2

3

d ( E;( SAH )) ES 1


d ( B;( SAH )) BS 2
 d ( E;( SAH )) 

a 2
2 3

Cho hình chóp
đến mặt phẳng

có

và

. Giả sử

.

Hƣớng dẫn giải
Dựng AD  BC ( D  C ) và AH  SD ( H  SD ) .
Thật vậy, từ giả thuyết ta có CD  SA , lại có CD  AD
13

. Tìm khoảng cách từ

February 26, 2018

[Chuyên đề: Phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian]

(do dựng)  CD  ( SAD )  AH  CD , mà

AH  SD  AH  ( SCD )  H là chân đường vuông góc hạ từ A lên ( SBC ) .
Ta có AD  AB sin ABD  2a sin 60  a 3 .

AH là đường cao của tam giác SAD vuông tại A nên:
1
1
1
1
1
4


 2 2  2
2
2
2
AH
AS
AD
9a 3a
9a
 AH 

3a

3a
.Vậy d ( A; SBC )  AH 
.
2
2

[ĐHD08] Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông có
Gọi
là trung điểm của
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

, cạnh bên
.

Hƣớng dẫn giải
Lấy N là trung điểm của BB ' , ta có MN là đường trung bình
của tam giác B ' BC  B ' C MN  B ' C ( AMN ) .
Do

d ( B ' C ; AM )  d ( B ' C ;( AMN ))  d ( B ';( AMN )) .

Lại có BB ' cắt ( AMN ) tại N là trung điểm của BB ' nên

d ( B ';( AMN ))  d ( B;( AMN )) .
Hình chóp B.AMN có BA, BM , BN đôi một vuông góc nên

1

1
1
1
1 4 2
7
a 7
.



 2  2  2  2  d ( B;( AMN )) 
2
2
2
d ( B;( AMN )) BA BM
BN
a a a
a
7
2

Vậy d ( B ' C; AM ) 

a 7
.
7

14

.