đề thi THPT QG 2020 môn toán học đề 5 có lời giải chi tiết

ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM HỌC 2020

ĐỀ SỐ 5

Môn: Toán



Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho khối trụ có thể tích bằng 12π a 3 và khoảng cách giữa hai đáy của khối trụ bằng 3a . Bán
kính đáy của khối trụ đã cho bằng
A. 4a .

B. 3a .

C. a .

D. 2a .

Câu 2. Cho hàm số f ( x) = x 3 − x 2 − ax + b có đồ thị là (C). Biết (C) có điểm cực tiểu là A(1;2). Giá trị
của 2a − b bằng
C. −5
D. 5
r
r
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho vectơ u = (0;1;1) . Đường thẳng nào dưới đây nhận véctơ u làm
A. −1

B. 1

véctơ chỉ phương?
x = t

A.  y = t
z = 0


x = t

B.  y = 1
z = 1


x = 1

C.  y = t
z = t


x = 0

D.  y = 0
z = t


Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây?
A. (0;1)

B. (−2; −1)

C. (1; 2)

D. (2; 4)

Câu 5. Biến đổi biểu thức A = 5 a 3 a a (0 < a ≠ 1) , ta được biểu thức nào sau đây?
3

A. A = a 5

7

B. A = a 5

7

C. A = a 10

3

D. A = a10

Câu 6. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng
miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn
thực đơn?
A. 25

B. 75

C. 100

D. 15

Câu 7. Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm 98 cm 3. Tính
độ dài cạnh của hình lập phương.
A. 5 cm

B. 4 cm

C. 3 cm

D. 6 cm

Câu 8. Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm A đối xứng với điểm B (3; −1; 4) qua mặt phẳng (Oxz) là
A. A(−3; −1; −4)

B. A(3; −1; −4)

C. A(−3; −1; 4)

D. A(3;1; 4)

Trang 1


Câu 9. Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng phức như hình vẽ
bên. Tính môđun của số phức z1 − 2 z2
A. 101

B. 7 2

C. 3 11

D. 10

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x+2
là
x −1

A.

∫ f ( x)dx = x − 3ln x − 1 + C

B.

∫ f ( x)dx = x + 3ln x − 1 + C

C.

∫ f ( x)dx = 3x − ln x − 1 + C

D.

∫ f ( x)dx = 3x + ln x − 1 + C

Câu 11. Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2 . Giá trị của u5 bằng
A. 11

B. 96

C. 48

D. 24

Câu 12. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên [ −2;6] Giá trị của 2M − m bằng
A. 7

B. 5

C. 6

D. 4

Câu 13. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x
A. 4

2

B. 6

+3 x

≤ 16 là số nào sau đây?

C. 2

D. 5

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 4) + 1 ≥ 0 là
2

 9
A.  4; 
 2

C. ( 4;6]

B. ( 4; +∞ )

D. ( −∞;6 )

Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
x
y’
y

-∞

0

1

−

1

+∞

−

+∞

+
0

-1
Hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 2

B. 3

2

-3
C. 1

-∞
D. 0

Câu 16. Hình hai mươi mặt đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 6
Câu 17. xlim
→+∞

B. 12

x+3
4 x2 + 1 − 2

C. 20

D. 30

bằng

Trang 2


A.

1
4

1
2

B.

C. −

3
2

D. 0

Câu 18. Cho số phức z = 1 − 2i là nghiệm của phương trình z 2 − az + b = 0 . Giá trị của 2a − b bằng

A. −1

B. 3

D. −3

C. 0

Câu 19. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (1; −1; 2) và song song với
mặt phẳng (P) : x − 2 y − z + 1 = 0 là
A. x + 2 y+ z − 2 = 0

B. − x + 2 y + z + 1 = 0

C. 2 x + y − z − 1 = 0

D. − x + 2 y + z − 1 = 0

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên.
2

Tích phân I = ∫ f '(2 x − 1)dx bằng
1

A. −2

B. −1

C. 1

D. 2

Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −1), B(1; 2; 2) . Phương trình mặt cầu tâm A, bán
kính AB là
A. ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 5

B. ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 1) 2 = 25

C. ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 25

D. ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 2) 2 = 5

Câu 22. Cho log 3

(

)

)

(

a 2 + 9 + a = 2 . Giá trị của log 3 2a 2 + 9 − 2a a 2 + 9 bằng

A. 3

B. 2

C. 4

D. 0

2
n −1
Câu 23. Tìm hệ số của x5 trong khai triển x.(1 − 2 x) n + x 2 .(1 + 3 x) 2 n thành đa thức biết An + Cn +1 = 5

A. 256

B. 108

C. 312

D. 81

Câu 24. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Côsin của góc
giữa hai đường thẳng AC và BM bằng
A.

3
6

B.

3
2

C.

3
3

D.

3

Câu 25. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2;3), B(2; 4; −1) là
A.

x +1 y + 2 z + 3
=
=
1
2
4

B.

x − 2 y + 4 z +1
=
=
1
2
−4

C.

x + 2 y + 4 z +1
=
=
1

2
4

D.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
2
−4

Câu 26. Một người lần đầu gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 4% một quý và lãi
suất quý sẽ được nhập vào vốn. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 150 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
Trang 3


suất như trước đó. Hỏi tổng số tiền người đó nhận được sau 2 năm kể từ khi gửi thêm tiền lần hai là bao
nhiêu?
A. 480,05 triệu đồng

B. 463,51 triệu đồng

C. 501,33 triệu đồng

D. 521,39 triệu đồng

Câu 27. Hình phẳng D (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số

f ( x) = 2 x , đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và trục hoành. Diện tích hình

phẳng D bằng
A.

8
3

B.

10
3

C.

5
3

D.

7
3

Câu 28. Cho hàm số y =

x−2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có
mx − 2 x + 4
2

đúng hai đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
A. 1

B. 2

C. 0

Câu 29. Gọi (C) là đường parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

D. 3

1 4
x − mx 2 + m 2 .
4

Tìm tham số thực m để (C) đi qua điểm A(2; 24) ?
A. m = −4

B. m = 6

C. m = 4

D. m = 3

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = a . Độ
lớn góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

3

Câu 31. Cho hàm số f ( x ) = 5 x.82 x . Khẳng định nào sau đây là sai?
3
A. f ( x) ≤ 1 ⇔ x.log 2 5 + 2 x ≤ 0

3
B. f ( x) ≤ 1 ⇔ x + 6 x .log 5 2 ≤ 0

3
C. f ( x) ≤ 1 ⇔ x.log 5 5 + 6 x ≤ 0

D. f ( x ) ≤ 1 ⇔ x.log 2 5 + x 3 ≤ 0

Câu 32. Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào
trong một chiếc thùng hình trụ có chiều cao 2m bán kính đường tròn đáy bằng 0,5m và
chứa một lượng nước có thể tích bằng

1
thể tích khối trụ. Sau khi thả khối cầu bằng đá
8

vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần mực nước ban
đầu khi chưa thả khối cầu. Diện tích xung quanh của khối cầu gần bằng kết quả nào
được cho dưới đây?
A. 2, 6m 2

B. 1,1m 2

C. 3, 4m 2

D. 1, 7m 2

Trang 4


Câu 33. Biết F ( x) = (a x 2 + bx + c ).e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (x 2 + 5 x + 5).e x . Giá trị của

2a + 3b + c bằng
A. 6

B. 13

C. 8

D. 10

Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A.

AB = a, AC = a 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy
(tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
A.

39a
13

B.

6a
2

C.

3a
2

D.

2 39a
13

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z − 6 = 0 và đường thẳng

d:

x +1 y + 2 z +1
=
=
. Phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d lên (P) là:
2
3
2

A. d ' :

x −1 y −1 z −1
=
=

1
1
1

B. d ' :

x +1 y +1 z − 3
=
=
1
1
−1

C. d ' :

x −1 y z − 2
= =
1
1
−1

D. d ' :

x y z−2
= =
−1 2
−1

Câu 36. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị đạo hàm f’(x) như sau:
Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên m ∈ [ −5;5] để hàm số g(x) = f(x +

m) nghịch biến trên (1; 2). Hỏi tập S có tất cả bao nhiêu phần tử?
A. 5

B. 7

C. vô số

D. 2

Câu 37. Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn z − i = z − 2 − 3i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị
của 3x − y bằng
B. −

A. −6

8
3

C.

4
3

D. 3

1

Câu 38. Cho

ab

x3 + 2 x 2 + 3
1
3
∫0 x + 2 dx = a + b.ln 2 với với a, b là các số thực dương. Có bao nhiêu giá trị nguyên

của k để 5 f ∫ dx > xlim
→+∞
8

A. 5

(k 2 + 1).x + 2017
?
x + 2018
B. 3

C. Vô số

D. 7

Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của
phương trình f [ f ( x) ] = 0 là
Trang 5


A. 6

B. 12

C. 8

D. 10

Câu 40. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác
suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số
0 là số lẻ).
A.

49
54

B.

5
54

C.

1
7776

D.

45
54

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0; (Q) : x − 2 y + z + 8 = 0

, ( R ) : x − 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C.

2
Giá trị nhỏ nhất của T = AB +

A. 72 3 3

144
bằng
AC

B. 96

C. 108

D. 32
2

Câu 42. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ , a < 0) thỏa mãn điều kiện 1 + z = z − i + (iz − 1) 2 . Tính z
A.

2
2

B.

5

C.

17
2

D.

1
2

Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ −10;10 ] để phương trình

log 5 (mx)
= 2 có
log 5 ( x + 1)

nghiệm duy nhất?
A. 9

B. Vô số

Câu 44. Cho hàm số y =

C. 10

D. 15

x +1
có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc
x −1

(C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình
vuông AEBF. Diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF là
A. 8 2

B. 4 2

C. 8

D. 16

Câu 45. Cho hàm số f(x) có đồ thị của hàm số f’(x) như sau:

Hàm số y = f (2 x − 1) +

x3
+ x 2 − 2 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3
Trang 6


A. (−1; 0)

B. (−6; −3)

C. (3; 6)

D. (6; +∞)

Câu 46. Cho hai đường tròn (O1 ;5) và (O2 ;3) cắt nhau tại 2 điểm A, B sao cho AB là một đường kính của
đường tròn (O2) . Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô
màu như hình vẽ). Quay (D) quanh trục O1O2 ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được
tạo thành.

A. 36π

B.

68π
3

C.

14π
3

D.

40π
3

Câu 47. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua
B' và vuông góc A'C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối lần lượt là V 1, V2 với V1 < V2.
Tỉ số

V1
gần giá trị nào sau đây nhất?
V2

A. 0,045

B. 0,03

C. 0,21

Câu 48. Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x ≠ 0, −1 ≤ y ≤

D. 0,16
1
13
x 2 + −1
và 4 x2 = log 2 14 − ( y − 2) y + 1  .


2

Giá trị của x 2 − 2 xy + 3 y 2 + 1 bằng
A. 4

C. −4

B. 2

D. −2

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0 , (Q) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi
(S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn
có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác
định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A.

3

B.

2
2

C.

6
2

D.

3 2
2

1 4 14 2
Câu 50. Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
3
3
(C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ), N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = 8( x1 − x2 ) ?
A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Trang 7

Trang 8


Đáp án
1-D
11-C
21-C
31-A
41-C

2-A
12-A
22-D
32-B
42-A

3-C
13-D
23-B
33-B
43-C

4-A
14-C
24-A
34-D
44-C

5-D
15-A

25-D
35-B
45-A

6-B
16-D
26-C
36-A
46-D

7-C
17-B
27-C
37-D
47-B

8-D
18-A
28-A
38-B
48-B

9-A
19-D
29-B
39-D
49-D

10-B
20-C

30-D
40-B
50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D

V = 12π a 3
V
⇒ R2 =
= 4a 2 ⇒ R = 2a
Ta có V = π R h mà 
πh
 h = 3a
2

Câu 2: Đáp án A
Ta có f '( x) = 3x 2 − 2 x − a mà A(1; 2) là điểm cực tiểu

 f '(1) = 0  a = 1
⇒
⇒ 2a − b = 2.1 − 3 = −1
Suy ra 
f(1) = 2
b = 3
Câu 3: Đáp án C
x = 1
r

Đường thẳng  y = t có vectơ chỉ phương là u = (0;1;1)

z = t

Câu 4: Đáp án A
Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = f (x) nghịch biến trên (0; 1).
Câu 5: Đáp án D
Ta có

5

3

1

5

1

5

3

3

A = 5 a 3 a a = a a.a 2 = a.a 2 = a 2 = a 10

Câu 6: Đáp án B
Số cách chọn thực đơn là 5.5.3 = 75.
Câu 7: Đáp án C
3
3

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương ⇒ V1 = x cm
3
Độ dài cạnh khi tăng thêm 2 cm là x + 2 ⇒ V2 = ( x + 2)
3
3
Theo bài ra, ta có V1 + 98 = V2 ⇔ x + 98 = ( x + 2) ⇒ x = 3 cm

Câu 8: Đáp án D
Phương trình mặt phẳng (Oxz) là y = 0 => A(3; 1; 4).
Câu 9: Đáp án A
Ta có M (3; 2) ⇒ z1 = 3 + 2i; N (1; −4) ⇒ z2 = 1 − 4i
Do đó z1 − 2 z2 = 3 + 2i − 2.(1 − 4i ) = 1 + 10i . Vậy z1 − 2 z2 = 101
Câu 10: Đáp án B
Trang 9


Ta có



3 

∫ f ( x)dx = ∫ 1 + x − 1 ÷ dx = x + 3ln x − 1 + C

Câu 11: Đáp án C
4
4
Ta có u5 = u1.q = 3.2 = 48

Câu 12: Đáp án A

Dựa vào hình vẽ, ta thấy M = 3, m = −1 → 2M − m = 7
Câu 13: Đáp án D
Ta có 2 x

2

+3 x

≤ 24 ⇔ x 2 + 3x ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 1

→ m = { −4; −3; −2;0;1} là giá trị cần tìm.
Kết hợp với m ∈ ¡ 
Câu 14: Đáp án C

x − 4 > 0
⇔ 4< x≤6
Bất phương trình ⇔ log 1 ( x − 4) ≥ −1 ⇔ 
x − 4 ≤ 2
2
Câu 15: Đáp án A

y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ta có xlim
→+∞
y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Và xlim
→11+
Vậy hàm số đã cho có tất cả 1 + 1 = 2 đường tiệm cận.
Câu 16: Đáp án D
Hình hai mươi mặt đều có 30 cạnh.

Câu 17: Đáp án B

 3
3
x 1 + ÷
1+
1
 x  = lim
x
=
Ta có L = xlim
→+∞
x →+∞
1
1 2 2
x 4+ 2 −2
x 4+ 2 −
x
x
x
Câu 18: Đáp án A
Vì z = 1 − 2i là nghiệm của phương trình z 2 − az + b = 0
Suy ra (1 − 2i) 2 − (1 − 2i) a + b = 0 ⇔ −3 − 4i − a + 2ai + b = 0

 −3 − a + b = 0  a = 2
⇔
⇔
. Vậy 2a − b = 2.2 − 5 = −1
 −4 + 2 a = 0
b = 5

Câu 19: Đáp án D
Phương trình mặt phẳng (α) là x − 2 y − z + 1 = 0
Câu 20: Đáp án C
Đặt t = 2 x − 1 ⇔ dt = 2dx ⇔ dx =

x = 1 ⇒ t = 1
dt
và 
2
x = 2 ⇒ t = 3

Trang 10


3

Suy ra I = ∫ f '(t ).
1

3

dt 1
f (3) − f (1) 3 − 1
= ∫ f '(t ).dt =
=
=1
2 21
2
2

Câu 21: Đáp án C
uuur
Ta có AB = (0; 4;3) ⇒ AB = 0 2 + 42 + 32 = 5 ⇒ R = 5
Vậy phương trình mặt cầu là ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 25
Câu 22: Đáp án D
Ta có log 3 (2a 3 + 9 − 2 a a 2 + 9) = log 3

= 2 log 3 ( a 2 + 9 − a) = 2 log 3

(

9
a +9 +a
2

a2 + 9 − a

)

2

= 4 − 2.log 3

(

)

a2 + 9 + a = 0

Câu 23: Đáp án B

2
n −1
Ta có An + Cn +1 = 5 → n = 2 (casino)

Do đó hệ số của x5 trong P là hệ số của x3 trong (1 + 3x) 4 và bằng 108
Câu 24: Đáp án A

(

)

¼
AC ; BM = BMN
Gọi N là trung điểm AD ⇒ MN / / AC ⇒ ¼

3
2
2
2
 BM = BN =
2 ⇒ cosBMN
¼ = BM + MN − BN = 3
Ta có: 
2 BM .MN
6
 MN = 1

2
Câu 25: Đáp án D
uuur

r
Ta có AB = (1; 2; −4) ⇒ u AB = (1; 2; −4)
Vậy phương trình đường thẳng AB là

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
2
−4

Câu 26: Đáp án C
Số tiền người đó nhận được là

 200. ( 1 + 4% ) 2 + 150  × ( 1 + 4% ) 8 = 501,33 triệu đồng.


Câu 27: Đáp án C
Đường thẳng d đi qua hai điểm (1; 0), (2; 2)
Do đó phương trình đường thẳng d là y = 2 x − 2
2

2

0

1

Diện tích hình phẳng D là S = ∫ 2 xdx − ∫ (2 x − 2)dx =

5
3

Câu 28: Đáp án A

1
TH1: Với m = 0, ta được y = − ⇒ Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
2
Trang 11


y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang y = 0. Yêu cầu bài toán
TH2: Với m ≠ 0, ta được xlim
→+∞

⇔ mx 2 − 2 x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 trong đó
x1 = 2 ⇒ m =

1
4

Câu 29: Đáp án B

x
x 3
x 4 mx 2
2
Ta có y ' = x − 2mx ⇒ . y ' = .( x − 2mx ) = −
4
4

4
2
3

x 4 mx 2 mx 2
x. y ' mx 2
2
Khi đó y = −
−
+m =
−
+ m2
4
2
2
4
2
Suy ra parabol cần tìm là y = −

mx 2
+ m2
2

Vì (C) đi qua điểm A(2;24). Suy ra 24 = −

m = 6
m 2
.2 + m 2 ⇔ 
2
 m = −4

Kết hợp với điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị, ta được m = 6 là giá trị cần tìm.
Câu 30: Đáp án D
Ta có ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA

( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB
Và 
( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC

(

)

¼
SAB );(SAC) = (¼
AB; AC) = BAC
Suy ra (¼
Tam giác ABC vuông tại B, có

¼ =
tan BAC

BC
3
¼ = 30°
=
⇒ BAC
AC
3

Câu 31: Đáp án A
3

3

Ta có f ( x) ≤ 1 ⇔ 5 x.82 x ≤ 1 ⇔ log 2 (5 x.82 x ) ≤ 0
3

⇔ log 2 5x + log 2 82 x ≤ 0 ⇔ x log 2 5 + 6 x 3 ≤ 0
3

Hoặc log 5 (5x.82 x ) ≤ 0 ⇔ x + 6 x 3.log 5 2 ≤ 0
Câu 32: Đáp án B
Mực nước ban đầu trong chiếc thùng là

1
.2 = 0, 25m
8

1
Sau khi thả khối cầu, mực nước trong chiếc thùng là 3. = 0, 75m
4
2

 1  3 3π
Suy ra thể tích trong chiếc thùng khi thả cầu là V = π r 2 h = π .  ÷ . =
 4  4 64
Trang 12

2

Do đó, thể tích khối cầu là V( C ) = V − V( N )
Vậy

3π
1 1 π
=
− π .  ÷ . = m3
64
 4  4 32

4π R3 π
3
=
⇒ R3 =
⇒ S(C ) = 4π R 2 ≈ 1, 029m 2
3
32
128

Câu 33: Đáp án B
Theo bài ra, ta có F '( x) = f ( x)

⇔  (a x 2 + bx + c).e x  ' = ( x 2 + 5 x + 5).e x
⇔ (2ax + b).e x + (a x 2 + bx + c).e x = ( x 2 + 5 x + 5).e x
⇔  a x 2 + (2a + b) x + b + c)  .e x = ( x 2 + 5 x + 5).e x
a = 1
a = 1



⇒  2a + b = 5 ⇒ b = 3 ⇒ 2a + 3b + c = 2.1 + 3.3 + 2 = 13
b + c = 5
c = 2


Câu 34: Đáp án D
Gọi H là trung điểm BC

⇒ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Gọi K là trung điểm AC suy ra HK ⊥ AC
Kẻ HE ⊥ SK ( E ∈ SK ) . Khi đó

d [ B;( SAC ) ] = 2.d [ H ;( SAC ) ] = 2.HE
Lại có HE =

SH .HK
SH 2 + HK 2

=

39a
13

Vậy khoảng cách cần tính là 2.HE =

2 39a
13

Câu 35: Đáp án B

→ M (2 t − 1;3 t − 2; 2 t − 1)
Gọi M = d ∩ (P) vì M ∈ d 
Do đó 2 t − 1 + 2.(3 t − 2) + 3.(2 t − 1) − 6 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M(1;1;1)
Gọi N(−1; −2;1) ∈ d . Và H là hình chiếu của N trên (P)

 x = −1 + a

Phương trình đường thẳng NH là  y = −2 + 2a
 z = −1 + 3a

uuuur
Vì H = HN ∩ ( P ) suy ra H (0;0; 2) . Ta có MH = (−1; −1;1)
x = 1− t

Vậy phương trình đường thẳng MH là :  y = 1 − t
z = 1+ t

Trang 13


Câu 36: Đáp án A
Ta có g '( x) = ( x + m) '. f '( x + m) = f '( x + m)

 x + m = −1  x = − 1 − m


Lại có g '( x) = 0 ⇔ f '( x + m) = 0 ⇔  x + m = 1 ⇔  x = 1 − m
 x + m = 3
 x = 3 − m

Từ bảng biến thiên, ta được hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; − m − 1) và (1 − m;3 − m)

 −m − 1 ≥ 2
 m ≤ −3

Yêu cầu bài toán trở thành:   − m + 1 ≤ 1 ⇔ 
0 ≤ m ≤ 1
  − m + 3 ≥ 2
Kết hợp m ∈ [ −5;5] và m ∈ ¢ ⇒ m = { −5; −4; −3; 0;1}
Câu 37: Đáp án D
Ta có z − i = z − 2 − 3i ⇔ x + ( y − 1)i = x − 2 − ( y + 3)i

⇔ x 2 + ( y − 1) 2 = ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 ⇔ −2 y + 1 = −4 x + 6 y + 13

4 x − 8 y − 12 = 0 ⇔ x − 2 y − 3 = 0 ⇔ x = 2 y + 3
⇒ z = x 2 + y 2 = (2 y + 3) 2 + y 2
2

6 9 9

Lại có (2 y + 3) + y = 5 y + 12 y + 9 = 5.  y + ÷ + ≥
5 5 5

2

⇒ z ≥

2

2

9 3 5
=
5
5

6
3
Dấu bằng xảy ra khi y = − ⇒ x =
5
5
Vậy 3 x − y = 3
Câu 38: Đáp án B
1

1

x3 + 2 x 2 + 3
3 

dx = ∫  x 2 +
Ta có ∫
÷dx
x
+
2
x
+
2



0
0
1

 x3

1
3 1
3 a = 3
=  + 3ln x + 2 ÷ = + 3.ln = + b.ln ⇒ 
2 a
2 b = 3
 3
0 3
ab

9

(k 2 + 1).x + 2017
Khi đó 5. ∫ dx = 5.∫ dx = 5 mà lim
= k 2 +1
x →+∞
x + 2018
8
8
Suy ra k 2 + 1 < 5 ⇔ k 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < k < 2
Kết hợp k ∈ ¢ 
→ có tất cả 3 giá trị nguyên k cần tìm.
Câu 39: Đáp án D

Đặt t = f(x) nên phương trình trở thành: f(t) = 0
Trang 14


Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị (C) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt hoành độ lần lượt là

t1 < −2, −2 < t2 < 0, 0 < t3 < 2, t 4 > 0
TH1: Với t1 < −2 , ta được f ( x) = t1 ⇒ Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = t1 tại 2 điểm phân biệt
TH2: Với −2 < t2 < 0 , ta được f ( x) = t2 ⇒ Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = t2 tại 4 điểm phân biệt
TH3: Với 0 < t3 < 2 , ta được f ( x) = t3 ⇒ Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = t3 tại 4 điểm phân biệt
TH4: Với t4 > 0 , ta được f ( x) = t4 ⇒ Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = t4 tại 0 điểm phân biệt
Vậy số nghiệm của phương trình f [ f ( x )] = 0 là 2 + 4 + 4 = 10
Câu 40: Đáp án B
8
Số phần tử của tập S là 9 A9

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S
8
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = 9A9

Gọi X là biến cố "Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ". Do số 0 luôn
đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
1
• Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0 có C7 cách.
2
• Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có A5 cách.

• Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ 2, 4, 6, 8 sau đó xếp 6 số này vào 6 vị trí trống
2
4

còn lại có C3 .C4 .6! cách.
1
2
2
4
Suy ra số phần tử của biến cố X là ΩX = C7 . A5 .C3 .C4 .6!

ΩX C71 . A52 .C32 .C44 .6! 5
=
=
Vậy xác suất cần tính là P ( X ) =
Ω
9. A98
54
Câu 41: Đáp án C
Vì ( P ) / /(Q) / /(R)
Suy ra ⇒ d [ ( P); (Q) ] =

3 6
6
; d [ ( P);(R) ] =
2
2

=> Điểm C nằm giữa A, B ⇒
2
Khi đó AB +

AC d [ ( P ); ( R )] 1
=

= ⇒ AB = 3 AC
AB d [ ( P);(Q) ] 3

144
144
72 72
= 9 AC 2 +
= 9 AC 2 +
+
AC
AC
AC AC

Suy ra T ≥ 3. 3 9 AC 2 .

72 72
.
= 108
AC AC

Vậy Tmin = 108
Câu 42: Đáp án A
Trang 15


Giả thiết trở thành 1 + a − bi = a − bi − i + [ i.(a + bi ) − 1]
2

2

2

⇔ 1 + a = bi = a − (b + 1)i + (−b − 1 + ai ) 2
⇔ 1 + a − bi = a 2 + (b + 1) 2 + (b + 1) 2 − 2a.(b + 1).i − a 2
1 + a = 2.(b + 1) 2
⇔ 1 + a − bi = 2.(b + 1) 2 − 2a.(b + 1).i ⇔ 
 −b = −2a (b + 1)

1
b=−
b



b

2
a = 2b + 2

a =
⇔
⇔
⇔   b = −2
2b + 2
1 + b = 2.(b + 1) 2
4.(b + 1) 2 = 3b + 2

b

a =

 2b + 2
2b + 2

1
1 1
2
Mặt khác a < 0 ⇒ a = b = − ⇒ z = − − i ⇒ z =
2
2 2
2
Câu 43: Đáp án C
 x > −1
Điều kiện: 
x ≠ 0
Khi đó

log 5 (mx)
1
= 2 ⇔ log 5 ( mx) = log 5 ( x + 1) 2 ⇔ m = x + + 2
log 5 ( x + 1)
x

Xét hàm số f ( x) = x +

1
1
+ 2 trên D, có f '( x ) = 1 − 2 ; f '( x) = 0 ⇔ x = 1
x
x

Bảng biến thiên hàm số f(x) như sau:
x -1
y’
y

0
-

-

1
0

+∞
+

+∞

+∞

0
-∞
2
Dựa vào bảng biến thiên, để m = f (x) có nghiệm duy nhất ⇔ m < 0 .
Câu 44: Đáp án C
 a +1 
Gọi A  a;
÷∈ (C )
 a −1 
a −3


Vì I (1;1) là trung điểm AB ⇒ B  2 − a;
÷
a −1 

uuur 
4 
16
2
Khi đó AB =  2 − 2a; −
÷ ⇒ AB = 4(a − 1) +
a −1 
( a − 1) 2

= 2 (a − 1) 2 +

4
≥2
(a − 1) 2

(a − 1) 2 .

4
=2 2
(a − 1) 2

Trang 16


Suy ra S AEBF = AE 2 =

AB 2 1 2
≥ .4 = 8
2
2

Vậy S min = 8
Note 29: Phương pháp chung
uuur
Tọa độ véctơ AB = ( xB − x A ; yB − y A )
r
r
2
2
Độ dài véctơ a = ( x; y) là a = x + y
Bất đẳng thức Cô-si:
Với hai số a;b không âm ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab
Câu 45: Đáp án A
Ta có y ' = 2 f '(2 x − 1) + x 2 + 2 x − 2
 f '( x) ≥ 1 ⇔ x ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 3; +∞ )
Dựa vào hình vẽ, ta được 
 f '( x) ≤ 1 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3
2 f '(2 x − 1) ≤ 2
* Với −1 < x < 0 ⇒ −3 < 2 x − 1 < −1 ⇒  2
 x + 2 x − 2 < −2
Do đó y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;0)
 2 f '(2 x − 1) ≥ 2
* Với −6 < x < −3 ⇒ −13 < 2 x − 1 < −7 ⇒  2
 x + 2 x − 2 > −2
Do đó y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−6; −3)

Note 30: phương pháp chung
Công thức đạo hàm: f '(u ( x )) = u '( x). f '(u )
Hàm số y = f(x) nghịch biến khi y ' ≤ 0( y ' = 0 với hữu hạn giá trị của x)
Câu 46: Đáp án D
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O1 ≡ O (gốc tọa độ).
Phương trình đường tròn (O1 ;5) là x 2 + y 2 = 25 ⇒ y = ± 25 − x 2
Tam giác O1O2 A vuông tại O2, có O1O2 = O1 A2 − O2 A2 = 4
Phương trình đường tròn (O2 ;3) là ( x − 4) 2 + y 2 = 9 ⇒ y = ± 9 − ( x − 4) 2
• Gọi V1 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D1 được giới hạn bởi các đường
7

2
y = 9 − ( x − 4) , y = 0, x = 4, x = 7 quanh trục tung ⇒ V1 = π .∫ 9 − ( x − 4) dx
2

4

• Gọi V2 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D 2 được giới hạn bởi các đường
y = 25 − x 2 , y = 0, x = 4, x = 5 quanh trục tung

Trang 17


5

⇒ V2 = π .∫ (25 − x 2 )dx . Vậy thể tích cần tính là V = V1 − V2 =
4

40π
3

Note 31: Phương pháp chung
Phương trình đường tròn tâm I (a; b) ; bán kính r là: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
m

2
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = m; x = n là: V = π ∫ f ( x)dx
n

Câu 47: Đáp án B
Gọi M là trung điểm A'C'
Ta có B ' M ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ B ' M ⊥ A ' C
Suy ra M ∈ ( P ) . Kẻ MN ⊥ A ' C ( N ∈ AA ')
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và lăng trụ là tam giác B'MN
Hai tam giác A'C'C và NA'M đồng dạng
⇒ A' N =

A'M a
=
2
4

Thể tích tứ diện A'B'MN là
1
3a 3
V1 = A ' N .S ∆A ' B ' M =
3
96
Thể tích lăng trụ là V = AA '.S ∆ABC =

3a 3
2

Vậy V1 : V2 = 1: 47
Note 32: Phương pháp chung
∆A ' B ' C ' đều có M là trung điểm A'C' nên BM đồng thời là đường cao của ∆A ' B ' C ' .
1
Thể tích tứ diện có diện tích đáy S, chiều cao h là: V = S .h
3
Thể tích lăng trụ có diện tích đáy S, chiều cao h là: V = S .h
Câu 48: Đáp án B
1

Ta có x 2 +

x 2 + 2 −1
1
2 1
x
−
1
≥
2
x
.
−
1
=
1
⇒

4
≥4
x2
x2

 13 
Lại có14 − ( y − 2) y + 1 ≤ 16 (khảo sát hàm số trên  −1;  )
2

Do đó log 2 14 − ( y − 2) y + 1  ≤ log 2 16 = 4
 2 1
 x2 = 1
x = 2
⇒ x 2 − 2 xy + 3 y 2 + 1 = 2
x ⇔
Khi đó, giả thiết trở thành 
y = 0
 y = 0
Note 33: Phương pháp chung
Trang 18


Bất đẳng thức Côsi:
Với hai số a;b không âm ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Câu 49: Đáp án D
Gọi I (a;0;0) là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là d1 =

a +1

6

; d2 =

2a − 1
6

2
2
2
2
2
Theo giả thiết, ta có R = d1 + 2 = d 2 + r

⇔

(a + 1) 2
(2a − 1) 2
+4=
+ r2
6
6

⇔ a 2 + 2a + 25 = 4a 2 − 4a + 1 + 6r 2 ⇔ 3a 2 − 6a + 6r 2 − 24 = 0 (*)
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ ' = 0
⇔ (−3) 2 − 3.(6r 2 − 24) = 0 ⇔ 18r 2 = 81 ⇔ r =

3 2
2

Note 54: Phương pháp chung
Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng
( P ) : ax + by + cz + d = 0 là d ( M ;( P )) =

ax0 + by0 + cz0 + d
a 2 + b2 + c2

Phương trình bậc 2 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0
Câu 50: Đáp án A
 1 4 14 2 
Gọi A  a; a − a ÷∈ (C ) nên phương trình tiếp tuyến d là
3 
 3
28 
1
14
4
y − y A = y '( x A )( x − x A ) ⇔ y =  a 3 − a ÷.( x − a ) + a 4 − a 2
3 
3
3
3
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
1 4 14 2  4 3 28 
1
14
x − x =  a − a ÷.( x − a ) + a 4 − a 2
3
3
3 

3
3
3
⇔ x 4 − 14 x 2 − (4a 3 − 28a)( x − a) − a 4 + 14a 2 = 0
⇔ ( x − a ) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 14) = 0
x = a
⇔ 2
2
 x + 2ax + 3a − 14 = 0(1)
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác a ⇔

7
≠ a2 < 7
3

Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là k = 8 ⇒ a = { −2; −1;3}
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm (loại giá trị a = 3).
Trang 19


Note 35: Phương pháp chung
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là:
y = f '( x0 )( x − x0 ) + f(x 0 )
Ta có:
y1 = f '( x0 )( x1 − x0 ) + f(x 0 )
y2 = f '( x0 )( x2 − x0 ) + f(x 0 )
⇒ y1 − y2 = f '( x0 )( x1 − x2 )
Do đó f '( x0 ) = 8

Trang 20