ĐỀ THI vào 10 BÌNH ĐỊNH 2006 2007

ĐỀ THI VÀO 10
Câu 1: (1 điểm)
Rút gọn biểu thức A = 3

1 1
27 + 2 3
3 3

Câu 2: (2 điểm)

3x - 2y = 6
�
�
Cho hệ phương trình: �
�
�mx + y = 3

a/ Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b/ Giải hệ phương trình khi m = 1
Câu 3: (2 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho
đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một
mình đầy bể.
Câu 4: (1 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ ID vuông góc với cạnh
huyền BC, (D �BC). Chứng minh AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. các đường cao AD,
BK của tam giác gặp nhau tại H. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK
kéo dài với đường tròn (O)
a/ Chứng minh EF//AC

b/ Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI =

1
BH
2

Câu 6: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

bc ac ab
+ +
a
b
c

--------------------------------------------------------------------------------


ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2006 – 2007
Câu 1: A = 3

1 1
27 + 2 3 = 3 3 3

3+2 3 = 2 3

Câu 2: a/ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì:
�-

m
1
�
 3 � -2m  m
3 - 2

3
2

Vậy m �-

3
thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất.
2

� 12
�
x=
�
�
�
�
3
x
2
y
=
6
3

x
2
y
=
6
5
x
=
12
� 5
�
�
�
��
��
��
b/ Với m = 1 ta có hệ phương trình: �
�
�
� 3
2x +2 y = 6 �
�x + y = 3
�
�x + y = 3 �
y=
�
�
� 5
12 3 �
�

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = � ; �
�5 5 �
Câu 3: Gọi x (h) là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể
Điều kiện: x > 6.
Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể: x + 5 (h)
1
(bể)
x
1
Mỗi giờ vòi 2 chảy được:
(bể)
x5
1
Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: (bể)
6
1
1
1
=
Theo đề bài ta có phương trình: +
x x+5 6

Mỗi giờ vòi 1 chảy được:

 x2 – 7x – 30 = 0.
Giải phương trình ta được x1 = -3 (loại); x2 = 10 (TM)
Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 10 + 5 = 15
A
(giờ).

I
Câu 4: Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2 =
= BD2 + IC2 – DC2 – AI2 = BD2 – CD2 + IC2 – AI2
Mà IC = IA  IC2 = AI2  IC2 – AI2 = 0
B
C
D
2
2
2
Nên: AB = BD – CD
Cách 2:
Kẽ AH  BC tại H.
 AH//ID (cùng vuông góc với BC)
Mà IA = IC (Gt)
 HD = DC  HD2 = DC2
Ta có: BD2 – CD2 = (BH + HD)2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD + HD2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD (vì HD2 = DC2)
= BH.(BH + 2HD) = BH.(BH + HC) = BH.BC
2
= AB
Vậy AB2 = BD2 – CD2


Câu 5: a/ Chứng minh EF//AC
� = 900  EF ^ BF
BE là đường kính  BFE
Mà BF ^ AC (gt)
Nên EF//AC

b/ Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI =

A

F
K

E
I

1
BH
2

H

Ta có H lá trực tâm  CH ^ AB, mà EA ^ AB (góc EAB vuông,
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
B
D
 CH//AE
Tương tự: AH//CE  AHCE là hình bình hành.
Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà I là trung điểm AC  I là trung điểm của HE.
Hay 3 điểm H, I, E thẳng hàng.
C2: c/m EC//=AH
�  HIA
�
C3: c/m CIE
IH = IE và OB = OE  OI là đường trung bình tam giác BHE  OI =

O
C

1
BH
2

Câu 6: (1 điểm) Với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1 P > 0.
2

�
� b2c2 a2c2 a2b2
bc ac ab�
b2c2 a2c2 a2b2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
2(a
+
b
+
c
)

+ 2 + 2 +2
Ta có: P = �
=
�
�
�
�a
�
b
c�
a2
b2
c2
a2
b
c
2

b2c2 a2c2
b2c2 a2c2
+
�
2
. 2 = 2c2
a2
b2
a2
b
2 2
2 2

2 2
2 2
bc
ab
ac
ab
Tương tự: 2 + 2 �2b2 và 2 + 2 �2a2
a
c
b
c
2 2
2 2
2 2
bc
ac
ab
 2 + 2 + 2 �a2 + b2 + c2 = 1
a
b
c
2 �
 P
1+2=3 P� 3
b2c2 a2c2 b2c2 a2b2 a2c2 a2b2
= 2 ; 2 = 2 ; 2 = 2  a2 = b2 = c2 =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 
2
a
b

a
c
b
c
1
3
3
a=b=c=
3

Theo BĐT Cosi cho các số dương:

Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các số dương
P=

bc ac ab
; ;
ta có:
a
b c

bc ac ab
+
+
≥ 3 3 abc
a
b
c

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 (đề bài cho)
 3 3 abc ≥ 3c  P ≥ 3c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3.

bc
ac
ab
=
=
a
b
c

3
=
3

a=b=c=

3 khi a = b = c =

3
3

3
3