Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao trong môi trường đàn hồi dị hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ KIỀU

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI
BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO
TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ KIỀU

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI
BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO
TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội – Năm 2014


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy PGS. TS.
Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em từng bước để em
có thể hoàn thành luận văn.
Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, cảm ơn
thầy Trần Thanh Tuấn và các anh chị em trong nhóm xêmina của thầy Vĩnh đã
chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức và giúp đỡ em rất nhiều.
Em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa
Xây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em để em
có thời gian làm luận văn.
Qua đây em cũng cảm ơn gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện
tốt cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Nguyễn Thị Kiều

1


Mục lục
1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ
nhám cao

6

1.1

Bài toán cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Bài toán toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5

Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6

Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược . . . . . . . . . . . 16

1.7

Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1

Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng
cưa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2

Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin

21

2 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám
cao

23

2.1

Bài toán cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Bài toán toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5

Công thức tính các hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . 29

2.6

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi P đối với biên phân chia
có dạng hình lược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7

Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.1

Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa . . . . 42

2


2.7.2

Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình
sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

KẾT LUẬN

50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

51

3


MỞ ĐẦU
Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia nhám (không
phẳng) xuất hiện nhiều trong thực tế như: sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên
các biên hay biên phân chia nhám [10], [16], các bài toán cơ học liên quan đến
các bản được gia cường dày đặc [7], các dòng chảy trên tường nhám [3], sự dao
động của các vật thể đàn hồi có tính chất cơ học thay đổi nhanh (có tính không
thuần nhất cao) · · · Khi biên phân chia có độ nhám thấp ( biên độ rất nhỏ so
với chu kỳ của nó), để giải các bài toán này, các tác giả thường sử dụng phương
pháp nhiễu. Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ rất lớn so với chu kỳ
của nó), các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa để giải.
Năm 1997, các tác giả Nevard và Keller đã nghiên cứu thuần nhất hóa
biên phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết đàn
hồi tuyến tính dị hướng [8]. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả
đã rút ra phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi dị hướng. Tuy
nhiên, hệ các phương trình này còn ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng được
xác định qua các hàm mà chúng là nghiệm của bài toán biên trên nhân tuần
hoàn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng. Bài toán biên trên nhân
tuần hoàn này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số. Vì hệ phương trình thuần
nhất hóa thu được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng.
Năm 2009, các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung [15] đã tìm ra
được phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền

hai chiều, tức là các hệ số của chúng là các hàm của các tham số vật liệu và
đặc trưng hình học của biên phân chia. Ngoài kết quả trong bài báo [15], các
tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung còn tìm ra các phương trình thuần
nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân
chia dao động nhanh giữa hai đường tròn đồng tâm [14], phương trình thuần
nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn điện, lý thuyết đàn nhiệt [1]. Các phương
trình thuần nhất hóa dạng hiện này rất tiện lợi để sử dụng và tính ứng dụng rất
cao. Nó sẽ được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế khác nhau. Một
trong những ứng dụng quan trọng của các phương trình thuần nhất hóa dạng
hiện là để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ

4


nhám cao.
Do vậy, mục đích của luận văn là: Sử dụng các phương trình thuần nhất
hóa dạng hiện để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân
chia độ nhám cao.
Cho đến nay, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia
độ nhám cao chưa có tác giả nào nghiên cứu vì trước năm 2009 các phương trình
thuần nhất hóa dạng hiện chưa được tìm ra. Luận văn đã sử dụng các phương
trình thuần nhất hóa trong bài báo [15] để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của
sóng đối với biên phân chia độ nhám cao. Kết quả đạt được của luận văn là:
tìm ra hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH và sóng P đối với biên phân chia độ
nhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ
nhám cao
Trong chương này, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên
phân chia có độ nhám cao được nghiên cứu. Giả thiết hai bán không gian là

trực hướng. Kết quả chính là: tìm ra công thức hiển (xấp xỉ) của hệ số phản xạ,
khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng bất kỳ.
Khi biên phân chia có dạng hình lược, các kết quả thu được là chính xác. Sử
dụng các biểu thức này ta khảo sát một số ví dụ bằng số.
Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ
nhám cao
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao được
xét trong chương này. Giả thiết hai bán không gian là đẳng hướng. Sử dụng các
phương trình thuần nhất hóa dạng hiện [15] và phương pháp ma trận chuyển
[11], kết quả đạt được là: tìm ra công thức (xấp xỉ) của hệ số phản xạ, khúc xạ
của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng bất kỳ. Kết quả thu
được là chính xác khi biên phân chia có dạng hình lược. Sử dụng các biểu thức
này ta khảo sát một số ví dụ bằng số.

5


Chương 1
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH
đối với biên phân chia độ nhám cao

1.1

Bài toán cơ học

ˆ (+) và Ω
ˆ (−) ,
Xét không gian vô hạn Ox1 x2 x3 gồm hai bán không gian đàn hồi Ω

được phân chia bởi mặt S có phương trình x3 = f (x1 /ϵ), trong đó, f (y), (y = x1 /ϵ)

là hàm tuần hoàn theo biến y với chu kỳ 1. Giả thiết mặt S nằm giữa hai mặt
phẳng x3 = 0 và x3 = h. Ký hiệu Ω(+) , Ω(−) và L lần lượt là hình chiếu vuông
ˆ (+) , Ω
ˆ (−) và S lên mặt phẳng Ox1 x3 . Khi đó, bán không gian trên Ω(+)
góc của Ω

và bán không gian dưới Ω(−) được phân chia bởi đường cong L có phương trình
x3 = f (y), nằm giữa hai đường thẳng song song x3 = 0 và x3 = h . Giả thiết ϵ

nhỏ hơn nhiều so với h, khi đó L được gọi là biên phân chia có độ nhám cao
của Ω(+) , Ω(−) (xem Hình 1.1). Giả thiết thêm rằng trong miền 0 < x1 < ϵ mỗi
đường thẳng x3 = x0 = const(0 < x0 < h) cắt đường cong L tại đúng hai điểm.
Giả sử môi trường là trực hướng, nén được, các hằng số vật liệu Cij và
mật độ khối lượng ρ được xác định như sau:
{
Cij , ρ =

(+)

(+)

(x1 , x3 ) ∈ Ω(+)

(−)

(−)

(x1 , x3 ) ∈ Ω(−)

Cij , ρij

Cij , ρij

(1.1)

trong đó, Cij(+) , Cij(−) , ρ(+) , ρ(−) là các hằng số.
Trong bán không gian trên, cho sóng SH truyền tới biên phân chia độ

6


SH I
x1

+

0

x1

L
n

_

h

x3
Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao x3 = f (x1 /ϵ) = f (y) có chu kỳ là ϵ đối với x1 ,
chu kỳ là một đối với y.

nhám cao L ( xem hình 1.1). Các thành phần chuyển dịch của sóng SH là:
u1 ≡ u3 ≡ 0,

u2 = u2 (x1 , x3 , t)

(1.2)

Bài toán đặt ra là:
Xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH truyền trong bán không
gian trên tới biên phân chia độ nhám cao L trong môi trường trực hướng.

1.2

Bài toán toán học

Do sóng SH có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác không còn thành
phần chuyển dịch theo phương x1 và x3 bằng không nên ta có
u1,1 = u1,2 = u1,3 = u3,1 = u3,2 = u3,3 = u2,2 = 0

(1.3)

Các phương trình cơ bản:
• Định luật Hooke (xem [12])
σij = Cijkl ϵkl

(1.4)

trong đó, σij là ứng suất, ϵij là biến dạng, Cijkl là các hằng số đàn hồi.
7

• Liên hệ biến dạng và chuyển dịch
1
ϵkl = (ul,k + uk,l )
2

(1.5)

trong đó, dấu " ," chỉ đạo hàm theo biến xk .
Từ (1.3) và (1.5), ta suy ra
ϵ11 = ϵ22 = ϵ33 = ϵ13 = 0

(1.6)

Do môi trường là trực hướng nên các hằng số vật liệu có tính chất sau
(xem [12]):
C14 = C15 = C16 = C24 = C25 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = C46 = C56 = 0

(1.7)
Thay (1.6) và (1.7) vào (1.4), các thành phần ứng suất là:
σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = 0;
σ12 = C66 u2,1 ;

σ23 = C44 u2,3 .

(1.8)

• Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng:

(1.9)

σij,j = ρ¨
ui

trong đó, dấu " ." chỉ đạo hàm theo biến thời gian.
Từ (1.3), (1.8) và (1.9), phương trình chuyển động theo chuyển dịch là:
(C66 u2,1 ),1 + (C44 u2,3 ),3 = ρ¨
u2 ,

x3 ̸= f (y)

(1.10)

• Điều kiện biên

Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến của đường cong L tại M (xem hình 1.1).
Gọi Σn là véc tơ ứng suất tại tiết diện có véc tơ pháp tuyến n và đi qua M .
Hình chiếu của Σn và n trên ba trục Ox1 , Ox2 và Ox3 lần lượt là (Σ1 , Σ2 , Σ3 )
và (n1 , 0, n3 ).
Ta có:
Σ1 = σ11 n1 + σ13 n3 = 0
Σ2 = σ21 n1 + σ23 n3 = C66 u2,1 n1 + C44 u2,3 n3
Σ3 = σ31 n1 + σ33 n3 = 0
8

(1.11)


Do u2 và Σn phải liên tục trên L nên:

[u2 ]L = 0,

[C66 u2,1 n1 + C44 u2,3 n3 ]L = 0,

(1.12)

trong đó, ký hiệu [ψ]L là bước nhảy của hàm ψ qua đường cong L.
Để đơn giản, ta đặt u2 = U . Bài toán biên (1.10), (1.12 ) được viết dưới dạng
sau:
(Ahk U,k ),h = ρU¨ ,
[U ]L = 0,

x3 ̸= f (y),

h, k = 1, 3

[(A11 U,1 + A13 U,3 )n1 + (A31 U,1 + A33 U,3 )n3 ]L = 0,

(1.13)
(1.14)

trong đó,
A11 = C66 ;

A13 = A31 = 0;

A33 = C44 .

(1.15)

Như vậy, về mặt toán học, ta cần tìm nghiệm của phương trình (1.13)
thỏa mãn điều kiện liên tục (1.14).

1.3

Phương pháp giải

1. Phương pháp chính xác
Thông thường bài toán biên (1.13) và (1.14) được giải bằng các phương
pháp số khác nhau. Tuy nhiên, do biên phân chia L dao động nhanh giữa
hai đường thẳng song song nên lời giải số thường không ổn định. Để vượt
qua khó khăn này, phương pháp (xấp xỉ) thuần nhất hóa được sử dụng.
2. Phương pháp thuần nhất hóa
Ý tưởng phương pháp thuần nhất hóa là: miền chứa biên phân chia độ
nhám cao được thay thế bằng lớp vật liệu không thuần nhất (theo độ dày)
có biên phẳng. Khi đó, bài toán dẫn về sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn
hồi SH đối với lớp vật liệu không thuần nhất có các biên là phẳng x3 = 0
và x3 = h (xem hình 1.2).
Như vậy, ta cần thuần nhất hóa hệ phương trình (1.13) và điều kiện liên
tục (1.14). Theo [15] , phương trình thuần nhất hóa là:
(+)

(+)

C66 V,11 + C44 V,33 = ρ(+) V¨ ,

9

x3 < 0

(1.16)


SH I
+

Cij ,

0

x1

< Cij <,< <
_

h

Cij ,

x3

Hình 1.2: Miền chứa biên phân chia độ nhám cao được thay bằng lớp vật liệu không
thuần nhất có biên là x3 = 0 và x3 = h

⟨ 1 ⟩−1
C66

V,11 + (⟨C44 ⟩V,3 ),3 = ⟨ρ⟩V¨ ,

(−)

(−)

C66 V,11 + C44 V,33 = ρ(−) V¨ ,

0 < x3 < h
x3 > h

[⟨C44 ⟩V,3 ]L∗ = 0 và [V ]L∗ = 0, L∗ là các đường x3 = 0, x3 = h

(1.17)
(1.18)
(1.19)

trong đó:
∫
⟨φ⟩ =

1

φdy = (y2 − y1 )φ(+) + (1 − y2 + y1 )φ(−)

(1.20)

0

với y1 , y2 là hai nhánh hàm ngược của hàm x3 = f (y), (0 < y < 1).
Chú ý rằng:
V = V (x1 , x3 , t) = lim U (x1 , x3 , t, ϵ)
ϵ→0

(1.21)

được gọi là nghiệm thuần nhất hóa của hệ (1.13) và (1.14).
Nhận xét: Các phương trình (1.16), (1.17) và (1.18) chỉ ra rằng miền
chứa biên phân chia có độ nhám cao L (0 < x3 < h) được thay thế bởi một
lớp vật liệu không thuần nhất có các biên phẳng x3 = 0, x3 = h.
Về mặt toán học, ta cần giải hệ phương trình thuần nhất hóa (1.17) với điều
kiện liên tục (1.19).

10


SH R

SH I

+

x1

0
h
_
SH T

x3

Hình 1.3: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH.

1.4

Hệ số phản xạ, khúc xạ

Giả sử trong bán không gian trên cho sóng tới SH có biên độ đơn vị, tạo một
góc θ với trục x3 [5] (xem hình 1.3)
(+)

u2SHI = ei(ξx1 +ξ

(+)

x3 −ωt)

(1.22)

trong đó, ω là tần số góc (cho trước), ξ = K (+) sin θ, ξ (+) = K (+) cos θ, θ là góc
tới,
(+)

√
(+)

CT

=

K (+) = ω/CT
(+)

là số sóng của bán không gian trên,

(1.23)

(+)

C66 sin2 θ + C44 cos2 θ
là vận tốc sóng ngang đối với bán không gian trên.
ρ(+)

(1.24)
Sau khi sóng SH tới lớp vật liệu không thuần nhất, xuất hiện sóng SH phản xạ
[5]:
u2SHR = Rei(ξx1 −ξ
(+)

(+)

x3 −ωt)

(1.25)

(−)

(−)

x3 −ωt)

(1.26)

và sóng SH khúc xạ [5]:
u2SHT = T ei(ξx1 +ξ
11


trong đó,
(−)

√
(−)
CT

ξ (−) = K (−) cos α, K (−) = ω/CT
(−)

là số sóng của bán không gian dưới,

(−)

C66 sin2 α + C44 cos2 α
là vận tốc sóng ngang của bán không gian dưới,
ρ(−)

=

(1.27)
α là góc khúc xạ được xác định bởi quy luật Snell [4]
K (+) sin θ = K (−) sin α.

(1.28)

Các hệ số (phức) R, T được gọi là các hệ số phản xạ, khúc xạ. Chúng cần được
xác định.
Chú ý rằng: (1.22) và (1.25) thỏa mãn (1.16). Trong khi đó (1.26) thỏa
mãn (1.18).

1.5

Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ

Để tìm được các hệ số phản xạ, khúc xạ R, T , ta cần tìm chuyển dịch, ứng suất
trong miền 0 ≤ x3 ≤ h thỏa mãn các điều kiện liên tục trên biên x3 = 0 , x3 = h.
Vậy ta cần tìm nghiệm của hệ (1.17) thỏa mãn điều kiện liên tục (1.19).
Ta tìm nghiệm V (x1 , x3 , t) của (1.17) dưới dạng
V = v(x3 )ei(ξx1 −ωt)

(1.29)

Thay (1.29) vào (1.17) ta có:
[

⟨

(⟨C44 ⟩v,3 ),3 + ⟨ρ⟩ω −
2

1
C66

⟩−1 ]

ξ2 v = 0

(1.30)

Ta đặt
Y1 = ⟨C44 ⟩v,3 ,

Y2 = v

(1.31)

suy ra
Y2,3 = v,3 = ⟨C44 ⟩−1 Y1

(1.32)

Thay (1.31) vào (1.30) ta có:
[
Y1,3 =

⟨
− ⟨ρ⟩ω +
2

12

1
C66

⟩−1 ]

ξ 2 Y2

(1.33)


Từ (1.32) và (1.33) ta có hệ phương trình sau:
dY
= D.Y
dx3

trong đó

(1.34)


D=

Y = [Y1 Y2 ]T ;

⟨
−⟨ρ⟩ω +
2

0
⟨C44 ⟩

−1

1
C66



⟩−1
2

ξ 

(1.35)

0

Tiếp theo ta tìm điều kiện biên cho phương trình (1.34). Từ (1.31), ta có:
]
] [
]
[
] [
[
⟨C44 ⟩v,3 (h)
Y1 (h)
⟨C44 ⟩v,3 (0)
Y1 (0)
(1.36)
Y(0) = Y (0) =
,
Y(h) = Y (h) =
v(0)
v(h)
2

2
Từ (1.22) và (1.25), trường chuyển dịch của bán không gian trên Ω(+) là:
(+)

u2

= u2SHI + u2SHR = ei(ξx1 −ωt) (Re−iξ
(+)

(+)

(+)

x3

+ eiξ

(+)

x3

)

(1.37)

Theo (1.26), trường chuyển dịch của bán không gian dưới Ω(−) là:
(−)

u2

= u2SHT = T ei(ξx1 −ωt) eiξ
(−)

(−)

x3

(1.38)

Từ (1.37) , (1.38), (1.19) và chú ý đến (1.29) , ta suy ra:
v(0) = R + 1
(+)

⟨C44 ⟩v,3 (0) = C44 (−iξ (+) R + iξ (+) )
v(h) = T.eiξ

(−)

h

(−)

⟨C44 ⟩v,3 (h) = C44 T iξ (−) .eiξ

(−)

h

Từ (1.36) và (1.39), ta có điều kiện biên sau:
]

[
]
[
(+)
(−) C (−) T.eiξ (−) h )
(+)
iξ
44
Y(0) = −iξ C44 (R − 1) ,
Y(h) =
iξ (−) h
R+1

(1.39)

T.e

(1.40)

Như vậy, bài toán dẫn đến việc giải hệ (1.34) với điều kiện biên (1.40).
Vì các hệ số của hệ (1.34) là hàm số phụ thuộc x3 nên không tìm được
nghiệm chính xác. Do vậy, ta chỉ tìm được nghiệm xấp xỉ. Ta tìm nghiệm xấp
xỉ của (1.34) như sau:
Ta chia lớp không thuần nhất [0, h] thành N lớp con thuần nhất có độ dài
(1)
(N +1)
= h (xem
bằng nhau δ = h/N bởi các điểm chia x(i)
3 , (i = 2, N ), x3 = 0, x3

Hình 1.4). Về mặt toán học ta phải giải hệ sau:
dY
= Di Y, 0 < x3 < h, (i = 1, N )
dx3
13

(1.41)


trong đó,
Di = D(x(i)
3 + 0), (i = 1, N )

(1.42)

Do các hệ số của hệ (1.41) là hằng số nên dễ dàng tìm được nghiệm thỏa mãn
điều kiện trên biên x3 = 0 và x3 = h. Ta có thể xem chi tiết trong bài báo [2].

SHR

SHI

+

0

x3(1)
x3(2)
x3(3)

x1

..
.

(m)

x3
x3(m+1)

..
.

x3(N)
x3(N+1)

h

_
SH T

x3

Hình 1.4: Chia lớp vật liệu không thuần nhất thành N lớp con thuần nhất

Theo [2], hệ số phản xạ, khúc xạ là:
(+)

(−)

(N )

(N )

(+)

(N )

(−)

(N )

(−)
(+)
(+)
(−)
ˆ = C44 ξ C44 ξ H21 + H12 + i(C44 ξ H11 − C44 ξ H22 )
R
(+)
(−)
(N )
(N )
(+)
(N )
(−)
(N )
C44 ξ (+) C44 ξ (−) H21 − H12 + i(C44 ξ (+) H11 + C44 ξ (−) H22 )

2iC44 ξ (+) e−iξ
(+)

Tˆ =

(+)

(−)

(N )

(N )

(−)

(+)

h
(N )

(−)

(1.43)

(N )

C44 ξ (+) C44 ξ (−) H21 − H12 + i(C44 ξ (+) H11 + C44 ξ (−) H22 )

trong đó, Hij(N ) được xác định như sau:
• Với N = 1:
(1)

(1)

(1)

H11 = cos β1 = H22 , H12 =

14

sin β1
(1)
, H21 = −a1 sin β1
a1

(1.44)


• Với N ≥ 2:
(N )
H11

=

N
∏

cos βi

i=1

∑

Cn
∑
2j

[N/2]

+

(−1)j

j=1

(

i1
ai1 ai3 · · · ai2j−1
sin βi1 sin βi2 · · · sin βi2j
ai2 ai4 · · · ai2j

(1.45)

i∈{1,···N }

∏

cos βi ),

i̸=i1 ,i2 ,···i2j

(N )
H12

=

m
∑

(−1)

2j−1
C∑
n

(j+1)

(

i1
j=1

ai2 ai4 · · · ai2j−2
sin βi1 sin βi2 · · · sin βi2j−1
ai1 ai3 · · · ai2j−1

i∈{1,···N }

∏

cos βi ),

i̸=i1 ,i2 ,···i2j−1

(1.46)
(N )

H21 =

m
∑

2j−1
C∑
n

(−1)(j)

j=1

(

i1
ai1 ai3 · · · ai2j−1
sin βi1 sin βi2 · · · sin βi2j−1
ai2 ai4 · · · ai2j−2

i∈{1,···N }

∏

cos βi ),

i̸=i1 ,i2 ,···i2j−1

(1.47)
(N )
H22

=

N
∏

cos βi

i=1

∑

+

Cn
∑
2j

[N/2]

(−1)j

j=1

i1
(

ai2 ai2 · · · ai2j
sin βi1 sin βi2 · · · sin βi2j
ai1 ai3 · · · ai2j−1

(1.48)

i∈{1,···N }

∏

cos βi ),

i̸=i1 ,i2 ,···i2j

trong đó: ik ∈ {1, 2, · · · , N }, m = [ N2 ] nếu N lẻ, m = [ N2 ] + 1 nếu N chẵn và
√
βm = δηm , ηm =

⟨ρ⟩ω 2 − ⟨ C166 ⟩−1 ξ 2
⟨C44 ⟩
1

,

am = − √
, m = 1, N
⟨C44 ⟩[⟨ρ⟩ω 2 − ⟨ C166 ⟩−1 ξ 2 ]

15

(1.49)


Chú ý rằng:
ˆ=R
lim R

N →∞

(1.50)

lim Tˆ = T

N →∞

trong đó: R và T là các hệ số phản xạ, khúc xạ chính xác.

1.6

Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược

SHI

+

0

x1

h a b

_
x3
Hình 1.5: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược

Trong phần này, ta xét biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược
(xem hình 1.5). Khi đó, ma trận D trong hệ (1.34) là ma trận hằng số, trong đó
1
(bρ(+) + aρ(−) )
a+b
1
(−)
(+)
(bC44 + aC44 )
⟨C44 ⟩ =
a+b
⟨ 1 ⟩
( b
)
1
a
=
+

C66
a + b C (+) C (−)
⟨ρ⟩ =

66

(1.51)

66

Ta tìm nghiệm của (1.17) dưới dạng:
V = Beiγx3 ei(ξx1 −ωt)

Thay (1.52) vào (1.17), ta được:
{ ⟨ 1 ⟩−1
−

C66

ξ − ⟨C44 ⟩γ + ⟨ρ⟩ω
2

2

16

(1.52)

2

}
B=0

(1.53)


√

Do B khác 0 nên:
γ1 = −γ2 =

⟨ρ⟩ω 2 − ⟨ C166 ⟩−1 ξ 2

(1.54)

⟨C44 ⟩

Vậy nghiệm của phương trình (1.17) là:
V = (B1 eiγx3 + B2 e−iγx3 )ei(ξx1 −ωt)

(1.55)

B1 , B2 được xác định từ điều kiện liên tục trên biên x3 = 0 và x3 = h.

Trên biên x3 = 0
(+)

V |x3 =0 = u2 (0)

(1.56)

(+) (+)

⟨C44 ⟩V,3 |x3 =0 = C44 u2,3 (0)

suy ra
B1 + B2 = R + 1

(1.57)

(+)

⟨C44 ⟩γ1 (B1 − B2 ) = −C44 ξ (+) (R − 1)

Trên biên x3 = h
(−)

V |x3 =h = u2 (h)
⟨C44 ⟩V,3 |x3 =h =

(1.58)

(−) (−)
C44 u2,3 (h)

suy ra
B1 eiγ1 h + B2 e−iγ1 h = T eiξ

(−)

h

⟨C44 ⟩γ1 (B1 eiγ1 h − B2 e−iγ1 h ) = C44 ξ (−) T eiξ

(−)

h

(−)

(1.59)

Từ (1.57)-(1.59) ta có hệ 4 phương trình 4 ẩn B1 , B2 , R, T :


B1 + B2 = R + 1



(+)

−C44 ξ (+)


(R − 1)
B1 − B2 =
⟨C44 ⟩γ1
(−)

B1

+ B2 e−iγ1 h = T eiξ h


(−)


C44 ξ (−) iξ (−) h

iγ
−iγ
1h
1h

− B2 e
=
Te
B1 e
⟨C44 ⟩γ1
eiγ1 h

(1.60)

Đặt
(+)

(+)

C ξ (+)
C ξ (+)
a1 = 1 + 44

, a2 = 1 − 44
⟨C44 ⟩γ1
⟨C44 ⟩γ1

(1.61)

Từ hai phương trình đầu của hệ (1.60), ta có:
B1 = a2 R + a1 , B2 = a1 R + a2
17

(1.62)


Thay (1.62) vào hai phương trình cuối của hệ (1.60), ta được:
(a2 R + a1 )eiγ1 h + (a1 R + a2 )e−iγ1 h = T eiξ
(a2 R + a1 )e

iγ1 h

− (a1 R + a2 )e

−iγ1 h

(−)

h

(−)

C44 ξ (−) iξ (−) h

=
Te
⟨C44 ⟩γ1

(1.63)

hay
mR + nT = p

(1.64)
qR + rT = s

trong đó
m = (a2 eiγ1 h + a1 e−iγ1 h ), n = −eiξ
q = (a2 eiγ1 h − a1 e−iγ1 h ), r = −

−

h

, p = −(a1 eiγ1 h + a2 e−iγ1 h )

(−)
(1.65)
C44 ξ (−) iξ (−) h
e
, s = −(a1 eiγ1 h − a2 e−iγ1 h )
⟨C44 ⟩γ1

Từ (1.64) suy ra hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH là:

rp − ns
rm − nq
ms − qp
T =
rm − nq

R=

1.7
1.7.1

(1.66)

Các ví dụ số
Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình
răng cưa

Khi đường cong L có dạng hình răng cưa (xem hình 1.6), các hệ số của ma trận
D của hệ (1.34) không phải là các hằng số mà là hàm của x3 . Khi đó các hệ số
phản xạ, khúc xạ được tính (xấp xỉ) theo (1.43), trong đó
⟨ ⟩ x3 (−)
x3 (−)
x3 (+)
x3
⟨ρ⟩ =

⟨ 1
C66

h

⟩−1

ρ

[
=

+ (1 −

h

)ρ

,

C44 =

x3 1
x3 1
+ (1 − ) (+)
(−)
h C
h C
66
66

]−1

h

C44 + (1 −

h

(+)

)C44 ,

(1.67)

Sử dụng công thức (1.43) cùng (1.62), ta nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của
sóng SH đối với trường hợp vật liệu trực hướng có các tham số cụ thể là:
(+)

ρ(+) = 2178(Kg/m3 ), ρ(−) = 2018(Kg/m3 ), C44 = 30, 18.109 (N/m2 ),
(−)

(+)

(−)

C44 = 30.109 (N/m2 ), C66 = 42.109 (N/m2 ), C66 = 17.109 (N/m2 ).

Giả sử sóng SH truyền tới biên phân chia với góc tới θ = π/6.
Từ Hình 1.7 và Hình 1.8 ta thấy rằng: khi tần số tăng thì hệ số phản xạ
giảm, hệ số khúc xạ tăng.
18

SH I

+

0

x1

_

h

x3
Hình 1.6: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa.

0.0514
0.0512
0.051
0.0508
0.0506
0.0504
0.0502
0.05
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(+)

κ = hK

Hình 1.7: Hệ số phản xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng hình
răng cưa.

19


0.9488
0.9488
0.9487
0.9487
0.9487
0.9487
0.9487
0.9487
0.9487
0

0.2

0.4
0.6

κ = hK(+)

0.8

1

Hình 1.8: Hệ số khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng hình
răng cưa.

1.4
modunR
modunT
kiemtra

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(+)

κ = hK

Hình 1.9: Hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có
dạng hình răng cưa trong khoảng κ = [0.01 1].

20


1.7.2

Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình
sin

SHI
+

0

x1

L
h

_

x3
Hình 1.10: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin.

Khi đường cong L có dạng hình sin (xem hình 1.7), các hệ số của ma trận
D là hàm của x3 , trong đó
1
2
1
2
arccos(1 − x3 )]ρ(+) + arccos(1 − x3 )ρ(−)
π
h
π
h
⟨ ⟩
1
2
2
1
(+)
(−)
C44 = [1 − arccos(1 − x3 )]C44 + arccos(1 − x3 )C44 ,
π
h
π
h
]−1
⟨ 1 ⟩−1 [
1
2

1
1
2
1
= [1 − arccos(1 − x3 )] (+) + arccos(1 − x3 ) (−)
C66
π
h
π
h
C
C
⟨ρ⟩ = [1 −

66

(1.68)

66

Các hệ số phản xạ, khúc xạ được tính (xấp xỉ) theo công thức (1.43) và các giá
trị trung bình được tính như (1.68) .
Xét trường hợp vật liệu trực hướng có các tham số cụ thể là:
(+)

ρ(+) = 2178(Kg/m3 ), ρ(−) = 2018(Kg/m3 ), C44 = 30, 18.109 (N/m2 ),
(−)

(+)

(−)

C44 = 30.109 (N/m2 ), C66 = 42.109 (N/m2 ), C66 = 17.109 (N/m2 ).

Giả sử sóng SH đến biên phân chia với góc tới θ = π/6.
Từ Hình 1.11 và Hình 1.12 ta thấy rằng: khi tần số tăng thì hệ số phản
xạ giảm, hệ số khúc xạ tăng.

21


0.053
0.052
0.051
0.05
0.049
0.048
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

κ = hK(+)

Hình 1.11: Hệ số phản xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng
hình sin.
0.9488

0.9488

0.9487

0.9487

0.9486
0

0.2

0.4
0.6
κ = hK(+)

0.8

1

Hình 1.12: Hệ số khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng
hình sin.
1.4
modunR
modunT
kiemtra

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

κ = hK

(+)

Hình 1.13: Hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao
có dạng hình sin trong khoảng κ = [0.01 1].
22


Chương 2

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối
với biên phân chia độ nhám cao
2.1

Bài toán cơ học

PI
+

0

x1
x1

L
n

_

h
x3

Hình 2.1: Sóng P truyền tới biên phân chia độ nhám cao L.

Xét hai bán không gian Ω(+) và Ω(−) , được phân chia bởi một đường cong
độ nhám cao L có phương trình x3 = f (y), nằm giữa hai đường thẳng song song
x3 = 0 và x3 = h. Giả thiết Ω(+) và Ω(−) là đẳng hướng.

Hệ số Lame λ, µ và mật độ khối lượng ρ được xác định như sau:
{

λ, µ, ρ =

λ(+) , µ(+) , ρ(+)
λ(−) , µ(−) , ρ(−)

(x1 , x3 ) ∈ Ω(+)
(x1 , x3 ) ∈ Ω(−)

trong đó, λ(+) , µ(+) , ρ(+) , λ(−) , µ(−) , ρ(−) là các hằng số.
23

(2.1)