100 bài hình học lớp 11

15 CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC 11
GẦN 100 BÀI TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 1. Phân tích một vectơ theo các vecto cho trước.
Bài 1. Cho tứ diện SABC, G là trọng tâm ABC M , I , E, K tương ứng là trung điểm của SA, AB, SI , CG.
Dặt a  SA, b  SB, c  SC. hãy phân tích các vectơ SG, MG, EK theo a, b, c.
Bài 2. Cho tứ diện SABC , M là trung điểm của AB, K là điểm thỏa mãn KC  2KB và N là trung điểm
của SK . Hãy phân tích MN theo a  SA, b  SB, c  SC.
Bài 3. Cho lăng trụ ABC. ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn MB  2MB  0, NA  2 NC  0. Hãy biểu
diễn MN theo các vectơ a  AB, b  AC, c  AA.

CHUYÊN ĐỀ 2 * Xác định một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.
* Các bài toán chứng minh và tính toán liên quan đến hệ thức vectơ trong không gian.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh a. M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , SA, SB. Tính
SM .BN và SM .AP.

Bài 5. Cho lăng trụ ABC. ABC I , I  tương ứng là trọng tâm tam giác ABC và ABC. O là trung điểm
của II , M là trung điểm của AB và G là trọng tâm tú diện ABCC.
a) Chứng minh OA  OA  OB  OB  OC  OC  0.


b) Chứng minh OM  2OG.
CHUYÊN ĐỀ 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng bốn điểm đồng phẳng.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ACD, I là trung điểm BC , vẽ hình bình hành ABDK .
Chứng minh I , G, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho tứ diện SABC , M là điểm thỏa mãn SM  3SA  SB  SC. Chứng minh M thuộc mặt phẳng

 ABC  .
Bài 8. Cho tứ diện ABCD, I , J tương ứng là trung điểm các cạnh AB và CD. M và N tương ứng thuộc
cạnh BC và AD ao cho BM  2MC, AN  2 ND. Chứng minh I , J , M , N cùng thuộc mặt phẳng.

Bài 9. Cho hình lăng trụ ABC. ABC. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB và AC . Điểm K thuộc
BC  sao cho KC  2KB. Chứng minh rằng bốn điểm A, I , J , K cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài 10. Cho hình hộp ABCD. ABC D, M , N , P tương ứng là trung điểm AA, BC , CD và Q là điểm
thuộc DD thỏa mãn QD  5QD. Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q đồng phẳng.

CHUYÊN ĐỀ 4. Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài 11. Cho hình hộp ABCD. ABCD. Xác định điểm M thuộc BD, điểm N thuộc CB sao cho MN
song song với AC.
Bài 12. Cho hình hộp

ABCD. ABCD.

Gọi

M,N

tương ứng là các điểm sao cho

MA  3MC, NC   ND. Chứng minh MN //BD.

Bài 13. Cho hình lập phương ABCD. ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD và DB sao
cho MA  kMD, ND  k NB  k  0, k  1 . Chúng minh MN song song với mặt phẳng  ABC  .
Bài 14. Cho hình hộp ABCD. ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần
lượt là trọng tâm các tứ diện ADMN và BCC D. Chứng minh rằng đường thẳng GG song song với
mặt phẳng  ABBA  .

CHUYÊN ĐỀ 5. Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.
Bài 15. Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  AB  AC  a, BC  a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng
SC và AB.

Bài 16. Cho tứ diện ABCD có CD 
JK 

4
AB. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết
3

5
AB, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.
6

Bài 17. Cho hình hộp ABCD. ABCD có các cạnh bằng a, BAD  60, BAA  DAA  120.
a) Tính góc tạo bới đường thẳng AB và AD, AC  và BD.
b) Tính diện tích tứ giác ACCA.
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng AC  với các đường thẳng AB, AD, AA.

CHUYÊN ĐỀ 6. Một số bài toán về hai đường thẳng vuông góc.
Bài 18. Cho tứ diện ABCD, AB  AC, AB  BD. P và Q tương ứng thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn
PA  k PB, QC  kQD,  k  1 . Chứng minh rằng AB  PQ.

Bài 19. Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng AB.CD  AC.DB  AD.BC  0. Từ đó suy ra tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc
thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.
b) Chứng minh AB.CD 

1
AD2  BC 2  AC 2  BD2 . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ diện có các
2

cặp cạnh đối vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau.
Bài 20. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau.
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CD.
b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA  k.MB, ND  k.NB.
Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 21. Cho hình hộp ABCD. ABC D, a  AB, b  AD, c  AA với a, b, c đôi một vuông góc với nhau.
Gọi M , N tương ứng là các điểm trên BB, AC , E là trung điểm của BC.
a) Cho MN / / ED. Phân tích vectơ MN theo a, b, c.
b) Cho MN vuông góc với BB và AC. Tính MN .
Bài 22. Cho tứ diện ABCD, có AB  CD, BD  AC và E , F tương ứng là trung điểm BC và AD. M , P
là các điểm tương ứng thuộc AB, BD, CD và MA  kMB và PD  k PC. Chứng minh rằng
a) EF  MP.


b) AD  BC.
CHUYÊN ĐỀ 7. Bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.
Bài 23. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC là các tam giác cân đáy BC. Gọi I là trung
điểm của BC. AH là đường cao trong tam giác ADI . Chứng minh rằng:
a) BC   AID 

b) AH   BCD 

Bài 24. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
a) Chứng minh BC   SAB 
b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB. Chứng minh AH   SBC  .
c) Kẻ đường thẳng HK cắt BC tại I . Chứng minh IA   SAC  .
Bài 25. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và SA  SC; SB  SD.

a) Chứng minh SO   ABCD  .
b) Gọi  d  là giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD  ,  d1  là giao tuyến của mặt phẳng  SBC  và

 SAD  . Chứng minh

SO  mp  d ; d1  .

Bài 26. Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường
chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF .
Chứng minh rằng:
a) ACH và BFK là hai tam giác vuông.

b) BF  AH và AC  BK .

Bài 27. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy  ABCD 
và SA  a.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S. ABCD là các tam giác vuông.
b) Từ A kẻ AB1  SB tại B1 , AD1  SD tại D1. Chứng minh mặt phẳng  AB1 D1   SC.
c) Gọi C1 là giao điểm của SC với mặt phẳng  AB1 D1  . Chứng minh rằng tứ giác AB1C1 D1 có hai đường
chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.
Bài 28. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và
SC  a 2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh SH  mp  ABCD 

b) Chứng minh AC  SK ; CK  SD.


Bài 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB  2a, BC  CD  DA  a,
SA  mp  ABCD  . Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SC , SD lần lượt tại B, C , D.

Chứng minh rằng:
a) AC   mp  SBC  ; AD  mp  SBD 

b) Tứ giác ABC D nội tiếp một đường tròn.

CHUYÊN ĐỀ 8. Bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 30. Cho tứ diện đều ABCD. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp  BCD  .
Bài 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  mp  ABCD  và SA  a 2. Tính góc
giữa:
a) Đường thẳng SC, SD với mặt phẳng  ABCD  .
b) Đường thẳng BD với mặt phẳng  SAC 
Bài 32. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA  SB  SC  SD  b và cùng hợp với
đáy góc 60. Gọi I là trung điểm của CD. Tính góc hợp bởi:
a) Đường thẳng SC với mp  SBD  .
b) Đường thẳng SI với mp  SAB  .
Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và  ABCD  bằng 60.
a) Tính độ dài MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và mp  SBD 

CHUYÊN ĐỀ 9. Bài toán xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một
đường thẳng.
Bài 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Xác định thiết diện của hình chóp
cắt bởi mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với SC.
Bài 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC  . Gọi  P  là mặt phẳng
đi qua điểm I thuộc cạnh AB và vuông góc với SB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng  P  , thiết diện là hình gì? Thiết diện có thể là hình chữ nhật được không?

Bài 36. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mp  ABC  và
SA  a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   và tính diện tích thiết diện trong các

trường hợp sau:
a)   qua S và vuông góc với BC.
b)   qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c)   qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.

CHUYÊN ĐỀ 10. Bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng.
Bài 37. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
a) Chứng minh  SBC    SAB  .
b) Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh  SBM    SAC  .
Bài 38. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC.

a) Chứng minh  AHK    SAC  .
b) Gọi I là giao điểm của HK với mặt phẳng  ABC  . Chứng minh AI  AC.
Bài 39. Cho tứ diện ABCD, cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  DBC  , AE , BF là hai đường cao của
tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng:
a) mp  ADE   mp  ABC  và mp  BFK   mp  ABC  .
b) HK  mp  ABC  .
Bài 40. Cho hình vuông ABCD, S là điểm trong không gian sao cho tam giác SAB đều và mp  SAB 
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  .
a) Chứng minh mp  SAB   mp  SAD  và mp  SAB   mp  SBC  .
b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh  SHC    SDI  .


Bài 41. Trong mặt phẳng  P  cho hình thoi ABCD, AB  a, AC 

2a 6
. Trên đường thẳng vuông góc
3

với mặt phẳng  P  tại giao điểm O của hai dường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB  a.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác SAC vuông.
b) Mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng  SAD  .
Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC  về cùng một phía và cùng vuông góc với mặt
phẳng  ABC  .
a) Chứng minh mp  ABB  vuông góc với mp  ACC   .
b) Gọi AH và AK là các đường cao của các tam giác ABC và ABC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng

 BCCB

và  ABC   cùng vuông góc với mặt phẳng  AHK  .

CHUYÊN ĐỀ 11. Bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.
Bài 43. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  SA  a, BC  2a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy. Tính:
a) Các góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
b) Góc giữa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Bài 44. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AB  2a, SA  a 3 và vuông góc với mặt phẳng  ABCD  .

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  .
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .
Bài 45. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA  a. Tính góc giữa
hai mặt phẳng  ABC   và  BCA  .
Bài 46. Cho tứ diện S. ABC, hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  vuông góc với nhau và có SA vuông góc với

mặt phẳng  ABC  , SB  a 2, góc BSC bằng 45, góc ASB bằng  .
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB. Tìm điểm cách đều các điểm S , A, B, C.
b) Xác định  để hai mặt phẳng  SCA  và  SCB  ạo với nhau góc 60.


Bài 47. cho hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau theo giao tuyến    . Lấy hai điểm A, B cố
định thuộc    sao cho AB  a. Gọi SAB là tam giác đều trong  P  , ABCD là hình vuông trong  Q  .
a) Tính góc giữa mặt phẳng  SCD  với các mặt phẳng  P  và  Q  .
b) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BC và AD, với A, B tương ứng là các trung điểm của
SA, SB. Gọi H  là iao điểm của đường cao SH của SAB với mặt phẳng  ABCD  . Chứng minh rằng
SO vuông góc với SA và CD. Tính góc giữa mặt phẳng  ABO  với các mặt phẳng  P  và  Q  .

CHUYÊN ĐỀ 12. Bài toán xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua một đường thẳng và vuông góc
với một mặt phẳng.
Bài 48. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

 ABCD 

và AB  SA  a, E là trung điểm của SD. Gọi  P  là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với

mặt phẳng  SDC  .
a) Mặt phẳng  P  cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 49. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng

 ABCD 

và AB  SA  a, E là trung điểm của SD. Gọi  P  là mặt phẳng chứa OE và vuông góc với

mặt phẳng  ABCD  .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P 
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 50. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và
SA  a. Gọi E là điểm trên SB sao cho ES  2 EB, H là hình chiếu vuông gcó của A trên mặt phẳng

 SBC  .
a) Xác định vị trí của điểm H trong tam giác SBC.
b) Gọi  P  là mặt phẳng chứa AE và vuông góc với mặt phẳng  SBC  . Xác định thiết diện và tính
diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P  .
Bài 51. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB  2a, AD  DC  a, SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a.


a) Chứng minh  SAD    SCD  và  SAC    SBC  .
b) Gọi  P  là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng  SAC  . Tính diện tích thiết diện do
mặt phẳng  P  cắt hình chóp.
Bài 52. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác vuông cân, AB  AC  a, AA  2, AA   ABC  . I
và K lần lượt là trung điểm của BC và CC, M và N lần lượt là trung điểm của AC và BI .
a) Chứng minh BC   AIK  .
b) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng   qua MN và vuông góc với  AIK  .

CHUYÊN ĐỀ 13. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Bài 53. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi, A  120, BD  a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy là 60. Tính:
a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCB  .
Bài 54. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, AA  2a,
AC  3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC , I là giao điểm của AM và AC. Tính theo a

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC  .
Bài 55. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy là hình vuông, AAC vuông cân, AC  a. Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  theo a.
Bài 56. Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AD  a 3. Hình chiếu
vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai
mặt phẳng  ADDA  và  ABCD  bằng 60. Tính khoảng cách từ B  đến mặt phẳng  ABD  theo a.
Bài 57. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC  BD  2a, góc BCA bằng 60 và
SA  SB  SC  SD. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy  ABCD  bằng 60. Gọi giao điểm

của AC và BD là O.
a) Chứng minh SO  mp  ABCD  .


b) Gọi I là trung điểm AD. Tính tang của góc  giữa đường thẳng SI và mp  SBC  .
c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  .
d) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng  SBC  .
Bài 58. Cho lăng trụ ABC. ABC có AA   ABC  và AA  a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có
BC  2a, AB  a.

a) Tính khoảng cách giữa AA và  BCC B  .
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  .
c) Chứng minh AB   ACC A  .
d) Tính khoảng cách từ A đến  ABC   .
Bài 59. Cho lăng trụ ABC. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Biết góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt
đáy là 60 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng  ABC   trùng với trung điểm của cạnh BC.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC.
c) Tính tang của góc giữa mặt phẳng  ABBA  và mặt đáy.
Bài 60. Cho hình lập phương ABCDABCD cạnh a :

a) Chứng minh BD   BAC   ; BD   ACD  .
b) Tính khoảng cách giữa  BAC  và  ACD  .
Bài 61. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA  a 3 và vuông
góc với mặt phẳng  ABCD  .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  .
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng  SAC  .
Bài 62 Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AB  AC  a, góc BAC bằng 2 . Mặt phẳng  ABC  tạo với
mặt đáy góc 60. Tính khoảng cách từ B  đến mặt phẳng  ABC  .
CHUYÊN ĐỀ 14. Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.


Bài 63. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

 ABC  là điểm H

thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC 

bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 64. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a, hai mặt phẳng

 SAB 

và  SAC  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng

qua M và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 60.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 65. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA   ABCD  ;
AB  BC  2a; AD  4a. Mặt phẳng  SCD  tạo với mặt đáy góc 45. Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB và CD.
Bài 66. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường
kính AD  2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 3, G là trọng tâm của SCD. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CG.
Bài 67. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông
góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. \
Bài 68. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các mặt bên tạo với mặt đáy góc
60.

a) Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mỗi mặt bên.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 69. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a, AA  a 2. Gọi M
là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BC.
Bài 70. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC cạnh đáy bằng a. Đường thẳng AC tạo với mặt phẳng

 ABBA 

góc 30. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC .

Bài 71. Cho hình hộp ABCD. ABCD có AB  a, AD  2a, AA  a.
a) Tính khoảng cách từ diểm B đến mặt phẳng  ACC A  .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và AD.
c) Tính khoảng cách giữa ai đường thẳng BB và AC.


Bài 72. Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có các mặt bên là hình vuông cạnh a. D, E, F lần lượt là trung
điểm các đoạn BC, AC, CB. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng: DE và AB; AB và BC  ; DE
và AF .

Bài 73. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  OB  OC  a. Gọi I là trung điểm
của BC. Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các đường thẳng
a) OA và BC.
b) AI và OC.
Bài 74. Cho hình hộp ABCD. ABC D, các mặt đều là hình thoi cạnh bằng a; các góc BAD, BAA, DAA
bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp đó và khoảng cách giữa CC  và BD.
Bài 75. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA  a.
a) Tính khoảng cách giữa AC và SD.
b) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các đường thẳng SC và BD; SB và CD; SB
và AD; AB và SC.
Bài 76. cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD 
và SH  a 3. ìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo
a.

Bài 77. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, góc ABC bằng 60.
Đường chéo CB của mặt bên  BCC B  tạo với mặt phẳng  ABBA  góc 30. Tìm đường vuông góc
chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và CB theo a.
Bài 78. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a.
a) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BD
b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AN và DM .
CHUYÊN ĐỀ 15. Bài tập tổng hợp
Bài 79. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của O lên mặt phẳng  ABC  . Chứng minh rằng:
a) BC   OAH 


b) H là trực tâm ABC.
c)

1
1
1
1



2
2
2
OH
OA OB OC 2

d) Các góc của ABC đều nhọn.
e) Đặt OA  a; OB  b; OC  c. Tính diện tích ABC theo a, b, c.
f) Chứng minh rằng a 2 .tan A  b2 .tan B  c 2 .tan C với A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
g) Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  với mặt phẳng  ABC  . Chứng
minh rằng cos 2   cos2   cos2   1.
Bài 80. Cho ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d   ABC   A, lấy điểm M . gọi H là trực tâm
ABC , O là trực tâm BCM .

a) Chưng minh MC  mp  BOH 
b) Chứng minh OH  mp  BCM  .
c) Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc với OH  d  N .
d) Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên d thì AM . AN không đổi.
Bài 81. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B với AB  BC  a, AD  2a,
SA  mp  ABCD  và SA  2a. Gọi M là một điểm chuyển động rên cạnh AB, AM  x, 0  x  a.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.

b) Mặt phẳng   qua M và vuông góc với AB. Xác định thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi
mặt phẳng   .
c) Tính diện tích thiết diện.
Bài 82. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều; SCD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ .
b) Chứng minh rằng: SI   SCD  ; SJ   SAB 
c) Gọi H à hình chiếu vuông góc của S trên IJ , chứng minh SH  AC.
d) Gọi M là một điểm thuộc CD sao cho BM  SA. Tính AM theo a.
Bài 83. Cho hình chóp S . ABC đáy ABC à tam giác vuông tại B, BCA  60; SA  SB  SC  AC  a, K là
trung điểm của AC.
a) Chứng minh SK   ABC  .


b) Tính:
i. Góc giữa SB và mặt phẳng  ABC 
ii. Góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng  ABC 
iii. Khoảng cách từ K đến mặt phẳng  SBC  ; Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA.
Bài 84. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC, cạnh đáy 2a, cạnh bên a. Gọi D là điểm đối xứng với B
qua trung điểm I của AC, điểm E là trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ACD  và tính độ dài SD theo a.
b) Chứng minh  ACD    SBD  ; tam giác SCD vuông;  SAD    SAE  .
c) Xác định góc  của  SAC  và  ABC  . Tính cos  .
d) Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung của AB và SC.
e) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABC cắt bởi mặt phẳng trung trực của ID.
Bài 85. Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  và SA  a, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD  2a.
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng  SCD 
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng  SBC  .
Bài 86. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  60, SA  SB  SD 

a 3
.
2

a) Xác định hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng  ABCD  . Tính độ dài đoạn SH heo a. w
b) Chứng minh SB vuông góc với BC. Gọi   là mặt phẳng trung trực của đoạn BC. Dựng thiết diện
với hình chóp cắt bởi mặt phẳng   .
c) Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau SA và CD. Từ đó tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng đó.
Bài 87. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA  a 2.
a) Chứng minh các mặt xung quanh hình chóp là những tam giác vuông.
b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng  SAB  .
c) Mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P  với hình
chóp. Tính diện tích thiết diện ấy.


Bài 88. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuộng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mặt
phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc  . Tính
a) Chiều cao của hình chóp S. ABCD
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng  SCD  .
c) Diện tích thiết diện của hình chóp S. ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.
Bài 89. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, tam giác SAB đều,

 SAB    ABCD  , H

là trung điểm cạnh AB.

a) Chứng minh SH   ABCD  ,  SAB    SBC 
b) Tính góc giữa AC và  SAB  , giữa  ABCD  và  SCD  , giữa  SAB  và  SCD  .

c) Tính khoảng cách từ D tới  SBC  , từ A tới  SCD  .
d) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
e) Gọi E là trung điểm SA. Chứng minh rằng CE vuông góc với SA.
Bài 90. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD  60. Đường thẳng SO
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và đoạn SO 

3a
. Gọi E là d BC , F là trung điểm BE.
4

a) Chứng minh mặt phẳng  SOF  vuông góc với mặt phẳng  SBC  .
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng  SBC  .
c) Gọi   là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng  SBC  . Xác định thiết diện với hình
chóp cắt bởi mặt phẳng   .
d) Tính góc giữa   và mặt phẳng  ABCD  .
Bài 91. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC.
1
Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thỏa mãn AH  AM . Biết góc giữa
3

đường thẳng AA và mặt phẳng  ABC  bằng 60.
a) Tính độ dài đường cao AH và cạnh bên AA của lăng trụ.
b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và BH . Tính tan  .
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AA và BC.
Bài 92. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, AA vuông góc với mặt phẳng

 ABC  . Đường chéo

BC  của mặt bên BCCB hợp với  ABBA  một góc 30.

a) Tính AA.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng  BAC  
Bài 93. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có các cạnh đáy cùng bằng a, góc tạo bởi đường thẳng chứa cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng  ; hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng  ABC   trùng với trung điểm
H của cạnh BC.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABBA  và  ABC   .
Bài 94. Cho hình hộp ABCD. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  60. Chân đường vuông góc hạ
từ B  xuống  ABCD  trùng với giao điểm các đường chéo của đáy. Cho BB  a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy hình hộp.
b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp.
Bài 95. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a. Gọi E , F và M lần lượt là trung điểm
của AD, AB và CC .
a) Chứng minh BC  vuông góc với mặt phẳng  ABCD 
b) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC .
c) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng  EFM  .
d) Tính cos  với  là góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và  EFM  .
e) Tính diện tích thiết diện xác định được ở câu a.