RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Đề tài nghiên cứu khoa học

TRƯỜNG …………………..
KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC
----------

ĐỀ TÀI:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY
HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH”

Vinh, 12/2019
1


Đề tài nghiên cứu khoa học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC
----------

ĐỀ TÀI:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY
HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH”

Vinh, 12/2019

2

Đề tài nghiên cứu khoa học
M ỤC L ỤC
A. MỞ ĐẦU...................................................................................................5
I. Lí do chọn đề tài....................................................................................5
II.

Mục đích nghiên cứu..........................................................................7

III.

Nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................................7

IV.

Đối tượng nghiên cứu.........................................................................7

V.

Phạm vi nghiên cứu............................................................................7

VI. Phương pháp nghiên cứu....................................................................7
VII.

Giả thuyết khoa học.........................................................................7

VIII.

Các quy ước, kí hiệu, chữ viết trong đề tài......................................8

B. PHẦN NỘI DUNG....................................................................................9

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.....................................9
1. Kĩ năng...................................................................................................9
a)

Khái niệm........................................................................................9

b)

Kỹ năng giải toán.............................................................................9

c) Sự hình thành kỹ năng giải toán........................................................10
d) Con đường hình thành kỹ năng giải toán...........................................10
2. Dạy học giải bài tập toán.......................................................................11
a) Mục đích dạy học toán.......................................................................11
b) Vị trí và chức năng của bài tập toán học............................................13
c) Yêu cầu đối với lời giải bài toán........................................................14
d) Dạy học phương pháp chung để giải bài toán....................................16
3. Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học
THPT.........................................................................................................19
a) Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán
THPT......................................................................................................19
b) Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong
chương trình toán THPT.........................................................................20
3


Đề tài nghiên cứu khoa học
CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG
GIAN............................................................................................................31

1. Định hướng giải các dạng bài toán tính khoảng cách trong hình học
không gian trong chương trình toán THPT................................................31
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng...............................31
b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng..................................33
c) Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với
nó .......................................................................................................37
d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song......................................37
e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau...................................37
2. Một số bài toán cụ thể giúp rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về
tính khoảng cách trong không gian ở chương trình toán THPT................44
C.KẾT LUẬN..............................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................50

4


Đề tài nghiên cứu khoa học

A.MỞ ĐẦU
I.

Lí do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế lỉ 21, thế kỉ của khoa học công nghệ và hội
nhập. Tri thức và kĩ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong
sự phát triển của xã hội, trong đó giáo dục góp phần lớn trong việc trang bị
tri thức, kĩ năng cho con người.
Toán học – một khoa học có nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như đối với các
nghành khoa học khác. Nó ra đời từ lúc bình minh của loài người và ngày
càng thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.

Khoảng cách trong không gian là một phần nội dung khá trừu tượng trong
chương trình toán phổ thông. Vì vậy tổ chức hiệu quả việc dạy học học hình
học không gian nói chung, tính khoảng cách trong không gian nói riêng có
vai trò lớn tác động đến kết quả học tập của học sinh.
GD-TĐ - Trong chương trình toán học lớp 11, 12 ở trường THPT, bài toán
về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở
hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các
đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến
thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không
gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và
thường để mất điểm trong các kì thi nói trên.
Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt
động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn
luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng
cách trong không gian được trình bày cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập
về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học
toán, có cách giải thì còn rời rạc và làm bài nào biết bài đấy và còn tốn khá
nhiều thời gian.
5


Đề tài nghiên cứu khoa học
Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu
chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài
tập hình học. Nhưng một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy
cảm, linh hoạt để xác định và đi đến lời giải cụ thể. Đó là tiềm năng lớn để
phát triển trí tuệ cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách.
Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì với
giáo viên việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng
mất nhiều thời gian và công sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở

đến quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ và rèn luyện cho học
sinh trong hoạt động giảng dạy.
Giải bài tập về tính khoảng cách trong không gian vừa là mục đích, vừa là
phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng
– suy luận toán học, tính toán, toán học hóa các tình huống thực tế... và rèn
luyện các phẩm chất tư duy: linh hoạt độc lập, sáng tạo, cẩn thận, chính
xác... góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh.
Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh và hình
học không gian là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ nhu cầu đang là sinh viên năm cuối tương lai là một giáo viên
THPT. Tôi đã chọn đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH” đây là một cơ hội để tôi tập
nghiên cứu học hỏi và cũng là một lần làm chuyên đề cho chính bản thân
mình.

II.

Mục đích nghiên cứu
6


Đề tài nghiên cứu khoa học
Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán về khoảng cách trong không gian
trong chương trình toán THPT nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học
hình học không gian.
III.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài như: phương pháp,

kỹ năng giải bài tập…
- Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học giải bài tập về tính khoảng cách ở
trường THPT.
- Phân loại các bài tập về tính khoảng cách trong không gian nhằm hình
thành phương pháp và kỹ năng cho học sinh.

IV.

Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình dạy học giải bài toán hình học không gian cụ thể là
khoảng cách.
V.

Phạm vi nghiên cứu

Kĩ năng giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian.
VI.

Phương pháp nghiên cứu
– Phương pháp nghiên cứu lí luận;
– Phương pháp quan sát – điều tra thu thập thông tin;

VII.

Giả thuyết khoa học
Nếu thường xuyên quan tâm, chú ý và coi trọng đúng mức: “ Rèn luyện kĩ
năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học
một số bài toán về khoảng cách .” trên cơ sở kết hợp với tư duy logic, tư duy
biện chứng thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán,khắc phục

những khó khăn và sai lầm học sinh, nhằmrèn luyện kĩ năng và phát triển tư
duy sáng tạo của học sinh THPT.

VIII.

Các quy ước, kí hiệu, chữ viết trong đề tài
7


Đề tài nghiên cứu khoa học
CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC
 : với mọi

TỪ VIẾT TẮT
Gv : giáo viên

 : tương đương

Hs: học sinh

 : suy ra ( kéo theo)

Thpt: trung học phổ thông

 ABC : tam giác ABC
≠ : dấu khác
≥ : không âm
= : dấu bằng
: khoảng cách giữa 2

đường thẳng

AB và CD.

B. PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
8


Đề tài nghiên cứu khoa học
1. Kĩ năng
a) Khái niệm
Có nhiều khái niệm, định nghĩa khác nhau về kĩ năng. Những định nghĩa,
khái niệm này thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá
nhân của người viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kĩ năng
được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kĩ năng được
học do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào
đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng. Vậy kỹ năng là năng
lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành
động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả
mong đợi.
Theo Tâm lí học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
b) Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là kỹ năng sử dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức
toán học để giải những bài tập toán học.
Kỹ năng giải bài tập toán học: trước hết là kĩ năng phân tích bài toán, kỹ
năng xác định hướng giải đúng và kỹ năng trình bày một lời giải một cách
logic, chính xác trong một thời gian nhất định.

 Mức độ của kỹ năng
Trong toán học có thể chia làm hai kỹ năng giải bài tập toán học:
-Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản.
-Kỹ năng giải bài tập toán học tổng hợp.
Trong mỗi mức độ có 3 trình độ khác nhau:
-Biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán học cơ bản nào đó
tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.

9


Đề tài nghiên cứu khoa học
-Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác như bài tập mẫu nhưng chưa
có biến đổi.
-Mềm dẻo linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo khác
lời giải mẫu do biết vận dụng kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà cả những bài toán mới.
c) Sự hình thành kỹ năng giải toán
-Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lí thuyết để giải các bài tập toán học cơ bản
để từ đó hình thành cho học sinh những thao tác cơ bản như: Viết các đối
tượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức để tính toán,… Việc
hình thành kỹ năng riêng của giai đoạn này là giải bài tập mẫu cụ thể để học
sinh biết được angorit thao tác giải bài tập toán học cơ bản (trình bày, gợi ý
để học sinh tự giải).
-Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng những kiến thức thao tác để giải bài tập cơ
bản qua đó hình thành kỹ năng giải bài tập cơ bản: Luyện tập giải một số bài
toán tương tự như bài toán mẫu…
- Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho
học sinh giải những bài toán đa dạng, phức tạp. Rèn luyện các bài tập tổng
hợp với mức độ khó ngày càng nâng cao (nâng dần từ thấp tới cao).

 Một số yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường
THPT:
-Học sinh cần hiểu cấu trúc bài tập;
-Kỹ năng giải bài tập toán không đơn lẻ mà là một hệ thống các kỹ năng: bài
tập lí thuyết, kỹ năng tính toán…
d) Con đường hình thành kỹ năng giải toán
- Kỹ năng được hình thành do học tập mà có (theo lí luận dạy học).
Có thể hình thành kỹ năng theo nhiều cách:
10


Đề tài nghiên cứu khoa học
+ Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự mẫu.
Việc này có thể hình thành ngay trong tiết học rải rác qua một số bài hoặc
bài tập về nhà từ đó giúp học sinh rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài
tập cụ thể.
+ Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu
cầu của bài toán thay đổi từ đơn giản đến phức tạp từ đó giúp học sinh phát
triển các kỹ năng bậc cao.
+ Luyện tập theo nhiều hình thức giải bài tập toán học khác nhau. Ngoài bài
tập có nhiều hình thức rèn luyện kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng viết,
giải bằng thực nghiệm.
+ Luyện tập thường xuyên: Luyện tập thường xuyên để tạo điều kiện cho
học sinh rèn luyện kỹ năng trong tiết học và ở nhà.
2. Dạy học giải bài tập toán
a) Mục đích dạy học toán

 Những căn cứ xác định mục đích dạy học môn Toán
Việc xác định mục đích dạy học môn Toán phải xuất phát từ mục tiêu giáo

dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn Toán.
- Mục tiêu giáo dục
Nói một cách tổng quát, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt
Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới
phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất
nước Việt Nam.
“Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách
nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc
11


Đề tài nghiên cứu khoa học
sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục,
Chương 2, mục 2 điều 23).
Môn Toán cũng như mọi môn học khác, xuất phát từ đặc điểm vị trí của
mình, phối hợp cùng với các môn học khác và các hoạt động khác nhau
trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu nêu trên.
- Đặc điểm môn toán
Thứ nhất, phải tính tới tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.
Thứ hai, cần phải nhấn mạnh tính logic và tính thực nghiệm của Toán học.
Cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày
lại những kết quả Toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và
tính lôgic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành
và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp
của nó vẫn có tìm tòi dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Như vậy sự
thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy Toán học.
Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học Toán,
mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục đích giáo

dục toàn diện.
- Vị trí môn toán
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng với
những lý do sẽ được trình bày dưới đây:
Thứ nhất, môn Toán là môn học công cụ. Do tính trừu tượng cao độ, Toán
học có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri thức và kỹ năng Toán học cùng
với phương pháp làm việc trong Toán học trở thành công cụ để học tập
những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều nghành khoa
học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy, Toán
học là một thành phần không thể thiếu đối với trình độ văn hóa phổ thông
của con người mới. Cùng với tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn
12


Đề tài nghiên cứu khoa học
luyện cho học sinh những kỹ năng Toán học như : tính toán, vẽ hình, đọc và
vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính
điện tử... Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những
phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hóa tình
huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn
đề… Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới.
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục Việt Nam, từ đặc điểm và vị trí môn Toán,
việc dạy học môn này có các mục đích sau:
- Truyền thụ tri thức, kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán học vào
thực tiễn;
- Phát triển năng lực trí tuệ chung;
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ;
- Bảo đảm chất lượng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu
về toán.
b) Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học, đối với học sinh có
thể xem việc giải toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể
thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,
hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải
bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập toán học có
vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác.
Mỗi bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Tuy nhiên, việc dạy giải một bài tập
13


Đề tài nghiên cứu khoa học
cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường
bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng một chức năng khác.
Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học.
Trong môn toán các bài tập mang những chức năng sau:
- Chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành cung cấp cho học sinh những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác trong quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới duy vật
biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao
động mới.
- Chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy học sinh đặc
biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư
duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh

giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.
Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể là
hàm ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh và công khai
hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác, thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một
bài tập mà người viết SGK đã có dụ ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể
khám phá và thực hiện được những dụ ý đó bằng năng lực sư phạm và trình
độ nghệ thuật dạy học của mình.
c) Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để khai thác tốt chức năng của bài toán thầy và trò cần nắm vững các yêu
cầu của một lời giải:
14


Đề tài nghiên cứu khoa học
* Lời giải không có sai lầm: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai
sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về
kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về nội dung diễn đạt. Giáo viên cần
phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán
và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc
đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng
cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài. Xét tính hợp lý của đáp
số với đầu bài hoặc từng cách làm, tìm một phương pháp giải khác nếu có
thể rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau.
Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng việc vân dụng linh hoạt những
kết quả đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho
sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.
Trong giải toán học sinh có thể mắc sai lầm do hấp tấp cẩu thả, sơ xuất trong
tính toán, không xem xét kĩ đầu bài.

* Lập luận phải có căn cứ chính xác: Yêu cầu này đòi hỏi từng bước đổi mới
trong lời giải có cơ sở lý luận phải dựa vào các định nghĩa, định lý, quy tắc,
công thức... đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu
trong giả thiết của định lý.
* Lời giải phải đầy đủ: Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một
trường hợp nào, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải
vừa không thừa vừa không thiếu. Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong
quá trình giải toán phải luân suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang
phải xem xét cái gì?; Như vậy đã đủ chưa?; Còn trường hợp nào nữa
không?; Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?;… Học sinh thường bộc lộ
thiếu sót là không xem xét đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một
tình huống, nhất là những bài toán tham biến, các bài toán đòi hỏi phải biện
luận…
15


Đề tài nghiên cứu khoa học
* Ngôn ngữ chính xác.
* Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn,
chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu,...) trong lời
giải.
* Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
* Nghiên cứu những bài toán tương tự.
d) Dạy học phương pháp chung để giải bài toán
Quá trình giải một bài toán thường trải qua các bước sau đây: Tìm hiểu
chung đề toán; tìm tòi lời giải bài toán; trình bày lời giải bài toán; nghiên
cứu sâu lời giải.
+ Tìm hiểu chung đề toán
Để hiểu rõ đề toán, trước hết cần nắm vững mọi khái niệm đươc đề cập đến
trong bài toán. Cần phải nhớ lại vác khái niệm đó đươc định nghĩa như thế

nào hoăc có thể định nghĩa bằng những cách khác nhau như thế nào?.
Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán. Phải biết được bài toán cho cái
gì, và yêu cầu của bài toán là gì?
Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Đọc kĩ toàn bộ bài toán từ
đó tưởng tượng một cách tổng quát và sơ bộ hình phác thảo có chứa đựng
các dữ kiện trong đề bài (nhất là đối với bài toán hình học trong không gian).
Sau đó vẫn trong tưởng tượng chọn điểm quan sát thích hợp để biểu diễn
hình một cách trực quan nhất … Thường sau khi vẽ hình học sinh sẽ hiểu rõ
bài toán hơn.
Hình vẽ cần mang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc
biệt nào. Hình vẽ phải rõ ràng, chánh có những nét chập vào nhau, các nét
thấy, nét khuất phải rõ, đúng quy ước. Hình vẽ các hình biểu diễn không
gian còn phải đảm bảo chính xác theo đúng lý thuyết biểu diễn hình qua
16


Đề tài nghiên cứu khoa học
phép chiếu song song. Chẳng hạn trung điểm của đoạn thẳng, hình biểu diễn
trọng tâm tam giác.
+ Tìm tòi lời giải bài toán
Đây là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Ở bước này, ta phải
biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán.
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho
hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tư, một trường hơp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
mộ bài toán liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng
toán như: chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán
quỹ tích...
+ Trình bày lời giải của bài toán

Sau khi tìm được cách giải hay nhất sắp xếp chúng theo một trình tự nhất
định và hợp lý nhất, trình bày trong bài làm của mình.
+ Nhìn lại bài toán
Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:
- Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán.
- Suy nghĩ xem có những lời giải khác không? Lời giải đã được lựa chọn có
phải là hay nhất không?
- Suy nghĩ xem có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài
toán khác không?
- Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ
tương tự, tổng quát hóa …
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh . Từ A
kẻ ADSB và AESC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. Tính khoảng cách từ S đến
mặt phẳng (ADE).
17


Đề tài nghiên cứu khoa học
Bước 1: Tìm hiểu chung đề toán:
GT

hình chóp S.ABC, đáy ∆ABC, , , ADSB, AESC, AB = a, BC =

KL

b, SA = c.
d (S; (ADE)) =?

Bước 2: Phân tích lời giải:
- Ta có AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB và SAC

- Ta thấy:
- Ta chỉ ra được và do đó
- Kết hợp với giả thiết
hay khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE) chính là độ dài đoạn thẳng
SE
Bước 3: Trình bày lời giải:
Ta có: ∆ABC vuông tại B nên
Theo giải thiết: mà
(1)
Ta lại có: (2)
Từ (1)(2) (*)
Mặt khác: (**) (gt)
Từ (*)(**) ta có : .
Hay SE chính là khoảng cách từ S đến mặt
phẳng (ADE)
Ta có: AE.SB = AS.AC nên:
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAE ta
có:

18


Đề tài nghiên cứu khoa học
Bước 4: Nghiên cứu lời giải:
Ta có thể mở rộng bài toán: Ta đã biết SE là khoảng cách từ S đến mặt phẳng
(DAE) hay SE chính là đường cao trong hình chóp S.ADE. Do đoa ta có thể
tính được thể tích khối chóp này.
Ta có bài toán mới: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,
cạnh . Từ A kẻ ADSB và AESC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. Tính khoảng
cách từ S đến mặt phẳng (ADE). Tính thể tích khối chóp S.ADE.

3. Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học
THPT
a) Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán
THPT
Trong chương trình toán học, hình học không gian là một phần kiến thức
quan trọng. Các bài toán về tính khoảng cách trong không gian có thể xem là
một trong những dạng toán cơ bản nhất trong chương trình Hình Học THPT.
Khoảng cách đựơc trình bày ở bài 5 trong chương 3 của hình học 11. Theo
phân phối chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, nội dung này được dạy
trong 2 tiết gồm:
- Định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian.
- Các tính chất về khoảng cách và mối liên hệ giữa các loại khoảng cách
- Bài tập về khoảng cách.
b) Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong
chương trình toán THPT
1) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
2) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
3) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song.
19


Đề tài nghiên cứu khoa học
4) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Để giải được những bài toán về tính khoảng cách, học sinh cần có các kỹ
năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng chứng minh... Đặc biệt quan
trọng là kỹ năng phân tích tìm cách giải, kỹ năng xác định hướng giải
đúng và kỹ năng trình bày lời giải. Khóa luận sẽ tập trung rèn luyện các
kỹ năng quan trọng trên
c) Các kiến thức liên quan

Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Định nghĩa: Cho điểm O và đường thẳng a.
Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu
vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng
cách giữa hai điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu là d(O,a).
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng
(). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
lên mặt phẳng (. Khi đó khoảng cách
giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng
cách từ điểm O đến mp (,kí hiệu là d(O,(.

O

H


+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

20


Đề tài nghiên cứu khoa học
Định nghĩa: Cho đường thẳng a song

a

O

A

song với mặt phẳng (, khoảng cách giữa
đường thẳng a và mặt phẳng ( là khoảng
cách từ một điểm bất kì của a đến mp(, kí
hiệu là d(a, ().

H

A'



+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia, kí hiệu là d(().

A


A'

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường




a

thẳng  cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và
vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là

M

đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a
và b.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

b
N

Nếu đường vuông góc chung  cắt 2 đường
thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là
khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu là d(a,b).
Nhận xét.

21


Đề tài nghiên cứu khoa học
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng
còn lại.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
M

a

a

M



b


a'

N

b


N

+ Thể tích của khối chóp (trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của
khối chóp). Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến
mặt đáy, ta đi tính V và S.
+ Tính chất của tứ diện vuông: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
OA  OB, OB  OC , OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng

(ABC).

Khi

đó

đường

cao

OH

được

tính

bằng

công

thức:

1

1
1
1



OH 2 OA2 OB 2 OC 2

+ Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

d ( M ;( ))  d ( N ;( )) .

Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không
d ( M ;( )) MI

trùng với I) thì d ( N ;( )) NI .

22


Đề tài nghiên cứu khoa học

1
d ( N ;( ))  d ( M ;( ))
2
Đặc biệt, nếu N là trung điểm của IM thì

nếu I là trung điểm của MN thì d ( M ;( ))  d ( N ;( ))
+ Phương pháp tọa độ trong không gian: Trong chương III - §1 sách giáo
khoa (SGK) hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy
(Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau :
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxy cho :

Với: và , ta có:


 ⃒⃒
 .
Tích có hướng của hai vectơ



 cùng phương với với
 cùng phương với
 , , đồng phẳng .
23


Đề tài nghiên cứu khoa học

Một số lưu ý khi chọn hệ trục tọa độ Oxy trong không gian
Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình
chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các
trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0;0;0);

B(a;0;0);

C(a;a;0);

B’(a;0;a);

C’(a;a;a);

D(0;a;0)
A’(0;0;a);
D’(0;a;a)

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0;0;0);

B(a;0;0);

C(a;b;0);

B’(a;0;c);

C’(a;b;c);

D(0;b;0)
A’(0;0;c);
D’(0;b;c)
Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’

24


Đề tài nghiên cứu khoa học

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O
của hai đường chéo của hình thoi
ABCD
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SO = h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :
.
Với hình chóp tam giác đều S.ABC

25