Chuyên đề BD HSG

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu
điện trở
1 - Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch
cầu không cân bằng:
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thí nghiệm điện.
- Mạch cầu đợc vẽ nh (H - 0.a) và (H - 0.b)
R
1
R
2

R
5
R
3
R
4
(H-0.a) (H.0.b)
- Các điện trở R
1
, R
2
, R
3
, R
4
gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R
5
có vai trò khác biệt
gọi là đờng chéo của mạch cầu (ngời ta không tính thêm đờng chéo nối giữa A - B. vì nếu có
thì ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu).

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:
* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện). I
5
= 0 ; U
5
= 0
* Mạch cầu không cân bằng
Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại:
- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay
vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển
mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu ta
chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt (đợc trình bày ở
mục 2.3) R
1
R
2
- Vậy điều kiện để cân bằng là gì?
R
5
Cho mạch cầu điện trở nh (H - 1.1) R
3
R
4
1 - Nếu qua R
5
có dòng
I
5
= 0 và U

5
= 0 thì các điện trở nhánh lập A B
thành tỷ lệ thức :
(H : 1-1)
4
2
3
1
R
R
R
R
=
= n = const
2 - Ngợc lại nếu có tỷ lệ thức trên
1
thì I
5
= 0 và U
5
= 0, ta có mạch cầu cân bằng.
Tóm lại: Cần ghi nhớ
+ Nếu mạch cầu điện trở có dòng I
5
= 0 và U
5
= 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập
thành tỷ lệ thức:
n
R

R
R
R
==
4
2
3
1
(n là hằng số) (*)
(Với bất kỳ giá trị nào của R
5
.).
Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trở còn lại.
* Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân
bằng và do đó I
5
= 0 và U
5
= 0.
+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định và không phụ
thuộc vào giá trị của điện trở R
5
. Đồng thời các đại lợng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào
điện trở R
5
. Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R
5
và bài toán đợc giải bình thờng
theo định luật ôm.
+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng.

2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ ơng của mạch cầu:
- Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho
dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thờng
phải tiến hành công việc này.
Với các mạch điện thông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong hai
cách sau.
+ Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch điện (thành các
đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các đoạn
mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song.
+ Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu điện thế ở 2 đầu
đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tơng đơng của
mạch bằng công thức định luật Ôm.

( )
U U
I R
R I
= => =
- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp nh mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về
dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể đợc. Điều đó cũng có nghĩa là
2
không thể tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điện
trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song.
Vậy ta phải tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách nào?
* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R
5
để tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.
* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạng mạch điện có các
đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.
* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tính bằng các phơng

pháp sau:
a - Phơng pháp chuyển mạch:
Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở tơng đơng của
mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện
trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tơng đơng.
- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyển mạch (chuyển từ
mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giác thành mạch sao)
Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli.
+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện đợc tạo thành từ ba điện trở (H21-a mạch tam
giác ()) A
(H.21b - Mạch sao (Y)
A R

3
R
1
R
2
R

2
R

1
B C B C
(H - 2.1a) (H- 2.1b)
Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai
mạch tơng đơng nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tơng đ-
ơng nhau nh sau:
* Biến đổi từ mạch tam giác R

1
, R
2
, R
3
thành mạch sao R
1
, R
2
, R
3
3
321
32
1
.
'
RRR
RR
R
++
=
(1)
321
31
2
.
'
RRR
RR

R
++
=
(2)
321
21
3
.
'
RRR
RR
R
++
=
(3)
(ở đây R
1
, R
2
, R
3
lần lợt ở vị trí đối diện với R
1
,R
2
, R
3
)
* Biến đổi từ mạch sao R
1

, R
2
, R
3
thành mạch tam giác R
1
, R
2
, R
3

1
313221
1
'
...
R
RRRRRR
R

+

+

=
(4)
2
313221
2
'

...
R
RRRRRR
R

+

+

=
(5)
3
313221
3
'
...
R
RRRRRR
R

+

+

=
(6)
- áp dụng vào bài toán tính điện trở tơng đơng của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch nh
sau: R
2
* Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát

'
3
R

ta chuyểnmạch tam giác R
1
, R
3
, R
5
A
'
5
R

thành

mạch sao :R
1
; R
3
; R
5
(H- 22a) B
Trong đó các điện trở R
13
, R
15
, R
35

'
1
R

đợc xác định theo công thức: (1); (2) và (3) R
4

từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp (H: 2.2a)
dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính
điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là:

'
5
R
)'()'(
)')('(
'
4123
4123
5
RRRR
RRRR
RR
AB
+++
++
+=
* Cách 2:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta A B

chuyển mạch sao R
1
, R
2
, R
5

thành mạch tam giác R
1
, R
2 ,
R
3
(H - 2.2b) R
3
R
4
Trong đó các điện trở R
1
, R
2 ,
R
3

đợc xác định theo công thức (4), (5) và (6) (H:2.2b)
Từ sơ đồ mạch điện mới (H - 2.2b)
4
áp dụng công thức tính điện trở tơng đơng ta cũng đợc
kết quả:
41

41
23
23
5
41
41
23
23
5
'
.'
'
'.
('
'
.'
'
'.
('
RR
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
RR
R
R

AB
+
+
+
+
+
+
+
=
b - Phơng pháp dùng công thức định luật Ôm:
Từ biểu thức:
R
U
I
=
suy ra
I
U
R
=
(*)
Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là cờng độ dòng điện qua mạch chính.
Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phải
tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả.
(có nhiều phơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau).
*Xét ví dụ cụ thể: R
1
R
2

Cho mạch điện nh hình vẽ:
(H . 2.3a) .Biết R
1
= R
3 =
R
5 =
3 A R
5
B
R
2
= 2 ; R
4
= 5 R
3
R
4
a- Tính điện trở tơng đơng
của đoạn mạch AB (H. 2.3a)
b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V). Hãy tính cờng độ dòng
điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
Lời giải
a- Tính R
AB
= ?
* Ph ơng pháp 1 : Chuyển mạch.
+ Cách 1: Chuyển mạch tam giác R
1
; R

3
; R
5
thành mạch sao R
1
; R
3
; R
5

(H. 2.3b) R
1
R
2
Ta có:
)(1
333
3.3.
321
3.1
'
5
=
++
=
++
=
RRR
RR
R

'
3
R

)(1
.
531
51
'
3
=
++
=
RRR
RR
R

'
5
R

'
1
R
R
5
)(1
.
531

53
'
1
=
++
=
RRR
RR
R
R
3
R
4
Suy ra điện trở tơng đơng của đoạn
mạch AB là : (H . 2.3b)
)51()21(
)51)(21(
1
)()(
))((
4
'
12
'
1
4
'
12
'
3

'
5
+++
++
+=
+++
++
+=
RRRR
RRRR
RR
AB
5
R
AB
= 3
+ Cách 2: Chuyển mạch sao R
1
; R
2
; R
5
thành mạch tam giác
'
3
'
2
'
1
;; RRR

(H . 2.3c)
'
5
R
Ta có:
1
5.15221
'
1
.
R
RRRRRR
R
++
=

'
2
R

'
1
R
=
++
=
7
3
3.33.22.3
)(5,10

...
2
51521
'
2
=
++
=
R
RRRRRR
R
R
3
(H. 2.3c) R
4
)(7
...
5
51521
'
5
=
++
=
R
RRRRRR
R

Suy ra:
* Ph ơng pháp 2:

)(3
..
)
.3.
(
4
'
1
4
'
1
3
'
2
3
'
2
'
5
4
'
1
4
'
1
3
'
2
'
2

'
5
=
+
+
+
+
+
+
+
=
RR
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
RR
R
R
AB
Dùng công thức định luật Ôm.
Từ công thức:

AB
AB
AB
AB

AB
I
U
R
R
U
I ==>=
(*)
- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB
I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Đặt I
1
là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H. 2.3d)
Ta lần lợt có:
U
1
= R
1
I
1
= 3 I
1
(1)
U
2
= U - U
1
= U - 3 I
1

(2)
2
3
1
2
2
2
IU
R
U
I

==
(3)
2
5
1
215
UI
III

==
(4)
2
315
.
1
55
UI
RIU

==
(5)
2
321
1
513
UI
UUU

=+=
(6)
6
6
321
1
3
3
UI
R
U
I

==
(7)
2
215
1
34
IU

UUU

==
(8)
10
215
1
4
4
4
IU
R
U
I

==
(9)
Tại nút D, ta có: I
4
= I
3
+ I
5
=>
2
5
6
321
10
215

111
UIUIIU

+

=

(10)
=> I
1
=
27
5U
(11)
Thay (11) vào (7) -> I
3 =
U
27
4
Suy ra cờng độ dòng điện mạch chính.
U
UU
III
3
1
27
4
27
5
31

=+=+=
(12)
Thay (12) vào (*) ta đợc kết quả:
R
AB
= 3 ()
b- Thay U = 3 V vào phơng trình (11) ta đợc :
)(
9
5
1
AI
=
Thay U = 3(V) và I
1
=
)(
9
5
A
vào các phơng trình từ (1) đến (9) ta đợc kết quả:
I
2
=
)(
3
2
A
;
)(

9
4
3
AI
=
;
)(
3
1
4
AI
=
;
)(
9
1
5
AI

=
(
9
1
5

=
I
có chiều từ C đến D)
)(
3

5
1
VU
=
;
)(
3
4
2
VU
=
;
)(
3
4
3
VU
=
;
)(
3
5
4
VU
=
;
)(
3
1
5

VUU
x
==
* L u ý:
+ Cả hai phơng trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tơng đơng của bất kỳ mạch
cầu điện trở nào. Mỗi phơng trình giải đều có những u điểm và nhợc điểm của nó. Tuỳ từng
bài tập cụ thể ta lựa chọn phơng pháp giải cho hợp lý.
+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tơng đơng của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng
phơng pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.
+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp
dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.
+ Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toán các
đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài toán không hề
7
đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh. Vậy có những
phơng pháp nào để giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.
2.3/ Ph ơng phápgiải bài toán tính c ờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch
cầu.
a- Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0
(hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các
đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán này
một cách đơn giản.
Ví dụ:
Cho các sơ đồ các mạch điện nh hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết các vôn
kế và các am pe kế là lý tởng.
A R
1
R
2
R

1

R
2
A
R
3
R
4
R
3
R
4
(H. 3.1a) (H. 3.1b)
R
1
R
2
R
1
R
2
R
4
R
3
R
3
R
4

(H.3.1c) (H.3.1d)
Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tơng đơng, tơng ứng
với các hình (H.3.1a); (H.3.1b); (H.3.1c); (H.3.1d).

R
1
R
2
(H.3.1a) (H.3.1b)
8
A
A