Lý thuyết tăng trưởng

Đại sổ tuyển tính

7

CHƯƠNG 1

TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC * MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.1. TẬP HỢP
1.1.1. Khái niệm chung
Chúng ta trình bày lý thuyết về tập hợp theo quan điểm "ngây thơ" do các nhà
toán học B. Bolzano, G. Cantor và R. Dedekind đưa ra vào cuối thế kỷ XIX. Cụ thể, tập
hợp là một khái niệm toán học được xem như là khái niệm gốc xuất phát (nguyên thuỷ),
không được định nghĩa mà chi mô tả bằng những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, tập họp
điểm; tập hợp các đường thẳng; tập hợp số; tập hợp bốn mùa xuân, hạ, thu, đông trong
một năm.
Trong thực tế, ta thường dùng các từ đồng nghĩa với từ tập: lớp, họ, bộ, toàn thể ...
Tập hợp thường được gọi ngán gọn là tập: tập A, tập đóng, tập chỉ số... Để biểu thị một
tập hợp ta dùng các chữ viết in hoa như A, B, c,..„ X, Y, z. Các đối tượng hợp thành tập
hợp gọi là các phần tử của nó. Nếu X là phần tử của A ta viết XE A và nói là X thuộc A.
Nếu phần tử y không là phần tử của A thì ta viết y Ể A và nói y không thuộc A. Các
phần tử của một tập hợp có thể là các đối tượng cụ thể hoặc trừu tượng như người, vật
thể hoặc các hàm số, số tự n hiên,...
Một tập hợp được coi là hoàn toàn xác định nếu ta có thể phân biệt các đối
tượng nào thuộc nó và những đối tượng nào không thuộc Í1Ó. Thông thường có thể đưa
ra một tập hợp bởi một trong hai cách sau:
a) Liệt kê các phần tử của tập, ví dụ

A = {av a2,o3,a4\.
b) Chỉ ra một số tính chất chung cho mọi phần tử thuộc tập, ví dụ
[ - a o ; 1] = | x e l . | X < l j ;

( - 1 ; l ) = |jc G K |

- 1 < X < l| .

Tập X các phần tử X có tính chất P(x) được ký hiệu là:

X = {x| P(x)}.
Một tập có thể chỉ gồm một số hữu hạn phần từ hoặc gồm vô hạn phần tử, tương
ứng gọi là tập hữu hạn và tập vó hạn. Nếu X là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của X
thường được ký hiệu bởi # X.


8

Đại số tuyến tính
Ví dụ: # { ứ 1,ứ 2,ứ 3, a 4} = 4 .
Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi 0 , là tập hợp không chứa phần tử nào.
Tập có duy nhất một phần từ gọi là tập đơn tử.
Ví dụ: ị(2ị là một tập đơn tử.
1.1.2. Tập con, sự bằng nhau giữa các tập, họ các tập con
Ta nói tập A là tập con của tập B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B

nghĩa là nếu x e A thì x e B , ký hiệu,4 c B hoặc B 2 A . Ta gọi A c B là một bao
hàm thức. Ta quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập: 0 c A . Với quy ước này, ta có
duy nhất một tập hợp rỗng (bạn đọc tự giải thích).
Nếu đồng thời A q B \ ầ B c A , thì ta nói A bằng B và ký hiệu: A = B . Như vậy,

ta có: A = B<=>(x€Ả<=>xeB).
Ta nói tập A là tập con thực sự của tập B nếu A là tập con của B và A B , ký
hiệu A a B . Chẳng hạn: {*,>>} c { x ,y ,z } ; { * ,-» ,© } c= { * ,-> , ® , □}.

Tập hợp mà mỗi phần từ của nó là một tập con của tập hợp A được gọi là họ các
tập hợp con của A, ký hiệu bởi
Ta ký hiệu { x t Ỵ

hay 2Ả.

là họ các phần tử X của tập A được đảnh số bởi tập chỉ số I.

Nếu các phần tử X của A là những tập con của một tập X nào đó thì ta gọi ( JC ) I là
họ các tập con cùa tập X được đảnh sổ bởi tập chỉ sổ I.
Nhộn xét. Nếu tập A gồm n phần tử thì tập

Ẩ) gồm 2" phần tử (chứng minh

nhận xét này dành cho bạn đọc như một bài tập).
1.1.3. Sơ đồ Venn
Để thể hiện tập hợp A một cách trực quan, người ta vẽ một đường cong phẳng đơn
kín (cỏ thể là đường tròn hay elip) và coi tập A là miền phăng giới hạn bởi đường cong
đó. Các điểm bên ngoài biểu diễn cho các phần tử không thuộc tập A.
Tập con B của A sẽ được biểu thị bởi một miền con của A.

Tập hợp N các số tự nhiên: N = Ị 0 ,1 ,2 ,...Ị.
Tập hợp N*các số tự nhiên khác 0: N* = {1,2,...}.


Đại số tuyến tính
Tập hợp

z

các số nguyên:

9

z = |0 ,± 1 ,± 2 ,...Ị .

Tập hợp z* các số nguyên khác 0: 7L' = { ± l , ± 2 , . . . j .

Tập hợp Q các số hữu tỉ: Q = Ị — I a,b € z ,b * o | .

Tập hợp Q+ các số hữu tỉ dương: Q + = Ị — I a,b € z ,a b > o | .

Tập hợp R các số thực. Tập hợp R* các số thực khác 0.
Tập hợp c các số phức: c = ịa + bi a,b G M |, i2 = - 1 .

Tập hợp c* các số phức khác 0: c = Ịa+Ò/Ị a,ÒE R;a2 + b2 ^ o |, i2 = —1
1.1.5. Các phép toán liên kết các tập hợp
Từ các tập hợp cho trước có thể tạo nên các tập hợp mới nhờ phép toán sau:
1.1.5.1. Phép hợp
Hợp của các tập A và B, ký hiệu A k j B , là tập hợp gồm mọi phần tử thuộc A
hoặc thuộc B, tức là:
A ^ j B = {x \ x s A hoặc x e B}.
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chẩt sau của phép hợp:

a) Ẩ( JA = A, A'U 0 = ẩ ;
b) Ac) ( i u 5 ) u C = i4 u (B u C );
d) ẨQ B o A u B = B.
Phép chứng minh xem như bài tập. Chú ý rằng, do tính chất c) ta có thể bỏ dấu
ngoặc khi viết hợp của ba hay nhiều tập.

Tổng quát hom, cho một họ tập {^4,, / e /} . Khi đỏ, hợp Ị J y l là tập hợp gồm
mọi phần tử thuộc ít nhât một trong các tập Ạ , nghĩa là:

(J Aị = I xị B i e ĩ : x e ẢịJ ■
ie/

1.1.5.2. Phép giao

<€/


10

Đại số tuyến tính

Giao của hai tập A, B ký hiệu bởi A Pi B , là tập hợp gồm mọi phần tử thuộc A và
thuộc B, tức là:
A ( ^ B = ị x I x e A; x e b Ỵ
Từ định nghĩa các phép toán hợp và giao ta thu được các tính chất sau:
1) A n A = A; A n 0 = 0 .
2) A n B = B n A .

3) ( A n B ) n C = A n ( B n C ) .
4) A c B <=> A r \ B = A .

5) (^ u B )n C = (^ n C ) u (ổ n C ) .
6) ( A n B ) u C = ( A u C ) n ( B u C ) .
Do 3) ta không cần viết dấu ngoặc khi biểu thị giao của ba hay nhiều tập.
Các tính chất 5) và 6) nói rằng phép toán hợp
chất phân phối.

và giaoliên hệ với nhau bởi tính

Ta chứng minh một tính chất, chẳng hạn tính chất 5):

• x g ( A u B ) n C => x e ( A y j B ) ; x e C
=> X € A ;X e c hoặc x e B ;x e c
=> X e ( ẩ n C ) hoặc x e ( B n C )
= > xe(AnC )u(BnC ).
• X e ( A n C ) u ( B P tC ) = > x e Ẩ n C hoặc x e B n C
=> X e A ;x € c hoặc X e B ;x e c
=> X e ( Ắ U B y , X g c
= > xe(^u5)nC .

■

Có thể mở rộng định nghĩa phép giao từ hai sang một họ các tập tuỳ ý. Giao cùa
họ các tập { A ị, i G / } là tập hợp gồm các phần tử chung của họ Ạ , tức là:
= Ị x | Jt € A ị,V i 6 / Ị .
Nếu A n B = 0

thì ta nồi các tập A, B rời nhau hoặc không giao nhau. Họ tập

{ 4 , / e / } gọi là rời nhau từng đôi một nếu hai tập bất kỳ trong chúng là rời nhau.


Đại số tuyến tính

11

1.1.5.3. Phép trừ
Ta gọi hiệu của tập A và tập B (theo thứ tự đó), ký hiệu bởi A \ B , là tập gồm mọi
phần tử thuộc A nhưng không thuộc B:
A \ B = ỊxỊ X € A ,x ẹẼ i?Ị.
Nhận thấy, phép trừ không có tính chất giao hoán, nghĩa là nói chung
. B \A *A \B
Nếu B Q A thì hiệu A \ B gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu C a ( B Ỵ Đặc
biệt, khi mọi tập được xét đều là các tập con của một tập cố định X thì ta viết
thay cho C ỵ ( B Ỵ Ngoài ký hiệu
tập con B trong tập X.

ta còn dùng ký hiệu B để chi phần bù của

1.1.5.4. Hiệu đối xứng
Hiệu đối xúng của tập A và tập B, ký hiệu A + B , được định nghĩa bởi:
A +B = ( A \ B ) v ( B \A ) .
Ta cóB 4- A = A -r B và đó là lý do để phép toán này có tên "hiệu đối xứng".
Ngoài ra, hiệuđối xứng cũng có tính chất kết hợp:
(A + B) + C = A + (B + C).
1.1.6. Công thức De Morgan
Giữa các phép toán hợp, giao và lấy phần bù có các mối liên hệ sau đây, gọi là
công thức De Morgan. Với các tập được nêu đều là các tập con của mỗi tập hợp cố định
X cho trước, ta có:
ứ)

LM = ri4 ;
iel

iel

b) r í 4 - U 4 .
ie/
iel
Nói riêng
A 2^ = ^ x —

A { u A 2 = Ax n

hay X —ịAị

Axn

hay X —(Aị n ^ Ị = ( X — Aj ) ^ ( x —

= Aị u

).

Phép chứng minh các công thức này xem như là những bài tập dành cho bạn đọc.
1.1.7. Tích Descartes của các tập hợp
Tích Đềcac (tích) của các tập A và B, được ký hiệu A X B , là tập hợp mọi cặp có
thứ tự ( a,b), trong đó a e A, b e B :


12

Đại số tuyến tính
A x B = { (ữ ,£ )| a G A ,b G

.

Tương tự tích của n tập Ạ , Ẩ 2, . . . , Ạ Ì là tập hợp các bộ n phần tử có thứ tự
n

(ữ1,ớ 2,...,ứ n) , trong đó ữị € Ạ , V i e {1,2,...,«} và được ký hiệu bởi U A
i=l
Tích của dãy tập Ạ , A 2,...,Ạ Ị,... là tập mọi dãy các phần tử có thứ tự
( a t,a 2,...,a n, . . . ) , ứ ong đó a, E 4 , V / g N*.
n

Nếu Ạ =

—... = A" = A thì Ị - [ Ạ được ký hiệu là A" và gọi là lũy thừa bậc
i=ì

n của A. Nói riêng, A 2 = A X A là bình phương của tập A.
Nhận xét. Nếu A, B là các tập hữu hạn có sổ phần tử tương ứng là m và n thì tích
A x B gồm mn phần tử.
Nhận xét trên thường được gọi là Nguyên lý nhân cùa lý thuyết tập hợp.
Ví dụ. 1. Cho

\h B —

=

, ta có:

A X B = Ị ( ứ , x ) , ( a , } - ) , ( ố , x ) , ( ố j ) )( c , x ) , ( c j ) } .
2. R 2 = K X R là tập hợp mọi cặp có thứ tự { x , y ) với x,y là các số thực. Nhu
vậy, R 2 biểu thị tập mọi điểm của mặt phăng toạ độ; R 3 = R X E X R là tập mọi bộ

ba có thứ tự các số thực, tức mọi điểm của không gian 3 chiều thông thường;
1 4 = R x R x R x M là tập mọi bộ bốn có thứ tự các số thực, tức mọi điểm của không
gian vật lý 4 chiều, trong đó 3 chiều chi không gian và 1 chiều chi thời gian.
3. Nếu A =

= [c,c/] là các đoạn thẳng, thì tích A x B biểu thị tập mọi

điểm của hình chữ nhật.
4. Cho A là tập mọi điểm của hình tròn tâm o thuộc mặt phẳng Oxy, B là tập mọi
điểm của đoạn thẳng [ ơ ,/z ] cùa trục Oz trong hệ toạ độ vuông góc Oxyz thì A X B
biểu thị tập hợp mọi điểm của hình trụ có chiều cao bằng h, đáy là hình tròn A.
1.2.

QUAN HỆ 2-NGÔI

1.2.1. Quan hệ hai ngôi trên một tập họp
Cho tập X khác rỗng. Ta gọi một quan hệ 2 - ngôi trên tập X là tập con s
X x X . Nếu cặp phần tử (a, b) thuộc

s

thì ta nói a có quan hệ

s

của tập

với b và viết a S b ■

Đại sô tuyên tính

13

Ví dụ. 1. Trên tập R , quan hệ "a - b " hoặc quan hệ "ci < b " là các quan hệ 2ngôi.
2. Trên tập các đường thẳng của một mặt phăng đã cho, quan hệ vuông góc hoặc
quan hệ song song giữa hai đường thẳng là các quan hệ 2- ngôi.
3. Trên tập họp N‘, quan hệ chia hết là một quan hệ 2- ngôi.
4. Trên tập X = p ( À ) tất cả các tập con của tập A, quan hệ bao hàm CỊ là một
quan hệ 2- ngôi.
1.2.2. Đầ thị của một quan hệ 2-ngôi
Cho s là một quan hệ 2-ngôi trên tập X. Nếu a và b là hai phần tử của X sao cho
aSb thì có cặp thứ tự
là một phần tử của tập tích X X X . Ta ký hiệu
G CỊ X X X là tập hợp các cặp (ữ,ồ) thỏa mãn quan hệ s và gọi G là đồ thị của quan
hệ 2-ngôi s :
G = {(a,b)\a,beX;aSb).
Ví dụ. 1. Đồ thị của quan hệ "a = b" trên tập R mọi sổ thực là đường phân giác
của các góc phần tư thứ I và III trên mặt phăng tọa độ.
2. Đồ thị của quan hệ "a < b " trên tập R là nửa mặt phẳng kể cả biên nằm
trên đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ I của mặt phăng tọa độ.
3. Đồ thị của quan hệ ”a 2 + b 2 = 1" là đường tròn bán kính 1, tâm tại gốc o
trên mặt phẳng tọa độ.
1.2.3. Các tỉnh chất có thể có của quan hệ 2-ngôi trên một tập hợp
Một quan hệ 2- ngôi s trên tập X có thể có các tính chất sau:
- Tính phản xạ: a S a , với V a e X .
- Tính đối xứng: Với \ f a , b e X , nếu aSb thì b S a .
- Tính phản đối xứng: Với V a . ỉ e X , nếu aSbvầ b S a thì a = ò.
- Tính bắc cầu: Với Vứ,Ế,c e X , nếu aSb và bSc thì aSc.
Ví dụ. 1) Trên tập hợp p( A) các tập con của tập hợp A quan hệ bao hàm c

có

tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu nhưng không có tính đối xứng.
2)

Trên tập hợp RỊx] các đa thức hệ số thực của biến X, quan hệ bằng nhau có

mọi tính chất đã nêu.
Chủ ỷ. Đối với một quan hệ 2-ngôi s trên tập X, các tính chất nói trên không nhất
thiết thỏa mãn đối với mọi cặp phần tử của X.


14

Đại số tuyến tính

Các quan hệ định nghĩa trong các mục dưới đây có vai trò đặc biệt quan trọng
trong nhiều lĩnh vực toán học.
1.2.4. Quan hệ tương đương
Quan hệ 2-ngôi s trên tập X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có đủ ba
tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay vì cho
cách viết a s b •
Ví dụ. 1) Quan hệ song song giữa các đường thẳng trên tập các đường thẳng của
không gian (quy ước coi hai đường thẳng trùng nhau là song song); quan hệ đồng dạng
giữa các tam giác; quan hệ đồng hương tỉnh trong tập hợp dân cư sinh sống trên một
thành phố nào đó là những ví dụ trực quan của quan hệ tương đương.
2)

Cho p là số nguyên lớn hơn 1. Ta xác định một quan hệ -

trên tập z các số

nguyên bời: a ~ b khi và chỉ khi hiệu a - b chia hết cho p, tức a và b có cùng số dư với
nhau trong phép chia cho p và ký hiệu: a = Z?(mod p ) .
Nghiệm thấy rằng, quan hệ này có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên nó
là quan hệ tương đương trên z và được gọi là quan hệ đồng dư theo môđun p. Ta gọi
a = ò ( m o d p ) là một đồng dư thức.
1.2.5. Phân hoạch của một tập
Để nghiên cứu sâu hơn quan hệ tương đương ta cần khải niệm phân hoạch của
một tập hợp được định nghĩa như sau:
Cho tập X khác rỗng. Ta gọi phân hoạch của X là một họ các tập con khác rỗng
của X, từng đôi một không giao nhau sao cho hợp của mọi tập con của họ này bằng X.
Số các phần tử (tập con của X) thuộc họ này có thể hữu hạn hay vô hạn miễn là
không giao nhau từng cặp vả toàn bộ hệ đó phải “lát kín” tập hợp X.
Như sẽ thấy trong mục dưới đây, mỗi quan hệ tương đương trên tập X định ra
một phân hoạch của X.
1.2.6. Các lớp tương đương, tập thương
Giả sử - là một quan hệ tương đương trên tập X. Với mồi phần tử a e X , ta
ký hiệu c ( ữ ) hoặc

là tập hợp mọi phần tử thuộc X mà tương đương với a. Ta gọi

c ( a ) là lớp tương đương chứa phần tử a:
c(ứ ) = 1*6^1 X ~ a | .
Do tính phản xạ nên ữ~C l, do đó mỗi tập con c ( ữ ) khác rỗng.
Ta có tính chất sau của lớp tương đương: V a , i e X , a ~ b o c ( a ) = c (b).


Đại số tuyến tính

Hơn nữa, nếu
ceC(a) nC (è),

C (a)nC (ỏ)ĩt 0

thế thì: c e C ( ữ )

thì

c(ữ) = c(ò).

15

Thật vậy, giả sử

và c e C ( ố ) . Tức là c ~ a

c~b

hay

b ~ c ~ a . Từ đó, do tính chất bắc cầu suy ra b ~ a, vậy b e C ( ứ ) . Lập luận tương tự
cũng có a G c [ b ) , tức là c [ a ) = c ( b ) . Mặt khác, ta còn có: X = Ị^J C { a ) , nghĩa là
các lóp tương đương c ( a ) “ lát kín” tậpX.
aeX
Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương của tập X theo quan hệ tương
đương ~ đã cho, ký hiệu bởi X I ~ .
Ta gọi phần tử a G X là phần tử đại diện của lớp tương đương c ( ứ ) e X I ~ .
Nói khác đi, ta thu được định lý sau:
1.2.7. Định lý. Một quan hệ tương đương trên tập hợp X xác định một phân hoạch

cùa X, mỗi phần tử của phân hoạch này là một lớp tương đương.
Để hình dung rõ hom về tập thương, ta xét một ví dụ về tập thương gồm các lớp
đồng dư của tập 7L các số nguyên theo quan hệ đồng dư modp.
Ví dụ. 1) Ta xét quan hệ đồng dư môđun p trên tập z

các số nguyên:

ớ = ố ( m o d p ) . Theo quan hệ này, cho p lớp tương đương sau đây:
c ( 0 ) , c ( l ) , c ( 2 ) , . . . , c ( / ? —l) trong đó c ( r ) , 0 < r < / 7 —1, là lớp tương đương
gồm mọi số nguyên mà khi chia cho p có số dư là r. Các lớp tương đương này được gọi
là các lớp đồng dư theo modp. Trong trường hợp này, tập thương lLp = z / ~ là tập hữu
hạn có p phần tử. Chẳng hạn, tập z 2 là tập có 2 phần tử, trong đó phần tử thứ nhất là
lớp c ( o ) hay 0 gồm các số nguyên chẵn còn phần tử thứ 2 là lớp c ( l ) hay ĩ gồm các
số nguyên lẻ.
2)

Đối với quan hệ song song, mỗi lớp tương đương là tập hợp mọi đường thẳng

cùng phương, mỗi đường thẳng thuộc lởp này có thể đại diện cho phương của lớp. Như
vậy, khái niệm phương thực chất là lớp tương đương các đường thẳng song song với
nhau. Trong ví dụ này tập thương X / ~ là tập vô hạn.
1.2.8. Quan hệ thứ tự
Quan hệ 2- ngôi < trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có đủ ba tính
chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
Nếu ngoài ra với các phần tử bất kỳ x e X , y e X đều có

X

< y hoặc y < x thì

quan hệ thứ tự < đó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tỉnh).
Ngược lại, ta gọi < là quan hệ thứ tự bộ phận. Nếu X < y thì ta nói " X bé hơn hoặc
bằng

Khi đó, ta cũng viết y > X và nói là “y lớn hơn hoặc bằng x” . Nếu X < y và

X * y thì ta viết X < y (hay y > X ).


16

Đại số tuyến tính
Tập X trên đó đã xác định một quan hệ thứ tự < được gọi là tập được sắp thứ

tự và thường được ký hiệu bởi ( x , < ) .
Ví dụ. 1) Quan hệ < thông thường trên tập hợp M các số thực là các quan hệ thứ
tự toàn phần. Do đó, (M ,^ ) là tập được sắp thứ tự.
2) Quan hệ bao hàm c trên tập p ( Ả ) các tập con của tập A là quan hệ thứ tự bộ
phận. Tuy nhiên nó không là quan hệ thứ tự toàn phần.
3) Quan hệ chia hết là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập N’.
1.2.9. Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu
là một tập sắp thứ tự và 0 * A c X .

Giả sử

Ta gọi phần tử a € A là phần tử lớn nhất của tập A nếu X < a, V* e A .
Ta gọi phần tử b € A là phần tử nhỏ nhất của tập A nếu b < x , v X € A .
Tập sắp thứ tự ( x , < ) được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng
của X đều có phần tử nhỏ nhất.
Ta gọi phần từ c e A là phần tử cực đại của tập A nếu với Vx e A từ c < X suy

ra x = a
Ta gọi phần tử d e A là phần tử cực tiểu của tập A nếu với Vx e Ẩ từ X < d
suy ra X = d.
1.3.

ÁNH XẠ

1.3.1.

Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rồng. Ảnh xa f từ tập

hơp X vào tập hợp Y, ký hiệu bởi / : X

Y , là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tủ

X G X với một phần tử xác định y e Y ■Phần từ y được gọi là ảnh của phần từ X, ký
hiệu y = f ( x ) hoặc X t-> y . Tập hợp X được gọi là tập xác định hay tập nguồn, tập
hợp Y gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ / .
Nỏi riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm
hàm số đã biết.
Ví dụ. Mỗi tương ứng sau đây giữa các tập hợp xác định một ánh xạ:
1) Tương ứng / : {1,2} - » { a ,b ,c } cho bởi /( 1 ) = ứ , / ( 2) = c .
2) Tương ứng / : {1 , 2 , 3 } - + { a ,b ) cho bởi /( 1 ) = / ( 2 ) = a , f { 3) = c.
3) Tương ứng / : N -> N cho bởi n h-> f { ỵ ì ) - 2 n .
4) Tương ứng / : R -* R cho bởi x \-> / ( * ) = s in x .
5) Tương ứng / : R -» R cho bởi X h-» f ( x ) = e x.


Đại số tuyến tính
6) Tương ứng / : M -> K cho bởi X

17

f ( x ) = 2 x + 3.

7) Tương ứng f :[ữ ,ò l —»[c, í/] cho bởi X I—» f ( x ) = ----------------------- X H-------.
a —b
a
—b
1.3.2. Ảnh và nghịch ảnh của tập con
Cho / : X -» Y là một ánh xạ từ X vào Y; A c X là tập con của X; B c . Y \ ầ
tập con của Y. Ta gọi ảnh của A bởi /

là một tập con của Y được xác định bởi

f ( A ) = {f(x)\x&A}.
Đặc biệt f ( X ) , ảnh của tập xác định X , được gọi là miền giá trị hay là ảnh cùa
ánh xạ /

và ký hiệu bởi I m ( / ) . Như vậy:
I m ( / ) = {y s Y\ 3x Ê * : ^ = /( * ) } c Y.

Nghịch ảnh của tập con B c - Y bởi ánh xạ / là tập con của X xác định bởi:
/ - 1( 5 ) = Ị x e ; r | / ( * ) € # } .
Nói riêng, f ~ x ( r ) = X là tập xác định của ánh xạ f.
Khi A = {*} ta viết / ( x ) thay vì cho/ ( { * } ) và gọi là ảnh của X.
thay vì cho / ”' ( { ^ Ị ) và gọi là nghịch ảnh củay.

Khi 5 = Ị_yỊ ta viết / ~ '

Chú ý rằng, f ~ l { B ) , B -*■0 có thể là tập rỗng.
1.3.3. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ đồng nhất
Cho f : X -> Y là ánh xạ. Ta nói:
a) / là đom ánh nếu hai phần tử bất kỳ khác nhau thuộctập xác định sẽ có ảnh
khác nhau qua f . Nói cách khác, / là đom ánh khi và chỉ khi:
= > /( * ,) * / ( x , )
e X -’ f ( x ỉ ) = f ( x 2) = > x ì = x 2.

hay
b) /

là toàn ánh nếu mỗi phần tử thuộc tập giá trị sẽ có tạo ảnh thuộc tập xác

định của / Nói cách khác, /

là toàn ảnh khi và chi khi:

V^G Y , 3 x e X ; f ( x ) = y hay f ( X ) = Y .
c) /

là song ánh nếu /

vừa đơn ánh và vừa toàn ánh. Nói cách khác, mỗi

phần từ thuộc tập giá trị đều có một tạo ảnh duy nhất thuộc tập xác định của f:

V y e Y , 3 \ x e X : f ( x ) = y.


18

Đại số tuyến tính

Ánh xạ / : X -» X cho bởi f ( x ) = x , \ / x G X được gọi là ánh xạ đồng nhất
trên tập X, ký hiệu bời id x . Ta có id ỵ là song ánh. Trường hợp X = R là tập số thực
thì ỉdR chính là hàm số bậc nhất thông thường: y = X .
Giả sử X c Y , khi đó ánh xạ / : X -» Y cho bời f [ x } = x , V x e X được gọi
là ánh xạ nhúng tập con X vào tập Y.
Ví dụ. 1) Ánh xạ / : R -> R cho bởi X h-» sin X không đom ánh, không toàn
ánh.
2) Ánh xạ / : R -> R cho bởi

X

h-»

ex

là đơn ánh và không toàn ánh.

3) Ánh xạ f : {1,2} —> Ịứf,ò,c} cho bởi / ( 1 ) = a , / ( 2 ) = c là đơn ánh nhưng
không toàn ánh.
4) Ánh xạ / : R -> R cho bời X

2 x + 3 là song ánh.

5) Ánh xạ / : N —> N* cho bởi n l-» n + 1 là song ánh.
Một số hình ảnh minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh:
1.3.4. Tích của các ánh xạ
Cho các ánh xạ / : X

Y ; g :Y -» z . Ánh xạ h : X —> z xác định bởi
V x e X , h(x) = g ( / ( x ) )
được gọi là hợp thành hay tích của ánh xạ /
Ví dụ.

Giả sử

/

và

g

và g , ký hiệu bởih = g ° f .

là các ánh xạ từ

K vào

E

cho bởi:

f ( x ) - s ì n x ; g ( x ) = x 2.
Khi đó ( g o f ) ( x ) = g ( / ( * ) ) = g (sin x ) = (sin x ) 2 = sin 2 X .
Còn

( / ° g ) W = / ( g ( * ) ) = / ( x 2) = s i n ( x 2) = s i n x 2 .

Từ định nghĩa tích của các ánh xạ, ta suy ra các tính chất sau:

a) Nếu f : X -> Y; g :Y -»

là các ảnh xạ thì

k ° { g ° f ) = { k ° g ) 0f .
Nói khác đi, phép nhân ánh xạ có tính chất kết hợp nếu phép nhân là thực hiện
được. Do tính chất này, có thể mở rộng phép toán hợp các ánh xạ tò hai sang một số
hữu hạn ảnh xạ cho trước và ký hiệu k Og o f có ý nghĩa hoàn toàn xác định.
b) Giả sử f \ X -> Y và g . Y -» z là các ánh xạ, ta có:
Nếu f

và g đều là đom ánh thì go f là đom ánh.

Nếu f

và g đểu là toàn ánh thì go f là toàn ảnh.


Đại số tuyến tính
Nếu f

và g đều là song ánh thì g

o

19

/ là song ánh.

c) Nếu f : X -> Y là ánh xạ thì f : X -» I m ( / ) sẽ làtoàn ảnh

và do đó

nếu f : X -* Y là đơn ánh thì f : X -» I m ( / ) sẽ là song ánh.
Phép chứng minh ba tính chất trên xem như những bài tập.
1.3.5. Ánh xạ ngược
Giả sừ / : X -» Y là một ánh xạ. Nếu tồn tại một ánh xạ g : Y -> X sao cho
g ° f = ỉd ỵ \ f ° g = ìd Y thì ta gọi g là ánh xạ ngược của / .
N hận xét. Ánh xạ ngược của một ánh xạ nếu cỏ thì duy nhất.
Thật vậy, giả sừ ánh xạ /

có các ánh xạ ngược là g và k . Khiđó, ta có

g = i dx o g = ( k o f ) o g = k o ự o g ) = k o i d y = k .
Từ nhận xét trên, nếu / có ánh xạ ngược là g : Y -» X thì ta ký hiệu g = f ~ x
và ta cỏ: f ' o / = ỉd x ; / o / - ' = id y .
N hận xét. Ảnh xạ f ~ x cũng là ánh xạ ngược của f
Vậy /

và

hay Ị / ~ ' Ị

=/.

là cặp ánh xạ ngược của nhau. Nói riêng, khi Y = X và f ~ x = f

nghĩa là / ~ ' ( x ) = / ( x ) , Vjc G X thì /

được gọi là ánh xạ đổi hợp.

1.3.6. Định lý. Ánh xạ f : X -> Y cỏ ánh xạ ngược khi và chi khi f

là một song

ánh.
Chứng minh. Giả sử / : X -> Y là song ánh. Thế thì với bất kỳ y e Y , tồn tại
duy nhất một phần tử X e X sao cho / ( x ) = y . Do đó, ánh xạ g : Y -» X xác định
bởi: g ( y ) = X là ánh xạ ngược của ánh xạ / . Thật vậy, với Vx 6 X \Vy e Y , ta có:

(g '0/ ) ( * ) = g ự (x) ) = ■ ( / ° g ) (y) = f ( g ( y ) ) = y •
Ngược lại, giả s ử / : X

Y có ánh xạ ngược là g : Y -» X , ta chứng minh

f : X - * Y là song ánh. Thật vậy, với X],X2 ^ X :
f ( x i) = f ( x 2) = > g ự ( x i)) = g Ự ( x 2))=> “ **(*!) = idx ( x 2) => X, = x2.
Do đó

/ là đom ánh. Bây giờ giả sử y 6 Y , khi đó tồn tại phần tò

* = g ( y ) e X sao cho

f ( x ) = f ( g i y ) ) = ( f ° g t y ) = i d r( y ) = y
hay /

là toàn ánh. Vậy / : X -» Y là song ánh và định lý được chứng minh.


20

Đại số tuyến tính
Ví dụ. 1) Ánh xạ f : R* —> M’ xác định bởi f ( x ) = — là ánh xạ đối hợp tức

/ =/ •
2) Ánh xạ / : K_-> K cho bởi / ( x ) = X3 có ánh xạ ngược là f ~x: R —> K.
cho bởi / -1 ( x ) = ị f x .
3) Ánh xạ / : R * —
cho bởi
f ~ x : R —> R + cho bởi f ~ x( * ) = e x .

/ ( x ) = lruc

có ánh xạ ngược là

N hận xét. l ) Nểu f : X
Y là song ánh thì ánh xạ / ' ° / là ánh xạ đồng nhất
trên X, tức là f 1 ° f —ìd x . Tương tự f o f 1= idy là ánh xạ đồng nhất ừên Y.
2)
Nếu / : X -» Y , g :Y -> z là các song ánh thì g o f cũng là song ánh và ta
có công thức tính nghịch đảo của song ánh tích: ( g o / ) 1 = / ' ' ũ g ' 1.
Phép chứng minh chúng xem như những bài tập dành cho bạn đọc.
1.3.7. Thu hẹp và mở rộng của một ánh xạ
Giả sử / : X -> Y là một ánh xạ, A (Z X

là tập con thực sự của X. Ánh xạ

g : A -» Y cho bởi g { x ) — f ( * ) ; V x € A gọi là thu hẹp của ánh x ạ / : X -» Y vào
tập con A của X, ký hiệu bởi g —J A .
Nếu X ID X , x

^ X thì ảnh xạ h : X '

Y sao cho

h(x) = f [ x Ỵ y x e X
được gọi là mở rộng của ánh xạ

/ :X -> Y

lên tập

x'.

Chú ý rằng, với một ánh xạ / ; X -> Y cho trước có thể tồn tại nhiều mở rộng
của nó ngay cả khi tập X được hoàn toàn xác định.
1.3.8. Lực lưọng của một tập họrp
Cho các tập hợp A v à B khác rỗng. Nếu tồn tại một song ánh f : A —> B thì ta nói
các tập A và B có cùng lực lượng hay có cùng bản sổ. Lực lượng (hay bản số) của tập
tập A được ký hiệu bởi \Ạ hoặc card(A) . Bản sổ của tập rỗng ký hiệu bời 0. Bản số
của tập đom tử ký hiệu bởi 1.
Nếu A và B có cùng lực lượng, thì ta nói A tương đương với B và ký hiệu: A ~ B .
Như vậy: \A\ = |i?| <=> A ~ B.
Ta có: A ~ A ; nếu A ~ B thì B ~ A và nếu A ~ B ~ c thì A ~ c . Như vậy,
quan hệ ~ thỏa mãn các điều kiện của một quan hệ tương đương.
1.3.9. Định nghĩa. Mỗi tập A tương đương với tậpN các số tự nhiên gọi làtập có
lực lượng đếm được hay tập đếm được.
Lực lượng của tập đếm được ký hiệu bởi K0(đọc là Alep không).

Đại số tuyến tính

21

Mọi phần tử của một tập đếm được có thể liệt kê thành dãy vô hạn:
và ngược lại.
Ví dụ về các tập đếm được
1) Tập hợp mọi số tự nhiên N* khác 0 là tập đếm được nhờ song ánh /

giữa N

và N* được xác định bởi « < - > « + 1.
2) Tập hợp mọi số tự nhiên chẵn là tập đếm được nhờ song ánh /

giữa N* và tập

này được xác định bởi n <-> 2 « .
3) Tập hợp mọi sổ nguyên dương lẻ là tập đếm được nhờ song ánh /
tập này được xác định bởi n <-> 2n + 1 .

giữa N’ và

Ta nhận thấy qua các ví dụ trên một tập hợp vô hạn có thể tương đương với một
tập con thực sự nào đó của nó. Tính chất này là đặc trưng của các tập vô hạn.
1.3.10. Lực lượng contỉnuum, Giả thiết continuum
Trong phần trên ta đã gặp các tập đếm đuợc nghĩa là các tập cùng lực lượng với
tập các số tự nhiên. Phát sinh câu hỏi: Tồn tại hay không các tập vô hạn có lực lượng
không đếm được? Định lý Cantor sau đây cho câu trà lời khẳng định: Tập hợp các điểm
của đoạn [0; l] có lực lượng không đếm được.
Có thể chứng minh định lý này nhờ nguyên lý “dãy đoạn thắt” của Borel.

Lực lượng của tập của đoạn [0; l] và của các tập cùng lực lượng với nó gọi là lực
lượng continuum, ký hiệu bởi c hoặc hoặc 2 K° .
Bằng phương pháp thiết lập các song ánh thích hợp có thể chứng minh rằng tập
hợp các điểm của đoạn [ứ ;6], của khoảng
( - 00, 00) đều có lực lượng c.

của toàn bộ đường thẳng thực

Định lý sau cho thấy tồn tại các tập có lực lượng cao hom lực lượng c.
Cho X l à một tập hợp tuỳỷ, thế thì p ( X ) gồm tất cả các tập con của X, có lực
lưọng lớn hơn lực lượng cùa X.
Nói riêng, khi X là tập hữu hạn gồm n phần tử thì nhờ công thức Newton ta có số
phần tử của p ( X ) sẽ là 2".
Định lý trên cho thấy với bất kỳ tập nào có lực lượng cho trước, luôn tồn tại các
tập có lực lượng lớn hơn. Nói cách khác “thang đo lực lượng" là vô tận. Chúng ta thừa
nhận không chứng minh các định lý được dẫn ra ở phần này.
Có thể thấy được lực lượng continuum mạnh hom lực lượng đếm được, nhưng có
tồn tại lực lượng a nào trung gian sao cho H0 < a < 2^° nằm giữa lực lượng đếm được


22

Đại số tuyến tính

và lực lương continuum không (Giả thiết continuum)? v ấn đề này mãi đến năm 1963,
Paul Cohen mới giải quyết được: Không thể chứng minh được sự tồn tại một lực lượng
như vậy nhưng cũng không thể bác bỏ được điều đó.
1.4. PHÉP THÉ
1.4.1. Định nghĩa. Cho X =

là một tập hợp có n phần tử. Một song

ánh / : X -» X được gọi là phép thế bậc n (trên X). Ký hiệu
phép thế bậc n.
Một phép thế f : X

s„ là tập hợp tất cả các

X bậc n có thể viết dưới dạng:
( ỉ

2

1 /(1 )

/(2 )

n '

...

.../( * ) ,

trong đó ( / ( 1 ) , . . . , / ( « ) ) là một hoán vị của ( 1 , 2 , Ngược lại, nếu
( / ( 1 ) , . . . , / ( « ) ) là một hoán vị của (1 ,2 ,...,n ) thì ánh xạ / : X -» X cho bởi
(

1

/ "[/(l)

2

n N

...

/(2 )

là một song ánh, do đó nó là phép thế bậc n.
Phép thế đồng nhất bậc n ký hiệu bởi e và ta có:
e=

/ 1 2 ... n N

Như vậy, số phép thế bậc n bàng số hoán vị của n phần tử. Vì số hoán vị của n
phần tử băng nỉ nên ta có
1.4.2. Định lý. Sọ các phép thể bậc n bằng n!
1.4.3. Định nghĩa. Cho / : X -> X là phép thế bậc n. Khi đó, / là một song
ánh và do đó tồn tại song ánh ngược f ~ ] : X —>X cũng là phép thế bậc rĩ. Ta gọi phép
thế r x: X —» X này là phép thế ngược của phép thế / : X -> X ■Nói rõ hom, nếu
(
/ =

1

n \
eS.

/(1 )

/ ( 2 ) .../( I I )


Đại số tuyến tính

23

thì

/

/( 2 )

/ ( 1)

2

V

1.4.4.

/(« )

6 5.

Phép nhân phép thế bậc n. Giả sử / và g là các phép thế bậc n. Khi đó, /

và g là các song ánh trên tập X, do đó tích g o / cũng là một song ánh trên X hay g o /
cũng là một phép thế bậc n. Ta định nghĩa phép nhân phép thế bậc n là phép nhân các

song ánh trên tập X.
1234 5
Ví dụ.

g ° f =

24153

3 25 4 1

V1 4 3 5 2

là phép thế bậc n. Cặp

1.4.5. Định nghĩa. Cho /

(/(0 » /ơ ))» i £ * '< ./ £ «

gọi là một nghịch thế cùa /
Số các nghịch thế của /
Dấu s i g r t { f ) của /

nếu / ( / ) > / O ) .

được ký hiệu bời N ( / ) .
được định nghĩa bởi công thức s i g n ự ) =

trong đó N ( / ) là sổ các nghịch thế của phép thế / .
Phép thế /

được gọi là phép thế chẵn nếu s i g n { f ) = 1 và trong trường hợp

ngược lại nếu s i g r t ( f ) = - 1 thì ta nói / là phép thể lẻ.
Ví dụ. Phép thế đồng nhất bậc n trên X là phép thế chẵn vì số nghịch thế của nó
bằngO:
sign(e) = 0.
Sử dụng định nghĩa dấu của phép thế, ta thu được
1.4.6. M ệnh đề. Cho f , g ^ S n là phép thế bậc n, ta có

V s i g n ự - ' ) = s i g n ự ); 2) s i gn( g o / ) = s i g n ( f ) s i g n ( g ) .

r\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10N
Ví dụ. 1) Tì m y 150 ưong đó / =
3 5 4 6 9 7 1 10 8 2
Tính toán cho ta


24

Đại số tuyến tính
1234567
f 2= f ° f =

8 9 10

49678132

r = / 2° / 2° / =

10 5

fl234 567

8 9 10

1234567

8 9 10

= e.

Do đó: / ,5” = ( / ! ) 30= e 30= e .
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2) Xác định dấu của phép thế f =
3 5 4 6 9 7 1 10 8 2
Mỗi cặp số trong 18 cặp số sau đây: (3,1), (3,2), (5,4), (5,1), (5,2), (4,1), (4,2),
(6,1), (6,2), (9,7), (9,8), (9,1), (9,2), (7,1), (7,2), (10,8), (10,2), (8,2) tạo ra 1 nghịch thế.
Do đó, số nghịch thế của/ là AT( / ) = 18 hay s ig n ự ) = (—l)18 = 1.
3) Xác định tính chẵn, lẻ của phép thế sau:
/

1

2

n

1

3

/7-1

4 ...

/7-1

2 ...

n \

•/

a) Trường hợp n là số lẻ: số nghịch thế của/ là
= (n - 1 ) + (n - 3) + ••• + (« - (n - 2)) + (n - n) = (n - 1) + (« - 3) + ■•* + 2 + 0
ỵi —Ị
là tồng của —— số chẵn, do đó là một số chẵn. Vậy, /

là phép thế chẵn với

b) Trường hợp n là số chẵn: số nghịch thế của / lả tổng của — số lẻ sau

"-1
W ) = ( h - 1 ) + ( « - 3 ) + ... + ( « - ( k - 1 ) ) = 2 > - ( 2 * : + 1))
*=0

ù

ừo

h

2

4

2

4

- Nếu n = 4 k , k € N thì N { f ) — 4k 1 là sổ chẵn, hay / là phép thế chẵn.


Đại số tuyến tính

25

- Nếu n = 4k + 2, k e N thì N ự ) = 4 k 2 +4& + 1 là số lẻ, hay/ là phép thế lẻ.
1.5. SỐ PHỨC
Phương trình đại số đơn giản nhất vô nghiệm trên trường số thực là phương trình
A'2 + 1 = 0 . Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các sổ
thực thành một tập hợp sổ mới (gọi là tập hợp các sổ phức) sao cho phương trình trên
cỏ nghiệm. Vì vậy, phải công nhận sự tồn tại của một "số mới", số ảo i là số có bình
phương bằng - 1 hay i là nghiệm cùa phương trình X2 + 1 = 0. Mở rộng hơn, các số
a + b i , với a, b là các sỗ thực gọi là các số phức. Với sổ phức, người ta chứng minh
được Định lý cơ bản của Đại sổ: Mọi đa thức bậc n > 1 với hệ sổ phức đểu có ít nhất
một nghiệm phức.
Nhà toán học Italia R. Bombeỉỉi (1526 - 1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về sổ
phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "sổ ảo" trong công trình Đại số
(Boỉogne, ỉ 572). Ông đã định nghĩa các sổ phức khỉ nghiên cứu các phương trình bậc
ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1.

Đầu thế kỷ XVIII, nhà toán học người Pháp là A. De Moivre ( ỉ 667 - 1754) tìm
được mối liên hệ giữa số phức và lượng giác. Vào năm 1746, nhà toán học Pháp
D 'Alembert (1717- 1783) xác định được dạng tổng quát cùa số phức và đưa ra chứng
minh đầu tiên cùa Định lý cơ bản của Đại số. Nhà toán học Thụy S ĩ L. Euler (1707 1783) đã đưa ra ký hiệu "ỉ” để chi căn bậc hai của - 1. Vào năm 1799, Gauss (1777 1855, người Đức) đưa ra chứng minh đầy đủ Định lý cơ bàn của Đại sổ.
Đầu thế kỳ XIX, ngành Lý thuyết hàm sổ biển số phức (Giải tích phức) phát triển
mạnh mẽ gắn liền với tên tuổi cùa một số các nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh

vực này như Euler, Gauss, Rỉemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở
thế kỳ XX. Ngày nay, ngành Giải tích phức được phát triển mạnh với những ứng dụng
sâu sắc trong toán học, vật lý, kỹ thuật.
ỉ.5.1. Dạng đại sổ của số phức
Sổ phức là một biểu thức có dạng a + b i\ trong đó a, b là các số thực, ỉ được gọi
là đơn vị ảo với i 2 — —l . Nếu ký hiệu a = a + bi thì a được gọi là phần thực, b được
gọi là phần ảo của số phức c t . Ta ký hiệu a = Re(a), b = im(a) ■ Dạng biểu diễn
a = a + bi nói ừên được gọi là dạng đại sổ của số phức c c .
Ký hiệu c là tập hợp tất cả các số phức.
Số phức a = a + 0 / có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết:

a = a+0i = a e E c C .


26

Đại sô tuyên tính
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảơ: a = 0 + bi = bi, b

G

R.

Số phức không 0 = 0 + 0/ là số phức có phần thực bằng 0 và có phần ảo bàng 0.
Ta gọi các số phức a = a + bi và /? = c + di là bằng nhau và viết a - p nếu
a = c , b = d.
1.5.2. Các phép toán trên các số phức dưới dạng đại số
Định nghĩa các phép toán trên các số phức dưới dạng đại số như sau:
a) Phép cộng:

<2 + /? = (ứ + ò ỉ) + (c + 6ố’) = ( a + />) + (ồ + í / ) ỉ .

b) Phéptrừ:

a - p = (a+bi)-(c+di) = ( a -b )+ (b -d )i.

c) Phép nhăn: a . p = ( a + b i ) ( c + di) = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i .
d) Phép chia: Cho a ,p ,Y là các số phức, (3* 0. Giả sử a = p . y , khi đó số phức
GC
y được gọi là thương trong phép chia cc cho p . Ký hiệu: ỵ = — .

Nói riêng, ta ký hiệu / r ' = — ,(/? * 0) và gọi / r ' là sổ phức nghịch đảo của p .

Bây giờ, chúng ta tìm thương của hai số phức dưới dạng đại số.
Giả sử a - a + b i , p = c + d i * 0 và ỵ = X + y i . Khi đó:

«

( a + bi) = (c% - dy) 4- ( d x + c y ) i
c x -d y = a

<=>«!
d x + c y =b.

c -d
Gọi D =

.
d

Do p - c + di * 0 nên D = c 2 + d 2 * 0 . Vì vậy, hệ hai

c

phương trình, hai ẩn nói trên cỏ nghiệm duy nhất (x, y ) :
Dx _ ac+bd

v _ D > _ bc

x ~ D ~ c2+ d 2 , ỵ

D

ad

c2+ d 2 '


Đại số tuyến tính

27

Vậy, ta có phép chia hai số phức dưới dạng đại số như sau:
a

a + bi a c + b d
b c-a d . , 2
,2
r =^ =
= - ~ z- - r + - 7 — — /; (c + 6T * 0 )
/? c + í ủ
c + ứ?
c + í/

Đặc biệt

!-/

1

7 _
/?

c

d

c + d ic 2 + d 2 c 2 + d 2

là số phức nghịch đảo của số phức /3 = c + di ± 0.
1.5.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ toạ độ Descartes Oxy, để biểu diễn một số phức ta có thể dùng trục
hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung chỉ tọa độ phần ảo. Vì vậy, trục hoành Ox gọi
là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ phức.
Trong mặt phẳng tọa độ phức Oxy, ta biểu diễn số phức a = a + b i bởi điểm M

có tọa độ (a ,b ). Vectơ ~ÕM

được gọi là vectơ biểu diễn hình học của số phức

a - a + b ỉ.
Giả sử số phức a = a + b i * 0 . Khi đó, độ dài r của vectơ O Ã Ĩ gọi là môđun
của số phức cc và ký hiệu bởi |a Ị. Góc luợng giác ọ (số đo bởi radian và xác định sai
khác một bội nguyên của 2 7 t ) tạo bởi chiều dương trục Ox với vectơ 0 Ã ĩ được gọi là
acgumen của số phức ữ và ký hiệu bởi ẹ = a r g ( a ) . Ta có:

r = \ a \ = \ O M 1= y/a2 + b 2 ; t g ọ

1.5.4. Dạng lượng giác của số phức

b

a


28

Đại sổ tuyến tính
Cho a = a + bi là số phức khác 0. Biểu diễn (X lên mặt phăng tọa độ phức, ta

có:
a = r c o s ọ , b = r sin ọ , a = a + bi = r ị c o s ọ + isirup ) ■

Ta gọi dạng biểu diễn a = r(cos(p + / sin ọ ) , với r = a , (Ọ = arg ( a ) , là dạng
lượng giác của số phức ơ .
1.5.5. Phép lũy thừa của số phức

Cho a = a + bi là một số phức khác 0 và n là số nguyên. Ta định nghĩa lũy thừa
bậc n của số phức oc như sau:
•Với n nguyên dương: a n = V
a---v--J
.a ...a .
n

• Với n nguyên âm: 0? = ( ữ *)
• Với n = 0, ta quy ước a° = 1.
1.5.6. Phép nhân và chia sổ phức dưới dạng lượng giác
Cho các số phức a , p cỏ dạng biểu diễn lượng giác:
a

= r ( c o s < p + i s i n
= s ( c o s t ỵ + / s i n Iff ) .

Khi đó, phép nhân và phép chia hai số phức a , p dưới dạng lượng giác được
thực hiện như sau:

a p = rs^cosíộ?+ y/) + i sin(ỹ>+ \j/)\
^ = - ( c o s ( ọ - ụ / ) + i s m ( ẹ - ụ / ) ) , (/?*0).
p
s
Chứng minh. Ta có
a p = ( r ( c o s ^ + /sinợ?))(.s(cosy/' + / s i n ^ ) )
= rsịco sẹ co sụ / - sin ọ sin iị/ ) + / (sin (pcosy/ + cosộ?sinự/)
= rs(cos(ộ? + ự/,) + /sin(^ + ự/)).

Măt khác, ta có

/ T 1 = — = - ((c o s(-y /) + / sin(-
p s

Do đó, theo công thức nhàn ta có


Đại số tuyến tính

a

—
p

\

29

(1

= a — = (r(cos

p
\s
(cos(
N hận xét.
1) a - p

r - s\ ọ = ụf + 2 k n ,k e Z;

2) |or/?| = |« ||/?|; arg(or/?) = a rg (a ) + arg(/?);
3) ^ = Ị~ Ị; a r g ( ^ ) = arg(ứr) - arg(/?), ( p * 0).

1.5.7. Công thức lũy thừa Moivre
Cho số phức (X viết dưới dạng lượng giác a = r(cos

số nguyên dương n, ta cỏ:
a " = ( r (cosộ? + /sinộ?))” = r" (co sn(p + isỉnnĐặc biệt khi r = 1, ta có

(cosộ7+7'sin^)” =Qjữẫrup+ismn(p.
Chứng minh. Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo n:
* Với n = 1 công thức hiển nhiên đúng.

* Giả sử có a "~1 = r n~l (cos ( n - l ) ạ > + i s i n ( n - l ) < p ) . K h i â ó , ta có:

a " = a.anA = r(cosẹ? + /sinộ?). rnA(cos ( n - ỉ ) ọ + i s ' m ( n - ỉ ) ọ )
= r" (c 0 s ộ 9 c 0 s (/ĩ-l)ộ ? -s in ộ 7 s in (« -l)í3 ) = r"(cos «ộ? + sin nọ).
1.5.8. Khai căn số phức. Cho n g N , n >2. Giả sử a = a + ib là một số phức
cho trước. Khi đó, số phức co sao cho (ữ" = a được gọi là một căn bậc n của số phức

a.
Rõ ràng chỉ có duy nhất một căn bậc n của 0 là 0.
Nhờ biểu diễn của số phức dưới dạng lượng giác, ta sẽ chi ra rằng mỗi số phức
khác 0 có đúng n giá trị phức căn bậc n.
1.5.9. Định lý. Tồn tại đúng n giá trị phức là căn bậc n của sổ phức
a = r ( c o s ọ + /sin ọ ) * 0,


30

Đại số tuyến tính
được xác định bởi công thức sau đây:
co. = Vr

r

cos

ọ +2kn

\

is in

ọ +2kn x
n

n

)

, k = 0 ,1 ,...,« - 1.

Chứng minh. Ta viết
a = r(co sọ + i sin (Ọ), Cờ = s(co s6 + isin 0 ).
Ta có:

co" = a

< 5sn (cos(n0 ) + isin (n ỡ )) = r (cos(p + /■sin ọ )
sn = r
<=ĩ

n ỡ = ọ + 2 k7 T

[s" = !fr
(p + 2 k n

' ớ

k G. z

n
ke

z

Vì vậy, các căn bậc n của sô phức OL nhận các giá trị phức sau đây:
Cừ

(p + 2 k n
. ẹ + 2kn
cos z— -------- +i s in 1—-----n
n

, với A :- 0 ,± l,± 2 ,...

Khi k nhận tất cả các giá trị nguyên, do tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2/T của các
hàm lượng giác sin và cos, nên các số phức Cũ chi nhận cả thảy n giá trị phân biệt, ứng

với n giá trị k - 0 , 1 , n - 1. H
ỉ .5.10. Hệ quả. Tồn tại đúng n giá trị phức là căn bậc n cùa số phức đom vị a = 1
, được xác định bởi công thức sau đây:
= cos
V

2 kn . . . 2kn
4- 1 Sin
n
n

, k = 0 ,1 ,...,« - 1

1.5.11. Biểu diễn hình học các căn bậc n của một sổ phức


f

r

Đại sô tuyên tính

31

/
\
Bởi vì n giá trị căn bậc n của sô phức a = r ( c o s ọ + /sin Ị—
2 k ĩt
1à R = \ l r và agumen của chúng sai khác nhau một luợng ------ , cho nên trên mặt

n
phẳng tọa độ phức biểu diễn của chúng là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp
trong đường tròn tâm là gốc tọa độ

o

và bán kính R = \[r .

Đặc biệt, trên mặt phẳng tọa độ phức biểu diễn hình học của các căn bậc n của
đơn vị 1 là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp đường tròn đơn vị có tâm là gốc
tọa độ o và bán kính bằng 1.
Ví dụ.

Tìm các căn bậc 3 của số phức a = —y ị ĩ +y f 2i .
3
3 }
cos ——+ / si n —
gồm ba

Í

4

4 )

giá trị:
r_

3n

. . 3 71

ũ)ữ = ự ĩ c o s —— + i s i n
12

3pr(

ũ), = 12

^

12 /
117t

11K

12

Ì 9 n , , 19^Cở2 = y/ĩ, co s — + is in

12

12

Ta có biểu diễn hình học của ba căn bậc 3 của số phức a
đỉnh của một tam giác đều tâm

1.5.12. Số phức liên họp

o bán kính R = \Ỉ2 :

y Ị Ĩ +yj2 i là ba