Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân

CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và
b

hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x) dx
a

y

y = f (x)

O

a c1

c2

y = f (x)

y = 0
(H ) 
x = a

x = b

c3 b x

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn a; b và
b

hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x)  g ( x) dx
a

y

(C1 ) : y = f1 ( x )

(C ) : y = f2 ( x )
(H )  2
x = a
x = b


(C1 )
(C2 )

c2

a c1

O

S

x =

b

b

∫

f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

a

Chú ý:
b

b

a

a

- Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  f ( x) dx   f ( x)dx
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng y  c ,
d

y  d được xác định: S  g ( y )  h( y ) dy
c

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,
(a  x  b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] .

(V )
O

x

a

b

b

x

V = ∫ S ( x )dx
a

S(x)
b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S ( x)dx
a

Trang 1/34

b) Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục
hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox:
y

y = f (x)

O

a

(C ) : y = f ( x )

b
2
(Ox ) : y = 0
V
=
π

x
∫a [ f ( x )] dx
x x = a
 x = b

b

Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , trục
hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy:

y

d

O

c

(C ) : x = g( y )

(Oy ) : x = 0

y = c
 y = d

x

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy
2

c

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,

y  g ( x) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox:
b

V   f 2 ( x)  g 2 ( x) dx

a

Trang 2/34


B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
b

đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b là S  f ( x)  g ( x) dx .
a

Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình f ( x)  g ( x) (1)
b

+) Nếu (1) vô nghiệm thì S   f ( x)  g ( x) dx .
a

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc . a; b . giả sử  thì


b

a



S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x) trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính
tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các


đường y  f ( x), y  g ( x) là S  f ( x)  g ( x) dx . Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của


phương trình f ( x)  g ( x)

a      b .

Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm các giá trị  ,  .


Bước 2. Tính S  f ( x)  g ( x) dx như trường hợp 1.


Câu 1.

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục
trên [a ; b] và hai đường thẳng x  a , x  b (a  b) là:
A. S  a f ( x)  g ( x) .dx .

B. S a ( f ( x)  g ( x))dx .

C. S a ( f ( x)  g ( x)) 2 .dx .

D. S a f ( x)  g ( x) .dx .

b

b

b

Câu 2.

b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x , liên tục trên [a ; b] trục hoành
và hai đường thẳng x  a, x  b a  b cho bởi công thức:
b

A. S  f  x dx.
a

b

B. S  f  xdx.
a

b

b

D. S   f 2  xdx.

C. S   f  x dx.
a

3

a

2

Câu 3.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  11x  6, y  6 x , x  0, x  2 . (Đơn vị

Câu 4.

diện tích)
4
5
8
A.
B.
C.
3
3
2
3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x , y  4 x là:

Câu 5.

A. 8
B. 9
C. 12
D. 13
Cho hàm số y  f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình thang

D.

18
23

cong giới hạn bởi đồ thị của y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính
theo công thức

Trang 3/34


b

b

B. S   f ( x)dx.

A. S  f ( x)dx.
a

Câu 6.

a

b

b

C. S   f 2 ( x)dx.

D. S  f 2 ( x)dx.

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] ,
trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

b

B. S  f ( x)dx.

A. S  f ( x) dx.

a

a

Câu 7.

b

b

C. S  f ( x) dx.

D. S   f ( x)dx.

2

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên
đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

b

A. S  f ( x)  g ( x) dx.

B. S [f ( x)  g ( x)]dx.

2

a

a

b

b

C. S  f ( x)  g ( x) dx.

D. S   f ( x)  g ( x) dx.
a

a

Câu 8.

Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

0

1

1

A. S  f ( x)dx  f ( x)dx
2

0

2

1

0

0

B. S  f ( x)dx
2

0

1

D. S  f ( x)dx  f ( x)dx

C. S  f ( x)dx  f ( x)dx
Câu 9.

2

2

0

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  3 là
A. 19

B. 18

C. 20

D. 21

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  4 là

A. 4

B.

14
5

C.

13
3

D.

14
3

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  8 là
45
45
45
45
A.
B.

C.
D.
7
2
4
8
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường thẳng
x , x

A. 1

3
là
2
B.

1
2

C. 2

D.

3
2

Trang 4/34


Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường

thẳng x 


6

, x


4

là

3
3
6
6
B. ln
C.  ln
D.  ln
3
3
3
3
2x
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e , trục hoành và hai đường thẳng
A. ln

x  0 , x  3 là

e6 1

e6 1
e6 1
C.
D.



2 2
3 3
3 3
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3 x 2 , trục hoành và hai đường
A.

e6 1

2 2

B.

thẳng x  1 , x  4 là
53
51
49
25
A.
B.
C.
D.

4
4
2
4
4
2
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3 x  4 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0 , x  3 là
142
A.
5

B.

143
5

C.

144
5

D.

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
x  2 là
A. 3  2 ln 2

B. 3  ln 2

141
5

x 1
, trục hoành và đường thẳng
x2

C. 3  2 ln 2

D. 3  ln 2

2

Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x và đường thẳng y   x là
7
9
9
B.
C. 3
D.
4
2
2
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường
A.

thẳng x  0, x 


2

là

A. 2

B. 1

D. 4

C. 3
4

2

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3 x  4 , trục hoành và hai
đường
71
A.
5

thẳng x  0 , x  3 là
73
B.
5

C.

72
5

Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

D. 14

x 1
, trục hoành và đường thẳng
x2

x  2 là
A. 3  2 ln 2
B. 3  ln 2
C. 3  2 ln 2
D. 3  ln 2
2
Câu 22.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x và đường thẳng y   x là

9
9
7
B.
C. 3
D.
2
4
2
Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường

A.

thẳng x  0, x 
A. 1


2

là
B. 2

C. 3

D. 4
Trang 5/34


Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  3 x là
1
1
1
1
B.
C.
D.
13
12
14
15
Câu 25. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x3  3 x 2  1
A.

3

và

2

y  x  4 x  2 x  1 là
37
37
B.
C. 3
D. 4
13
12
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và
A.

trục hoành là
22
32
25
23
B.
C.
D.
A.
3
3
3
3

3
y x − 4 x , trục hoành và hai đường thẳng
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong =
−3, x =
x=
4 là
202
203
201
201
B.
C.
D.
3
4
5
4
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng
A.

x  e là

e2  1
e2  1
e2  1
e2  1
B.
C.
D.
2

4
2
4
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  x  2, y  x  2 và hai đường

A.
Câu 29.

thẳng x  2; x  3 . Diện tích của (H) bằng

87
87
87
87
B.
C.
D.
3
5
5
4
x
Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  1  e x, y  1  e x . Diện tích
A.



của (H) bằng
e 1
A.

2



e2
e2
e 1
C.
D.
2
2
2
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  1 , y  x  5 . Diện tích của (H)
B.

bằng
70
74
73
71
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
2

Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x  4 x  3 , y  x  3 . Diện tích của
(H) bằng
108
109
109
119
A.
B.
C.
D.
5
5
6
6
Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) : y  x 2  3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
x  2 và trục tung bằng
4
7
8
A.
B.
C. 2
D.
3
3
3
2
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  2 y  x  0, x  y  0 là

A.

9
4

B.

9
2

C.

7
2

D.

11
2
Trang 6/34


Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2 ; y 
A. 27 ln 2

B. 27 ln 3

C. 28ln 3

1 2
27

bằng
x ; y
x
27
D. 29 ln 3

Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

A.

8
3

B.

11
3

C.

7
3

D.

10
3

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
a

y  8 x, y  x và đồ thị hàm số y  x3 là . Khi đó a  b bằng
b
A. 68
B. 67
C. 66
D. 65
x2
Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y  x và đồ thị hàm số y 
trong
4
a
miền x  0, y  1 là . Khi đó b  a bằng
b
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
 x, nÕu x  1
10
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  
và y  x  x 2 là
3
 x  2, nÕu x>1
a
. Khi đó a  2b bằng
b
A. 16
B. 15
C. 17
D. 18

2
 x  4x  4
Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y 
, tiệm cận xiêm của (C ) và hai
x 1
đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng
A. 1  e5
B. 1  e5
C. 1  2e5
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:

D. 1  2e5

Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x) , y  0 , x  a
b

và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)dx .
a

Trang 7/34


Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x) ,
b

x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)  g2 (x) dx .
a

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
=
y
=
, y 0=
, x 1=
, x 4 quanh trục ox là:
x
B. 6π
C. 12π
D. 6π
A. 6π
π
quay xung quanh trục
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x =
8
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

π2

B.

π2

C.

π

16
2
4
Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y f ( x), Ox=
,x

a=
,x

 π +1 
D. 
 .π
 16 
b quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
b

A. V = π 2 ∫ f ( x)dx.
a

b

b

B. V = π ∫ f 2 ( x)dx.

C. V = ∫ π 2 . f 2 ( x)dx.

a

y
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường =

a

b

D. V = ∫ f 2 ( x)dx.
a

x − 1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung

quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
3
A. π
B. 3π
C. 2π
D. π
2
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
79π
23π
5π
B.
C.

D. 9π
4
63
14
Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2= x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục
A.

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
b

A. V = π 2 ∫ xdx.
a

B. V = π ∫

b

a

xdx.

b

C. V = π ∫ xdx.
a

D. V = π 2 ∫

b

a

xdx.

− x 2 + 2x, y =
0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

của khối tròn xoay tạo thành bằng:
496π
4π
A.
B.
3
15

C.

64π
15

D.

16π
15

0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =1 − x 2 , y =
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
4

2π
π
3π
A.
B.
C.
D. π
3
2
2
3
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = π và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính
sin x là:
A. V = 2.

B. V = π .

C. V = 4π .

D. V = 2π .

Trang 8/34


Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y tan x,=
y 0,=
x 0,=
x

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
π
π
π



A. V π  3 − 
B. V π  3 − 
C. V π  3 − 
=
=
=
3
3
3




π

quay xung quanh trục

3

π

D. V π  3 − 
=

3


Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 + x , Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
28
68
28
68
A. π 2
B. π .
C. π
D. π 2 .
3
3
3
3
VẬN DỤNG
Câu 52. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
tròn x 2 + y 2 =(nằm
16
ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:

A.

∫ 4 (16 − x ) dx
4

2

−4

B.

∫

4

−4

4x 2dx

C.

∫

4

−4

4π x 2dx

D.

∫

4

−4

4π (16 − x 2 ) dx

Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2 = 4 x và đường thẳng x = 4 . Thể tích của khối
tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
A. 32π
B. 64π
C. 16π
D. 4π
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y ln x=
x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
, y 0,=
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. 2ln 2 2 − 4ln 2 + 2
C. π ( 2ln 2 2 − 4ln 2 + 2 )

B. π ( 2ln 2 2 + 4ln 2 − 2 )
D. π ( 2ln 2 − 1)

2
Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y a.x
=
, y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

b3  1 1 

=
A. V π . 3  − 
a 3 5

B. V = π .

b5
5a 3

C. V = π .

b5
3a3

b5  1 1 
=
D. V π . 3  − 
a 3 5

1
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =4 − x 2 , y = x 2 quay xung quanh trục Ox. Thể
3
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

24π 3
28π 3
28π 2
24π 2
B. V =
C. V =

D. V =
5
5
5
5
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y 3 x=
, y x=
, x 0,=
x 1 quay xung quanh trục Ox.

A. V =

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trang 9/34


8π
4π
2π
B. V = .
C. V = .
D. V = π.
.
3
3
3
Câu 58. Gọi ( H ) là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) , hai

A. V =

đường thẳng x = a , x = b , a < b . Giả sử rằng ( C1 ) và ( C2 ) không có điểm chung trên [ a, b ]
và

thể
b

tích

(

của
2

khối
2

tròn

xoay

sinh

ra

khi

quay

(H)

quanh

Ox

là

)

V=
π∫ f ( x )  − g ( x )  dx . Khi đó
a

(1) :
( 2) :
( 3) :

f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ]

f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ]
0 ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ]

Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y x. ln x=

x e quay xung quanh trục Ox. Thể
, y 0,=
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

4e3 + 1
A. π.
9

4e3 − 1
B. π.
9

2e3 + 1
C. π.
9

2e3 − 1
D. π.
9

Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x 3 − 6 x 2 + 9 x, y =0 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

729π
35

B.

27π

4

C.

256608π
35

D.

7776π
5

Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường
tròn x 2 + y 2 =
16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

Trang 10/34


y

x

O

A. V =

256 3
.

3

B. V =

256
.
3

C. V =

32 3
.
3

D. V =

32
.
3

y 2=
x 2 , y 2 4 x quay xung quanh trục Ox. Thể tích
=
Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. V =

88π
.
5

B. V =

9π
.
70

C. V =

4π
.
3

D. V =

6π
.
5

BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
2
Câu 63. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
=
ax y=
; ay x 2 (a > 0 cho trước) là:
A. S =

a3
3

B. S =

a3
2

C. S =

2a 3
3

D. S =

4a 3
3

Câu 64. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: =
y x 2 − 2 x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0,
x = 2 là:
2
A.
3

B.

4
3

C.

1
3

D. 0

Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = − x 2 và đường thẳng y = -x - 2
A.

11
2

B.

5
2

C.

9
2

D.

1
 2
2

Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0
A. 2 + 2

B. 2 2 + 1

C.

2

D. 2 2 − 1

1
1 2
x và y  3 x  x 2 là:
4
2
C. 9
D. 6.

Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y 
A 7

B. 8

Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong:

(C1 ) : y ==
f1 ( x) x 2 + 1;(C2 ) : y ==
f 2 ( x) x 2 − 2 x và

đường thẳng x = -1 và x = 2.
A. 7

B.

11
2

Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol:
M(3 ; 5) và trục tung
A. 7

B. 6

C.

13
2

D. 

11
2

y = x 2 − 2 x + 2 tiếp tuyến với parabol tại điểm
C. 5

D. 9
Trang 11/34


Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0
1

1
A 1.
B.
C.
2
4

D.

1
3

Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính diện tích của miền D
1
1
1
A. 1
B.
C.
D.
8
4
2
Câu 72. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0, x 
A

3
2

B. 1

C. 2


2
D.

1
2

Câu 73. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
y=
2x − x2 ; y =
0
quay quanh Ox.
14
A.
15

B.

16
15

C.

17
15

D.

48
15

2
Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
;8 x y 2 quay
y x=
=

quanh trục Oy là:
21
A.
15

B.

23
15

C.

24
15

D.

48
5

Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và
Parabol (C ) y =
ax − x 2 (a > 0) là:
A.

 a5
30

B.

 a5

C.

20

 a4

D.

5

 a5
10

Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các
đường: y = x.e x , x = 1, y = 0(0 ≤ x ≤ 1) là:
A.

π (e 2 + 1)

4

B.

π (e 2 − 1)
4

C.

π (e 2 + 1)
2

D.





 e2  1
12

Trang 12/34


C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
A D A B A D B C B D C D C A D B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục
trên [a ; b] và hai đường thẳng x  a , x  b (a  b) là:
A. S  a f ( x)  g ( x) .dx .

B. S a ( f ( x)  g ( x))dx .

C. S a ( f ( x)  g ( x)) 2 .dx .

D. S a f ( x)  g ( x) .dx .

b

b

b

Câu 2.

b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x , liên tục trên [a ; b] trục hoành
và hai đường thẳng x  a, x  b a  b cho bởi công thức:
b

b

A. S  f  x dx.

B. S  f  xdx.

a

Câu 3.

a

b

b

C. S   f  x dx.

D. S   f 2  xdx.

a

3

a

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  11x  6, y  6 x , x  0, x  2 . (Đơn vị
diện tích)
4

A.
3

8
3
Hướng dẫn giải:
3
2
3
Đặt h( x)  ( x  11x  6)  6 x  x  6 x 2  11x  6
B.

5
2

C.

D.

18
23

h( x)  0  x  1 x  2  x  3 (loại).

Bảng xét dấu
x

0

h(x)

1



2

1
0

-



2

+



0



S   x3  6 x 2  11x  6 dx  x 3  6 x 2  11x  6 dx
0

1
1

2

 x4
  x4

11x 2
11x 2
5
3
3



    2x 
 6x    2x 
 6 x   .
2
2
4
0  4
1 2
Câu 4.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x3 , y  4 x là:
A. 8

B. 9

C. 12
Hướng dẫn giải:
3

Ta có x  4 x  x  2  x  0  x  2

D. 13

Trang 13/34


0



2





 S   x 3  4 x dx 
2

0

 4
0
 4
2
x
x
   2 x 2   8 .
x 3  4 x dx    2 x 2 

 4

 4


 2 
0



Vậy S  8 (đvdt).

Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x)  g ( x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có








thể dùng công thức  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx .
Câu 5.

Cho hàm số y  f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị của y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính
theo công thức
b

b

A. S  f ( x)dx.

B. S   f ( x)dx.

a

a

b

b

C. S   f 2 ( x)dx.

D. S  f 2 ( x)dx.
a

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x)dx.
a

Câu 6.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] ,
trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức

b

b

A. S  f ( x) dx.

b

B. S  f ( x)dx.

a

b

C. S  f ( x) dx.

a

D. S   f ( x)dx.

2

a

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x) dx.

a

Câu 7.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên
đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức
b

b

B. S [f ( x)  g ( x)]dx.

A. S  f ( x)  g ( x) dx.
2

a

a

b

b

C. S  f ( x)  g ( x) dx.

D. S   f ( x)  g ( x) dx.

a

2

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S  f ( x)  g ( x) dx.
a

Câu 8.

Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

0

1

2

0

A. S  f ( x)dx  f ( x)dx

1

B. S  f ( x)dx
2

Trang 14/34

2

1

0

0

C. S  f ( x)dx  f ( x)dx

0

1

2

0

D. S  f ( x)dx  f ( x)dx
Hướng dẫn giải
0

1

2

0

Theo định nghĩa ta có S  f ( x)dx  f ( x)dx

Câu 9.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  3 là
A. 19

B. 18

C. 20
Hướng dẫn giải

D. 21
3

x4
Ta có x  0 trên đoạn [1;3] nên S  x dx x dx 
 20
4 1
1
1
3

3

3

3

3

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  4 là
A. 4

B.

14
5

13
3
Hướng dẫn giải
C.

4

4

1

1

x  0 trên đoạn [1; 4] nên S  x dx 

Ta có

D.

14
3

4

2 3
14
xdx  x 2 
3 1 3

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  8 là
45
A.
2

Ta có

3

B.

45
4

45
7
Hướng dẫn giải
C.

8

8

x  0 trên đoạn [1;8] nên S  x dx 
3

1

1

3

D.

45
8

8

3 43
45
xdx  x 
4 1 4

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường thẳng
x , x

3
là
2

A. 1

B.

1
2

C. 2

D.

Hướng dẫn giải
3

3
2

3

3
2
2
 3 
Ta có sin x  0 trên đoạn  ;  nên S   sin x dx  sin xdx  cos x 2  1
 2 



Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường
thẳng x 

A. ln

3
3


6

, x


4

là
B. ln

6
3

C.  ln
Hướng dẫn giải




6

6

3

3

D.  ln

6
3


4
4
  
6
Ta có tan x  0 trên đoạn  ;  nên S tan x dx tan xdx   ln(cos x) 4   ln
 6 4 
3


6

Trang 15/34


Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2 x , trục hoành và hai đường thẳng
x  0 , x  3 là
A.

e6 1

2 2

B.

e6 1

2 2

e6 1

3 3
Hướng dẫn giải
C.

3

Ta có e  0 trên đoạn [0;3] nên S e
2x

2x

0

D.

e6 1

3 3

3

1 2x

e6 1
dx e dx  e
 
2
2 2
0
0
3

2x

[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3 x 2 , trục hoành và hai đường
thẳng x  1 , x  4 là
53
A.
4

B.

51
4

49
4
Hướng dẫn giải
C.

D.

25
2

Ta có x3  3 x 2  0  x  3  [1; 4]
Khi đó diện tích hình phẳng là
3

4

 x4

 x4

27 51
3


S  x  3 x dx  ( x  3 x )dx ( x  3 x )dx    x     x3   6 

4
4
1
1
3
4
1  4
3
4

3

3

2

3

2

4

3

2

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  4 , trục hoành và hai đường
thẳng x  0 , x  3 là
142
A.
5

B.

143
5

144
5
Hướng dẫn giải

C.

D.

141
5

Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là
3

2

3

S  x 4  3 x 2  4 dx  ( x 4  3 x 2  4)dx ( x 4  3 x 2  4)dx
0

0

2

2

3

 x5

 x5


48 96 144
   x3  4 x     x3  4 x  


5 5
5
5
0 5
2
Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
x  2 là
A. 3  2 ln 2

x 1
, trục hoành và đường thẳng
x2

B. 3  ln 2

C. 3  2 ln 2
D. 3  ln 2
Hướng dẫn giải
2
2
2

x 1
1 
 dx  x  ln x  2
Ta có x  1  0  x  1 nên S 

dx  1 
 3  2 ln 2
1
x 2
1 x  2
1 





Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x 2 và đường thẳng y   x là
A.

7
2

B.

9
4

C. 3
Hướng dẫn giải

D.

9
2

x  1
Ta có 2  x 2   x  
và 2  x 2   x, x  [  1; 2]
x  2
Trang 16/34


2


x 2 x3 
9
Nên S (2  x  x )dx  2 x    
2 3  1 2
1

2

2

Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x 


2

là

A. 2
Hướng dẫn giải

B. 1

D. 4

C. 3

 
 0; 
4  2 



Ta có cos 2 x  0  x 






2

4

2





1
 4 1
2
Nên S cos 2 x dx  cos 2 xdx cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1
2
 0 2


0
0
4

4

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  4 , trục hoành và hai
thẳng x  0 , x  3 là
73
B.
5

đường
71
A.
5

Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là
3

2

72
5
Hướng dẫn giải
C.

D. 14

3

S  x  3 x  4 dx  ( x  3 x  4)dx ( x 4  3 x 2  4)dx
4

2

0

4

2

0

2

2

3

 x5


 x5

48 96 144
   x3  4 x     x3  4 x  


5 5
5
5
0 5
2
Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
x  2 là
A. 3  2 ln 2

B. 3  ln 2

C. 3  2 ln 2
Hướng dẫn giải

Ta có x  1  0  x  1 nên
2
2

x 1
1 
 dx  x  ln x  2
S 
dx  1 

x 2
1 x  2
1 





2
1

x 1
, trục hoành và đường thẳng
x2
D. 3  ln 2

 3  2 ln 2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x 2 và đường thẳng y   x là

Câu 22.
A.

9
2

B.

9
4

C. 3
Hướng dẫn giải

D.

7
2

x  1
Ta có 2  x 2   x  
và 2  x 2   x, x  [  1; 2]
x  2
2
2
3
2

x
x
9
2
Nên S (2  x  x )dx  2 x    
2 3  1 2
1

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường
thẳng x  0, x 



2

là
Trang 17/34


A. 1

B. 2

Ta có cos 2 x  0  x 
Nên



D. 4

C. 3
Hướng dẫn giải



 [0; ]
2

4







2

4

2





1
 4 1
2
S cos 2 x dx  cos 2 xdx cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1

2
 0 2

0
0
4

4

Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  3 x là
A.

1
12

Ta có

B.

1
13

1
14
Hướng dẫn giải
C.

x  0
x  3 x 
x  1

D.

1
15

1

2 3 3 3 4 
1
x  x dx  ( x  x )dx  
x 

x  
4
3
 0 12
0

1

Nên S 

1

3

0

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x3  3 x 2  1

Câu 25.

và

y  x3  4 x 2  2 x  1 là

A.

37
13

B.

37
12

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
x  2

Ta có 2 x3  3 x 2  1  x 3  4 x 2  2 x  1 x  0

x  1
1

0

1

Nên S  x3  x 2  2 x dx  ( x 3  x 2  2 x)dx ( x3  x 2  2 x)dx
2

2

0

0

1

 x 4 x3

 x 4 x3

37
    x 2      x 2  
4 3
 2  4 3
 0 12
Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và
trục hoành là
22
A.
3

25
3
Hướng dẫn giải
Xét pt  x 2  4  0 trên đoạn 0;3 có nghiệm x  2

B.

32
3

C.

D.

23
3

23
3
0
2
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong =
y x 3 − 4 x , trục hoành và hai đường thẳng
2

3

Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx 
x=
−3, x =
4 là

202
203
201
B.
C.
3
4
5
Hướng dẫn giải
Xét pt x3  4 x  0 trên đoạn 3; 4 có nghiệm x  2; x  0; x  2

A.

D.

201
4

Trang 18/34


201
4
3
2
0
2
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng
2

0

2

4

Suy ra S  x3  4 x dx  x3  4 x dx  x 3  4 x dx  x 3  4 x dx 
x  e là

e2  1

4
Hướng dẫn giải
Xét pt x ln x  0 trên nữa khoảng 0;e có nghiệm x  1
A.

e2  1
2

e2  1
2

B.

C.

D.

e2  1
4

e2  1
4
1
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  x  2, y  x  2 và hai đường
e

Suy ra S x ln xdx 

Câu 29.

thẳng x  2; x  3 . Diện tích của (H) bằng
87
3
Hướng dẫn giải
2
Xét phương trình ( x  x  2)  ( x  2)  0  x 2  4  0  x  2
2
3
87
Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx 
3
2
2
A.

87
5

87
4

B.

C.



D.

87

5



Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  1  e x x, y  1  e x . Diện tích
của (H) bằng
e 1
A.
2
Hướng dẫn giải



e2
2

B.

C.

e2
2

D.

e 1
2


e2

Suy ra S  x e  e  dx x e  e  dx 
2

Xét pt 1  e x x  1  e x  0 có nghiệm x  0, x  1
1

1

x

0

x

0

VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  1 , y  x  5 . Diện tích của (H)
bằng
71
A.
3

73
3

B.

70
3

Hướng dẫn giải

C.

D.

74
3

Xét pt x 2  1  x  5 có nghiệm x  3, x  3
3



3





Suy ra S  x 2 -1 - x  5 dx  2 x 2 -1 -  x  5 dx
-3

Bảng xét dấu x 2  1 trên đoạn 0;3
x
0
x 1
2

1



-

1
0



+
3



0

3



Vậy S  2  x 2  x  4 dx  x 2  x  6 dx 
0

1

73
3

Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  4 x  3 , y  x  3 . Diện tích của

(H) bằng
Trang 19/34


A.

108
5

B.

109
5

109
6
Hướng dẫn giải
C.

D.

119
6

Xét pt x 2  4 x  3  x  3 có nghiệm x  0, x  5
1



3





5







Suy ra S   x 2  5 x dx  x 2  3 x  6 dx   x 2  5 x dx 
0

Câu 33.

1

3

109
6

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) : y  x 2  3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ
x  2 và trục tung bằng
8
4
A.

B.
3
3

C. 2

D.

Hướng dẫn giải

PTTT của (P) tại x  2 là y  4 x  3

7
3

x  0
Xét pt x 2  3  4 x  3  0  x 2  4 x  0  
x  2





2



2





Suy ra S  x  4 x  4 dx  
0

2

0

2

 x3

8
x  4 x  4 dx    2 x 2  4 x  
3
0 3



2

Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2  2 y  x  0, x  y  0 là
11
7
D.
2
2
Hướng dẫn giải

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x   y 2  2 y, x   y
Xét pt tung độ giao điểm ( y 2  2 y )   y  0 có nghiệm y  0, y  3

A.

9
4

B.

3

3

0

0

9
2



C.



Vậy S  y 2  3 y dy   y 2  3 y dy 

9

2

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2 ; y 
A. 27 ln 2

B. 27 ln 3

C. 28ln 3

1 2
27
bằng
x ; y
27
x
D. 29 ln 3

Hướng dẫn giải
Xét các pthđgđ x 2 

x2
27
x 2 27
 0  x  0; x 2 
 0  x  3; 
0 x9
27
x
27 x

Suy ra

Trang 20/34


9
 2 x2 
27 x 2 



S  x  dx    dx  27 ln 3
27 
27 
0
3 x
Câu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
3

A.

8
3

B.

11
3

C.

7
3

D.

10
3

Hướng dẫn giải

2
y  1
10
, Nên S ( y  2  y 2 )dy 
Ta có y 2  y  2  

3
0
y  2

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
a
y  8 x, y  x và đồ thị hàm số y  x3 là . Khi đó a  b bằng
b
A. 68
B. 67
C. 66
D. 65
Hướng dẫn giải

Ta có
x  0
x  0
8 x  x  0  x  0;8 x  x3  0  
; x  x3  0  
x  2 2

x  1


Trang 21/34


1

2 2

0

1





Nên S 8 x  xdx   8 x  x3 dx 

63
4

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y  x và đồ thị hàm số y 
miền x  0, y  1 là
A. 4
Hướng dẫn giải
Ta có
x  1  0  x  1; x 

a
. Khi đó b  a bằng
b
B. 2

C. 3

x2
trong
4

D. 1

x2
x2
 0  x  0;1 
0 x 2
4
4

Trang 22/34

1
2
x2 
x2 
5
Nên S  x  dx 1   dx 
4
4
6
0
1

 x, nÕu x  1
10
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  
và y  x  x 2 là
3
 x  2, nÕu x>1
a
. Khi đó a  2b bằng
b
A. 16
B. 15
C. 17
D. 18
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
10
x  x2   x  x  0

3
10
x  x2  x  2  x  3
3
1
3
10

10

13
Nên S  x  x 2  x dx  x  x 2  x  2  dx 
2


0 3
1 3
 x2  4x  4
, tiệm cận xiêm của (C ) và hai
x 1
đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng

Câu 40. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y 
A. 1  e5
B. 1  e5
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
TCX : y   x  3

C. 1  2e5

D. 1  2e5

0
a
 1 
 1 
a
dx 
dx  ln x  1 0  ln(1  a )
Nên S (a ) 
a  x  1
0  x  1

Suy ra ln(1  a )  5  a  1  e5
Trang 23/34


II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x) , y  0 , x  a
b

và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)dx .
a

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x) ,
b

x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)  g2 (x) dx .
a

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
=
y
=
, y 0=
, x 1=
, x 4 quanh trục ox là:
x
A. 6π
B. 6π
C. 12π
D. 6π
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần =
tính là: V

4

4

π .( ) dx
∫=
x
1

Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x =

π
8

2

12π .

quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

π2

2
Hướng dẫn giải

B.

π2

C.

16

 π +1 
D. 

 .π
 16 

π
4
π

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần
tính là: V
=
Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y f ( x), Ox=
,x

8

π .cos2 4xdx
∫=
0

a=
,x

π2

.
16
b quay xung quanh trục

Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
b

A. V = π 2 ∫ f ( x)dx.
a

b

B. V = π ∫ f 2 ( x)dx.
a

b

C. V = ∫ π 2 . f 2 ( x)dx.
a

Hướng dẫn giải

b

D. V = ∫ f 2 ( x)dx.
a

b

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ f 2 ( x)dx.
a

y
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường =

x − 1 ; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung

quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
3
A. π
B. 3π
C. 2π
2
Giao điểm của hai đường=
y

D. π

x − 1 và y = 0 là A(1; 0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần

3

tính là: V = π ∫ (x − 1)dx = 2π .
1

Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trang 24/34


79π
63
Hướng dẫn giải

A.

B.

23π
14

C.

5π
4

D. 9π
1

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ ( x3 + 1) 2 dx =
0

23π
.
14

2

Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
b

A. V = π 2 ∫ xdx.

a

B. V = π ∫

b

a

b

D. V = π 2 ∫

C. V = π ∫ xdx.

xdx.

a

b

a

xdx.

Hướng dẫn giải

Với x ∈ [ a; b ] thì y 2 = x ⇔ y = x .
b

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ xdx.

a

2

Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
− x + 2x, y =
0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
496π
4π
A.
B.
3
15
Hướng dẫn giải

C.

64π
15

D.

16π
15

Giao điểm của hai đường y 2 =
−x 2 + 2x và y = 0 là O(0; 0) và A(2; 0) . Theo công thức ta có
2

thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = π ∫ (− x 2 + 2 x) 2 dx =
0

16π
.
15

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =1 − x 2 , y =
0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành bằng:
3π
2π
A.
B.
2
3
Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường =
y

C.

π

D.

2

4
π

3

1 − x 2 và y = 0 là B(−1; 0) và A(1; 0) . Theo công thức ta có thể
1

4π
.
3
−1
Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = π và có
tích của khối tròn xoay cần tính là: V =π ∫ (1 − x 2 )dx =

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính
sin x là:
A. V = 2.
B. V = π .
C. V = 4π .
D. V = 2π .
Hướng dẫn giải
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường
x 0;=
x = π; y
=
sin x ; Ox quay trục Ox.
π

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính
là: V π=
=
∫ sin xdx 2π .

0

Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường=
y tan x,=
y 0,=
x 0,=
x
Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
π
π
π



A. V π  3 − 
B. V π  3 − 
C. V π  3 − 
=
=
=
3
3
3



Hướng dẫn giải

π
3

quay xung quanh trục

π

D. V π  3 − 
=
3


Trang 25/34