Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 9.46.01.06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ VĂN THÀNH

NGHỆ AN - 2020


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi
đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực
và chưa từng được ai công bố trước đó.
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hiền


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Lê Văn Thành. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS.TS. Lê Văn Thành, người đã
đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình và chu
đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn ThS. Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Võ Thị Hồng Vân về
những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận
án.
Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm
và góp ý của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn

Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Dương Xuân Giáp, PGS.TS. Phan
Đức Thành, PGS.TS. Trần Xuân Sinh cùng các nhà khoa học và các đồng
nghiệp trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng. Tác giả xin
chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng
Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, các nghiên cứu
sinh, các thành viên trong nhóm seminar do PGS.TS. Lê Văn Thành chủ
trì về những góp ý, thảo luận bổ ích.
Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn
chân thành và sâu sắc về sự động viên, chia sẻ đã dành cho tác giả trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và công tác.

Nguyễn Thị Thanh Hiền


iii

MỤC LỤC

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án

1

Mở đầu

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

10

1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm

. . 11

1.2. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16
1.3. Hàm biến đổi chậm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chương 2. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần
tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá
trị trong không gian Hilbert
2.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

31
. . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần
tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong
không gian Hilbert
3.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

56
. . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Kết luận và kiến nghị

78

Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án

80

Tài liệu tham khảo

81


1

MỘT SỐ KÝ HIỆU
THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N
R

Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số thực

(Ω, F, P)
H
B(H)
B
log x
ln x

a+
a−
EX
Var(X)
Cov(X, Y )
I(A)
h.c.c.

Không gian xác suất đầy đủ
Không gian Hilbert thực, khả ly

P

Xn → X
L

Xn →2 X
|A|
X (j)
·, ·
.
X
[x]
d

X=Y
lim inf An
lim sup An
N (0, 1)

σ - đại số Borel của H
Tập các chỉ số của hệ cơ sở trực chuẩn của H
Logarit cơ số 2 của số thực dương x
Logarit tự nhiên của số thực dương x
max{a, 0}, trong đó a ∈ R
max{−a, 0}, trong đó a ∈ R
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hoặc phần tử ngẫu nhiên X
Phương sai của biến ngẫu nhiên X
Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y
Hàm chỉ tiêu của tập hợp A
Hầu chắc chắn
Xn hội tụ theo xác suất đến X
Xn hội tụ theo trung bình cấp 2 đến X
Lực lượng của tập hợp A
Tọa độ thứ j của phần tử ngẫu nhiên X
Tích vô hướng trong H
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trong H
Chuẩn của phần tử ngẫu nhiên X
Phần nguyên của số thực x
Các phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối
Giới hạn dưới của dãy các biến cố {An }
Giới hạn trên của dãy các biến cố {An }
Phân phối chuẩn tắc


2

N (µ, σ 2 )
f (n) ∼ g(n)
tr. i

Phân phối chuẩn với các tham số µ, σ 2
f (n)
lim
= 1, trong đó f (n) và g(n) là các hàm số dương
n→∞ g(n)
Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn

tr. i-j

Từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích
dẫn

RV
SV
K

Họ các hàm biến đổi chính quy
Họ các hàm biến đổi chậm

an = o(1)
✷

Hằng số dương và có thể không giống nhau ở mỗi lần xuất
hiện

lim an = 0

n→∞

Kết thúc chứng minh


3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng
định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội
tụ hầu chắc chắn hoặc hội tụ theo xác suất về kỳ vọng của các biến ngẫu
nhiên đó. Tuy nhiên, nó vẫn luôn là vấn đề thời sự, được nhiều nhà toán
học quan tâm, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh
tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên
cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
1.2. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọng
khi nghiên cứu về lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫu
nhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau. Do đó, chúng
ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biến
ngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như:
phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết
âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence),... Những
thông tin về phân phối, các đặc trưng, dáng điệu,...của tổng các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc (khi số các biến ngẫu nhiên đủ lớn) có rất nhiều ứng dụng
trong thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, toán tài chính,
điều khiển tối ưu,...Tùy vào từng cấu trúc phụ thuộc khác nhau mà chúng
ta cần có những kỹ thuật, công cụ khác nhau để giải quyết các bài toán với
các cấu trúc phụ thuộc tương ứng.
1.3. Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn
đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những

hướng tổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị


4

trong các không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, không
gian Banach, không gian Hilbert,... Khi nghiên cứu về luật số lớn và các
định lý giới hạn, đã có rất nhiều tác giả thu được những kết quả tốt như:
Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, Nguyễn
Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận,...
1.4. Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng
trong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hình hồi quy
phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu,... Bài toán đánh
giá bình phương tối thiểu của mô hình hồi quy bội ngẫu nhiên được khởi
xướng trong bài báo năm 1978 bởi các tác giả Lai, Robbins và Wei [31].
Kể từ đó đến nay, mô hình này được kế thừa và tiếp tục phát triển trong
các mô hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn như Breton, Musiela xét cho
quá trình nửa martingale [8] và gần đây là công trình của Arie Preminger
và Giuseppe Storti xét cho quá trình nhiễu có xác suất đuôi rất lớn [2]. Bài
toán mô hình hồi quy phi tham số cũng được đưa về tổng có trọng số các
biến ngẫu nhiên.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:
“Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá
trị trong không gian Hilbert”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần tử
ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãn luật
mạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Cụ thể, chúng tôi nghiên
cứu các nội dung sau:

- Nghiên cứu các bất đẳng thức và các tính chất liên quan đối với tổng
các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một
theo tọa độ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian


5

Hilbert;
- Thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên và tổng không ngẫu
nhiên của các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị
trong không gian Hilbert;
- Thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Tìm các ví dụ và phản ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết;
- Nghiên cứu và đề xuất các điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ đối
với tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong
không gian Hilbert.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm:
- Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi
một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội tụ
đầy đủ.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu chủ yếu của luận án là tính phụ thuộc trong lý
thuyết xác suất, sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích các kết quả đã đạt được, từ đó phát triển các kỹ thuật, kết
quả đó vào những mô hình có các cấu trúc tương tự, hoặc các mô hình tổng

quát hơn;
- Tổ chức seminar khoa học, tổ chức các buổi trao đổi trong nhóm nghiên
cứu với các nhà khoa học trong và ngoài nước để thảo luận làm nảy sinh
các ý tưởng, kĩ thuật mới.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên


6

cứu về luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Hilbert.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên
cứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và Thống
kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tính độc lập của các biến
ngẫu nhiên là một tính chất rất mạnh. Đa số các hiện tượng ngẫu nhiên
xảy ra trong cuộc sống thường phụ thuộc với nhau theo một kiểu nào đó
như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc
theo khối, phụ thuộc âm hoặc phụ thuộc dương, liên kết hoặc liên kết âm,...
Các kiểu phụ thuộc như phụ thuộc martingale, m-phụ thuộc, phụ thuộc
Markov,... đã được nghiên cứu đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Hilbert, không gian Banach từ rất lâu, bởi nhiều nhà
toán học như Hoffmann-Jørgensen và Pisier [24], Ledoux và Talagrand [32],
Pisier [48],...
Khái niệm phụ thuộc âm đôi một (pairwise negative dependence), phụ
thuộc âm (negative dependence) và khái niệm liên kết âm (negative association) của các biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu từ những năm 1966, 1981,
1983 tương ứng bởi Lehmann [33], Ebrahimi và Ghosh [17] và bởi Joag-Dev

và Proschan [29]. Trong [29], Joag-Dev và Proschan đã chỉ ra rằng, nhiều
phân phối quan trọng trong thống kê như phân phối đa thức, phân phối
nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn tương quan
âm, mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại,... có tính chất liên kết âm. Joag-Dev
và Proschan [29] cũng chứng minh được nhiều tính chất quan trọng của các
biến ngẫu nhiên liên kết âm. Từ đó đến nay, khái niệm liên kết âm được sự
quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê
toán học. Các ứng dụng của sự phụ thuộc âm và liên kết âm trong vật lý,


7

toán học, cũng như các hướng phát triển của nó đã được nghiên cứu và đề
xuất bởi Pemantle [45], Borcea, Br¨andén và Liggett [10],...
Năm 2000, Shao [51] đã chứng minh được rằng, các bất đẳng thức quan
trọng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức Rosenthal, bất
đẳng thức Kolmogorov,... vẫn còn đúng với các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Có nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫu nhiên liên
kết âm. Khái niệm liên kết đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Hilbert lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Burton, Dabrowski
và Dehling [11] vào năm 1986. Trong công trình đó, Burton, Dabrowski và
Dehling đã nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm và sự xấp xỉ mạnh.
Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá
trị trong không gian Hilbert được nghiên cứu bởi Ko, Kim và Han [30] cho
trường hợp không cùng phân phối và bởi Thành [59] cho trường hợp cùng
phân phối. Miao [38] đã chứng minh được bất đẳng thức Hajek-Renyi cho
các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Sau đó, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã giới thiệu khái niệm các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị trong không gian Hilbert
và nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ đối với loại phụ thuộc này. Gần đây nhất,

Huấn [27] đã hoàn thiện và bổ sung các kết quả trong [26]. Tổng có trọng
số và mô hình hồi quy phi tham số trong trường hợp nhiễu phụ thuộc cũng
được nghiên cứu bởi Thành và Yin [60]. Tuy nhiên, các định lý giới hạn
khác như luật yếu số lớn, sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số,... của các
phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert vẫn
chưa được quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt, mặc dù khái niệm liên kết âm
của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert đã được
giới thiệu và nghiên cứu từ năm 2009, nhưng sự mở rộng tương tự cho khái
niệm phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một vẫn chưa được đề cập. Đây
là các vấn đề mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong luận án này.
7.2. Cấu trúc của luận án


8

Ngoài các phần một số kí hiệu thường dùng trong luận án; mở đầu; kết
luận chung và kiến nghị; danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận
án và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong
ba chương.
Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở
cho những nghiên cứu tiếp theo của luận án. Mục 1.1 trình bày một số khái
niệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm
đôi một. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của biến ngẫu nhiên liên kết âm. Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày
khái niệm phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong
không gian Hilbert và một số kiến thức liên quan. Đặc biệt trong mục này,
chúng tôi đưa ra khái niệm các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa
độ và các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá
trị trong không gian Hilbert. Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh một số
kết quả về bất đẳng thức cực đại đối với phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm

đôi một theo tọa độ và phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Cuối
chương, ở Mục 1.3, chúng tôi trình bày khái niệm về hàm biến đổi chính
quy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng. Trong mục này, chúng
tôi đã thiết lập và chứng minh các bổ đề cần thiết dùng để chứng minh các
kết quả nghiên cứu của các chương sau. Các kết quả chính của Chương 1
là Định lý 1.2.10, Định lý 1.2.11, Định lý 1.2.12, Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9
và Mệnh đề 1.3.10.
Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tử ngẫu nhiên
phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày các kết quả về luật mạnh số lớn và sự
hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo
tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Chúng tôi cũng đưa ra được
một ví dụ chứng tỏ rằng, dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn các điều kiện của
Định lý 2.1.1 nên luật mạnh số lớn (2.1.3) thỏa mãn. Tuy nhiên, nó không
thỏa mãn điều kiện trong Định lý 1A của Móricz và Taylor [43] nên chúng


9

ta không thể áp dụng định lý này để nhận được sự hội tụ đầy đủ tương
ứng. Trong Mục 2.2, chúng tôi trình bày các kết quả về luật yếu số lớn của
dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị
trong không gian Hilbert và đưa ra hai ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.1.
Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.5, Định lý
2.2.1 và Định lý 2.2.4.
Chương 3 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng
số và luật mạnh số lớn của dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa
độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Một số kết quả của phần này

n

ani Xi , trong đó {ani , n ≥ 1, i ≥ 1}

nghiên cứu về tổng có trọng số dạng
i=1

là mảng các hằng số, {Xi , i ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết
âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Dạng tổng có trọng
số này có ứng dụng trong một số mô hình thống kê như mô hình hồi quy
phi tham số, mô hình ước lượng bình phương tối thiểu,... Cuối cùng, Mục
3.2 trình bày các kết quả nghiên cứu về luật yếu số lớn đối với các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert. Các kết quả
chính của Chương 3 là Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.6 và Định lý 3.2.1.
Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Hội nghị toàn quốc
lần thứ 5 “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đại
học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015); Hội nghị Toán học Miền Trung Tây Nguyên lần thứ 2 (Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017); Hội thảo khoa học
“Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay”
(Đại học Vinh, 19/09/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và
Toán ứng dụng, Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh (từ năm
2015 đến năm 2019). Phần lớn các kết quả này đã được công bố trên các
tạp chí Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics và
Journal of Theoretical Probability.


10

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về phụ thuộc âm,
phụ thuộc âm đôi một, liên kết âm của các biến ngẫu nhiên xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P) và một số tính chất của dãy các biến ngẫu
nhiên thỏa mãn các cấu trúc phụ thuộc này để làm công cụ nghiên cứu cho
các chương sau. Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm liên kết âm theo
tọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ
của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert. Trong
chương này, chúng tôi đã chứng minh được một số bất đẳng thức cực đại
cho dãy các phần tử ngẫu nhiên như: bất đẳng thức Hájek - Rényi, bất
đẳng thức Rademacher - Menshov,... Các bất đẳng thức này đóng vai trò
“chìa khóa” trong việc thiết lập luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ và một số
định lý giới hạn khác cho dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo
tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian
Hilbert. Phương pháp chứng minh các bất đẳng thức này dựa vào đẳng
thức Parseval trong không gian Hilbert và các bất đẳng thức đã có đối với
các biến ngẫu nhiên liên kết âm (hoặc phụ thuộc âm đôi một) nhận giá
trị thực. Cuối chương, chúng tôi trình bày các khái niệm về hàm biến đổi
chính quy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng.
Các khái niệm và tính chất trong chương này chủ yếu được tham khảo
từ các tài liệu [1], [4], [17], [23], [26], [29] và [33].


11

1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm
Năm 1966, Lehmann [33] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc âm như sau.
Định nghĩa 1.1.1 ([33]). Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ
thuộc âm nếu với mọi x, y ∈ R ta có
P(X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P(X ≤ x)P(Y ≤ y).

(1.1.1)

Nhận xét 1.1.2. i) Định nghĩa trên có thể phát biểu tương đương như
sau: Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi

x, y ∈ R ta có
P(X > x, Y > y) ≤ P(X > x)P(Y > y).

(1.1.2)

ii) Trong (1.1.1) chúng ta có thể thay thế điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi
điều kiện (X < x, Y < y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều
kiện (X < x, Y ≤ y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều kiện

(X ≤ x, Y < y).
iii) Điều kiện (1.1.1) tương đương với một trong các điều kiện sau:
P(X ≥ x, Y ≥ y) ≤ P(X ≥ x)P(Y ≥ y),
P(X ≤ x, Y ≥ y) ≥ P(X ≤ x)P(Y ≥ y),
P(X ≥ x, Y ≤ y) ≥ P(X ≥ x)P(Y ≤ y).
Định nghĩa 1.1.3 ([33]). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi
là phụ thuộc âm đôi một nếu với mọi i = j ta có Xi và Xj phụ thuộc âm.
Năm 1981, Ebrahimi và Ghosh [17] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc
âm cho n biến ngẫu nhiên như sau.
Định nghĩa 1.1.4 ([17]). Họ các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } được
gọi là

i) phụ thuộc âm dưới, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có
P(X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) ≤ P(X1 ≤ x1 ) . . . P(Xn ≤ xn ),

(1.1.3)

12

ii) phụ thuộc âm trên, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có
P(X1 > x1 , . . . , Xn > xn ) ≤ P(X1 > x1 ) . . . P(Xn > xn ),

(1.1.4)

iii) phụ thuộc âm, nếu thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (1.1.3) và (1.1.4).
Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu
với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } là phụ
thuộc âm.
Nhận xét 1.1.5. i) Với n > 2 thì điều kiện (1.1.3) và (1.1.4) là không
tương đương. Ta có thể xét ví dụ sau đây.
Giả sử X1 , X2 , X3 là các biến ngẫu nhiên nhận các giá trị (0,1,1), (1,0,1),
1
(1,1,0), (0,0,0) với xác suất tương ứng bằng . Khi đó,
4
1
P(X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0) = 0 < = P(X1 > 0)P(X2 > 0)P(X3 > 0),
8
nhưng
1 1
P(X1 ≤ 0, X2 ≤ 0, X3 ≤ 0) = > = P(X1 ≤ 0)P(X2 ≤ 0)P(X3 ≤ 0).
4 8
Như vậy, chúng ta kiểm tra trực tiếp thấy rằng điều kiện (1.1.4) thỏa mãn
nhưng điều kiện (1.1.3) không thỏa mãn.

ii) Tính phụ thuộc âm của các biến ngẫu nhiên suy ra tính phụ thuộc âm

đôi một và tính độc lập là một trường hợp riêng của tính phụ thuộc âm.
Tuy nhiên, ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tồn tại các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm nhưng không độc lập.

|A|
,
4
với mọi A ∈ F . Lấy B = {1, 2}, C = {2, 3, 4}. Khi đó, I(B), I(C) là các
Xét không gian xác suất (Ω, F, P), với Ω = {1, 2, 3, 4} và P(A) =

biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập.
Ebrahimi và Ghosh [17] đã đưa ra các tính chất về biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một như sau.
Bổ đề 1.1.6 ([17]). Một tập hợp con của tập các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) là tập các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một).


13

Bổ đề 1.1.7 ([17]). Nếu {X1 , X2 , . . . , Xn } là họ các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) và f1 , f2 , . . . , fn là các hàm
cùng giảm hoặc cùng tăng thì {f1 (X1 ), f2 (X2 ), . . . , fn (Xn )} là họ các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một).
Từ Bổ đề 1.1.7, ta dễ dàng thu được các hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.1.8. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Khi đó:

i) Nếu X và Y khả tích thì X − EX và Y − EY là hai biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm;

ii) X + và Y + là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm;
iii) X − và Y − là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
Hệ quả 1.1.9. Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và a, b, c, d
là các số thực thỏa mãn a < b, c < d. Đặt

X1 = aI(X < a) + X I(a ≤ X ≤ b) + bI(X > b),
Y1 = cI(Y < c) + Y I(c ≤ Y ≤ d) + dI(Y > d).
Khi đó, X1 và Y1 là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
Năm 2006, Li, Rosalsky và Volodin [34] đã thu được kết quả sau.
Bổ đề 1.1.10 ([34]). Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một, khả tích cấp 2 thì
n

n

Xi ≤

Var
i=1

Var(Xi ).
i=1

Li, Rosalsky và Volodin [34] cũng đã chỉ ra rằng với một dãy hàm phân
phối cho trước, luôn tồn tại một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi
một nhận nó là hàm phân phối.
Định lý 1.1.11 ([34]). Giả sử {Fn , n ≥ 1} là một dãy các hàm phân phối
cho trước. Khi đó, tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một

{Xn , n ≥ 1} sao cho Fn là hàm phân phối của Xn với mọi n ≥ 1. Hơn

14

nữa, nếu {Fn , n ≥ 1} là dãy các hàm liên tục thì tồn tại dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một {Xn , n ≥ 1} sao cho {Xn , n ≥ k} không là
dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với mọi k ≥ 1.
Năm 1981, Alam và Saxena [1] đã đưa ra một khái niệm phụ thuộc mạnh
hơn tính phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một, đó là khái niệm liên kết
âm của các biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.1.12 ([1]). Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được
gọi là liên kết âm nếu

Cov f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B) ≤ 0,

(1.1.5)

với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, . . . , n} và với mọi hàm
không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho Covarian ở
công thức (1.1.5) tồn tại, trong đó |A| là kí hiệu lực lượng của tập A.
Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm nếu
với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là liên kết
âm.
Nhận xét 1.1.13. i) Rõ ràng (1.1.5) luôn đúng nếu họ các biến ngẫu nhiên

{X1 , . . . , Xn } độc lập và khi đó dấu đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta có thể
phát biểu rằng một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập là tập các biến
ngẫu nhiên liên kết âm.

ii) Có nhiều họ các biến ngẫu nhiên thỏa mãn tính liên kết âm, ví dụ như

(X1 , . . . , Xn ) là vector ngẫu nhiên phân phối chuẩn n-chiều và tương quan
âm thì {X1 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.

iii) Một tập hợp con của tập các biến ngẫu nhiên liên kết âm là tập các
biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Năm 1983, Joag-Dev và Proschan [29] đã chỉ ra rằng, trong trường hợp

n = 2, khái niệm phụ thuộc âm và liên kết âm là đồng nhất.
Mệnh đề 1.1.14 ([29]). Hai biến ngẫu nhiên X1 , X2 là liên kết âm khi và
chỉ khi chúng phụ thuộc âm.


15

Đồng thời, cũng trong tài liệu [29], Joag-Dev và Proschan đã đưa ra một
số tính chất quan trọng về biến ngẫu nhiên liên kết âm như sau.
Mệnh đề 1.1.15 ([29]). Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu
nhiên liên kết âm, A1 , A2 , . . . , Am là các tập con rời nhau của tập {1, 2, . . . , n}
và {fi : R|Ai | → R, 1 ≤ i ≤ m} là dãy các hàm số không âm, không giảm
theo từng tọa độ. Khi đó, ta có
m

m

fi (Xi , i ∈ Ai )

E

≤

i=1

Efi (Xi , i ∈ Ai ).
i=1

Từ Mệnh đề 1.1.15 ta suy ra hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.1.16. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn (n ≥ 2) là các biến ngẫu nhiên không
âm, liên kết âm thì
E (X1 X2 . . . Xn ) ≤ EX1 EX2 . . . EXn .
Mệnh đề 1.1.17 ([29]). Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu
nhiên liên kết âm, A1 , A2 là các tập con rời nhau của tập {1, 2, . . . , n} và
với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R. Khi đó, ta có
P(Xi ≤ xi , i = 1, n) ≤ P(Xi ≤ xi , i ∈ A1 )P(Xi ≤ xi , i ∈ A2 )
và
P(Xi > xi , i = 1, n) ≤ P(Xi > xi , i ∈ A1 )P(Xi > xi , i ∈ A2 ).
Nhận xét 1.1.18. Từ Mệnh đề 1.1.17 ta thấy rằng, nếu X1 , X2 , . . . , Xn là
các biến ngẫu nhiên liên kết âm thì X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc âm. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Chúng ta
có thể tham khảo phản ví dụ trong [29].
Kết hợp Nhận xét 1.1.18 và Bổ đề 1.1.10, ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.19. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên liên kết âm,
khả tích cấp 2 thì

n

n

Xi ≤

Var

i=1

Var(Xi ).
i=1


16

Mệnh đề sau trình bày một kết quả tương tự như Bổ đề 1.1.7.
Mệnh đề 1.1.20 ([29]). Giả sử {Xi , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên
liên kết âm, {Ai , i ≥ 1} là dãy các tập con rời nhau của tập {1, 2, . . . } và

{fi : R|Ai | → R, i ≥ 1} là dãy các hàm không giảm theo tọa độ. Khi đó,
{fi (Xj , j ∈ Ai ), i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Cuối mục này, chúng tôi trình bày một số bổ đề cơ bản thường dùng
trong luận án. Sau đây là bổ đề Borel-Cantelli dạng tổng quát. Chúng ta
có thể tham khảo cách chứng minh trong [47].
Bổ đề 1.1.21 ([47]). Cho không gian xác suất (Ω, F, P) và {An , n ≥ 1}
là dãy các biến cố. Khi đó
∞

P(An ) < ∞ thì P(lim sup An ) = 0.

i) Nếu
n=1
∞

P(An ) = ∞ và P(Ai Aj ) ≤ P(Ai )P(Aj ) với i = j thì

ii) Nếu

n=1

P(lim sup An ) = 1.
Bổ đề 1.1.22 là bổ đề Toeplitz. Chúng ta có thể tham khảo chứng minh
trong tài liệu [36, trang 250].
Bổ đề 1.1.22 ([36]). Cho {ank , 1 ≤ k ≤ kn , n ≥ 1} là mảng các số
thực thỏa mãn với mọi k ≥ 1, lim ank = 0 và sup
n→∞

kn

|ank | < ∞. Cho

n≥1 k=1

{xn , n ≥ 1} là dãy các số thực. Khi đó
kn

i) Nếu lim xn = 0 thì lim
n→∞

n→∞ k=1

ank xk = 0.

ii) Nếu lim xn = x ∈ R và lim
n→∞

kn

n→∞ k=1

kn

ank = 1 thì lim

n→∞ k=1

ank xk = x.

1.2. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm
Năm 2001, Zhang [62] đã phát biểu khái niệm liên kết âm cho các phần
tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd như sau.


17

Định nghĩa 1.2.1 ([62]). Họ các phần tử ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn }
nhận giá trị trong Rd được gọi là liên kết âm nếu công thức (1.1.5) thỏa
mãn với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, . . . , n} và với mọi
hàm thực không giảm theo tọa độ f trên R|A|d và g trên R|B|d .
Họ vô hạn các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị trong Rd
được gọi là liên kết âm nếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các phần tử ngẫu
nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } là liên kết âm.
Trong toàn bộ luận án, chúng tôi ký hiệu H là không gian Hilbert thực,
khả ly với hệ cơ sở trực chuẩn {ej , j ∈ B}, tích vô hướng ·, · và chuẩn

· . Ký hiệu K được hiểu là hằng số dương và không nhất thiết giống nhau
trong mỗi lần xuất hiện.

Ko, Kim và Han [30] tiếp tục mở rộng khái niệm liên kết âm cho dãy các
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực, khả ly.
Định nghĩa 1.2.2 ([30]). Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận
giá trị trong H được gọi là liên kết âm nếu mỗi d ≥ 1, dãy các phần tử
ngẫu nhiên {( Xi , e1 , . . . , Xi , ed ), i ≥ 1} nhận giá trị trong Rd là liên kết
âm.
Năm 2014, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã mở rộng khái niệm của Ko,
Kim và Han [30] sang liên kết âm theo tọa độ của dãy các phần tử ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert như sau.
Định nghĩa 1.2.3 ([26]). Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận
giá trị trong H được gọi là liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j ≥ 1, dãy
các biến ngẫu nhiên { Xi , ej , i ≥ 1} là liên kết âm.
Nhận xét 1.2.4. Một dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá
trị trong không gian Hilbert thì liên kết âm theo tọa độ. Tuy nhiên, điều
ngược lại nói chung không đúng. Chúng ta có thể tham khảo phản ví dụ
trong [26].


18

Dựa vào ý tưởng của Huấn, Quảng và Thuận [26], chúng tôi xây dựng
khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ
của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert như
sau.
Định nghĩa 1.2.5. Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá
trị trong H được gọi là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ ) nếu với mỗi j ≥ 1, dãy các biến ngẫu nhiên

{ Xi , ej , i ≥ 1} là phụ thuộc âm (tương ứng phụ thuộc âm đôi một).
Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} nhận giá trị trong H được

gọi là phụ thuộc âm theo tọa độ và theo khối (tương ứng phụ thuộc âm đôi
một theo tọa độ và theo khối) nếu với mọi k ≥ 0, các phần tử ngẫu nhiên

{Xi , 2k ≤ i < 2k+1 } là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ). Khái niệm này là một sự mở rộng của khái niệm
độc lập theo khối. Khái niệm độc lập theo khối, m-phụ thuộc theo khối và
sự hội tụ hầu chắc chắn đối với dãy các biến ngẫu nhiên dưới cấu trúc phụ
thuộc này có thể xem trong Móricz [41], Quảng và Thành [49], Stadtm¨
uller
và Thành [54], Rosalsky và Thành [50], Thành [57, 58].
Chú ý 1.2.6. Khi chúng ta nói dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} là
liên kết âm theo tọa độ (phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một
theo tọa độ), chúng ta hiểu rằng dãy các phần tử ngẫu nhiên này là liên
kết âm theo tọa độ (phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo
tọa độ) tương ứng với hệ cơ sở trực chuẩn {ej , j ∈ B} của H.
Năm 2012, Miao [38] đã khái quát bất đẳng thức Kolmogorov như sau.
Bổ đề 1.2.7 ([38]). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên
liên kết âm, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn E Xn

2

< ∞ với

mọi n ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số dương. Khi đó,
với mọi ε > 0, ta có

1
P max
1≤k≤n bk

k

n

Xi ≥ ε
i=1

≤8
i=1

E Xi 2
·
ε2 b2i

(1.2.1)


19

Hơn nữa, với mọi m < n, ta có
P

1
bk

max

m≤k≤n

k

1
b2m

32
≤ 2
ε

Xi ≥ ε
i=1

m

n

E Xi

2

i=1

E Xi
+
b2i
i=m+1

2

·
(1.2.2)

Tương tự kết quả trên, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã thu được kết quả
cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị
trong không gian Hilbert.
Bổ đề 1.2.8 ([26]). Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên
kết âm theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và E Xn

2

< ∞, n ≥ 1.

Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có
k

max

E

2

Xi

1≤k≤n

n

E Xi 2 .

≤2

i=1

(1.2.3)

i=1

Bổ đề sau là trường hợp đặc biệt của một kết quả trong Móricz và các
cộng sự [42]. Chúng ta chú ý rằng, Định lý 2.3 trong [42] phát biểu cho dãy
các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả ly.
Bổ đề 1.2.9 ([42]). Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong H thỏa mãn điều kiện
b+n

Xi

E

b+n

2

E Xi 2 , với mọi b ≥ 0, n ≥ 1.

≤

i=b+1

(1.2.4)

i=b+1

Khi đó, ta có
b+k

E

max

1≤k≤n

Xi
i=b+1

b+n

2
2

E Xi 2 .

≤ log (2n)

(1.2.5)

i=b+1

Tiếp theo, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức Rademacher - Menshov
và bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.

20

Định lý 1.2.10. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn
E Xn

2

< ∞ với mọi n ≥ 1. Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có
n

n

2

i=1

và

n

2

max

2

i=1

n

2

Xi

E

(1.2.7)

i=1

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.10, ta có

n

E Xi 2 .

≤ log (2n)

Xi

1≤k≤n

(1.2.6)

i=1

k

E

E Xi 2 ,

≤

Xi

E

2

Xi , ej

= E

i=1



i=1

j∈B
n

=

2

Xi , ej

E
i=1
n

j∈B

≤

E Xi , ej

2

Xi , ej

2

i=1

j∈B
n

=

E
i=1
n



j∈B

E Xi 2 .

=
i=1

Vậy (1.2.6) được chứng minh. Từ (1.2.6) và áp dụng Bổ đề 1.2.9, ta nhận
được (1.2.7).
Định lý 1.2.11. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa mãn
E Xn

2

< ∞ với mọi n ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số

dương. Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

1
E max
1≤k≤n bk

k

Xi
i=1

n

2
2

≤ 4 log (2n)
i=1

E Xi
b2i

2

·

(1.2.8)