Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Câu 1 (6 điểm) Cho biểu thức:

)1
11
1
(


+
+
+
+
=
xy
xxy
xy
x
A
:
)1
11
1
(
+

+

+
+
xy
xxy

xy
x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu
5614
+=
x
,
15
15
+

=
y
c) Cho
2
=+
yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Câu 2 (6 điểm)
a) Cho x là số thỏa mãn
292252
22
=++
xxxx
Tính giá trị của biểu thức : B=
92252
22
+++
xxxx

b) Tìm số tự nhiên n để
91
2
+
n
cũng là số tự nhiên
Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đờng cao AH.
a) Giả sử BH=3cm;AC=2cm. Tính diện tích tam giác ABC?
b) Giả sử BH=AC, trung tuyến BM của tam giác ABC cắt AH tại I. Chứng minh CI là
tia phân giác của góc ACB
Câu 4 (2 điểm)
Chia một hình tròn thành 10 hình quạt bằng nhau,
trong mỗi hình quạt đặt một viên bi (hình vẽ). Ngời ta
thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì
có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang
hình quạt liền kề nhng theo 2 chiều ngợc nhau (nếu một
viên ở một hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hồ
thì viên bi ở hình quạt kia chuyển theo chiều ngợc lại).

Hỏi sau một số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất cả các viên bi
vào một hình quạt đợc không? Vì sao ?
Phòng giáo dục quận Tây Hồ
kỳ thi học sinh giỏi lớp 9
Phòng giáo dục quận Tây Hồ
Trờng THCS Chu Văn An
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2010-2011
Môn thi : Toán
Ngày thi: 27/9/2010
Thời gian làm bài: 120 phút

Trờng THCS Chu Văn An
Năm học 2010-2011
Hớng dẫn chấm Thi môn toán
I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng
II.Thang điểm và đáp án
Câu Đáp án Điểm
a) Rút gọn đúng đến
xyA
=
3,5 đ
b) Tìm điều kiện xác định :
x

-1;
1

xy
Tính ra
53
+=
x

2
53

=
y
(TM ĐKXĐ)
Thay vào A đợc
2

=
A
0,5 đ
1 đ
Câu1
6 đ
c) áp dụng BĐT
xy
yx

+
2
)
2
(
với mọi x,y
Thay
2
=+
yx
và biến đổi dẫn đến
2
1
=
xyA
Chỉ ra
2
1
==
xyA

khi
2
2
==
yx
Và KL : GTNN của A là
2
1
min
=
A
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
a) Ta có B.2=(
92252
22
+++
xxxx
).(
92252
22
++
xxxx
)=16
Suy ra B=16:2=8
2,5 đ
0,5 đ
Câu 2
(6đ)

b) Đặt
nmmn
>=+
91
2
và
13.791.1))((
==+
nmnm
; m+n>m-n
Xét 2 TH:
m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45
m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 . Thử lại đúng
KL:
{ }
45;3

n
2 đ
1 đ
Câu 3
6đ
a) Đặt CH=x ĐK: 0<x<2
AD hệ thức lợng:
)3(2.
22
+==
xxCBCHAC
Giải PT:
043

2
=+ xx
ta đợc
4
1
=
x
<0 loại ;
)(1
2
TMx
=
BC=4cm;
2
323 cmScmAH
ABC
==

x
I
A
B
C
D
H
M
0,5 đ
1,5 đ
1 đ
b) Vẽ tia Ax//BC; tia BM cắt tia Ax tại D,

MCBMAD
=
(g.c.g)

AD=BC
áp dụng định lí Ta-let ta có:
CH
CA
CHBH
AC
BH
CH
AC
BH
BC
BH
AD
IH
IA
=====
.
2
2
Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác của góc ACB
1 đ
1,5 đ
0,5 đ
Câu 4
2 đ
Ta chứng minh không thể chuyển tất cả các viên bi

vào một hình quạt
-Tô các hình quạt bằng 2 mầu đen, trắng xen kẽ
(hình vẽ)
-Tổng số các viên bi trong các hình quạt đen bằng
tổng số các viên bi trong hình quạt trắng và bằng 5
-Theo cách biến đổi, tại mọi thời điểm thì tống số
viên bi trong trong các hình quạt đen và hình quạt
trắng đều là 1 số lẻ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
-Vậy không thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt( số bi trong hình quạt
đó là số chẵn)
0,5 đ