skkn ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Bắt đầu từ năm 2017, BGD&ĐT chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học môn
Toán cũng có sự thay đổi để đáp ứng đối với kì thi. Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ bản chất và
cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả, học sinh mong muốn mình giải quyết một bài toán với con
đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhất.
Trong đề thi THPT QG 2017, đề minh họa, đề tham khảo của BGD và tuyển tập các đề thi thử
THPT QG của các trường trên toàn quốc trong những năm gần đây, câu hình học không gian luôn là
câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các kiến thức hình học không gian ở chương
trình hình học lớp 11. Do đó, việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích
khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng. Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên
cứu, chúng tôi đã có những sáng kiến để giải quyết các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương
pháp tỉ số thể tích rất hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến
thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được.
Sáng kiến giải quyết các vấn đề hay gặp như:
a. Tính thể tích, tỷ số khối chóp có đáy là hình bình hành.
b. Tính thể tích, tỷ số khối lăng trụ.
c. Tính thể tích, tỷ số khối hình hộp…và các ứng dụng khác.
2. Mục đích của sáng kiến
Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và một số bài tập mẫu, học
sinh định hướng rõ phương pháp giải các bài toán cụ thể phần nào giúp học sinh thuận lợi trong quá
trình học tập và quá trình ôn tập củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi THPT QG phần hình học áp
dụng vào thực tế.
3. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến
- Từ năm 2017, trong kì thi THPT QG môn Toán chuyển sang thi trắc nghiệm. Qua nghiên cứu đề
minh họa của bộ tôi có thây rằng các bài toán hình học về tính thể tích, tỷ số xuất hiện nhiều. Ngoài
việc lắm được các công thức hình học như trước kia các em còn phải làm thế nào cho ra kết quả
nhanh nhất.
- Hệ thống kiến thức trong sáng kiến có nội dung sáng tạo và ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán.
Sáng kiến đã đưa ra một số kết quả tính nhanh mang tính phát hiện. Nắm vững được các công thức

Trang 1


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
đưa ra này các em sẽ giải quyết những bài từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh gọn với độ chính
xác cao.
- Từ lúc bắt đầu chính thức BGD cho thi trắc nghiệm, khi ôn luyện cho học sinh về mảng này tôi luôn
đưa ra hệ thống câu hỏi bám sát, gây dựng các bài toán mang tính chất hệ thống. Vì bản thân hình học
đã là khó nên các bài toán đưa ra phải kích thích và gây hưng phấn cho học sinh. Học sinh sẽ năm
chắc kiến thức từ đó hăng say vận dụng vào các bài toán từ dễ đến khó. Nhờ vậy các em định hướng
giải cho các bài toán thuộc chủ đề này rất nhanh và đây cũng là điểm nổi bật của sáng kiến .
4. Hiệu quả của sáng kiến
- Đối với nhà trường: Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích của đồng nghiệp và học sinh trong hoạt
động giảng dạy và học tập cũng như ôn luyện và giải các đề thi thử.
- Đối với kết quả thi: Kiểm tra định kì, thi thực nghiệm của Sở : Đa số các em làm tốt, nâng cao chất
lượng, xếp hạng với các trường THPT trong tỉnh.

Trang 2


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
THI THPT QUỐC GIA
A. XÂY DỰNG CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Tính chất 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
Cho khối chóp tam giác S.ABC . Mặt phẳng ( P ) cắt các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt tại

A ', B ', C ' . Khi đó ta có

VS . A' B 'C ' SA ' SB ' SC '
.
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Chứng minh
S

H'
A'

H

C'

A

C
B'
j
B

Gọi H , H ' lần lượt là hình chiếu của A, A ' trên mặt phẳng ( SBC ) .

VS . ABC = VA.SBC =



1
1
AH .SB.SC.sin BSC và VA '.SB 'C ' = A ' H '.SB '.SC '.sin B ' SC '
6
6

VS . A' B 'C ' AH ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
AH SB SC

Rõ ràng

A ' H ' SA '
V
SA ' SB ' SC '
=
.
 S . A' B 'C ' =
.
.
AH
SA
VS . ABC
SA SB SC

Ví dụ 1. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc với
đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC . Tính tỉ số

V
thể tích A.BCNM .
VS . ABC
Lời giải

Trang 3


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
S

N
C

A
M

B

Ta có

SM SM .SB SA2 4
=
=
= .
SB
SB 2
SB 2 5

Tương tự

SN 4
= .
SC 5
2

VS . AMN SM SN  4 
V
9
=
.
=    A.BCNM =
VS . ABC
SB SC  5 
VS . ABC
25
2. Tính chất 2: Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng ( P ) cắt các cạnh

SA, SB, SC , SD, SO lần lượt tại A ', B ', C ', D ' và O ' .
a) Chứng minh

b) Đặt x =

SA SC SB SD
SO
+
=
+
= 2.

.
SA ' SC ' SB ' SD '
SO '

SA
SB
SC
SD
V
x+ y + z +t
, y=
, z=
, t=
. Chứng minh S . A' B 'C ' D ' =
.
SA '
SB '
SC '
SD '
VS . ABCD
4 xyzt
Chứng minh
S

A'
B'

I

D'

C'

A

D
O

B

C

Trang 4


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
a) Gọi O là tâm hình bình hành, I là giao điểm của SO và ( A ' B ' C ' D ') .

Ta có

SSA' I SSC ' I 2SSA'C '
SA '.SI SC '.SI
SA '.SC '
+
=

+
= 2.
SSAO SSCO
SSAC

SA.SO SC.SO
SA.SC

Chứng minh tương tự ta có



SO  SA ' SC ' 
SA ' SC '
+
.

 = 2.
SI  SA SC 
SA SC



SA SC
SO
+
= 2.
.
SA ' SC '
SI

SB SD
SO
+
= 2.

.
SB ' SD '
SI

b) Theo a)  x + z = y + t
VS . A ' B 'C ' D ' VS . A ' B 'C ' VS . A ' D 'C ' 1  SA ' SB ' SC ' SA ' SD ' SC ' 
=
+
= 
.
.
+
.
.

VS . ABCD
2VS . ABC 2VS . ADC 2  SA SB SC SA SD SC 

1 1
1  y +t x+ y + z +t
= 
+
=
=
2  xyz xtz  2 xyzt
4 xyzt
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB , điểm
P thuộc cạnh SD sao cho SP = 2PD . Mặt phẳng ( AMP ) cắt SC tại N . Tính tỷ số

Lời giải

S

N
P

M
I
A

D
O

B

Ta có

C

SA SC SB SD
SC
3
SC 5
+
=
+
 1+
= 2+ 
=
SA SN SM SP
SN

2
SN 2

Trang 5

VS . AMNP
.
VS . ABCD


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Vậy

VS . AMNP
VS . ABCD

5 3
1+ 2 + +
2 2= 7
=
5 3
30
4.1.2. .
2 2

Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB và
đi qua điểm M trên SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số

k=

SM
.
SC
Lời giải
S

N

M

A

D

B

C

 AB  ( P )
Gọi N = ( P )  SC ta có 
nên MN //CD .
 AB //CD

Ta có k =

SM
SC SD 1

=

=
SC
SM SN k

V
Khi đó SABMN =
VSABCD

1 1
+
k k = 1  1 − 1 −1 = 0  1 = 1 + 5  k = 5 −1 .
1
2
k2 k
k
2
2
4. 2
k

1+1+

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình vuông; SA ⊥ ( ABCD ) và

SC hợp với đáy một góc bằng 30 . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SC , cắt các cạnh

SB, SC , SD lần lượt tại E , F , K . Tính thể tích khối chóp S.AEFK .
Lời giải

Trang 6

Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
S

F

K

E
D

A
O
B

Ta có

Mà

C

SB SD
SD SD 2
SB SB 2
=
=
= 2 . Tương tự
nên
.

2
SE SK
SK SA
SE SA

SC
SB SD
SB SD 5
SC SC 2
+1 =
+
=5
=
=
=
= 4 ( do SCA vuông tại A, SCA = 300 ) nên
2
SF
SE SK
SE SK 2
SF SA

VS . AEFK
V
10
1
V
=
=  VS . AEFK = S . ABCD = .
VS . ABCD 4.1.4. 5 . 5 10

10
10
2 2
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho

IS = 2IC . Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AI cắt cạnh SB , SD lần lượt tại M , N . Gọi V ', V lần lượt là
thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích
Lời giải
S

I
M

N
D

A
O
B

Đặt

C

SB
SD
3 5
5
= x,
= y  x, y  1 . Ta có  x + y = 1 + =  x + y = .

SM
SN
2 2
2

Trang 7

V'
.
V


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
3
5
V'
5
8
2= 5 
=
= . Dấu bằng xảy ra khi x = y = .
Ta có
2
3
4
V
6 xy
 x + y  15
4 x. y.1.
6



2
 2 
x + y +1+

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng ( ) thay đổi
luôn đi qua B , trung điểm I của SO và cắt các cạnh SA, SC và SD lần lượt tại M , N và P. Tính
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số

VS .BMPN
.
VS . ABCD
Lời giải
S

P
M

N
I
B

C
O

A

D

Đặt

SA SC SB SD
SA
SC
SO
+
= x,
=
= y  x, y  1 .Ta có
+
= 2.
=4
SM SN SB SP
SM
SN
SI

Nên

SD
V
8
2
2
= 3; x + y = 4 . Từ đó S .BMPN =
=
=
SP
VS . ABCD 4.x. y.3.1 3xy 3x ( 4 − x )

Từ x + y = 4  x = 4 − y  3 vì y  1.
Xét f ( x ) =

2 ( 4 − 2x)
2
, 1  x  3 f '( x) =
=0 x=2
2
3x ( 4 − x )
3x ( 4 − x ) 

2
1
Ta có f (1) = f ( 3) = ; f ( 2 ) = .
9
6
Vậy

1 2
VS .BMPN
đạt GTNN, GTLN lần lượt là , .
6 9
VS . ABCD

Trang 8


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
3. Tính chất 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

Cho lăng trụ ABC.ABC có các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA, BB, CC  sao cho

V
x+ y+z
AM
BN
C P
= x,
= y,
= z . Khi đó ABC MNP =
.
AA
BB
CC 
VABC. ABC
3
Chứng minh
A'

C'

M
B'

P

N
A

C

B

Ta có VABC MNP = VM . ABC  + VM .BC PN . Đặt V = VABC . ABC dễ thấy VA. BCC B =
1
d M , ABC  ) ) .S ABC
x
VM . ABC  3 ( (
1 MA 1
=
=
= x  VM . ABC  = .V
3
V
3 AA 3
d ( A, ( ABC  ) ) .S ABC

2V
3

(1) .

Do AM // ( BCC A )  VM .BCPN = VA.BCPN

1



VM .BC PN VA.BC PN S BC PN 2 ( C P + B N ) .d ( P, BB ) 1  C P BN  y + z
Khi đó

.
=
=
=
= 
+
=
VA.BCC B VA.BCCB S BCCB
BB.d ( P, BB )
2  CC ' BB ' 
2

 VM .BC PN =

y + z 2V y + z
.
=
.V ( 2 ) .
2
3
3

Vậy từ (1) , ( 2 ) ta có VABC MNP = VM . ABC  + VM .BC PN =

Đặc biệt:

x+ y+z
V
x+ y+z
.V  ABCMNP =

.
3
VABC. ABC
3

VA.MNP
x VM .BCPN
y+z
= ,
=
.
VABC . A1B1C1 3 VABC . A1B1C1
3

Trang 9


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ ABC.ABC , có M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA, BB, CC  sao cho

AM = MA, BN = 3NB, CP = 3PC  . Đặt V1 là thể tích của khối đa diện ABCMNP , V2 là thể tích của
khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

V1
.
V2
Lời giải
A'

C'

B'
P

M
N

A

C

B

Ta có MA = MA 

Đặt V = VABC . ABC 

MA 1
BN 3
CP 3
= ; BN = 3NB 
= ; CP = 3PC  
=
AA 2
BB 4
CC  4

1 3 3
+ +
V1 2 4 4 2
V

2
1
=
=  V1 = V  V2 = V − V1 = V  1 = 2.
. Suy ra
V
3
3
3
3
V2

Ví dụ 8. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng V , các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh

AA, BB, CC  sao cho AM = 2 MA, BN = 3 NB, CP = x.PC  . Đặt V1 là thể tích của khối đa diện
ABC.MNP , tính giá trị của x để

V1 3
= .
V 5
Lời giải
A'

C'
B'

M
P
N

A

C

B

Trang 10


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Ta có MA = 2 MA 

AM 2
BN 3
CP
x
= ; BN = 3 NB 
= ; CP = xPC  
=
AA 3
BB 4
CC  x + 1

2 3
x
+ +
V
3 17
x
9

x
23
23
= 
=
x= .
Suy ra 1 = 3 4 x + 1 =  +
V
3
5 12 x + 1 5
x + 1 60
37
Ví dụ 9. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng 60 cm3 , các điểm M , N , P lần lượt thuộc các
cạnh AA, BB, CC  sao cho AM = 2 MA, BN = 3 NB, CP = 4 PC . Thể tích của khối đa diện BC.MNP .
Lời giải
A'

C'
B'

P

M
N

A

C

B

Ta có MA = 2MA 

AM 2
BN 3
CP 4
= ; BN = 3NB 
= ; CP = 4 PC  
=
AA 3
BB 4
CC  5

2 3 4
+ +
VABCMNP
133
133
133
=3 4 5=
 VABCMNP =
.60 =
Nên
VABCA ' B 'C '
3
180
180
3

1

1 2
2
40
Mà VM . ABC = d ( M ; ( ABC ) ) .S ABC = . d ( A '; ( ABC ) ) .S ABC = .VABC . A ' B 'C ' =
.
3
3 3
9
3
Vậy VBCMNP =

133 40
−
= 31( cm3 ) .
3
3

Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể
tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính,
nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác.
Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có G , G ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và

A ' B ' C . Mặt phẳng ( ) cắt AA ', BB ', CC ', GG ' lần lượt tại M , N , P, I .

Trang 11


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Chứng minh

AM BN CP
GI
+
+
= 3.
.
AA ' BB ' CC '
GG '
Chứng minh
A'

C'
G'
B'

M
P

I

N
A

C
G
B

Đặt x =

AM
BN
CP
GI
,y=
,z =
,t =
; VABC . A ' B 'C ' = V
AA '
BB '
CC '
GG '

Dễ thấy VAGB. A 'G ' B ' = VCGB.C 'G ' B ' = VAGC . A 'G 'C ' =

Ta có

V
.
3

V
VAGBMIN
z + y + t VCGAPIN
x+ y +t
z + y +t
=
;
=
. Tương tự ta có CGBPIN =

VVCGB.C ' G ' B '
VVAGB. A ' G ' B '
3
VVCGA.C ' G ' A '
3
3

Cộng vế với vế cả 3 đẳng thức trên ta được
3VABCMNBP x + y + t z + y + t z + y + t 2 ( x + y + z )
=
+
+
=
+t
V
3
3
3
3

Mà

3VABCMNBP
x+ y+z
x+ y+z
= 3.
= x + y + z nên t =
. Ta được điều phải chứng minh.
V
3

3

Từ kết quả trên ta có

VABCMNBP
GI
=
.
VABC . A ' B 'C ' GG '

Nhận xét. Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết ( ) cắt GG ' tại vị trí điểm I xác định là ta
đã biết ( ) chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi.

Trang 12


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
4. Tính chất 4: Tỉ số thể tích khối hộp
Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng ( ) cắt các cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt tại

M , N , P, Q sao cho

AM
BN
CP
DQ
= x, ' = y ,
= z,
= t . Khi đó ta có:
'

'
AA
BB
CC
DD'

a) x + z = y + t.

b)

VABCDMNQP
VABCD. A' B 'C ' D '

=

x+ y + z +t x+ z y +t
.
=
=
4
2
2
Chứng minh
B

C

O
A

D
N
P
I

M

Q

B'

C'
O'

A'

D'

a. Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành. Gọi I , O lần lượt là tâm của hình bình hành MNPQ và
hình vuông ABCD . Ta có OI là đường trung bình của hình thang AMPC nên OI =
Tương tự OI =

BN + DQ
, do đó AM + CP = BN + DQ  xAA '+ zCC ' = yBB '+ tDD '  x + z = y + t
2

b. Áp dụng Tính chất 3 ta có

VABDMNQ
VABD. A' B ' D '

tương tự

=

AM + CP
.
2

2VABDMNPQ
VABDMNQ
x+ y +t
x+ y +t
x+ y +t

=

=
3
VABCD. A' B 'C ' D '
3
VABCD. A' B 'C ' D '
6

VBCDNPQ
VABCD. A' B 'C ' D '

=

y + z +t
6

Do đó,

Trang 13


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

VABCDMNPQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

=

VABDMNQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

+

VBCDNPQ

=

VABCD. A ' B 'C ' D '

=

Chú ý :

VABCDMNQP
VABCD. A' B 'C ' D '

=

x+ y+t y+ z +t x+ y+ z +t + y+t
+
=
6
6
6
x+ y+ z +t
x+ y+ z +t
2
=
6
4

x+ y+ z +t +

x + y + z + t OI
=
.
4
OO '

Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tính chất 3. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình hộp là
chia bốn.
Và cũng chỉ cần biết ( ) cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối tạo
thành do ( ) cắt hình hộp. Tuy nhiên, Tính chất 4 cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở hai cạnh
bên đối diện của hình hộp mà ( ) cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối.
Ví dụ 11. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.ABCD có thể tích bằng 2110 . Biết AM = MA ;

DN = 3ND và CP = 2CP . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể
tích khối đa diện nhỏ hơn.
Lời giải
B

C

O
A

D
Q
P

M
N

B'

C'
O'

A'

( MNP )

Do đó

cắt BB’ tại Q . Từ giải thiết ta có

VABCDMNPQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

D'

AM 1 CP 2
= ;
= .
AA ' 2 CC ' 3

AM CP
1 2
+
+
7
7
7385
= AA ' CC ' = 2 3 =  VABCDMNPQ = .2110 =
2
2
12
12
6

Vậy VA ' B 'C ' D ' MNPQ = 2110 −

7385 5275
=
.

6
6
Trang 14


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Ví dụ 12. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có N là trung điểm CC. Mặt phẳng ( ) đi qua

AN , cắt các cạnh BB ', DD lần lượt tại M , P ; ( ) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích
tương ứng bằng V1 và V2 (V1  V2 ) . Tính tỉ số

V2
.
V1
Lời giải

B

C

O

M
A

D
I

N
P

B'

C'
O'

A'

Từ giải thiết ta có

VABCDPNM
VABCD. A ' B 'C ' D '

D'

AA CN
1
+
0+
2 = 1 . Nên VABCDPNM = 1  V2 = 3 .
= AA ' CC ' =
2
2
4
VAMNPA ' B 'C ' D ' 3 V1

Trang 15


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi

B ', D ' lần lượt là trung điểm SB, SD . Mặt phẳng
k=

A.
Câu 2:

( AB ' D ')

cắt SC tại C ' . Đặt

VS . AB 'C ' D '
, giá trị của k bằng
VS . ABCD

1
.
12

B.

1
.
3

C.

1
.
4

D.

1
.
6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M , N lần lượt là trung điểm của

SA và SB . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.MNCD và S.ABCD. Tỷ số
V1
bằng
V2
A.
Câu 3:

3
.
8

B.

2
.
3

C.

1
.
8

D.

3
.
4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC .
Mặt phẳng ( P ) chứa AM và song song với BD lần lượt cắt các cạnh bên SB và SD tại

N và Q . Tỷ số

A.
Câu 4:

1
.
3

VS . ANMO
bằng
VS . ABCD
B.

1

.
6

C.

2
.
5

D.

1
.
4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I nằm trên cạnh SC sao
cho IS = 2IC . Mặt phẳng ( P ) chứa AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi

V ' và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số
V'
bằng
V
A.
Câu 5:

4
.
5

B.

5
.
54

C.

8
.
15

D.

5
.
24

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, điểm M thuộc cạnh SA , điểm

N thuộc cạnh SD sao cho

SM 1 SN 2
= ,
= . Mặt phẳng ( ) thay đổi luôn chứa MN , cắt
SA 2 SD 3

các cạnh SB và SC lần lượt tại Q và P. Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng V , khi
đó giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S .MNPQ bằng

Trang 16

Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

A.
Câu 6:

V
.
4

2V
.
5

B.

C.

3V
.
8

D.

V
.
3

Cho khối chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác SBC . Đường thẳng d đi qua G , cắt các

cạnh SB , SC lần lượt tại M và N. Gọi V1 , V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.AMN
và S.ABC . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số

A.
Câu 7:

17
.
18

21
.
22

B.

C.

37
.
33

D.

10
.
9

Cho chóp S.ABC . Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A, B, C  . Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC và SG cắt ( ABC  ) tại G . Khi đó

A.
Câu 8:

V1
bằng
V

3SG
.
SG '

SG '
.
SG

B.

C.

SA SB SC
+
+
bằng
SA ' SB ' SC '

2 SG
.
SG '

D.

3SG '
.
SG

Cho khối lăng trụ ABC.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA và BB .
Mặt phẳng ( CMN ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Đặt V 1 là thể tích của khối
chóp C '.MNB ' A ' và V2 là thể tích của khối đa diện ABC.MNC ' . Tỷ số

A.
Câu 9:

2
.
3

B. 2.

C.

1
.
2

V1
bằng
V2
D.

3
.
2

Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các
cạnh AA, BB, CC  sao cho

AM 1 BN CP 2
= ,
=
= . Thể tích của khối đa diện
AA ' 2 BB ' CC ' 3

ABC.MNP bằng
A.

2
V.
3

B.

9
V.
16

C.

20
V.

27

D.

11
V.
18

Câu 10: Cho khối lăng trụ đều ABC.ABC . Gọi I là trung điểm của AA ' . Mặt phẳng ( IB ' C ) chia
khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh A, B có thể tích bằng V1 và phần còn lại có thể
tích bằng V2 . Tỉ số

A. 1.

V1
bằng
V2
B.

2
.
3

C.

Trang 17

1
.
3

D.

1
.
2


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Câu 11: Cho hình hộp ABCD.ABCD . Trên các cạnh AA, BB, CC  lần lượt lấy ba điểm M , N , P
sao cho

A'M 1 B 'M 2 C ' P 1
= ;
= ;
= . Biết mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh DD ' tại Q . Tỉ số
AA ' 3 BB ' 3 CC ' 2

D 'Q
bằng
DD '
A.

1
.
6

B.

1

.
3

C.

5
.
6

D.

2
.
3

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD . Trên các cạnh AA, BB, CC  lần lượt lấy ba điểm

X , Y , Z sao cho AX = 2 AX , BY = BY , CZ = 3C Z . Mặt phẳng ( XYZ ) cắt cạnh DD ' tại
điểm T . Tỉ số thể tích của khối XYZT .ABCD và khối XYZT .ABCD bằng
A.

7
.
24

B.

7
.
17

C.

17
.
7

D.

17
.
24

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a . Mặt phẳng ( ) cắt các cạnh

1
2
AA, BB, CC  và DD lần lượt tại M , N , P, Q . Biết AM = a, CP = a . Thể tích của khối
3
5
đa diện ABCD.MNPQ bằng

A.

11 3
a .
30

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
3

Câu 14: Cho khối lập phương ABCD.ABCD . Mặt phẳng

D.

( )

11 3
a
15

đi qua A cắt các cạnh

BB, CC , DD lần lượt tại M , N , P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B
bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số

A.

3
.
4

B.

1
.
2

C.

CN
bằng
CC 

2
.
3

D.

3
.
2

BẢNG ĐÁP ÁN
1.D

2.A

3.A

4.C

11.A

12.B

13.A

14.C

5.D

6.A

Trang 18

7.A

8.C

9.D

10.A


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
CHƯƠNG II. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ
thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.

2. Nội dung thực nghiệm
Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng được ở chương II theo hướng
phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy
như tương tự hóa, tổng quát hóa … từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 một số trường THPT. Số lượng học sinh trong mỗi lớp là 35.
Lớp thực nghiệm là 12A, lớp đối chứng là 12B. Trình độ nhận thức ở hai lớp này được đánh giá là
tương đương.
Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn.
3. Đánh giá thực nghiệm
a) Kiểm tra
Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến
hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá là tương đương nhau) làm bài kiểm tra 15 phút.
Nội dung đề kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra
Thời gian làm bài: 15 phút
Câu 1:

Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi

B ', D ' lần lượt là trung điểm SB, SD . Mặt phẳng
k=

A.
Câu 2:

( AB ' D ')

cắt SC tại C ' . Đặt

VS . AB 'C ' D '

, giá trị của k bằng.
VS . ABCD

1
.
12

B.

1
.
3

C.

1
.
4

D.

1
.
6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M , N lần lượt là trung điểm của

SA và SB . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.MNCD và S.ABCD. Ttỷ số
V1
bằng.

V2
Trang 19


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

A.
Câu 3:

3
.
8

B.

2
.
3

C.

1
.
8

D.

3
.
4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của cạnh

SC . Mặt phẳng ( P ) chứa AM và song song với BD lần lượt cắt các cạnh bên SB và SD
tại N và Q . Tỷ số

A.
Câu 4:

VS . ANMO
bằng.
VS . ABCD

1
.
3

B.

1
.
6

C.

2
.
5

D.

1
.
4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm I nằm trên cạnh SC sao
cho IS = 2IC . Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AI cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N
. Gọi V ' và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMIN và S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của
tỷ số

A.
Câu 5:

V'
bằng.
V

4
.
5

B.

5
.
54

C.

8

.
15

D.

5
.
24

Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các
cạnh AA, BB, CC  sao cho

AM 1 BN CP 2
= ,
=
= . Thể tích của khối đa diện
AA ' 2 BB ' CC ' 3

ABC.MNP bằng.
A.

2
V.
3

B.

9
V.
16

C.

20
V.
27

D.

11
V.
18

b) Đánh giá kết quả thực nghiệm
Về thái độ học tập của học sinh
Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học
sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức. Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động,
tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức. Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn
thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho.

Trang 20


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Về kết quả bài kiểm tra
Điểm/Lớp

Yếu

TB

Khá

Giỏi

Đối chứng 12B

21,3%

53,2%

14,9%

10,6%

Thực nghiệm 12A

6,4%

38,3%

34%

21,3%

Phân tích kết quả kiểm tra
Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi.
Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi.
Nhận xét
Lớp đối chứng: Khả năng tiếp cận các bài toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày

lời giải còn nhiều thiếu xót.
Lớp thực nghiệm: Khả năng vận dụng linh hoạt hơn, có sự sáng tạo hơn. Một số em trình bày lời giải
gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ.
Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu,
chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập.
Kết luận
Kết quả thực nghiệm bước đầu đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của đề tài.

Trang 21


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
KẾT LUẬN
1. Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập của đề tài
Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những phương pháp nhất định. Đó là những
phương pháp đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó. Phát hiện được những
phương pháp giải một dạng toán là vach được một con đường để người học chiếm lĩnh dạng toán đó
và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hóa mục đích day học dạng toán đó
và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt kết quả hay không và đạt đến mức độ nào.
Không có phương pháp nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá trình
dạy học. Cùng một dạng toán nhưng có bài phù hợp với phương pháp này, có bài lại phù hợp với
phương pháp khác. Và chúng ta không thể áp dụng cứng nhắc mỗi dạng toán với một phương pháp
nhất định mà cần căn cứ vào từng bài toán cụ thể, sự tiếp thu và nhận thức của từng đối tượng học
sinh để có phương pháp cho phù hợp. Với khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, và sự non trẻ về
mặt nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm giảng dạy, sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi hạn chế
thiếu sót. Kính mong quý thày cô, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến hoàn thiện hơn.
Nội dung phần này là tương đối khó. Rất nhiều câu ở mức vận dụng cao. Nhiều bài không chỉ
đòi hỏi kiến thức hình học sâu rộng mà còn yêu cầu cả kiến thức đại số rất tốt như các bài liên quan
đến cực trị. Các em không chỉ biết dùng kiến thúc trình bày tự luận mà còn phải hiểu rõ vấn đề và sử
dụng các thủ thuật máy tính để ra kết quả nhanh nhất.

Với bài viết này tôi hy vọng các em học sinh không còn thấy bài tập hình học liên quan thể
tích là khó nữa. Thông qua việc học tốt trong sách giáo khao và hệ thống bài tập như trên các em sẽ
tự tin chinh phục các bài trong các đề thi thử từ đó vươn xa hơn là xử lý trọn vẹn các bài trong kì thi
THPTQG 2017.
2. Hiệu quả thiết thực của đề tài
Nếu đề tài được triển khai rộng rãi thì đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và
học sinh. Tài liệu này giúp học sinh định hướng và làm tốt các bài toán về hình học liên quan đến thể
tích.
Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều tài liệu để viết, xin ý kiến đóng góp của các
đồng nghiệp, đưa vào giảng dạy cho học sinh để kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài, nhưng thật
khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế. Tôi rất mong nhận
được ý kiến bổ sung của các đồng nghiệp để hoàn thiện tài liệu hơn, đầy đủ hơn và có tác dụng trong
thực thế dảng dạy.

Trang 22


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
3. Kiến nghị
Tổ chuyên môn: Thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn để trao đổi các phương
pháp các dạng toán để nâng cao chất lượng giảng dạy.
Nhà trường: Tạo điều kiện để giáo viên nghiên cứu các phương pháp giảng dạy bộ môn thông
qua các đề tài khoa học và phổ biến các phương pháp trong tổ chuyên môn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hoa Lư, ngày 3 tháng 5 năm 2018

XÁC NHẬN CỦA BGH

Nhóm tác giả

Trang 23