Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích

Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI Trang 2
2. GIỚI THIỆU Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu Trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 Phân tích dữ liệu và kết quả Trang 4
4.2 Bàn luận Trang 5
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 6
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN Trang 7
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG Trang 25
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Trang 26
BẢNG ĐIỂM Trang 28
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỔ Trang 30
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TRƯỜNG Trang 33
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỈNH Trang 36
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 1
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
1.TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Thể tích khối đa diện (khối lăng trụ, khối chóp) là một phần rất quan trọng trong
chương trình toán hình học không gian và là một phần không thể thiếu trong các đề thi tốt
nghiệp THPT, cao đẳng, đại học trước đây và đề thi quốc gia sắp tới. Tuy nhiên trong quá
trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy đa phần các em không thiết tha lắm với môn hình học
này. Bởi lẽ, phân môn này có phần trừu tượng đối với các em, từ cách vẽ hình cho đến
việc học thuộc công thức, thuộc phương pháp, vận dụng linh hoạt các phương pháp.

Vì vậy khi bắt gặp đề thi về tính thể tích khối đa diện các em thường cảm thấy
lúng túng khi giải quyết vấn đề, nhiều em còn cho rằng đây là câu khó nhất trong đề thi
và mong gì đạt được điểm ở câu hỏi này. Một số em khá thì rất quyết tâm giải quyết
nhưng đôi khi cũng không biết bắt đầu từ đâu? Các em thường tính thể tích trực tiếp
bằng công thức thể tích V
khối chóp
=
1
3
S
đáy
.h hay V
khối lăng trụ
=S
đáy
.h (với h là chiều cao của
khối chóp hay khối lăng trụ) mà trong nhiều trường hợp phương pháp đó gặp rất nhiều
khó khăn. Vậy còn phương pháp nào khác để tính thể tích và cách vận dụng phương pháp
đó như thế nào?
Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi nhận thấy việc giúp các em có thể tìm tòi, phát
huy tính sáng tạo, hình thành nhiều phương pháp giải tối ưu nhất là một điều rất quan
trọng. Như vậy theo chúng tôi việc “ tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng
tỉ số thể tích ” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các trở ngại trên.
Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp : Lớp 12A (lớp thực nghiệm) và lớp
12B1 (lớp đối chứng ) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm dựa vào tư duy tìm ra
phương pháp giải tốt nhất. Lớp đối chứng giải một số dạng quen thuộc, phương pháp
thường sử dụng.
Kết quả cho thấy : ở lớp đối chứng học sinh chỉ giải được các bài tập đơn giản,
quen thuộc. Lớp thực nghiệm ngoài những bài tập đơn giản, quen thuộc các em còn giải
được các bài tập khó hơn, các em tư duy tốt hơn.

2.GIỚI THIỆU
Trong nhiều bài toán việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện có thể gặp nhiều
khó khăn vì :
- Khó xác định đường cao và khó tính độ dài đường cao.
- Tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng .
Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể thực hiện như sau :
- Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản
(khối chóp hoặc khối lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
- So sánh thể tích khối cần tìm với một khối đa diện khác mà đã biết
trước thể tích.
Giải pháp thay thế:
Khi dạy phần này trước hết hướng dẫn học sinh cách nhìn một bài toán để biết
được đối với bài toán đó chúng ta phải chọn phương pháp nào: dùng công thức trực tiếp
hay dùng công thức tỉ số thể tích. Khi xác định được bài toán làm theo phương pháp dùng
công thức tỉ số thể tích giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh cách tư duy để tính được thể tích
như thế nào là tối ưu nhất.
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Giúp học sinh 12A làm tốt bài toán tính thể tích
khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích”
Giả thiết nghiên cứu: Bằng tư duy giúp học sinh làm tốt các bài tập thể tích
khối đa diện. Từ đó nâng cao kết quả học tập của học sinh lớp 12 trường THPT Lộc
Hưng.
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 2
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12A và 12B1 vì có những thuận lợi cho việc áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có lòng yêu nghề, nhiệt tình trong công tác,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Hồng Yến – GV dạy lớp 12A(lớp thực nghiệm)

2. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B1 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này ý thức tầm quan trọng của việc học, tích cực chủ động.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai nhóm tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12A và 12B1 có sự tương đương nhau. Chúng tôi dùng
phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số trung bình của
hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
 Bảng kiểm chứng để xác định hai nhóm tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12A) Đối chứng (lớp 12B1)
Trung bình cộng (TBC) 6.37931 6.13158
p = 0.60650
p = 0,60650 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
- Chúng tôi sử dụng thiết kế: Kiểm tra trước và sau tác động đối với hai nhóm
tương đương.
 Thiết kế nghiên cứu:
Lớp
Kiểm tra trước
tác động
Tác động
Kiểm tra sau
tác động
Thực nghiệm
(Lớp 12A)
O1
Dạy học theo phân tích tìm lời
giải tìm cách tính thể tích bằng

công thức tỷ số thể tích thuận lợi
nhất.
O3
Đối chứng
(Lớp 12B1)
O2
Dạy học theo hướng dẫn của
sách giáo khoa, không phân tích
theo nhiều hướng giải
O4
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3 Quy trình nghiên cứu:
 Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B1 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo khoa
chỉ dùng công thức.
- Giáo viên dạy Toán lớp 12A là lớp thực nghiệm, dạy học kết hợp công thức, sử
dụng cách giải thay thế để học sinh lựa chọn, sắp xếp bài tập theo dạng từ dễ đến khó, có
bài tập tương tự có đáp án giúp học sinh tự luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
- Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan.
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 3
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
- Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
trực tiếp ), còn lớp thực nghiệm sẽ phân tích đề và tìm ra cách giải phù hợp . Chúng tôi
sử dụng hai cách tính thể tích , từ đó giúp học sinh xác định phương pháp nào phù hợp và
ít sai sót, sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến khó các bài giống dạng gần nhau rồi đến
tiết tăng tiết chúng tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các dạng bài tập và sửa bài tập cho các em.
3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT

Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong chương thể tích khối
đa diện cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng hình thức tự luận, nội
dung gồm 3 bài tập: chứng minh vuông góc, tính thể tích khối chóp, 1 bài ở mức độ nhận
biết 1 bài thông hiểu, 1 bài vận dụng.
 Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài
kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
 Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm
(Lớp 12A)
Đối chứng
(lớp 12B1)
ĐTB 7,82759 6,50000
Độ lệch chuẩn 1,22675 1,48415
Giá trị P của T – test 0,00016
Chênh lệch giá trị TB chuẩn(SMD) 0,89451
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm thực hiện trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T – test cho kết quả P =
0.0001521, cho thấy: sự chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm
đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả đạt được của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
7,82759 6,50000
0,89451
1,48415


−
= =
.
Điều đó cho thấy việc tác động của giáo viên tới tư duy của học sinh qua cách
phân tích lựa chọn cách tính thể tích khối đa diện của nhóm thực nghiệm là rất lớn.
Giả thuyết của đề tài “Giúp học sinh 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa
diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích” đã được kiểm chứng và kết quả đạt được
rất khả quan góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn của trường THPT Lộc Hưng.
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 4
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích

4.2. BÀN LUẬN
Qua kết quả của bài kiểm tra sau tác động: nhóm thực nghiệm có TBC = 7,82759
còn nhóm đối chứng có TBC = 6,50000. Ta tính được độ chênh lệch điểm số giữa hai
nhóm là 1,32759. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã
có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn nhiều so với lớp đối
chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,89451. Từ
đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test cho thấy điểm trung bình sau tác động của hai lớp là p
= 0,00016 < 0,001 Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm thực nghiệm
và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh hưởng rất lớn đến kết
quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán hơn, giúp các em có được tư
duy tốt hơn trong toán học và các môn học khác cũng như trong cuộc sống.
 
Đề tài “Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng
phương pháp sử dụng tỉ số thể tích” là một trong những giải pháp rất hữu hiệu góp phần
nâng cao dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng và một số trường
THPT vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có
lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh và tính kiên nhẫn vì đa số các em khi thực hiện tính
thể tích khối đa diện chỉ làm theo phương pháp tính trực tiếp, các em hay e ngại khi phải

tiếp nhận một phương pháp khác.
Cần phải lưu ý “tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể
tích” không phải là phương pháp tối ưu duy nhất. Có thể đó là phương pháp “tốt” đối với
bài toán này nhưng lại “không tốt” đối với bài toán khác. Giáo viên cần hướng dẫn học
sinh cách nhìn nhận ra một bài toán để lựa chọn được phương pháp giải tốt nhất.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1 Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối
đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích” tiến hành giảng dạy có hiệu quả đối với
học sinh lớp 12A của trường. Khi áp dụng giải pháp này học sinh có thể giải được các bài
tập với độ chính xác cao và có thể giải được các bài toán nâng cao cho thấy hiệu quả của
việc thực hiện sáng kiến rất cao.
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 5
Kết quả sau tác động(1) Trước tác động (2)
 
! "#$"%&
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
5.2. Khuyến nghị:
 Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa
học sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo viên các
trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn.
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán
nâng cao của hình học không gian để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
 Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn
qua sách tham khảo, mạng internet, đồng nghiệp,…Và trong quá trình giảng dạy cần chú
ý:
+ Những bài tập đưa ra cho học sinh phải từ dễ đến khó, có hệ thống,
phân dạng để học sinh nắm chắc từng dạng bài.
+ Hướng dẫn học sinh tư duy, phân tích thật kỹ bài toán từ những bài đơn

giản để hình thành thói quen tốt cho học sinh.
+ Chỉ dẫn các em cách tự học qua sách tham khảo, mạng internet và học
nhóm bạn. Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần tự học của học sinh qua bài tập về
nhà.
- Với kết quả của đề tài này, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của
quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn và có thể
ứng dụng đề tài này vào dạy học góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán, tạo cho học
sinh tư duy tốt và nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh qua các kỳ thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách Bài tập hình học 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
4. Đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm.
5. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com, .
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 6
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
PHỤ LỤC
NỘI DUNG CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
1/Công thức tính thể tích trực tiếp
● Thể tích khối lăng trụ : V=S
đáy
.h



'
$()'
*+ ! ! ,% /
● Thể tích khối hộp chữ nhật:
0 

=

● Thể tích khối lập phương:
3
0 =

● Thể tích khối chfp V=
1
3
S
đáy
.h

'
$()'
*+ ! ,%"1
Về phương pháp giải quyết các bài tập loại này được tiến hành như sau :
a/Xác định mặt đáy và chiều cao tương ứng hạ đến mặt đáy đf
b/Xác định và tính diện tích của mặt đáy :
+ Tùy theo đáy là hình gì ta xác định công thức tính diện tích cho chính xác
+ Tìm các yếu tố liên quan đến việc tính diện tích mà đề bài chưa có buộc ta
phải tìm , sau đó hoàn tất việc tính diện tích mặt đáy
Ta cần chú ý công thức tính diện tích của một số đa giác thường gặp
- Công thức tính diện tích tam giác:
●
1 1 1 1 1 1
S sin sin sin
2 2 2 2 2 2
 
    *    2= = = = = =

●
1 1 1
S sin sin sin
2 2 2
 *    2= = =
●
( ) ( ) ( )
r
4R

 1 1 1 1  1 = = = − − −
(Với
2
 
1
+ +
=
)
- Diện tích tam giác vuông tại A :
1
S .
2
2 2*=
- Diện tích tam giác đều :
2
3
S
4

=

(a: cạnh tam giác)
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 7
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
- Diện tích hình vuông cạnh a :
2
S =
( a: cạnh hình vuông )
- Diện tích hình chữ nhật :
S . 
=
a,b: hai cạnh của hình chữ nhật )
- Diện tích hình thoi:
1
S
2
=
a.b ( a,b: hai đường chéo hình thoi )
- Diện tích hình bình hành:
S =
a.h (a: cạnh đáy, h: chiều cao )
- Diện tích hình thang :
1
S
2
=
(a+b)h (a,b : hai cạnh đáy, h: chiều cao )
c/Xác định và tính chiều cao của khối đa diện :
+ Trong nhiều trường hợp chiều cao này được xác định ngay từ đầu
+ Một số trường hợp khác , việc xác định đường cao của khối đa diện phải
dựa vào các định lí về mối quan hệ vuông góc đã được học ở lớp dưới (định lí 3 đường

vuông góc, định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ,… )
+ Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí 3 đường
vuông góc hoặc nhờ đến việc sử dụng đến phép tính lượng giác.
Ta thường gặp một số trường hợp sau:
i/Khối chfp: Đường cao của khối chóp là đường thẳng xuất phát từ đỉnh và vuông
góc với mặt đáy.
-Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp chính là
cạnh bên đó.
-Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường
cao mặt bên đó (xuất phát từ đỉnh khối chóp).
-Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao của khối chóp là giao
tuyến hai mặt bên đó.
-Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các góc giữa các mặt bên và mặt đáy
bằng nhau thì đường cao khối chóp là đường thẳng xuất phát từ đỉnh đến tâm đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy.
ii/ Khối lăng trụ: Đường cao của khối lăng trụ là đường thẳng xuất phát từ một
đỉnh và vuông góc với mặt đáy còn lại.
-Khối lăng trụ đứng, khối lăng trụ đều thì đường cao cũng là cạnh bên.
2/Công thức tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
a/Công thức tỉ số thể tích
Cho khối chóp tam giác
.S ABC
. Trên ba đường thẳng
, ,SA SB SC
lần lượt lấy ba
điểm
', ', 'A B C
khác với
S
.

Ta luôn có:
=
.
. ' ' '
. .
' ' '
S ABC
S A B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
(1)
Từ công thức tỉ số thể tích trên ta còn thường sử dụng công thức sau:
Cho khối chóp tam giác
.S ABC
. A’ nằm trên cạnh SA . Khi đó :
.
'.
'
 2*
2 2*
0
2
0 2 2
=
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 8
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Công thức trên được suy ra từ công thức (1)
Cho khối chóp tứ giác
.S ABC

D. A’ nằm trên cạnh SA khi đó
. .
'. . '
. .
' '
 2* 2 *
2 2* 2 2 *
0 0
2 2 2* 2
0 0 22 2 2* 2 2
= = =
3/Các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,
22*
=
,
SA vuông góc với đáy ABC ,
2
=
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (
α
)
qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp
S.AMN
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Giải:
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3

S
đáy
.h
Kẻ AH vuông góc với SB tại H
Ta có :
( ( ))
( ) ( )
2 
2 * * 2
2 * 2 @
⊥


⊥ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Khi đó
. .
1
. .
3
 2@ 2 @ @
0 0 2 
∆
= =
Xét tam giác SAB vuông tại A
AH.SB = SA.AB
2 2
. .
2

2 2
2


⇒ = = =
+
2
1
. .sin
2 2 4
2
.
1
3 3 9
. .sin
2
4 4 1 2 2 2
. . . 2
9 9 2 9 9
@
*
@ *
 @ 


 * 

  * 
= = =
⇒ = = = =

V
V
V V
2 3
. .
1 1 2 2 2
. .
3 3 9 27
2
 2@ 2 @ @

0 0 2 
∆
= = = =
( đvtt)
Cách 2 : Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có:
.
1
.
3
 2* 2*
0  2
=
và
2
=
+ Tam giác ABC vuông cân tại B,
22* =
,AB=a

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 9
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
2
1
2
2*

⇒ =
Vậy:
3
2
1 1
. .
3 2 6
2*

0
= =
Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :
2
3
3
A
=
α
// BC
⇒
MN// BC
2

3
 @ 3
 * A
⇒ = = =


4
.
9
2@
2*
0
 @
0  *
⇒ = =
Vậy:
3
4 2
9 27
2@ 2*

0 0= =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được mặt phẳng (SBC)
vuông góc (SAB). Từ đó kẻ đường AH vuông góc với SB tại H thì AH cũng vuông góc
với (SBC) (hay vuông góc với (SMN) ). Chọn AH là đường cao hình chóp A.SMN.
-Việc tính diện tích đáy SMN : dựa vào diện tích tam giác SBC
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA , đáy

ABC vuông cân tại B.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
S.AMN
và V
S.ABC
ta tính được thể
tích khối chóp S.AMN
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Giải
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA

∆
AMN có Â = 60
0
, AM=AN = a
⇒

2

0
AMN
1 1 3 . 3
S . .sin 60 . . .
2 2 2 4

2 2@
∆
= = =
, SA =
3

Vậy
2 3
.
1 1 . 3
. . . . . 3
3 3 4 4
 2@ 2@

0  2
= = =
(đvtt)
Cách 2 : Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 10
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
.
.

AS 1 1 1
. . 1. .
AS 2 2 4
2 @
2 *
0
2 2@
0 2 2*
= = =

⇒

.
. . .
1
.
4 4
 2*
 2@ 2 @ 2 *
0
0 0 0= = =
Ta có :
2
3
.
1 1 4 . 3
. . . . . 3
3 3 4
 2* 2*

0  2 = = =
Vậy
3
.
.
4 4
 2*
 2@
0

0 = =
(đvtt)
Nhận xét:
-Thấy được đường cao của khối chóp là SA
- Việc tính diện tích đáy AMN cũng không đơn giản.
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
ABC là tam giác đều.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
A.SMN
và V
A.SBC
ta tính được thể
tích khối chóp S.AMN
Ví dụ 3: (Đề tuyển sinh Đại học khối D -2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi
M, N tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tìm thể tích khối chóp
A.BMNC
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?

Giải
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
Gọi E là trung điểm của BC.
Ta có AE
⊥
BC, SA
⊥
BC
=> BC
⊥
(SEA) => (SBC)
⊥
(SEA)
Kẻ AH
⊥
SE (H thuộc SE) => AH
⊥
(SBC)
Vậy AH là chiều cao của hình chóp A.BMNC
Trong tam giác vuông SAE, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 19 3
2
4 3 12 19
2

2 2 2B
= + = + = => =
Vì AB=AC => SB=SC
Ta có SA
2
=SM.SB=SN.SC=>SM=SN
Ta có
2
4 2
2
4 2 2
. 4 16
( )
. 4 25
@
*

 @  2
  *  
 
= = = = =
 ÷
+
 
V
V

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 11
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
2 2

2
16
25
9 9 1 9 3 9 19
. . 4
25 25 2 50 4 100
@* * @ * *
*
    

 * B
= − = −
= = = + =
Vậy
2 3
.
1 1 9 19 3 3 3
. . .2
3 3 100 19 50
2 @* @*

0  2 = = =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có : V
A.BMNC
= V
S.ABC
- V
S.AMN

(1)
Ta có
.
.
.
 2@
 2*
0
 @
0  *
=
Vì AB=AC => SB=SC
Ta có SA
2
=SM.SN=SN.SC=>SM=SN
Vậy
2
.
2
.
 2@
 2*
0

0 
=
(2)
Ta có SA
2
=SM.SB =>

2
2


=
Vậy từ (2) ta có
4 2 2
2 2
.
4 2 2 2
.
4 16
( ) ( )
4 25
 2@
 2*
0
2 2
0  
= = = =
+
=>V
S.AMN
=
16
25
V
S.ABC
(3)
Từ (1) và (3) ta có :

2 3
. .
9 9 1 3 3 3
. .2
25 25 3 4 50
2 @*  2*

0 0 = = =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao :phải nhìn ra được hai tam giác ABC và
SBC cân có chung cạnh đáy BC.Từ đó gọi E là trung điểm BC thì mặt phẳng (SBC)
vuông góc (SAE). Từ đó kẻ đường AH vuông góc với SE tại H thì AH cũng vuông góc
với (SBC) (hay vuông góc với (BMNC) ). Chọn AH là đường cao hình chóp A.BMNC.
-Việc tính diện tích đáy BMNC :
@* * @
  = −
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
ABC là tam giác đều.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
S.AMN
và V
S.ABC
để tính thể tích
V
S.AMN
. Khi đó
. . .2 @*  2*  2@
0 0 0= −

Ví dụ 4:Hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA=a, tam giác ABC
vuông cân có AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam
giác SAC. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 12
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Ta có
ABC

V
=
2
2
1
2
1
. *2
=
; SA =a
⇒ V
S.ABC
=

3
1
S
ABC
.SA =
6
1
a
3
∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB vuông cân tại A
Mà B’ là trung điểm SB ⇒ AB’ ⊥ SB (1)
BC⊥ AB và BC⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB)
⇒ BC ⊥ AB’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB’ ⊥ (SBC)
Từ đó ta có AB’⊥ SC mà SC ⊥ AC’ =>SC ⊥ (AB’C’)
2
2
2
1
2
1
2'

2 ===
=SB’
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
2*2 3
22
=+

3
2
'

*
2
*
==
Tam giác SB’C’ vuông tại C’
B’C’
2
= SB’
2
- SC’
2
=
66
''
2

*
=⇒
⇒S
AB’C’
=
3462
2
1
2
1

2
'''.

*2
==
Vậy V
S.AB’C’
=
2 3
' '
1 1
. ' . .
3 3 36
4 3 3
2 *

 *
= =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có S
ABC
=
2
2
1
2
1
. *2
=

; SA =a
⇒ V
S.ABC
=
3
1
S
ABC
.SA =
6
1
a
3
' '
2
2 2
2 2
' ' '.
1
2
1 1 1
2 2 6
3
2 *
2*
0
2  * * *
0 2  *
*
2

*
= =
= = =
Vậy
3
3
1 1
' ' '
6 6 36

2  *
0
= =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được AB’ vuông góc với
(SBC) . Từ đó ta có SC vuông góc AB’ và vuông góc AC’ nên SC’ vuông góc (AB’C’).
Chọn SC’ là đường cao hình chóp S.AB’C’.
-Việc tính diện tích đáy AB’C’: tam giác AB’C’ vuông tại B’
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
ABC là tam giác vuông cân tại B.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
S.AB’C’
và V
S.ABC
để tính thể tích
V
S.AB’C’
.

Ví dụ 5:Hình chóp S.ABC có tam giác có tam giác ABC vuông tại B, SA
⊥
(ABC). Góc ACB bằng 60
o
, BC = a, SA = a
3
, M là trung điểm SB. Tính thể tích
MABC
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 13
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
SA
⊥
(ABC)
Trong mp(SAB), từ M kẻ MH // SA cắt AB tại H
=> MH
⊥
(ABC), MH=
2
3
2
1

2
=
S
ABC
=
3.60tan
2
2
1
2
1
2
1
*2

==
Vậy V
MABC
=
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3

.3


2*

==
∆
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích

1
1
2
2
0
2*

0 0
2* 2*
0 
2*
= = => =
mà V
S.ABC
=
3
1
SA.S
ABC
=

2 3
1 1 1
3 2 2
3. 3
=
Vậy V
MABC
=
3
4
1

(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được SA vuông góc với
(ABC). Nên đường thẳng qua M mà vuông góc với (ABC) phải song song SA. Từ đó ta
kẻ MH //SA cắt AB tại H. Khi đó MH vuông góc (ABC). Chọn MH là đường cao hình
chóp M.ABC.
-Việc tính diện tích đáy ABC: tam giác ABC vuông tại B
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
ABC là tam giác vuông tại B.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
MABC
và V
SABC
để tính thể tích
V
MABC
.

Ví dụ 6 (Đề tuyển sinh Đại học khối A -2007)
Cho hình chóp C2* có đáy 2* là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M; N; P lần lượt
là trung điểm của SB; BC; CD. Tính thể tích của CMNP theo a.
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
●Tính diện tích
*D@∆
:

2
1 1
. . .
2 2 2 2 8
*D@

 *D *@
∆
= = =
● Tính chiều cao của khối chóp
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH
⊥
AD

mà (SAD)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD)
và
3
2

 =
Trong mp(SHB), kẻ MK//SH và cắt BH tại K

3
4

E⇒ =
. Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 8 4 96
* @D *D@

0  E= = =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 14
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH

⊥
AD mà (SAD)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD)
Do đó
3
2
.
1 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12
 * *

0   = = =
3 3
.
. .
.
1 1 1 3 3
2 2 2 12 24
 *
 *  *
 *
0

0 0
0 
= = => = = =

Mà
.
.
1
.
4
* @D
* 
0
*@ *D
0 * *
= =
3 3
. . .
1 1 1 3 3
4 4 4 24 96
* @D *   *

0 0 0⇒ = = = =
Vậy
3
3
96
*@D

0 =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: ta chứng minh được SH vuông góc
(ABCD) nên đường thẳng qua M và vuông góc (ABCD) phải song song SH

-Việc tính diện tích đáy CPN: tam giác CPN vuông tại C
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.BCD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
BCD có diện tích bằng nửa diện hình vuông ABCD.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
M.BCD
và V
S.BCD
để tính thể tích
V
M.BCD
. Sử dụng tỉ số thể tích giữa V
C.MNP
và V
C.MBD
để tính thể tích V
C.MNP
Ví dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=SA=a,
AD=a
2
. SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là
giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy

.h
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: NO // SA mà SA
⊥
(ABCD)
=> NO
⊥
(AMI), NO là đường cao
NO=
1
2 2

2 =
Xét tam giác ABM
2 2
6
2

 2 2= + =
1 6
3 6

A = =
(I là trọng tâm tam giác ABD)
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 15
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Xét tam giác ACD :
2 2
2 1
3, 3

6 3
2* 2 * 2A 2* = + = = =

2
2
( )( )( )
12
2A

 1 2 1 2A 1 A= − − − =
V

Vậy
2 3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 12 72
2A

0 @F 
∆
= = =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có
3
.
1 1 1 2
. . . . 2
3 3 2 6

 2* 2*

0 2  = = =
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó
2 1
3 3
2A 2A
2F 2*
= ⇒ =
Ta có:
3 3
.
. .
.
1 1 1 2 2
2 2 2 6 12
@ 2*
@ 2*  2*
 2*
0
@*
0 0
0 *
= = ⇒ = = =
Mặt khác:
3 3
1 1 1 1 1 2 2
. .
3 2 6 6 6 12 72

2A@
2A@ 2*@
2*@
0
2A 2
0 0
0 2* 2
= = = ⇒ = = =

Vậy
3
2
72
2A@

0 =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: ta có SA vuông góc (ABCD) nên đường
thẳng qua N và vuông góc (AIM) phải song song SA. Khi đó chọn đường cao là NO
-Việc tính diện tích đáy AIM : dựa vào công thức Hêrông
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ACD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
BCD có diện tích bằng nửa diện hình chữ nhật ABCD.
-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
N.ACD
và V
S.ACD
để tính thể tích
V

N.ACD
. Sử dụng tỉ số thể tích giữa V
A.IMN
và V
A.CDN
để tính thể tích V
A.IMN
Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=a
3
,SA=2a và SA
⊥

(ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC,
SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
Ta có
2 2 2 2 2 2
3 4 22* 2 * 2* = + = + = ⇒ =
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 16
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Nên
⊥∆

2*
cân tại A mà AI
⊥
SC
nên I là trung điểm SC , AI=SI=
2.
2
22
2
1


* ==

, ( ( )) ( )* 2 * 2 2 2* * 2⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Mà
*2
⊥
và AI
⊥
SC nên SI
⊥
(AHIK)
Ta có
5
2.111
22
222

22

22
2
222
=
+
=⇒+=

Trong tam giác HAI vuông tại H có
5
6
5
4
2
2
222

22AA =−=−=

Tương tự ta có AK=
7
14
,
2
2 2 2
2 2 3
2
7
7

EA 2A 2E = − = − =

2
1 1 1 2 6 14 2 3 12 . 6
. . . ( . . )
2 2 2 7 35
5 5 7
2AE 2A 2AE

   2 A 2E EA= + = + = + =
V V
Vậy
2 3
1 1 12 . 6 8 . 3
. . . 2.
3 3 35 35
2AE 2AE

0 A  = = =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
3
.
1 1 2 3
. .2 . . 3
3 3 3
 2* 2*

0 2  = = =

2 2

2 2 2
. . .
. 1 1 1 4 2
. . .
2 2 2 5 5
2 2 1 1
. .
5 5 2 5
2A
2*
2A  2*  2*  2*
0
 A   2
0  *  
0 0 0 0
= = = = =
⇒ = = =
Tương tự :
2 2
.
2 2 2
.
. 1 1 1 4 2
. . .
2 2 2 7 7
 2AE
 2*
0
E A E  2
0  *  

= = = = =
. . . .
2 2 1 1
. .
7 7 2 7
 2AE  2*  2*  2*
0 0 0 0⇒ = = =

Do đó :
3 3
. . . . . .
1 1 12 12 2 3 8 3
. .
5 7 35 35 3 35
 2AE  2A  2AE  2*  2*  2*

0 0 0 0 0 0= + = + = = =
(đvtt)
Nhận xét:
-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được AH vuông góc (SBC)
nên AH vuông góc SC mà AI vuông góc SC. Từ đó ta có SC vuông góc (AHIK). Khi đó
chọn đường cao là SI
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 17
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
-Việc tính diện tích đáy AHIK : là tổng của hai tam giác AHI vuông tại H và
AIK vuông tại K
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp S.ABCD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy
ABCD là hình chữ nhật.
-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V

S.AHI
và V
S.ABC
(với V
S.ABC
=
1
2
V
S.ABCD
)
tính thể tích V
S.AHI
theo V
S.ABCD
.
-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V
S.AIK
và V
S.ACD
(với V
S.ACD
=
1
2
V
S.ABCD
)
tính thể tích V
S.AIK

theo V
S.ABCD
.
-Khi đó
. . . 2AE  2A  2AE
0 0 0= +
Ví dụ 9:(Đề tuyển sinh Đại học khối D -2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm A’C’. I là giao điểm của AM và A’C. Tính
theo a thể tích khối tứ diện IABC
(34'4567 , 897: ;
<=8 "67%>?
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=
1
3
S
đáy
.h
Kẻ IH // AA’ vì AA’
⊥
(ABC) nên IH
⊥
(ABC)
Nên IH là đường cao khối tứ diện IABC
●Tính diện tích
2*
∆
:
Tính được

5 2a2* *= ⇒ =
2
1 1
. . .2a
2 2
2*
 2 *
∆
= = =
● Tính chiều cao IH:
Ta có :
2 2 A'
IA' '
*A 2*
*A A
2 
= = ⇒ =
(hai tam giác IAC và IMA’ đồng dạng)
2 ' 2 2 4
'
' ' ' 3 ' 3 3 3
A *A *A A2
A 2 2
2 2 *2 *A A2 A2
⇒ = = = = => = =
+
Vậy :
3
2
.

1 1 4a 4a
. . .
3 3 3 9
A 2* 2*
0  A
∆
= = =
(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Theo định lý Pitago trong tam giác AA’C ta có AC=a
5
Theo định lý Pitago trong tam giác ABC ta có BC=2a
Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C nên
2
3
A2
2
=
.
.
2
3
A 2*
 2*
0
A2
0 2
= =

. . '.

2 2
3 3
A 2*  2* 2 2*
0 0 0⇒ = =

3
2 1 1 4
. .2 .2
3 3 2 9
= =
(đvtt)
Nhận xét:
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 18
E
F
a
a
C
B
A
D
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
-Việc tìm và chứng minh đường cao : A’A vuông góc (ABC) nên đường thẳng
qua I và vuông góc với (ABC) phải song song với A’A. Từ đó kẻ IH song song A’A.
Chọn IH là đường cao của IABC.
-Việc tính diện tích đáy ABC : tam giác ABC vuông tại B.
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy:
-Việc tính thể tích khối chóp M.ABC tương đối đơn giản:đường cao bằng cạnh
bên của hình lăng trụ, đáy ABC là tam giác vuông tại B.
-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa V

M.ABC
và V
I.ABC
tính thể tích V
I.ABC
Từ đây, học sinh không cần phải giải hai cách , mà từ giả thiết và yêu cầu bài
toán học sinh sẽ xác định được nên làm theo cách nào
Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD, có tam giác ABC vuông cân ở A và CD=
2
=
.
CD vuông góc (ABC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên DA, DB. Tính thể tích
khối tứ diện CDEF
Giải
3
ABCD ABC
1 a
V S .CD
3 6
= =
Ta có:
. . .
*BG
*2
0
* B G B G
0 * 2  2 
= =
(*)
Mà

2
.B 2 *
=
, chia cho
2
2
2 2
2 2
1
2 2
B *
2 2
⇒ = = =
Tương tự:
2 2
2 2 2
1
3
G *
  * *
= = =
+
. Từ(*)
1
6
*BG
2*
0
0
⇒ =

Vậy
3
1
6 36
*BG 2*

0 0
= =
(đvtt)
Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và
SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
Giải
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
ta có
.
.
SA 1 1 1
. . 1. .
SA 2 2 4
 2@
 2*
0
 @
0  *
= = =

⇒

2
3
.
.
1
. 3. 3
3
4 4 4
 2*
 2@

0

0 = = =

⇒

3
. .
3 3
.
4 4
2 *@  2*

0 0= =
(đvtt)
Ví dụ 12:Cho tứ diện ABCD có góc ABC bằng góc BAD bằng 90
0

, góc CAD
bằng 120
0
, AB=a, AC= 2a, AD=3a. Tính V
ABCD
.
Giải
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 19
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Lấy M trên cạnh AC, N trên cạnh AD sao cho AM=AN=a
Tam giác ABC vuông tại B nên
1
2
 2* = =
Tam giác ABD vuông cân tại A nên BN=
2
Xét tam giác AMN MN
2
= AM
2
+AN
2
-2.AM.AN. cosA =>MN=a
3
=>Tam giác BMN vuông tại B
Vì AB= AM= AM nên hình chiếu của A lên mp(BMN) là tâm H của đường tròn ngoại
tiếp tam giác BMN. H cũng chính là trung điểm của MN
Ta có
1
. .

6
2@
2*
0
2 2 2@
0 2 2* 2
= =
3
2 2
.
1 1 3 1 2
. . . 2
3 3 4 2 12
2 @ @

0 2  = = − =
Vậy
3
2
2
2*

0 =
( đvtt)
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có thể tích 9m
3
,trên AB, AC, AD lần lượt lấy các
điểm B', C', D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính thể tích tứ diện
AB'C'D'. Đs: V = 2 m

3
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B' và C' lần lượt trên AB
và AC sao cho
a 2a
AB ;AC'
2 3
= =
. Tính thể tích tứ diện AB'C'D . Đs:
3
a 2
V
36
=

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 m
3
.Gọi M và P lần lượt là trung điểm
của AB và CD , lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích khối tứ diện BMNP.
Đs: V = 1 m
3
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a 3
,đường cao
SA = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích khối
chóp SAHK. Đs:
3
a 3
V
40
=

Ví dụ13: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, AB= a, SA=
2
. Gọi M là trung
điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E,F.
Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD, I là giao điểm AM với SO
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 20
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC và SBD
Vì (P) // BD nên EF // BD =>
2
3
B G A
  F
= = =
Ta có SO=
2 2
6
2

2 F2− =
=>
3
.
1 6
.
3 6
 2* 2*

0  F= =
Mặt khác
.
. .
.
.
. .
.
1 1
. .
3 3
1 1
. .
3 3
 2B
 2B  2*
 2*
 2G
 2G  2*
 2*
0
2 B 
0 0
0 2  *
0
2 G 
0 0
0 2  *
= = ⇒ =

= = ⇒ =

3
. . . . . .
1 1 6
( )
3 3 18
 2BG  2B  2G  2*  2*  2*

0 0 0 0 0 0⇒ = + = + = =
(đvtt)
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc đáy,
22
=
. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải
Ta có:
3
.
1 2
.
3 3
 2* 2*

0  2
= =
=> V
S.ABC

= V
S.ADC
=
3
2
6

Ta có:
' '
' '
. (*)
2 *
2*
0
 *
0  *
=

2*
∆
vuông cân nên
' 1
2
*
*
=
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
' 2 2 2

3 3
 2
  2 2
= = = =
+
Từ
' '
1
(*)
3
2 *
2*
0
0
⇒ =
3 3
' '
1 2 2
.
3 6 18
2 *

0=> = =
Vậy
3
. ' ' ' . ' '
2
2
9
 2 *   2 *

0 0= =
(đvtt)
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA=a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC và AH=
4
2*
. Gọi
CM là đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Giải
2 2
14
4

 2 2= − =
Suy ra
2 2
2*  * = + =
Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung
điểm SA
Ta có
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 21
A
S
I
O
D
B
C
C'

D'
B'
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
.
.
1
2
 *
 2*
0

0 2
= =
3
2
. .
1 1 1 1 14
. . .
2 2 3 2 12
 *  2*

0 0  ⇒ = = =
(đvtt)
Ví dụ 16: ( Đề tuyển sinh Đại học khối B -2008) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang, góc BAD bằng góc ABC bằng 90
0
, AB=BC=a, AD=2a, SA
vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể
tích khối chóp S.BCNM theo a.
Giải

Ta có
.
.
1
2
 *
 *2
0

0 2
= =
.
.
1
.
4
 *@
 *2
0
 @
0 2 
= =

Suy ra V
S.BCNM
= V
S.BCM
+V
S.CMN
3 3 3

. .
1 1 2
2 4 2.3 4.3 3
 *2  *2

0 0= + = + =
(đvtt)
Ví dụ 17 : ( Đề tuyển sinh Đại học khối A -2004) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
5
cm, đường chéo AC=4cm. Đoạn thẳng SO=
2 2
cm
và vuông góc với đáy, ở đây O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là
trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tìm thể tích hình chóp.
Giải
Ta có AB // DC => AB // (SDC)
=> (SAB)
∩
(SDC) = MN // AB (N
∈
SD)
Vì M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của SD.
Ta có V
S.ABMN
= V
S.ABN
+V
S.BMN
(1)

Ta có
.
. . .
.
1 1 1
2 2 4
 2@
 2@  2  2*
 2
0
@
0 0 0
0 
= = ⇒ = =
.
. . .
.
1 1 1
.
4 4 8
 @
 @  *  2*
 *
0
 @
0 0 0
0 * 
= = ⇒ = =
Từ (1) suy ra V
S.ABMN

= V
S.ABN
+ V
S.BMN
=
3
8
V
S.ABCD
(2)
S.ABCD
1 1 1 1 8 2
à V . . . . .4.2.2 2
3 3 2 6 3
2*
  F 2*  F= = = =

(3)
Từ (2) và (3) suy ra: V
S.ABCD
=
2
(đvtt)
Bài tập tương tự:
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 22
Giỳp hc sinh lp 12A lm tt bi toỏn tớnh th tớch khi a din bng phng phỏp s dng t s th tớch
Bi 1: Cho hỡnh chúp SABCD cú th tớch bng 27m
3
.Ly A'trờn SA sao cho
SA = 3SA'. Mt phng qua A' v song song vi ỏy hỡnh chúp ct SB, SC, SD ln lt

ti B', C', D' .Tớnh th tớch hỡnh chúp SA'B'C'D'. s: V = 1 m
3

Bi 2: Cho hỡnh chúp SABCD cú th tớch bng 9m
3
, ABCD l hỡnh bỡnh hnh ,
ly M trờn SA sao cho 2SA = 3SM. Mt phng (MBC) ct SD ti N.Tớnh th tớch khi a
din ABCDMN .s: V = 4m
3
Bi 3: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, chiu cao SA = h.
Gi N l trung im SC. Mt phng cha AN v song song vi BD ln lt ct SB,SD ti
M v P. Tớnh th tớch khi chúp S.AMNP. s:
2
a h
V
9
=
Vớ d 18: Cho khi chúp t giỏc u S.ABCD. Mt mt phng (P) qua A, B v
trung im M ca SC. Tớnh t s th tớch ca hai phn khi chúp b phõn chia bi mt
phng ú.
Gii
K MN//CD (N trờn cnh SD) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca khi chúp khi ct
bi mt phng (ABM)
Ta cú
.
. . .
.
1 1 1
2 2 4
2@

2@ 2 2*
2
0
@
0 0 0
0
= = = =
.
. . .
.
1 1 1 1 1
. .
2 2 4 4 8
@
@ * 2*
*
0
@
0 0 0
0 *
= = = => = =
M V
S.ABMN
= V
S.ANB
+V
S.BMN
=
.
3

8
2*
0
Suy ra V
ABMN.ABCD
= V
S.ABCD
-V
S.ABMN
=
.
5
8
2*
0
Vy
.
.
3
5
2@
2@ 2*
0
0
=
Vớ d 19:Khi chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm
SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia khi chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của
hai phần đó.
Giải
-Gọi O = AC BD, I = SO AM

I (P)
BD (SBD) (P) (SBD) = BD // BD
BD // (P)
9
2
3
2
3
2
2
1
2
1
''

''
====
F
A
F
A


*

*

0
0
*

(vì I là trọng tâm SAC)
' '
' ' '
2 2 2
3 3 9
. . 1. .

*
0
2
0 2
= = =
mà V
SABD
= V
SCBD
=
2
1
V
SABCD
Trng THPT Lc Hng Nm hc 2014 2015 Trang 23
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
' ' ' '
1 1
2 2
' ' ' '
' '
2 4 2

9 9 3
1 1
3 2
  2 
2  2 
2* 2* 
0 0
0 0
0 0
0 0
+ = + =
⇒ = ⇒ =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diện ABCD. Đs:
1
k
4
=

Bài 2 : Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung
điểm của SC. Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính
tỉ số thể tích 2 phần này. Đs:
1
k
2
=
Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên
SA sao cho
SM

x
SA
=
Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích
bằng nhau. Đs:
5 1
x
2
−
=

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
Thời gian: 45 phút
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B,
cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = 3a, AC=5a.
a/ Chứng minh BC vuông góc (SAB), (SBC) vuông góc (SAB) (1,5 điểm)
b/Tính diện tích tam giác ABC theo a theo a . (1 điểm)
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 24
Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
c/Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SC sao cho SB=3SM, NC= 2NS. H là
trung điểm SB. Chứng minh AH vuông góc (SBC) và tính diện tích tam giác SMN(3
điểm)
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = 2a . Tính diện tích mặt đáy
và độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD, biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45
0
.
(2,5 điểm)
Bài 3.Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy 2a, góc giữa A’B và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
0

. Tính diện tích mặt đáy ABC và độ dài cạnh bên của khối lăng trụ. (2
điểm)
Hướng dẫn chấm
Bài 1:
a/ BC
⊥
AB, BC
⊥
SA(0,5 điểm)
=> BC
⊥
(SAB) (0,5 điểm)
=> (SBC)
⊥
(SAB) (0,5 điểm)
b/BC=4a (0,5 điểm)
S= 6a
2
(0,5 điểm)
c/ Ta có :
( ( ))
( )
2 
2 * * 2
2 *
⊥


⊥ ⊥


⇒ ⊥
(1 điểm)
1
. .sin
2 2 4
2
.
1
3 3 9
. .sin
2
@
*
 @ 


 * 
= = =
V
V
(1 điểm)
4 4 1
. .
9 9 2
@ *
  * ⇒ = =
V V
2
2 2 2
. 2

9 9

= =
(1 điểm)
Bài 2:
S=4a
2
(0,5điểm)
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD
Hình chiếu của SB lên (ABCD) là OB
=>Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBO(1điểm)
=> Tam giác SOB vuông cân tại O
=> SO=OB=a
2
(1 điểm)
Bài 3:
S=a
2
3
(0,5 điểm)
Hình chiếu của A’B lên (ABC)
=>góc giữa A’B và (ABC) là góc A’BA(0,5điểm)
Tam giác A’AB vuông tại A
AA’=AB.tan60
0
=>AA’=2a
3
(1 điểm)
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
Thời gian: 45 phút

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy , cạnh bên SB bằng a
5
.
a/Chứng minh CD
⊥
(SAD), (SCD)
⊥
(SAD) (1,5 điểm)
b/Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .(1,5 điểm)
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015 Trang 25