Chuyen de duong tron

Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN
VẤN ĐỀ 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG TRÒN
1.1. Sự xác định đường tròn
1.1.1. Nhắc lại về đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng
bằng R kí hiệu là (O;R). M nằm trên đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OM=R, M nằm bên
ngoài đường tròn khi và chỉ khi OM > R, M nằm bên trong đường tròn khi và chỉ khi OM
< R.
1.1.2. Cách xác định đường tròn
Ta đã biết: Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó,
hoặc khi biết 1 đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó
Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Chú ý: Không vẽ
được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. Đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tâm
giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao của 3
đường trung trực.

A

O
B

C

1.1.3. Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn
đó.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

A

O

B

1.1.4. Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng, tất cả các đường kính là trục đối xứng của đường
tròn.

A

O
B

I

D

C
1.1.5. Bài tập cơ bản
Bài 1. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là
trung điểm cạnh huyền.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8. Chứng minh 4 điểm A, B,
C, D thuộc một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có góc A = 600, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm
AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng E, F, G, H, B, D thuộc một đường tròn.
1.1.6. Bài tập nâng cao
Bài 1. Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm (I) đường kính
OA, bán kính OC của (O) cắt (I) tại D. Vẽ CH vuông góc AB. Chứng minh ACHD
là hình thang cân.
Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A, B lên dây CD. Chứng minh rằng: CH = DK.
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao BE và CF cắt nhau ở H.
Gọi D là trung điểm của BC.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, F, E, C nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng bốn điểm D, H, E, C nằm trên một đường tròn.
c) Tìm tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, F, D, C.
Bài 4: Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt
các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Các đường chéo AC và BD cắt
nhau ở O.
a) Chứng minh rằng ba điểm F, O, H thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng điểm O cách đều bốn điểm E, F, G, H.
c) Biết góc BEC = 600, BC = 6 cm, hãy tính BE.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

1. 2. Đường kính và dây cung
1. 2.1. So sánh độ dài đường kính
Định lý 1: Trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất.
Định lý 2: Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

B
H

A

O

C

D

K

Định lý 3: Trong một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn

1. 2.2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lý 4: Trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm
dây cung ấy.
A

O
C

I
B

File word liên hệ zalo: 0975.826870

D


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

1. 2.3. Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ hai đường cao BD và CE.
a) Chứng minh 4 điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh DE < BC.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ 2 dây AD và BC song song với nhau.
Chứng minh:
a) AD = BC.
b) CD là đường kính của (O).
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên trong đường tròn (A không trùng O).
Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua A thì dây vuông góc với OA tại A là dây

ngắn nhất.
1. 2.4. Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho (O; R) đường kính AB, H là trung điểm OB. Vẽ dây CD vuông góc với AB
tại H, K là trung điểm AC và I là điểm đối xứng của A qua H.
a) Chứng minh C, H, O, K thuộc cùng một đường tròn.
b) Chứng minh ADIC là hình thoi. Tính diện tích hình thoi theo R.
Bài 2: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng : B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn. Xác định tâm I của
đường tròn này.
b) Chứng minh rằng : AB .AE = AC.AD
c) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. chứng minh rằng : BHCK là hình bình
hành.
d) Xác định tâm I của đường tròn qua A, B, K, C.
e) Chứng minh rằng : OI vuông góc với AH.
Bài 3: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính (AB < AC). Vẽ dây
AD vuông góc BC tại H.
a) Chứng minh : tam giác ABC vuông tại A.
b) H là trung điểm AD; AC = CD; BC là tia phân giác ABD .
c) Chứng minh: ABC  ADC .

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

1. 3. Vị trí tương đối đường tròn và đường thẳng
1. 3.1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho (O; R), OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d).

a) Nếu OH < R thì (d) cắt (O) tại hai điểm A, B.
b) Nếu OH > R thì (d) không cắt (O).
c) Nếu OH = R thì (d) tiếp xúc với (O) tại một điểm C.
- (d) gọi là tiếp tuyến của (O)
- C gọi là tiếp điểm

O

O

O

H

d

d

C

d

OH < R

H

OH = R

OH > R

Định lý: Đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
1. 3.2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán
kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
M thuộc (O) và (d) vuông góc với OM thì (d) là tiếp tuyến của (O).

O

d
M

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

Định lý: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại M thì ta có:
-

Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm MA = MB
MO là phân giác của góc AMB.
H là giao điểm của MO và AB thì H là trung điểm AB, MO vuông góc AB.
A

O

H

M

B

1. 3.2. Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng
minh AC là tiếp tuyến của (B).
Bài 2: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc
với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại C.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Cho bán kính đường tròn bằng 15 cm, AB = 24 cm. Tính OC.
Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm A ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD//OA.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
1. 3.3. Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của
đường tròn đó.
b) Chứng minh AH vuông góc BC.
c) Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD.
d) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Bài 2: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho
AB < AC.
File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’)
với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA =DF.
c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm
CH.
d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE // CA.
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các
tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )
a) Chứng minh: Tam giác ABC đều
b) Từ O kẻ đường vuông góc với OB cắt AC tại S. Chứng minh : SO = SA
c) Gọi I là trung điểm của OA.Chứng minh SI là tiếp tuyến của (O)
d) Tính độ dài SI theo R
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. H là trung điểm của OB. Qua H vẽ dây CD
vuông góc vơi AB.
a)

Chứng minh tam giác OCB đều.

b) Tính đô dài AC và CH theo R.
c)

Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I. Chứng tỏ 3 điểm O, B, I thẳng hàng và
4HB.HI = 3R2

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB là
tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.
Bài 5: Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường

thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).
a) Chứng minh ΔBCD vuông.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh DC. AO = 2R2
d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.
Bài 6: Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là
hai tiếp điểm), OM cắt AB tại H.
a) Chứng minh H là trung điểm của AB.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

b) Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường
thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B
cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh : NA.NB = NI.NH
d) Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC
và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

1.4. Vị trí tương đối hai đường tròn
1.4.1. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ta có:
-

Nếu hai đường tròn cắt nhau thì: |R – R’| < OO’ < |R + R’|

A
R

R'
O'

O
B

-

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì:
+ Tiếp xúc trong: OO’ = |R – R’|
+ Tiếp xúc ngoài: OO’ = |R – R’|

O

-

R'

R
M

O'

M

R'
R

O

O'

Nếu hai đường tròn không giao nhau thì:
+ Hai đường tròn ngoài nhau: OO’ > R + R’
+ Hai đường tròn chứa nhau: OO’ < |R – R’|

1.4.2. Định lý
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung chung.
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
1.4.3. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tâm
đường tròn nội tiếp là giao của 3 phân giác.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

1.4.4. Bài tập
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a) Xác định vị trí hai đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Chứng minh: AC = BD (B
là điểm đối xứng A qua O).
Bài 2: Cho hai đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ
tại C và D. Chứng minh AC = BD.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính BC, dây AD vuông góc BC tại H. Gọi E, F là
hình chiếu của H trên AB và AC. Gọi (I) và (K) là các đường tròn ngoại tiếp tam giác
HBE, tam giác HCF.
a)
b)
c)
d)

Xác định I và K. Và vị trí tương đối giữa các đường tròn (O), (I), (K).
Tứ giác AEHF là hình gì?
Chứng minh: AE.AB = AF.AC = HB.HC = HA.HD.
Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K).

Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. CA, CB lần lượt là đường
kính của (O), (O’) (CA > CB). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm
M của AB, đường thẳng CD cắt (O’) tại F.
a)
b)
c)
d)

Tứ giác AEBD là hình gì?
Chứng minh: E, F, B thẳng hàng.

BD cắt (O’) tại Q. Chứng minh BM, DF, EQ đồng quy.
Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O’).

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

1.5. Bài tập tổng hợp vấn đề 1
Bài 1 (Q1-2018): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua M thuộc đường tròn (M
khác A, B) vẽ tiếp tuyến đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) tại C và D.
a) Chứng minh: AC + BD = CD, và góc COD = 900.
b) Gọi E là giao của AM và OC, F là giao của BM và OD. Chứng minh MEOF là
hình chữ nhật.
c) Cho biết AC = 2/3 R. Tính độ dài AD theo R.
Bài 2 (Q1-2017): Cho A nằm ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm), gọi H là giao của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc BC
b) Gọi B, D là giao của OA với đường tròn (D nằm giữa O và A). Chứng minh:
OH.HA = HD.HE
c) Chứng minh: 2DH.AB = DA.BC.
Bài 3 (Q.TB-2018): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) đường kính AC cắt
BC tại K, vẽ dây cung AD của (O) vuông góc với OB tại H.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh: B, K, H, A thuộc một đường tròn.
Chứng minh: BD là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh: BH.BO = BK.BC
Từ O vẽ đường song song với AD cắt BA tại E, từ B kẻ đường vuông góc với EC
tại F, BF cắt OA tại M. Chứng minh: MA = MO.

Bài 4 (Q.TP-2018): Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB. D thuộc
nửa đường tròn sao cho DA > DB. Gọi DH là đường cao tam giác DAB. Biết DH = 6 cm,
HB = 4,5 cm.
a) Chưng minh tam giác DAB vuông và tính BD, DA.
b) Gọi G là trung điểm BD. Tia OG cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại F. Chứng minh
FD là tiếp tuyến của (O) và góc DAF bằng góc BAG.
c) Đoạn AF cắt DO, DH thứ tự tại I, P. Chứng minh diện tích BPIO bằng diện tích
của tam giác DIA.
Bài 5 (QTB-2017) Cho tam giác ABC (AC < CB) nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Gọi H là trung điểm cạnh BC. Qua B vẽ tiếp tuyến của (O) cắt OH tại D.
a) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O).
b) Đường thẳng AD cắt (O) tại E. Chứng minh: tam giác AEB vuông tại E và
DH.DO = DE.DA.
c) Gọi M là trung điểm AE. Chứng minh: D, B, M, C thuộc một đường tròn.
d) Gọi I là trung điểm DH, BI cắt (O) tại F. Chứng minh: A, H, F thẳng hàng.
File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

VẤN ĐỀ 2: GÓC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN
2.1. Góc nội tiếp

2.1.1. Góc ở tâm và số đo cung
Định nghĩa 1: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.

A

m

B
O

C

O

D

n

Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn, góc AOB chắn cung nhỏ AmB (thường
khi gọi cung AmB chính là cung AB ). Góc bẹt COD chắn nửa đường tròn.
Số đo cung nhỏ AmB chính là số đo góc AOB , số đo cung lớn AnB bằng
3600  AOB .
2.1.2. Góc và dây cung
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng
nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng
nhau:
- Cung lớn căng dây lớn hơn

- Dây lớn căng cung lớn hơn
2.1.3. Góc nội tiếp
Định nghĩa 2: Góc nội tiếp có đỉnh trên đường tròn và hai cạnh chứa hai cung
đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

A

O

x

B

C

Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB .
Định lý 3: Trong một đường tròn số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
1
1
ACB  AOB  sd AB
2
2
Hệ quả: Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
2.1.4. Góc có đỉnh nằm trong và ngoài đường tròn
a. Góc có đỉnh bên trong đường tròn

Trên hình các góc AEB và góc AED là các góc có đỉnh bên trong đường tròn.
Ta có:
1
AEB  ADB  EAD  ( sd AB  sdCD)
2

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng
AED  ABD  BAC 

1
( sd AD  sd BC )
2

b. Góc có đỉnh ngoài đường tròn

Trên hình góc CAE là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn. Ta có:
CAE  CDE  ACB 

1
(sdCE  sd BD)
2

2.1.5. Bài tập
Bài 1. Cho hình sau:

A

C

200

B

O

D

Tính số đo cung nhỏ AB ( ADB ) và so sánh AC và AD.
Bài 2. Cho đường tròn đường kính AB. M, N trên đường tròn (M nằm giữa A và
N). Gọi H và S lần lượt là giao của AN và BM, AM và BN. Chứng minh SH
vuông góc với AB.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH kéo dài cắt (O)
tại K, vẽ đường kính AE. Chứng minh rằng:
File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

a) BC//KE
b) BAH  CAE
c) AB.AC = AH.AE
Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). tia phân giác cắt (O) tại D. cắt
cạnh BC tại M. gọi I là trug điểm BC, chứng minh rằng :
a) Tam giác ∆BDC cân.
b) O, D, I thẳng hàng.
c) AB.AC = AD.AM
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). qua A vẽ cát tuyến cắt
BC tại D và (O) tại E. chứng minh rằng AD.AE không đổi.
Bài 6. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai tia phân giác của
ABC và ACB cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E. DE cắt AB và AC ở
H và K. Tia AI cắt (O) tại M.
a. Chứng minh sd EA  sd EB , sd DA  sd DC và sd MB  sd MC
b. Chứng minh tam giác DAI cân tại D, tam giác EAI cân tại E.
c. Đường thẳng DE là gì đối với đoạn thẳng AH. Chứng minh tứ giác AHIK là
hình thoi.
2.2. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
2. 2.1. Định nghĩa
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh
của góc gồm tia tiếp tuyến với đường tròn và tia còn lại chứa dây cung.
A

x

O

B

y

Góc BAx (Hoặc BAy ) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
2. 2.2. Định lý
File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.
A

C

x

O

B
y

Trên hình ta có:

BAx  ACB 

1
1
sd AB và CAy  ABC  sd AC

2
2

2. 2.3. Bài tập
Bài 1. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau tại A. OA cắt BC
ở H và cung nhỏ BC ở I. Chứng minh
a. sd IB  sd IC và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
b. IA.BC = 2IH.AB. (Gợi ý: hệ quả định lý Thales về tính chất đường phân giác
trong ABH )
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D và E thuộc cạnh BC sao cho BD =
BA, CE = CA.
1
1
a. Chứng minh BAE  C và CAD  B (Gợi ý: AB là tiếp tuyến của
2
2
đường tròn tâm C bán kính CA).

b. Tính DAE .
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, có bán kính OC vuông góc với
AB. Lấy điểm M thuộc cung AC rồi vẽ tiếp tuyến tại M cắt tia OC tại D.
Chứng minh: MOD  2MBO
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Vẽ đường
kính BD. Chứng minh
a.

BC
 sin A
BD

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

b.

BC
AC
AB


 2R
sin A sin B sin C

Bài 5. Lấy hai điểm B và D lần lượt thuộc cung lớn và cung nhỏ AC của một
đường tròn. Lấy điểm M thuộc dây AC sao cho MBC  ABD . Chứng minh:
a. Hai tam giác BMC và BAD đồng dạng, suy ra MC.BD = AD.BC
b. Hai tam giác BAM và BDC đồng dạng, suy ra AM.BD = AB.CD từ đó chứng
minh định lý Ptoleme: AC.BD = AB.CD + AD.BC (tích hai đường chéo của tứ
giác nội tiếp bầng tổng của tích hai cặp cạnh đối).
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. Lấy điểm D tùy ý thuộc
cung BC không chứa A. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MDC  BDA .
a. Chứng minh tam giác DMC đồng dạng với tam giác DBA và tam giác DBM
đồng dạng với tam giác DAC.
b. Vẽ DH, DI, DK tương ứng vuông góc với BC, CA, AB ở H, I và K.
Chứng minh:

BC
AB AC
.


DH DK DI

2. 2.4. Bài toán phương tích một điểm đối với đường tròn
a. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), OM = d.

A
B
E
C

O

F

D

M

T

M nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ các cát tuyến MAB, MCD và tiếp tuyến MT.
Khi đó ta có:
P(M/(O)) = MA.MB = MC.MD = ME.MF = MT2 = R2 – d2
P(M/(O)) gọi là phương tích của M đối với (O; R)

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

Chứng minh: Ta chứng minh: MA. MB = MC.MD
Xét 2 tam giác MAD và MCB có:
M chung
MBC  MDA (cùng chắn cung AC)

Suy ra: MBC

MDA ( g  g ) 

MB MD

 MA.MB  MC.MD
MC MA

Do T là tiếp tuyến nên ta có: MA.MB = MT2 = ME.MF = (R + d)(R – d) = R2 – d2
b. M nằm trong hình tròn

E
A

O
C
M

D
B

F

P(M/(O)) = MA.MB = MC.MD = ME.MF = d2 - R2
Vậy với mọi M ta có: P(M/(O)) = | R2 – d2 |
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB bằng 2R và điểm M di động
trên đó. Đường tròn tâm I tiếp xúc trong với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại H.
Vẽ OQ là bán kính vuông góc với AB.
a. Chứng minh đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định K (Gợi ý K thuộc
đường thẳng OQ và OK = OM)
b. Chứng minh tam giác KOH đồng dạng với tam giác KMQ.
c. Chứng minh IK2 = IM2 = 2R2 ( phương tích của K đối với (I))
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r. Tia AI và BI lần lượt cắt (O) ở
D và E.
a. Chứng minh BAI  CBD và tam giác BID cân ở D.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

b. Chứng minh IA . BD = R2 – OI2 (Gợi ý: Phương tích của I đối với (O))
c. Vẽ đường kính DH của (O); Vẽ IM vuông góc với AB ở M. Chứng minh hệ
thức Euler: R2 – OI2 =2Rr

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

VẤN ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
3.1. Định nghĩa
Tứ giác có đỉnh A, B, C, D thuộc một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp.

A

D

C

B
3.2. Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
TH1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.

BAD  BCD  1800 (hay ABC  ADC  1800 )

TH2: Bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều điểm cho trước (OA = OB = OC = OD = R).
TH3: Tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông thì nội tiếp đường tròn.
TH4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau (liên tiếp) cùng nhìn một cạnh (đoạn thẳng) dưới một
góc bằng nhau là nội tiếp.

B

A
α

D

Đặc biệt: ABCD (ACBD) là tứ giác nội tiếp

File word liên hệ zalo: 0975.826870

α

C


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

D

D

C
A

A

O

B

B

O

C

TH5: Tứ giác có góc trong bằng góc ngoài đỉnh đối diện thì nội tiếp

A

D

B

C

x

BAD  BCx tứ giác ABCD nội tiếp

TH6: AB và CD cắt nhau tại M, tứ giác ABCD nội tiếp  MA.MB = MC.MD
3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho (O; R) có góc ở tâm AOB  900 và AOC  1200 .
a) Tính số đo cung BC
b) Lấy điểm E thuộc (O; R) sao cho sd AE  300 . Chứng minh tứ giác AEBC là hình
thang cân.
c) M là điểm chính giữa cung AC. Chứng minh O, D, M thẳng hàng.
d) Chứng minh M là điểm chính giữa cung BE.
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB< AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt

các cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH
và BC.
a) Chứng minh: tứ giác AEHD nội tiếp .
b) Chứng minh: HD.HB = HE.HC và AH vuông góc với BC tại K.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) ( M, N là các tiếp điểm).
Chứng minh: AKM  ANM
Bài 3. Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và cát tuyến
SBC đến đường tròn (O) (A thuộc cung nhỏ BC). Gọi H là trung điểm của BC.
a) Chứng minh : SA2 = SB. SC và tứ giác SAHO nội tiếp đường tròn.
b) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt CK tại E. Chứng minh : EK. BH = AB. OK
c) Tia AE cắt (O) tại D. Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.
Bài 4. Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC với BOC  1200 . Tiếp tuyến tại B và C
của đường tròn (O) cắt nhau ở A.
a) Chứng minh:  ABC đều? Tính cạnh của nó theo R?
b) M là điểm bất kỳ trên
nhỏ (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB
và AC tại E và F. Tính chu vi  AEF theo R.
c) OE và OF lần lượt cắt BC tại I và K. Chứng minh: tứ giác OIFC nội tiếp?
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường
tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) MA2 = MD.MB
3) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Bài 6. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O).Vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC của (O) (B,C :Tiếp điểm).Vẽ cát tuyến ADE của (O) (D.E thuộc (O);D nằm giữa A và
E;Tia AD nằm giữa hai tia AB và AO.
a) Chứng minh AB2 = AD.AE
b) Gọi H là giao điểm của OA và BC.Chứng minh tứ giác DEOH nội tiếp
c) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). Chứng
minh EH.AD = MH.AN
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm (O)
đường kính AB cắt AC tại I. Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC, EI cắt AB tại K và cắt
(O) tại điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp và AD = AE.
b) Chứng minh DH  AB. Suy ra HA là phân giác của góc IHK.
c) Chứng minh 5 điểm A, E, C, H, K cùng thuộc đường tròn .

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Thầy Phan Huy Bằng

Chuyên đề đường tròn

Bài 8. Bài Cho đường tròn (O, R), từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A,
B là tiếp điểm). Vẽ đường kính AC của (O), MC cắt (O) tại D (D khác C). OM cắt AB tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp và MB2 = MC.MD.
b) Chứng minh: MO.MH = MC.MD.
c) CH cắt (O) tại I (I khác C). Chứng minh: tứ giác COIM nội tiếp.

File word liên hệ zalo: 0975.826870


Chuyên đề đường tròn

Thầy Phan Huy Bằng

VẤN ĐỀ 4: ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN
4.1. Độ dài đường tròn và cung tròn
a. Độ dài đường tròn
Độ dài đường tròn được ký hiệu là C hay còn gọi là chu vi đường tròn:
C  2 R   d

R: Bán kính đường tròn
d: Đường kính đường tròn, d = 2R
b. Độ dài cung tròn
A
l
n0

O

Cách tính độ dài cung AB (l):

Ta có:

C  2 R   d

 3600

l

 n0

l 

2 Rn0  Rn0

3600
1800

4.2. Diện tích hình tròn
a. Công thức diện tích hình tròn
Diện tích hình tròn: S   R 2

File word liên hệ zalo: 0975.826870

B