Tìm hiểu về bộ lọc wiener, ước lượng bình phương tối thiểu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ N ỘI
VIỆ N CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀ N THÔNG

BÀI TẬ
TẬP LỚ 
LỚ N
 Đề tài : 

T Hiu về ộ ọ ir ướ ượ ng
ng  h phươg
tối thiu .
Giảg viê hướ ng
ng dẫn:

PGS.TS Nguyễn Linh Giang

Sinh viên thực hiện:

Ninh Thị Hươg

20081323

Trug Thàh Phươg

20083674

 Nguyễn Hoài Linh

20081534

 Môn học : Mô phỏng các hệ thố ng

ng truyề n thông 

H àn ội 11/2012 
11/2012 


MỤC LỤ
LỤC
I. Tổng quan về bộ lọ ir…………………………………………..…………2
1. Giớ i thiệu bộ lọ ir……………………………………………………...2
2. Nguyê ý ơ ả n của bộ lọ ir………………………………………….4
3. Vấ đề xây dựng bộ lọ ir………………………………………………9
II. Ứ ng
ng dụng bộ lọc Wiener trong xử lý ảh……………………………………...11
1. Tổng quan về khôi phục ảh…………………………………… ...…………11
2. Ướ ượ ng
ng sự xuống cấp…………………………………………………….12
3. Bộ lọc Wiener và khôi phục ảh……………………………………………14
4. Thiết k ế bộ lọ FIR ir…………………………………………………21
III. Mô phỏng thử nghiệ ir Fitr………………………………………….27
1. Giớ i thiệu Mata…………………………………………………………….27
2. Tiến hành thử nghiệ………………………………………………………..28
K ẾT LUẬN……………………………………………………………………….3 8
Tài Liệu Tham Khảo………………………………………………………………3 9

 Bài t ậ p l ớ 
ng truyề n thông 
ớn  Mô phỏng các hệ thố ng

Page 2

MỤC LỤ
LỤC
I. Tổng quan về bộ lọ ir…………………………………………..…………2
1. Giớ i thiệu bộ lọ ir……………………………………………………...2
2. Nguyê ý ơ ả n của bộ lọ ir………………………………………….4
3. Vấ đề xây dựng bộ lọ ir………………………………………………9
II. Ứ ng
ng dụng bộ lọc Wiener trong xử lý ảh……………………………………...11
1. Tổng quan về khôi phục ảh…………………………………… ...…………11
2. Ướ ượ ng
ng sự xuống cấp…………………………………………………….12
3. Bộ lọc Wiener và khôi phục ảh……………………………………………14
4. Thiết k ế bộ lọ FIR ir…………………………………………………21
III. Mô phỏng thử nghiệ ir Fitr………………………………………….27
1. Giớ i thiệu Mata…………………………………………………………….27
2. Tiến hành thử nghiệ………………………………………………………..28
K ẾT LUẬN……………………………………………………………………….3 8
Tài Liệu Tham Khảo………………………………………………………………3 9

 Bài t ậ p l ớ 
ng truyề n thông 
ớn  Mô phỏng các hệ thố ng

Page 2


I. Tổ
Tổng quan về

về bộ lọc Wiener:
1. Giớ 
Giớ i thiệ
thiệu bộ
bộ lọc Wiener:
Bộ lọc wiener là bộ lọc nổi tiếng trong thế giớ i của các loại tín hiệu. Bộ lọc
weiner là bộ lọ đã đượ c Norbert Wiener (ông là nhà toán h ọc nổ i tiế ng
ng trên cả

 phương diện toán học thuần túy và toán học ứ ng
ụng, được coi là cha đẻ của
ng d ụng,
ngành Điề u khiể n h ọc, là người đi tiên phong trong nghiên cứ u v ề quá trình ng ẫ 
ẫu 
nhiên và quá trình nhiu)
nhiu) đề xuất trong nhữg ă 1940 và đượ c công bố vào ă

1949.
Bộ lọc wier đượ c dùng cho r ất nhiều mụ đíh và ó vai trò qua trọ ng trong
nhiều ứng dụg hư â ằng kênh, dự đoá tuyến tính, hủy bỏ tiếng vang, giảm
tiếng ồn, kênh dự toán, phục hồi tín hiệu ….

ựa
 Bộ l ọc weiner d ựa

trên phương pháp thống kê để  giảm nhi u trong tín hi ệu hiện

t ại bằ ng
ng cách so sánh nó v ớ i một tín hiệu ướ c tính mong muố n không có nhi u

Cùng lúc vớ i th ời đim mà Wiener xây dựng b ộ lọc có nghiên cứu đồng thờ i c ủa
Kolmogorov và công bố vào ă 1941 . Do đó ý thuyế t này thườg đượ c gọi là lý
thuyết lọc Wiener  – 
 –  Kolmogorov mang tên cả hai tác giả. Wiener-Koogorov đã
thiết k ế mạch lọ đầu tiê và sau đó đã có nhiều nhà khoa học khác phát trin tiế p

trog đó ó cả bộ lọc Kalman nổi tiếng.

 Bài t ậ p l ớ 
ng truyề n thông 
ớn  Mô phỏng các hệ thố ng

Page 3


2. Nguyên lý cơ bản của bộ lọc Wiener:
Bộ lọc Wiener là một b ộ lọc thích nghi (adaptive filter) t ức là các giá tr ị hệ số của
 bộ lọ thay đổi theo thời gia thườ ng là phản ứng vớ i nhữg thay đổi trog đặc
tính của tín hiệu đầu vào.

Trướ c h ết ta nhắ đến thuật toán Wier Fitr (F) đây à thuậ t toán xuyên suốt
ý tưởg đ xây dựng bộ lọc Wiener. Nguồn gố ơ ản của thuật toán WF là tạo ra
tín hiệu “sạch” khôg ó hay ít hiễ u bằng cách nén nhiễu. Ướ ượg đượ c th ực
hiện bằng cách hạ thấ p sai số h phươg trug h (Ma Squar Error) giữ a tín
hiệu mong muốn và tín hiệu ướ ươg.
Một bộ lọc Wiener có th là một trong hai loại IIR hoặc FIR 

IIRWiener là bộ lọ đáp ứng xung vô hạn bao gồ á phươg trh phi tuyế n.
FIR Wiener là bộ lọ đáp ứng xung hữu hạn bao gồ á phươg trh tuyế n tính
Bộ lọc Wier thườg đượ c gắn vớ i các công trình xây dựng bộ lọ FIR. Điều này

là bở i vì các hệ số bộ lọc Wier thay đổi theo thờ i gian, và bộ lọc IIR có th tr ở 
nên không ổ định cho các giá tr ị hệ số nhất địh. Đ gă hặ điều không ổn

địh ày húg ta thườ ng xây dựng các bộ lọc thích nghi vớ i cấu trúc FIR.

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 4


Việc thiết k ế các bộ lọc Wiener có nhiều cách tiế p cận khác nhau. Giả thiết phải có
kiến thức về các tính chất quang phổ của tín hiệu a đầu và nhiễu, và một
tìm kiếm th ờ i gian lọc tuyến tính bất biế ó đầu ra đến càng gần v ớ i tín hiệu ban

đầu càng tốt. Bộ lọ ir đượ đặ trưg ở i sau:
1. Giả thiết: tín hiệu và nhiễu (nhiễu cộng) của quá trình ngẫu nhiên tĩh tuyến
tính vớ i phổ đặ trưg hoặc tự tươg qua và tươg qua chéo đã biết.
2. Yêu cầu: các bộ lọc phải có th thực hiện vật lý / quan hệ nhân quả (yêu cầu
này có th đượ c bỏ qua, dẫ đến một giải pháp không quan hệ nhân quả)
3. Hiệu suất tiêu chuẩn: tối thiu hóa sai số h phươg trug h (Minimum
Mean Square Error )

V ấn đề thiế t l ậ p bộ l ọc Wiener (giả sử với trườ ng hợ 
 p là tín hiệu liên t ục):

Giả sử ta ó đầu vào của bộ lọc Wiener là một tín hiệu  s(t), bị sai lệch b ở i nhiễu
cộng n(t) th đầu ra ướ ượ ng của bộ lọc

̂ sau khi đượ c lọc

 g(t)

là tích chậ p

sau:

̂      
Trog đó:

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 5







 là tín hiệu a đầu
 là nhiễu cộng
̂ là tín hiệu ướ ượ ng ( mong muốn bằng giá tr ị )
 à đáp ứng xung của bộ lọc Wiener 

Lỗi đượ địh ghĩa à:

   ̂
Trog đó:

 à độ tr ễ của bộ lọc Wier ( khi trướ ng hợ  p xét là nhân quả)
Đây à ôg thức tổng quát xấ p xỉ giữa  và ̂ hay nói cách khác lỗi là sai số
giữa tín hiệu ướ c tính và tín hiệu thật bị trượt đi .


Bh phươg ủa lỗi:

    ̂ ̂
Trog đó:

 là mong muố đầu ra của bộ lọc
 là lỗi
Dựa vào các giá tr ị  khác nhau mà ta có th  đưa ra vấ đề hư sau:



 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 6




 Nếu

   thì là dự đoá (prditio) (tức là lỗi đượ c giảm khi ̂ tươg

tự 1 giá tr ị sau này s).





   th à đag ọc (filtering) (tức là lỗi đượ c giảm khi ̂ tươg tự
vớ i giá tr ị ).
 Nếu    thì là làm mịn (smoothing) (t ức là lỗi đượ c giảm khi ̂ tươg
 Nếu

tự vớ i 1 giá tr ị trướ đó ủa s).
Viết giải chậ p của

̂:


̂    


Lấy giá tr ị kì vọng của h phươg ỗi:









        ∬  
Trog đó:






   là tín hiệu qua sát đượ c
 là hàm tự tươg qua ủa 
 là hàm tự tươg qua ủa 
 à hà tươg qua héo ủa  và 
 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 7


 Nếu tín hiệu

 và nhiễu  à khôg tươg qua (tứ à tươg qua là 0)

th ó ghĩa à:



  
   

Trên nhiều ứng dụng thì giả định nhiễu và tín hiệu khôg tươg qua hợ  p lý.

 giá tr ị k ỳ vọng của bình phươg ỗi, bằng
áh t hà đáp ứ ng xung của bộ lọc Wiener  tối ưu.

Việc tối thiu     có th thực hiện bằng việ tíh toá đạo hàm bậc nhất c ủa nó
theo một giá tr ị 
Mục tiêu của chúng ta là tối thiu





        


Đ tối thiu thì hàm bên trong phải lo ại bỏ nhau vớ i mọi giá tr ị  và d ẫ đến
 phươg trh wiener  – hopf 

  ∫  

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 8


Đây à phương trình cơ bả n c ủa l ýthuy ết  Wi ener , công thức bên phải giốg hư
là một giải chập hưg iền chỉ là từ 0 → + ∞. Phươg trh ày ó th giải bằng
k ỹ thuật Wiener  – Hopf.

3. Vấn đề xây dự ng bộ lọc Wiener:
Tiế p theo ta sẽ xét một số vấ đề của bộ lọc Wier trướ c khi chuyn sang một

ứng dụng cụ th của bộ lọc này.

Bộ lọc Weiner sẽ có giải pháp trê á trườ ng hợ  p có th:


Bộ lọc không nhân quả chấ p nhậ đượ c (a noncausal filter is acceptable ):
yêu cầu một số ượ ng vô hạn của cả dữ liệu quá khứ và tươg ai.

   
 à tối ưu th ó ghĩa à h phươg tối thiu phươg trh:

    
và các giải pháp  à hai ặt iế đổi Lapa nghịh đảo của  .

Đó

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 9




Bộ lọc nhân quả k ỳ vọg đượ c (a causal  filter is desired ) sử dụng một số

ượ ng vô hạn các dữ liệu quá khứ.

  



Bộ lọ đáp ứng xung hữu hạn (FIR) sử dụng một số ượ ng hữu hạn các dữ
liệu quá khứ.

Trườ ng hợp đầu tiên có th là giải pháp đơ giả hưg vấ đề ở  chỗ nó không
 phù hợ  p vớ i hệ thống thờ i gian thực. Khả ăg à bộ lọc giải quyết tốt hơ à ở 
những hệ nhân quả và đáp ứng xung hữu hạn.

Trê đây à phầ à hó đã t hi u về lý thuyết Wiener, bộ lọc Wier ũg
hư phươg trh ủa bộ lọc (tham khảo thêm tại: Wiener, Norbert 
(1949). Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series.
 New York: Wiley), sau đây à phần thứ 2 của báo cáo về tìm hiu ứ ng dụng của bộ

lọc Wier hó đã họn một trong những ứ ng dụng điển hình của bộ lọc

Wiener là xử lý ảnh (lọc ảnh).

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 10


II. Ứ ng dụng bộ lọc Wiener trong xử lý ảnh
1. Tổng quan về khôi phục ảnh
Khôi phụ ảh đề ập tới á kỹ thuật oại ỏ hay tối thiu hoá á ảh hưởg ủa
ôi trườg ê goài hay á hệ thốg thu hậ phát hiệ và ưu trữ ảh đế ảh
thu hậ đượ. Cá guyê hâ gây iế dạg ảh: do hiễu ộ ả hậ tí
hiệu ảh ờ do ara hiễu gẫu hiê ủa khí quy v...v. Khôi phụ ảh ao
gồ hiều quá trh hư: ọ ảh khử hiễu hằ à giả á iế dạg đ ó
th khôi phụ ại ảh gầ giốg ảh gố tuỳ tho á guyê hâ gây ra iế

dạg.

 Một hệ khôi phục ảnh

Sự ựa họ hệ phụ hồi ảh phụ thuộ vào oại hh xuốg ấp hay khôi phụ ảh
à hằ xá địh ô hh toá họ ủa quá trh gây ra iế dạg. Cá thuật toá
à giả hiễu ộg gẫu hiê khá với á thuật toá à giả hoè ảh. Cá
oại hh xuốg ấp ta sẽ xét à hiễu ộg gẫu hiê hoè và hiễu phụ thuộ tí
hiệu hư hiễu hâ. Nhữg oại hh xuốg ấp ày thườg xảy ra trog thự
tiễ.

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 11


Kỹ thuật à ta sẽ dùg với ộ ọ iener là kỹ thuật lọc tuyến tính .
2. Ước lượ ng sự xuống cấp
Có hai áh tiếp ậ đ ó thôg ti về sự xuốg ấp. Cá thứ hất à thu thập
thôg ti từ híh ảh ị xuốg ấp. Nếu ta ó th t ra á vùg ườg độ xấp xỉ
đồg đều trog ảh hẳg hạ ầu trời th ó th ướ ượg phổ ôg suất hoặ
hà ật độ xá suất của nhiễu nền ngẫu nhiên từ sự tăg giả ườg độ trong các
vùng có nề đồg đều. Một ví dụ khá hư khi ảnh bị nhoè nếu ta t đượ c trong

ảh đã xuống cấ p một vùng mà tín hi ệu gố đã iết, thì có th ướ ượ ng hàm nhòe

 Ký hiệu tí hiệu ảh gốc ở một vùg đặc biệt của ảnh là và ảnh bị
xuống cấp trog vùg đó à  thì quan hệ gầ đúg giữa  và
 là:

(1)
 =   
Theo giả thiết  và  đều đã iết, nên có th đượ ướ ượg đượ c
 từ (1).
Cách thứ hai là nghiên cứu ơ hế gây ra sự xuống cấ p. Ví dụ, xét một ảh tươg
tự

  ị hoè ởi sự dịh huy phẳg ủa áy ảh ú hớp. Giả thiết

khôg ó sự xuốg ấp ào khá goại trừ hoè v áy ảh huy độg ta ó th
 iu diễ ảnh bị xuống cấ p

 là:

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 12


(2)
   ∫  ()
Trog đó   và  là sự tịnh tiế tho phươg gag và dọc của  ở 

thời đi t và T à thời gia hớp. Trog iề iế đổi Fourir:

 
()    
   
     () 

(3)

Trog đó

() là hàm biế đổi Fourier của  Ướ ượ ng (3) ta hậ

đượ:

() = ()()

(4)

Trog đó:

()   ∫  

(5)

Từ (4), thấy r ằng nhòe vì chuy động có th đượ x hư ột phép nhân chậ p

  vớ i , mà biế đổi Fourier là () tính theo công thức (5).
 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 13


3. Bộ lọc Wiener và vấn đề khôi phục ảnh
Lọc Wiener là k ỹ thuật l ọc tuyế tíh đ khôi phục ảnh g ốc t ừ ảh đã xuống cấ p
do bị nhiễu phá hủy.

Ảnh sau khi qua một đáp ứg ào đó th ị nhiễu và khác với a đầu, theo lý
thuyết ta xây dựng một đáp ứg gượ c l ại đ khôi phục ảnh d ựa vào đáp ứng ban

đầu. Tuy nhiê á phươg pháp hư ọ gượ c và lọc giả gượ c có một yếu đim
là nhạy cảm vớ i nhiễu vì vậy khi áp dụg á phươg pháp ày phải giả định là hệ
thốg ý tưở ng không có nhiễu. Song trên thực tế thì không th ó điều này, vì vậy

gườ i ta sử dụg kĩ thuật lọc wiener cho các hệ thống có nhiễu.
 Như ta đã iết mục tiêu của bộ lọc Wiener à đ làm cực tiu h phươg sai số,
trong xử lý ảnh thì là sai số giữa ảnh gốc và ảh đag ó. Ta ài đặ t một bộ lọc FIR 

hư à ột tích chậ p của một bộ lọc tr ọng số g đ làm cực tiu sai số h phươg
vớ i ảh thu đượ c. Việc tìm tr ọng số tươg ứng vớ i việc giải một phươg trh thoả
mãn yêu cầu đặt ra sau đó ta t ra ộ lọ đ thực hiện việc tính tích chậ p. Sau khi

tíh xog th ta thu đượ c ảnh gần vớ i ảnh gốc nhất.
Bộ lọc Wir thườ ng là bộ lọc thông thấp ăg ượ ng của ảh thườ ng tậ p trung

ở vùng tần số thấ p.

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 14


Bộ lọc Wiener và giảm nhiễu trong ảnh.
Mô hình ảnh xuống cấ p bở i nhiễu cộng ngẫu nhiên:

 =  
Trog đó    là biu diễn nhiễu cộng ngẫu hiê độc lậ p vớ i tín hiệu.


 Nhóm sẽ đưa ra nhữ ng kí hi ệu công thứ c thự c t ế  không hề  có sai khác  ý nghĩa vớ i ký hiệu công thứ c
 phần t ổn
  g quan ở trên, l ấy giá tr ị n dùng trong r ời  r ạc không dùng cho nhi u đượ c nữ a.

  và  là những mẫu độc lậ p tuyến tính của
quá trình ngẫu nhiên dừng trung vị bằng 0, và phổ công suất       và
   của húg đã iết, thì có th nhậ đượ ướ ượ ng tuyến tính tối ưu sai
số quâ phươg tối hi u của    bằng cách cho    qua bộ lọc wiener 
 Nếu ta giả thiết r ằng

   

   

à đáp ứng xung tần số hư sau:

 
       
  
Bộ lọc trên là bộ lọc pha không. Vì phổ công suất       và       là thực
và không âm nên giá tr ị      ũg à thực và không âm. Nhờ  có bộ lọc
   

   

   

   

   

   

   

Weiner chỉ ảh hưở ng tới iê độ phổ chứ không ảh hưởg đến pha. Bộ lọc
Weiner giữ nguyên tỉ số SNR (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) của các thành phần t ần s ố

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 15


ao hưg à giả m SNR của các thành phần t ần s ố thấ p. N ếu ta cho

  
   

   sẽ tiến gầ đến 1, cho ta thấy bộ lọ ó xu hướ ng giữ
nguyên SNR của các thành phần tần số cao. Nếu cho       tiế đế ∞ th giá
tr ị      sẽ tiế đến 0, cho ta thấy bộ lọ ó xu hướ ng làm giảm SNR của các
tiến g ần t ớ i 0 thì

   

   

   

thành phần tần số thấ p.
Bộ lọc Weiner dựa vào giả thiết là phổ công suất

   và    đã iết
   

   

hoặc có th ướ ượg đượ c. Trog á ài toá thườ ng gặp th ướ ượ ng phổ

   là hoàn toàn có th à hư phần 2 ở  trên, tuy
nhiên là vớ i phổ công suất của ảnh       ướ ượg khôg đơ giả n. Một
 phươg pháp à ấy trung bình     cho nhiều ảnh   . Phươg pháp
công suất của nhiễu

   

   

khác là mô hình hóa bằng một hà đơ giả n

    √
     
Trog đó 0<  <1.  à ướ ượ ng từ ảnh bị xuống cấ p   .
   

   

   

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 16


Thôg thườ ng bộ lọ wir đượ c thực thi trên miền tần số bở i:

=IDFT []
Các giá tr ị     và    là biế đổi Fourier r ờ i r ạc của    và
. Trong công thứ trê th kíh thướ c DFT và biế đổi gượ c DFT ít nhất
ũg à  x  khi kih thướ c ảnh là  x  và kíh thướ c
 bộ lọc là  x . Nếu kíh thướ c DFT nhỏ hơ  x thì
 biế đổi Fourir gượ c IDFT [        ] sẽ khôg đồng nhất vớ i
 *  ở gầ á đườ ng biên của ảh đã xử lý , vì hiệu ứng
aliasing. Trong hầu hết á trườ ng hợp kíh thướ c hiệu dụng của    nhỏ, có
th nhận đượ c k ết quả vừa ý v ớ i biế đổi Fourier (DFT) và biế đổi gượ c Fourier 

(IDFT) ó kíh thướ c
ứng tần số

 x . Một áh đ nhậ đượ c  là lấy mẫu đáp

 của bộ lọc Wiener bằng:
   

Trog đó: kíh thướ c của DFT và IDFT là

 x

Bộ lọc wiener làm giảm nhiễu nền rõ r ệt tuy hiê ó ũg à hò ả nh. Lý do là
 bộ lọc wiener sử dụng một bộ lọc duy nhất trên toàn bộ ảh ó đượ c trin khai vớ i
 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 17


giả thiết là qua các vùng khác nhau c ủa ảh đặc tính tín hiệu và nhiễu đều không

thay đổi. Đó à ộ lọc bất bi ế trog khôg gia à thôg thườ ng trong một bức
ảnh, từ vùg ày sag vùg khá á đặ c tính ảnh r ất khác nhau. Ví dụ tườ ng và
 bầu tr ời ó ườg độ nền x ấ p x ỉ đồg đều, trái lại các tòa nhà và c ây ó ườg độ

thay đổi lớ n, chi tiết). Sự xuống cấp ũg ó th thay đổi từ vùng này sang vùng
khác.
 Đây là bổ trợ về giải chập Wiener và SNR bổ sung cho phần trên:
Với một hệ thống:

  
* ký hiệu chậ p và:













là một tín hiệu đầu vào (không rõ) t ại thờ i gian .
là đáp ứ ng xung của một hệ thố ng tuyế n tính bấ t biế n thờ i gian
là một nhi u cộng không rõ, độc l ậ p của



là tín hiệu quan sát 

ể ướ   tính như sau:
 ố để 
  

 M ục tiêu của chúng ta là tìm th ấ 
 y một 





là một ướ c tính

 s

chúng ta có th

c

 rằng giảm thiểu lỗi có nghĩa là hình
ấp như  vậy  Bộ lọc có thể d dàng mô tả
 

     

Các giải chậ p Wiener cung c

các

.

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

vuông .
trong miền tần số :

Page 18


Trong đó:








    đượ 
  là có nghĩa là
  ật độ
và

là m

c các Fourier biế n

 đổ   và tương ứ 
i

  ố 

ồ 

ng ở t ần

s .

mật độ công suấ t phổ của tín hiệu đầu vào

công suất có nghĩa là quang phổ  của tiế ng  n

Các d ấu

  * biể u thị liên hợ  p phứ c t ạ p .

 Hoạt động lọc có thể được thực hiện trong miền thời gian, như ở trên, hoặc trong miền tần số :

     
   à iế đổi Fourir ủa  và sau đó thự hiệ ột iế đổi Fourir gượ   đ có
đượ  .
 Lưu ý rằ 
ử 
ảnh, các đố   ố  
 phần hai chiều, tuy nhiên kết quả là như 
Với

ng trong x lý hình

i s

là thành

nhau.

Các hoạt động của các bộ lọc Wiener trở nên rõ ràng khi các phương trình lọc ở trên được viết lại:





 

        

 




 

      

Ở đây,

 là nghịch đảo của hệ thống ban đầu, và     là tỷ lệ tín hiệu trên nhiu. Khi không 



nhiu (tức là tín hiệu trên nhiu vô hạn), thuật ngữ bên trong dấu ngoặc vuông bằng 1, có nghĩa rằng các
bộ lọc Wiener chỉ đơn giản là nghịch đảo của hệ thống, như chúng ta có thể mong đợi . Tuy nhiên, khi
nhiu ở tần số nhất định tăng, tỷ lệ tín hiệu trên nhiu giảm xuống, vì vậy thuật ngữ bên trong dấu ngoặc

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 19


vuông cũng giảm xuống. Điều này có nghĩa là bộ lọc Wiener suy giảm tần số phụ thuộc vào tỷ lệ tín hiệu
trên nhiu.
Các phương trình bộ lọcWiener trên đòi hỏi chúng ta phải biết nội dung phổ của một hình ảnh tiêu biểu,
và cả nhiu. Thông thường, chúng ta không thế tìm đến những số lượng chính xác, nhưng chúng t a có thể 

biết được một tình huống mà các ước tính tốt có thể được thực hiện. Ví dụ, trong trường hợp của các hình
ảnh, tín hiệu (hình ảnh ban đầu) thường có tần số thấp là mạnh và tần số cao yếu, và trong nhiều trường 
hợp nhiu sẽ được tương đối bằng với tần số.

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 20


4. Thiết k ế bộ lọc FIR Wiener
Giớ i thiệu
Về lý thuyết, bộ lọc Wier ó đáp ứng xung vô hạ và do đó đòi hỏ i DFT có kích

thướ c lớ n. Tuy nhiề đáp ứng xung có hiệu quả chỉ là một phần nhỏ của kích
thướ đối tượ ng.
Khác vớ i hầu hết các loại bộ lọc số đượ c thiết k ế dựa trên các khái niệm trong
miền tần số, các bộ lọ ir đượ c phát trin dựa trên các khái niệm về miền thờ i
gian. Các bộ lọ ir đượ c thiết k ế đ tối thiu hóa sai số trung bình bình

 phươg (MSE) giữa đầu ra của nó và một tín hiệu ra mong muốn hay yêu cầu. Vì
vậy húg đượ c cho là tối ưu tho ghĩa ủ a sai số trug h h phươg. Định

ghĩa đặc biệt này về tối ưu ó thuận lợ i là dẫ đến các lờ i giải có dạng hữu hạn
cho các hệ số của bộ lọc v ề mặt hàm tự tươg qua ủa tín hiệu đi vào ộ lọc và

hà tươg qua héo giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra yêu cầu.

Bộ lọc FIR Wiener:
Gọi:

 Vector tín hiệu đầu vào của bộ lọc
 =
 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 21


: Là vector tr ọng số của bộ lọc wiener 
w =    
 tín hiệu ra


    

(2.1)



 tín hiệu ra mong muốn
 sai số giữa tín hiệu mong muốn và tín hiệu ra 
 =  – 
Vì

(2.2)

là một vô hướ ng nên bằng chuyn vị của nó, tức là: =.

Do đó, từ (2.1) và (2.2) ta có:

 =  – =  =  

(2.3)

Đối vớ i mạch lọc Wiener, hàm hiệu ăg đượ c chọn là sai số toàn  phươg trug
 bình:

   
Trong đó ký hiệu

(2.4)

 là k ỳ vọng thống kê. Thay (2.3) vào (2.4) ta đượ c:

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 22


  = 
(2.5)
Khai trin (2.5) và chú ý  có th đưa ra goài toá tử  [.] vì nó không ph ải là
 biến số thốg kê ta thu đượ c:

  =  [ – [] + 

(2.6)

Ta địh ghĩa vtor tươg qua héo ậ c Nx1:

  []  

(2.7)

Và ma tr ậ tươg qua:

T

R=E[x[n]x [n]] =

R 00

R 01

...

R 0 N-1

R 10

R 11

...

R 1 N-1

...

...

...

...

R  N-1 0

R  N-1 1

...

R  N-1 N-1

Chú ý là: E[d[n]xT[n]] = PT; wTP=PTw, ta thuđượ c:
J = E[d2[n]] – 2wTP + wTRw

(2.8)

Đ thu đượ c các tr ọng số ứng vớ i hàm phí tổn J có giá tr ị cực tiu, ta cần phải giải
hệ phươ ng trình đượ c tạo thành từ đạo hàm bậc nhất của J đối vớ i mỗi tr ọng số wi
 bằng không, tức là:
 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

(2.9)
Page 23


   ớ    






Cá phươg trh trê ó th viết dướ i dạng ma tr ận:

∇J = 0

∇

(2.10)

Ở đây là toán tử vi phâ đượ xá địh hư ột vtơ ột:












∇=

...









Đ t á đạo hàm riêng của J đối vớ i các tr ọng số wi của mạch lọ trướ c hết
 phải khai trin hệ thức (2.8) thành dạg tườ ng minh:

   []   ∑
 ∑ ∑  

(2.11)

Tổng kép trên có th khai tri dướ i dạng:

 Bài t ậ p l ớn
  Mô phỏng các hệ thố ng truyề n thông 

Page 24