Bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tiền lồi bất biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LÊ KHÁNH VÂN

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD
CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LÊ KHÁNH VÂN

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD
CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Hàm tiền lồi bất biến và một số
1.1 Hàm s-lồi . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hàm lồi . . . . . . . .
1.1.2 Hàm s-lồi . . . . . . .
1.2 Hàm tiền lồi bất biến . . . . .
1.2.1 Hàm lồi bất biến . . . .
1.2.2 Hàm tiền lồi bất biến .

tính
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

chất
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4

4
4
7
8
8
9

2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm tiền lồi bất biến16
2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến . . . 16
2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23
2.2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi
bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Một vài áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


1

Bảng ký hiệu
Rn
Rm×n
L[a, b]

Lp [a, b]
B
Γ
f

không gian thực n chiều
không gian các ma trận cấp m × n trên R
không gian các hàm khả tích trên đoạn [a, b]
không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]
hàm Beta
hàm Gamma
gradient của hàm f


2

Mở đầu
Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu từ lâu bởi H¨older, Jensen, Minkowski.
Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập
niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực phát
triển nhất của toán học. Hai tính chất cơ bản của hàm lồi là tính chất đạt giá
trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa phương nào cũng là cực tiểu trên
tập xác định giúp cho hàm lồi được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết
và ứng dụng. Bên cạnh đó, một số hàm không lồi theo nghĩa đầy đủ nhưng
cũng chia sẻ một vài tính chất nào đó của hàm lồi, chẳng hạn lớp hàm tiền lồi
bất biến (preinvex functions). . .
Một trong những bất đẳng thức nổi tiếng cho hàm f lồi trên [a, b] ⊂ R là
bất đẳng thức Hermite–Hadamard:

f

a+b
1
≤
2
b−a

b

f (x)dx ≤
a

f (a) + f (b)
2

(1)

hay ở dạng tương đương:
b

(b − a)f

a+b
2

≤

f (x)dx ≤ (b − a)

f (a) + f (b)

.
2

(2)

a

Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và mở rộng bất đẳng thức Hermite–
Hadamard (1) cho các lớp hàm lồi khác nhau và đưa ra nhiều ứng dụng trong
chứng minh các bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác khác. Đây là một
đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm. Do đó, tôi chọn đề tài "Bất đẳng
thức dạng Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến" để nghiên cứu cho
luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp của tác giả.
Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số bất đẳng


3

thức mới được xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1) cho hàm tiền
lồi bất biến trong các tài liệu [7] và [8] công bố năm 2019 và 2017.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Hàm tiền lồi bất biến và một số tính chất
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, tập lồi
bất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ giữa hàm tiền lồi bất biến với hàm
lồi và một số tính chất cơ bản của hàm tiền lồi bất biến, đưa ra ví dụ về hàm
tiền lồi bất biến và cách nhận biết hàm tiền lồi bất biến.
Chương 2. Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất
biến
Chương này trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamard
cho một số lớp hàm tiền lồi bất biến, áp dụng để đánh giá một số giá trị trung

bình đặc biệt và một số hệ quả về quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang, quy
tắc Simpson.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học
Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán
- Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - người
đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn về kiến thức, tài liệu và phương pháp để tác
giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này. Tác giả cũng xin được gửi lời
cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp
đỡ trong thời gian qua.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019
Tác giả luận văn

Lê Khánh Vân


4

Chương 1

Hàm tiền lồi bất biến và một số tính
chất
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của hàm lồi, hàm s-lồi, tập
lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến và một số tính chất của hàm tiền lồi bất
biến. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[8].

1.1
1.1.1

Hàm s-lồi
Hàm lồi

Cho hai điểm a, b ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1
gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b].
Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]). Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi

λ ∈ [0, 1] và mọi x1 , x2 ∈ C thì xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Như vậy, tập lồi C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.

Hình 1.1: Tập lồi

Hình 1.2: Tập không lồi


5

Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không
gian Rn , f : C → R là hàm số thực xác định trên tập lồi C . Hàm f được gọi là

(i) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1], ta có
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

(1.1)

(ii) lồi chặt trên C nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x khác y , mọi
λ ∈ (0, 1).
Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trên R.
Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]). Hàm f : [a, b] ⊂ R → R được gọi là hàm lồi nếu

với mọi x, y ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] thì

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

(1.2)

Hàm f được gọi là hàm lõm nếu hàm (−f ) là lồi.

Hình 1.3: Hàm lồi.

Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi.
Định lý 1.1.4 (xem [1]). Giả sử hàm f : Rn → R là một hàm lồi trên Rn và

λ ∈ R. Khi đó
Cλ := x : f (x) < λ ,
là các tập lồi.

C λ := x : f (x) ≤ λ


6

Tập Cλ , C λ trong Định lý 1.1.4 gọi là các tập mức dưới.
Định lý 1.1.5 (xem [1]). Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Rn
và f : Rn → R là một hàm lồi. Khi đó, mọi điểm cực tiểu địa phương của f
trên C đều là cực tiểu toàn cục.
Định lý 1.1.6 (xem [1]). Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiều nhất
một điểm cực tiểu trên C .
Ví dụ 1.1.7. Hàm lồi chặt một biến f (x) = x2 , x ∈ R, có duy nhất một điểm
cực tiểu x0 = 0. Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R, không có điểm cực tiểu nào.

Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi n biến và hàm lồi một biến.
Định lý 1.1.8 (xem [1]). Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một
biến ϕ(λ) := f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn .
Chứng minh. Điều kiện cần là rõ ràng. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử

ϕ là hàm lồi với mọi x, d ∈ Rn . Lấy x, y bất kỳ thuộc Rn và đặt d = x − y .
Khi đó với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

f (1 − λ)x + λy = f (x + λd) = ϕ(λ) = ϕ (1 − λ).0 + λ.1
≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)f (x) + λf (y).

Ví dụ 1.1.9. Các hàm sau đây là các hàm lồi (một biến):

(i) hàm afin: ax + b trên R với mọi a, b ∈ R,
(ii) hàm mũ eax trên R với mọi a ∈ R.
Ví dụ 1.1.10. (i) Mọi hàm chuẩn đều là hàm lồi trên Rn , trong đó
1
p

n

x

p

|xi |p

=

với p ≥ 1 và

i=1

x

∞

= max |xi |,
1≤i≤n

với x = (x1 , . . . , x2 ) ∈ Rn .

(ii) Cho C ⊆ Rn là một tập lồi khác rỗng, các hàm sau đây là hàm lồi trên Rn :


7

(a) Hàm chỉ của C : δC (x) =

0,

nếu x ∈ C,

+∞,

nếu x ∈
/ C.

(b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến C : dC (x) = inf x − y .
y∈C

(iii) Hàm được xác định dưới đây là hàm lồi trên Rm×n với A = (aij )m×n và
X = (xij )m×n , b ∈ R
m

n

f (X) =

aij xij + b.
i=1 j=1

1.1.2

Hàm s-lồi

Trong mục này ta sử dụng ký hiệu R+ = [0, +∞).
Định nghĩa 1.1.11 (xem [5]). Hàm f : R+ → R được gọi là

(i) hàm s-lồi loại một nếu
f (αx + βy) ≤ αs f (x) + β s f (y)

(1.3)

với mọi x, y ∈ R+ và mọi α, β ≥ 0 với αs + β s = 1, s ∈ (0, 1];

(ii) hàm s-lồi loại hai nếu bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với mọi x, y ∈ R+ , và
mọi α, β ≥ 0 với α + β = 1, s ∈ (0, 1].
Nhận xét 1.1.12. Dễ thấy rằng khi s = 1 thì hàm s-lồi (loại một, loại hai)
trở thành hàm lồi một biến thông thường xác định trên [0, +∞).

Ví dụ 1.1.13. Cho s ∈ (0, 1) và a, b, c ∈ R. Ta định nghĩa hàm f từ [0, +∞)
vào R như sau:


a,
f (x) =
bxs + c,

x = 0,
x > 0.

Khi đó,

(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại một.
(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤ c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại hai.
Chứng minh. (i) Ta xét hai trường hợp sau đây:


8

(a) Nếu u, v > 0, thì αu + βv > 0 và
s

f (αu + βv) = b αu + βv

+ c ≤ b αs us + β s v s + c

= b αs us + β s v s + c αs + β s
= αs bus + c + β s bv s + c = αs f (u) + β s f (v).
(b) Nếu v > u = 0 và β > 0 thì

f (α0 + βv) = f (βv) = bβ s v s + c = bβ s v s + c αs + β s
= αs c + β s bv s + c = αs c + β s f (v) ≤ αs a + β s f (v)
= αs f (0) + β s f (v).
Chứng minh tương tự cho (ii).

1.2
1.2.1

Hàm tiền lồi bất biến
Hàm lồi bất biến

Định nghĩa 1.2.1 (xem [4]). Một tập con C của Rn được gọi là tập lồi bất
biến ứng với hàm véc-tơ η : Rn × Rn → Rn (hay tập η -lồi bất biến) nếu x, y ∈ C
và λ ∈ [0, 1] thì

y + λη(x, y) ∈ C.

(1.4)

Tập lồi bất biến C chứa đoạn thẳng nối hai điểm y và y + η(x, y) với mọi
cặp điểm x và y thuộc C vì

y + λη(x, y) = (1 − λ)y + λ(y + η(x, y))

(1.5)

Nhận xét 1.2.2. Nếu η(x, y) = x − y thì ta có định nghĩa tập lồi. Chiều ngược
lại nói chung không đúng.

9

Ví dụ 1.2.3. Cho tập C ⊂ R với C = [−3, −2] ∪ [−1, 2] và


x − y,
nếu − 1 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2,





x − y,
nếu − 3 ≤ x ≤ −2, −3 ≤ y ≤ −2,
η(x, y) =


−3 − y,
nếu − 1 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ −2,




−1 − y,
nếu − 3 ≤ x ≤ −2, −1 ≤ y ≤ 2.
Khi đó C là tập lồi bất biến ứng với hàm η nhưng C không phải là tập lồi.
Định nghĩa 1.2.4 (xem [4]). Một hàm thực khả vi f xác định trên một tập
mở C ⊂ Rn được gọi là hàm lồi bất biến nếu tồn tại một hàm véc-tơ η(x, y)
xác định trên C × C thỏa mãn

f (x) − f (y) ≥ η(x, y)
ở đây

f (y),

∀x, y ∈ C,

(1.6)

f là ký hiệu gradient của hàm f .

Nhận xét 1.2.5. (a) Theo định nghĩa này, một hàm lồi khả vi (trên tập mở

C ) cũng là hàm lồi bất biến (với việc chọn η(x, y) = x − y ).
(b) Định nghĩa 1.2.1 là mở rộng của định nghĩa tập lồi. Chú ý rằng mọi tập
con của Rn là tập lồi bất biến ứng với η(x, y) = 0 với mọi x, y ∈ Rn . Tuy
nhiên, chỉ có hàm f : Rn → R lồi bất biến ứng với hàm η(x, y) = 0 là hàm
hằng f (x) = c, c ∈ R.
1.2.2

Hàm tiền lồi bất biến

Định nghĩa 1.2.6 (xem [4]). Cho f là hàm thực xác định trên tập η -lồi bất
biến C . Hàm f được gọi là hàm tiền lồi bất biến ứng với η nếu

f [y + λη(x, y)] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].

(1.7)

Nhận xét 1.2.7. Từ định nghĩa này ta thấy mọi hàm lồi f trên tập lồi C đều
là hàm tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η(x, y) = x − y . Tuy nhiên chiều ngược
lại nói chung không đúng.
Ví dụ 1.2.8. Hàm f (x) = −|x| không phải là hàm lồi nhưng là hàm tiền lồi
bất biến ứng với hàm η , trong đó


10


x − y,
η(x, y) =
y − x,

nếu x ≤ 0, y ≤ 0 hoặc x ≥ 0, y ≥ 0,
trong các trường hợp khác.

Sau đây là một số tính chất của hàm tiền lồi bất biến.
Tính chất 1.2.9 (xem [4]). Tổng của hai hay nhiều hàm tiền lồi bất biến
với cùng một hàm véc-tơ η cũng là một hàm tiền lồi bất biến ứng với hàm η .
Nói chung, nếu fi : C → R là các hàm tiền lồi bất biến (với hàm véc-tơ η ),
k

λi fi (x) là hàm tiền lồi bất biến ứng với η , ở đây λi ≥ 0,

i = 1, 2, . . . , k thì
i=1

i = 1, 2, . . . , k .
Nhận xét 1.2.10. Cũng giống như hàm lồi, với một hàm tiền lồi bất biến, mọi
điểm cực tiểu địa phương cũng là điểm cực tiểu toàn cục, mọi điểm cực tiểu
chặt địa phương cũng là điểm cực tiểu chặt toàn cục.
Định lý 1.2.11 (xem [4]). Giả sử C là một tập η -lồi bất biến, f : C → R là
một hàm tiền lồi bất biến ứng với η và φ : R → R là hàm lồi tăng. Khi đó,

φ ◦ f cũng là một hàm tiền lồi bất biến ứng với η .
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có:

f [y + λη(x, y)] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Vì φ là hàm lồi tăng nên

φ(f [y + λη(x, y)]) ≤ φ[λf (x) + (1 − λ)f (y)]
≤ λφ[f (x)] + (1 − λ)φ[f (y)].

Nhận xét 1.2.12. (a) Một hàm khả vi thỏa mãn (1.7) cũng là một hàm lồi
bất biến và điều này giải thích vì sao tất cả các hàm thỏa mãn (1.7) đều
được gọi là hàm tiền lồi bất biến.
(b) Điều ngược lại nói chung không đúng, nghĩa là nếu f là một hàm lồi bất
biến ứng với η nhưng nó có thể không phải là hàm tiền lồi bất biến ứng
với η .


11

Ví dụ 1.2.13. Hàm f (x) = ex , x ∈ R là hàm lồi bất biến ứng với η = −1
nhưng không phải là hàm tiền lồi bất biến ứng với η nói trên.
Khái niệm hàm tiền lồi bất biến là khái quát của khái niệm hàm lồi. Nếu
trong (1.7) chúng ta chọn η(x, y) = x−y khi đó chúng ta nhận được định nghĩa

của hàm lồi. Một điều kiện đơn giản để một hàm là lồi bất biến được đưa ra
dưới đây.
Định lý 1.2.14 (xem [4]). Cho C là một tập lồi mở trong không gian Rn . Nếu
một hàm f : C → R là hàm lồi bất biến ứng với ánh xạ η và là hàm lõm trên

C thì f là hàm tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η .
Chứng minh. Từ tính lõm của hàm khả vi f suy ra

f [y + λη(x, y)] − f (y) ≤ λη(x, y)

f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

(1.8)

Từ tính lồi bất biến của hàm f suy ra

f (y) ≤ f (x) − f (y).

η(x, y)
Vì λ ≥ 0 nên

λη(x, y)

f (y) ≤ λ(f (x) − f (y))

và kết hợp với (1.8) ta nhận được

f [y + λη(x, y)] − f (y) ≤ λ(f (x) − f (y)),

tức là,

f [y + λη(x, y)] − f (y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1].

Tổng quát hơn, điều kiện đủ để một hàm khả vi lồi bất biến trên tập η -lồi
bất biến C cũng là hàm tiền lồi bất biến trên C ứng với hàm vectơ η (xem
Định lý 1.2.16 trong [4]) được trình bày dưới đây.
Định nghĩa 1.2.15 (xem [4]). Cho η : C × C → Rn . Ta nói ánh xạ η thỏa
mãn điều kiện (C) nếu:

η(y, y + λη(x, y)) = −λη(x, y),
với mọi x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].

η(x, y + λη(x, y)) = (1 − λ)η(x, y)


12

Có rất nhiều hàm véc-tơ thỏa mãn điều kiện (C) bên cạnh trường hợp tầm
thường η(x, y) = x − y . Ví dụ cho C = R \ {0} và


nếu x ≥ 0, y ≥ 0,

 x − y,
η(x, y) = x − y,
nếu x ≤ 0, y ≤ 0,



 −y,
trong các trường hợp còn lại,
thì C là một tập lồi bất biến và hàm η thỏa mãn điều kiện (C).
Định lý 1.2.16 (xem [4]). Giả sử C ⊆ Rn là một tập η -lồi bất biến, f : C → R
là một hàm khả vi trên một tập mở chứa C . Hơn nữa giả sử f là một hàm lồi
bất biến trên C ứng với η và η thỏa mãn điều kiện (C). Khi đó f là hàm tiền
lồi bất biến ứng với η trên C .
Tương tự như đối với hàm lồi, ta có thể mô tả các hàm tiền lồi bất biến dựa
trên tính lồi bất biến của trên đồ thị của chúng, tuy nhiên, không ứng với cùng
một ánh xạ η .
Định lý 1.2.17 (xem [4]). Cho hàm f : C → R, trong đó C ⊆ R là một tập

η -lồi bất biến. Khi đó f là một hàm tiền lồi bất biến ứng với η nếu và chỉ nếu
tập
epif = (x, α), x ∈ C, α ∈ R, f (x) ≤ α
là một tập lồi bất biến ứng với ánh xạ η1 : epif × epif → Rn+1 trong đó

η1 ((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α) với mọi (x, α), (y, β) ∈ epif .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (x, α), (y, β) ∈ epif khi đó theo định
nghĩa của epif ta có f (x) ≤ α và f (y) ≤ β. Do f là hàm tiền lồi bất biến nên

f (y + λη(x, y)) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) ≤ (1 − λ)α + λβ,
Từ đây suy ra

(x + λη(y, x), (1 − λ)α + αβ) ∈ epif,

λ ∈ [0, 1].

Suy ra

((x, α) + λη(y, x), β − α) ∈ epif,

λ ∈ [0, 1].

λ ∈ [0, 1].


13

Do đó epif là một tập lồi bất biến ứng với ánh xạ

η1 ((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α).
Điều kiện đủ. Giả sử epif là một tập hợp lồi bất biến ứng với ánh xạ

η1 ((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α).
Lấy x, y ∈ C và α, β ∈ R sao cho f (x) ≤ α, f (y) ≤ β . Khi đó

(x, α), (y, β) ∈ epif.
Do tập epif là tập lồi bất biến ứng với ánh xạ

η1 ((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α),
ta có

(x, α) + λη1 ((y, β), (x, α)) ∈ epif,

λ ∈ [0, 1],

nghĩa là f (y + λη(x, y)) ≤ λα + (1 − λ)β . Do đó f là hàm tiền lồi bất biến
ứng với η trên C .

Một kết quả khác về hàm tiền lồi bất biến được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.2.18 (xem [4]). Cho f : C → R là một hàm tiền lồi bất biến. Nếu

f đạt cực tiểu toàn cục duy nhất tại x∗ ∈ C thì
λf (x∗ ) + (1 − λ)f (y) ≥ f (λx∗ + (1 − λ)y),

∀y ∈ C, λ ∈ [0, 1].

Chứng minh. Vì f là hàm tiền lồi bất biến nên tồn tại ánh xạ η : C ×C → Rn
sao cho y + λη(x, y) ∈ C và λf (x) + (1 − λ)f (y) ≥ f (y + λη(x, y)) với mọi

x, y ∈ C , mọi λ ∈ [0, 1]. Đặc biệt khi x = x∗ và λ = 1 thì
f (x∗ ) ≥ f (y + η(x∗ , y)),

∀y ∈ C.

Vì x∗ là điểm cực tiểu toàn cục duy nhất của hàm f (tức là, f (x∗ ) < f (x) với
mọi x ∈ C , x = x∗ ) nên

y + η(x∗ , y) = x∗ ,

∀y ∈ C,

tức là η(x∗ , y) = x∗ − y với mọi y ∈ C . Suy ra,

λf (x∗ ) + (1 − λ)f (y) ≥ f (λx∗ + (1 − λ)y),

∀y ∈ C, λ ∈ [0, 1].

14

Nhận xét 1.2.19 (xem [4]). Hàm véc-tơ f : Rn → Rm được gọi là tựa lồi nếu
tồn tại z ∈ Rn sao cho

f (z) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀λ ∈ [0, 1].

Hàm véc-tơ f : Rn → Rm là tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η nếu mỗi thành
phần của nó là tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η . Vì thế các hàm véc-tơ là các
hàm tựa lồi.
Sau đây ta trình bày định nghĩa của một lớp hàm s-tiền lồi bất biến.
Định nghĩa 1.2.20 (xem [8]). Cho C = [a, a + η(b, a)]. Một hàm f : C → R+
được gọi là
(a) hàm s-tiền lồi bất biến loại hai ứng với hàm η(., .) nếu

f (a + tη(b, a)) ≤ (1 − t)s f (a) + ts f (b),

a, b ∈ C, t ∈ [0, 1], s ∈ (0, 1];

(b) hàm s-tiền lồi bất biến loại một ứng với hàm η(., .) nếu

f (a + tη(b, a)) ≤ (1 − ts )f (a) + ts f (b),

a, b ∈ C, t ∈ [0, 1], s ∈ (0, 1 ] .

Nhận xét 1.2.21. Từ Định nghĩa 1.2.20 với s = 1, ta có định nghĩa về hàm
tiền lồi bất biến cổ điển. Ngoài ra với s = 1 và η(b, a) = b − a thì từ Định nghĩa
1.2.20 ta có định nghĩa về hàm lồi theo nghĩa cổ điển.

Định nghĩa 1.2.22 (xem [8]). Các tích phân Riemann–Liouville trái và phải
của α ∈ R+ tương ứng được định nghĩa như sau

(RL Jaα+ f ) (x)
(RL Jbα− f ) (x)
∞

trong đó Γ(x) =

1
=
Γ(α)
1
=
Γ(α)

x

(x − t)α−1 f (t)dt,

0 ≤ a < x ≤ b,

(1.9)

a
b

(t − x)α−1 f (t)dt,

0 ≤ a < x ≤ b,

(1.10)

x

e−t tx−1 dt, x > 0 là hàm Gamma.

0

Bây giờ ta giới thiệu một lớp hàm tiền lồi bất biến mới liên quan đến hai
hàm không âm tùy ý h1 và h2 , được gọi là hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến.


15

Định nghĩa 1.2.23 (xem [7]). Cho h1 , h2 : (0, 1) ⊆ J → R là hai hàm không
âm và Ω là một tập lồi bất biến. Một hàm f : Ω −→ R được gọi là một hàm

(h1 , h2 )-tiền lồi bất biến nếu với mọi x, y ∈ Ω và mọi t ∈ [0, 1] ta có
f (x + tη(y, x)) ≤ h1 (1 − t)h2 (t)f (x) + h1 (t)h2 (1 − t)f (y).

(1.11)

1
ta nhận được bất đẳng thức dạng Jensen cho hàm
2
(h1 , h2 )-tiền lồi bất biến:
Chú ý rằng nếu t =

f

2x + η(y, x)
2

≤ h1

1
h2
2

1
[f (x) + f (y)].
2

(1.12)

Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt.
(a) Nếu trong Định nghĩa 1.2.23 ta cho h1 (t) = ts và h2 (t) = ts thì ta nhận
được một lớp hàm mới của hàm s-tiền lồi bất biến.
Định nghĩa 1.2.24 (xem [7]). Cho số thực s ∈ [0, 1] và Ω là một tập lồi
bất biến. Ta nói rằng hàm f : Ω −→ R là một hàm s-tiền lồi bất biến, nếu

f (x + tη(y, x)) ≤ ts (1 − t)s [f (x) + f (y)],

∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.2.25 (xem [7]). Cho hai số thực s1 , s2 ∈ [0, 1] và Ω là một
tập lồi bất biến. Ta nói hàm f : Ω −→ R là một hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất
biến, nếu

f (x + tη(y, x)) ≤ ts1 (1 − t)s2 f (x) + (1 − t)s1 ts2 f (y),

∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1].

(b) Nếu trong Định nghĩa 1.2.23 ta cho h1 (t) = t−s và h1 (t) = t−s thì ta nhận
được lớp hàm mới của hàm s-tiền lồi bất biến và chúng được gọi là hàm
Godunova–Levin (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến.
Định nghĩa 1.2.26 (xem [7]). Cho hai số thực s1 , s2 ∈ [0, 1] và Ω là một
tập lồi bất biến. Ta nói hàm f : Ω −→ R là một hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất
biến, nếu

f (x+tη(y, x)) ≤

ts1 (1

1
1
f (x)+
f (y),
s
− t) 2
(1 − t)s1 ts2

∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1].


16

Chương 2

Bất đẳng thức Hermite–Hadamard
cho lớp hàm tiền lồi bất biến
Chương này trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamard
cho một số lớp hàm tiền lồi bất biến và áp dụng xây dựng quy tắc trung điểm,
quy tắc hình thang, quy tắc ba điểm, quy tắc Simpson. Nội dung của chương
này được viết trên cơ sở tổng hợp kiến thức từ từ các bài báo [7] và [8] công bố
năm 2019 và 2017.

2.1

2.1.1

Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất
biến
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

Định lý 2.1.1 (xem [6]). Cho f là một hàm lồi trên [a, b] ⊂ R, a < b. Khi đó
ta có bất đẳng thức sau

1
a+b
f
≤
2
b−a

b

f (x)dx ≤
a

f (a) + f (b)
.
2

(2.1)

Bất đẳng thức (2.1) có thể viết lại dưới dạng:
b

(b − a)f

a+b
2

≤

f (x)dx ≤ (b − a)
a

f (a) + f (b)
.
2

(2.2)


17

Chứng minh. Vì hàm f lồi trên đoạn [a, b], nên với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

f λa + (1 − λ)b ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b).
Lấy tích phân hai vế theo λ trên đoạn [0, 1], ta nhận được
1

1

f λa + (1 − λ)b dλ ≤ f (a)
0

1

0

Vì

1

(1 − λ)dλ.

λdλ + f (b)

(2.3)

0

1

(1 − λ)dλ =

λdλ =
0

1
2

0

và bằng phép đổi biến x = λa + (1 − λ)b, suy ra
1

b

1
f λa + (1 − λ)b dλ =
b−a

f (x)dx.
a

0

Kết hợp với (2.3) ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của (2.1). Cũng do tính
lồi của hàm f ,
1
f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb)
2
λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb
≥f
2

a+b
=f
.
2
Tích phân hai về bất đẳng thức này theo λ trên đoạn [0, 1] ta nhận được
 1

1
a+b
1
f
≤  f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ
2
2
0

0
b

=

1
b−a

f (x)dx.
a

Bất đẳng thức thứ nhất của (2.1) được chứng minh.
Ký hiệu Lp [a, b] là không gian các hàm khả tích bậc p (1 ≤ p < ∞) trên
đoạn [a, b], nghĩa là nếu f (x) ∈ Lp [a, b] thì

b

|f (x)|p dx < ∞.
a


18

Nhận xét 2.1.2. Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b] với a < b.
Nếu f ∈ L1 [a, b] thì
b

1
f (a) + f (b)
−
2
b−a

b

f (t)dt =

1
b−a

a

t−

a+b

f (t)dt.
2

(2.4)

a

Định lý 2.1.3 (xem [3]). Nếu f : [a, b] → R là hàm khả vi trên [a, b] ⊂ R và
a+b
hàm ϕ(x) := x −
f (x) lồi trên [a, b], thì
2
b

b−a
1
f (a) + f (b)
−
f (a) − f (b) ≥
8
2
b−a

f (x)dx ≥ 0.

(2.5)

a

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức cho hàm ϕ:

1
a+b
ϕ
2
2

ϕ(a) + ϕ(b)
1
+
≥
2
b−a

b

ϕ(x)dx ≥ ϕ
a

a+b
.
2

Sử dụng định nghĩa của hàm ϕ ta thu được:

1
2

b−a
2 (f

(b) − f (a))
f (a) + f (b)
1
≥
−
2
2
b−a

b

f (x)dx ≥ 0.
a

Định lý 2.1.4 (xem [3]). Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b]
1 1
và p > 1. Nếu |f | là q -khả tích trên [a, b], trong đó + = 1, thì
p q
 b
 1q
b
1
f (a) + f (b)
1
1 (b − a) p 
q
−
f (t)dt ≤
(2.6)

|f (t)| dt .
1
2
b−a
2 (p + 1) p
a

a

Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức H¨older với p > 1 và q > 1 thỏa mãn
1 1
+ = 1, ta có
p q

1
b−a
≤

b

x−
a

1
b−a

b
a

a+b

f (x)dx
2

a+b p
x−
dx
2

1
p

×

1
b−a

1
q

b

| f (x) |q dx
a

,


19

trong đó,

b
a

b

a+b
x−
f (x)dx = 2
2

a+b
x−
2

a+b
2

p

dx

(b − a)p+1
=
.
(a + 1)2p
Suy ra,

1
b−a
=

b
a

a+b p
x−
dx
2

(b − a)p
(p + 1)2p

1
p

1
b−a

×

1
b−a

1
p

1 (b − a)
=
2 (p + 1) p1

1
p

1
q

b

| f (x) |q dx
a
1
q

b

| f (x) |q dx
a
1
q

b

| f (x) |q dx
a

và khi đó, bất đẳng thức (2.6) được suy ra từ (2.4).
2.1.2

Một vài ứng dụng

Trước hết, ta nhắc lại một số giá trị trung bình đặc biệt.
(a) Trung bình cộng:

A = A(a, b) :=

a+b
,
2

a, b ≥ 0.

(b) Trung bình nhân:

G = G(a, b) :=

√

a, b ≥ 0.

ab,

(c) Trung bình điều hòa:

H = H(a, b) :=

2
1 1
+
a b

,

a, b > 0.

(d) Trung bình lôgarit:

b−a
, a = b;
ln b − ln a
L = L(a, b) :=

a, a = b,



a, b > 0.


20

(e) Trung bình p-lôgarit:




bp+1 − ap+1
Lp = Lp (a, b) :=
(p + 1) (b − a)



a, a = b,

1
p

,

a = b;

với p ∈ R\ {−1, 0} và a, b > 0.
Dưới đây là một vài ứng dụng của bất đẳng thức Hermite–Hadamard để
đánh giá một số giá trị trung bình đặc biệt.
1
Nhận xét 2.1.5. (a) Với hàm lồi f (x) = , t > 0, nếu a = b ta có
t
b

1
b−a

f (t)dt = L−1 (a, b).
a

(b) Với hàm lồi (lõm) f (x) = xp , p ∈ (−∞, 0)∪[1, ∞) \ {−1} (hoặc p ∈ (a, b)),
ta có

b

1
b−a

f (t)dt = Lpp (a, b)
a

nếu a = b.
Mệnh đề 2.1.6 (xem [2]). Giả sử p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) \ {−1} và

[a, b] ⊂ (0, ∞) . Khi đó,
Lpp − tp
≥A−t
ptp−1

với mọi t ∈ [a, b].

(2.7)

Chứng minh. Xét ánh xạ f : [a, b] −→ [a, +∞), f (x) = xp với p thỏa mãn

p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) \ {−1} ,
ta thu được

1
b−a

b

xp dx ≥ tp + ptp−1
a

a+b

−t ,
1

với mọi t ∈ [a, b]. Do đó,

1
a−b

b

xp dx = Lpp (a, b) = Lpp .
a


21

Suy ra, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh (2.7).
Sử dụng bất đẳng thức (2.7), ta có các bất đẳng thức sau đây cho các giá trị
trung bình (xem [2]).
Lp − L
Lp − A
(a)
≥
,
L
Lp

A−G
L−G
≥

≥ 0.
G
L

A−H
L−H
L−a A−a
≥
,
≥
.
H
L
L
a
b−A
b−L
≥
.
(c)
L
b
Mệnh đề 2.1.7 (xem [3]). Xét p > 1 và [a, b] ⊂ [0, +∞). Khi đó,
(b)

0 ≤ A(ap , bp ) − Lpp (a, b) ≤
với q :=

p(b − a)

p

[Lp (a, b)] q

1

2(p + 1) p

(2.8)

p
.
p−1

Chứng minh. Theo Định lý 2.1.4 áp dụng cho hàm lồi f (x) = xp , ta có:

1
ap + b p
−
2
b−a

1

b

xp dx ≤

(b − a) p
2(p + 1)

a

1
p

1
q

b

x(p−1)q dx

p

.

a

Mặt khác,
b
(p−1)q

x
a

bpq−q+1 − apq−q+1
= Lpp (a, b)(b − a)
dx =
p+1

và do đó ta có:
1

p

p

A(a , b ) −

Lpp (a, b)

≤
=

p(b − a) p

p

1

q
Lpp (a, b) q
1 (b − a)

2(p + 1) p
p
p(b − a)Lp (a, b) q
1

.

2(p + 1) p
Vậy bất đẳng thức (2.8) đã được chứng minh.

Mệnh đề 2.1.8 (xem [3]). Cho p > 1 và 0 < a < b. Khi đó,
−1

−1

0 ≤ H (a, b) − L (a, b) ≤

(b − a)
1

2(p + 1) p

L

p−1
p
2p
1−p (a,b)

.

(2.9)


22

Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1.4 cho hàm lồi f (x) :=

0≤

1
a

+
2

1
b

1
p

−

b

ln b − ln a 1 (b − a)
≤
b−a
2 (p + 1) p1

a

1
ta có:

x

dx
x2 q

1
q

.

Mặt khác,
b

x−2q dx = (b − a)Lpp (a, b),

a

với

−2q =

2p
.
p−1

Ta thu được
1

1

1 (b − a) p (b − a) q
0 ≤ H−1 (a, b) − L−1 (a, b) ≤
L−2q
1
−2q (a, b)
2
(p + 1) p
(b − a)

=

2(p + 1)

1
p

L

2p
p−1

(a, b)

p−1
p

1
q

.

Định lý 2.1.9 (xem [6]). Hàm f là hàm tiền lồi bất biến trên C = [a, a+η(b, a)]
nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức

f

1
2a + η(b, a)
≤
2
η(b, a)

a+η(b,a)

f (x)dx ≤
a

f (a) + f (b)
.
2

(2.10)

Chứng minh. Vì f là một hàm tiền lồi bất biến nên ta có:
a+η(b,a)

1

f ((1 − t)f (a) + tf (b))dt

f (x)dx = η(b, a)
a

0

≤ η(b, a)

f (a) + f (b)
.
2

Từ đó ta có được vế phải của bất đẳng thức (2.10). Theo cách tương tự, ta
có được vế trái của bất đẳng thức (2.10).
Lưu ý với η(b, a) = b − a, hàm tiền lồi bất biến f là hàm lồi và bất đẳng thức
(2.10) chính là bất đẳng thức Hermite–Hadamard (2.1). Như vậy rõ ràng là bất
đẳng thức (2.10) là một khái quát của bất đẳng thức Hermite–Hadamard cổ
điển.