Các phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm số có số biến rất lớn và ứng dụng trong tài chính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (468.48 KB, 56 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------
NGUYỄN TIẾN ĐÀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GẦN ĐÚNG
CHO HÀM SỐ CÓ SỐ BIẾN RẤT LỚN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số
: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. ĐINH DŨNG
HÀ NỘI - Năm 2013
Mục lục
Lời nói đầu
2
1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÓ SỐ CHIỀU RẤT
LỚN
1.1 Phân rã ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phân rã ANOVA cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phân hoạch ANOVA có điểm neo . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp tính tích phân theo số chiều . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự chặt cụt và rời rạc hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sai số và chi phí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Xây dựng tiên nghiệm sử dụng không gian hàm có trọng . . . . . . .
5
5
9
12
14
14
15
18
2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA 20
2.1 Lưới thưa tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Mối quan hệ giữa phương pháp tính tích phân trên lưới thưa với
phương pháp tính tích phân theo số chiều . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Lưới thưa tối ưu trong không gian có trọng . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Tỉ lệ giữa chi phí và lợi nhuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Phân tích chi phí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Phân tích sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Phân tích của sai số so với chi phí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ
3.1 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Xây dựng đường đi ngẫu nhiên (RW) . . . .
3.1.2 Xây dựng cầu Brown (BB) . . . . . . . . . .
3.1.3 Xây dựng thành phần chủ yếu (PCA) . . . .
3.2 Tùy chọn kiểu Châu Á . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Số chiều hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Sai số và chi phí tích phân . . . . . . . . . .
3.3 Trái phiếu lãi suất không . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Số chiều hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . .
1
KẾT QUẢ SỐ
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
33
33
34
34
35
36
37
38
39
40
40
42
3.3.3 Sai số và chi phí tích phân . . .
3.4 Trái vụ bảo đảm bằng tài sản thế chấp
3.4.1 Mô hình của bài toán . . . . . .
3.4.2 Số chiều hiệu dụng . . . . . . .
3.4.3 Chi phí và sai số tích phân . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
43
44
45
45
Kết luận
53
Tài liệu tham khảo
54
Lời nói đầu
Lý thuyết xấp xỉ là một nhánh của toán học nói chung và giải tích nói riêng.
Hiện nay nó đã và đang phát triển mạnh mẽ, thâm nhập vào hầu hết các ngành
toán học cũng như các ngành khoa học khác như hóa học, vật lí thậm chí cả tài
chính toán. Đôi khi chúng ta phải làm việc với những bài toán mà việc tính giá trị
chính xác của nó gặp nhiều khó khăn bởi một số lí do như biểu thức toán học cồng
kềnh, phức tạp hoặc phải tính một tích phân có số chiều rất lớn và nhiều lúc người
ta xem nó như là một thảm họa cần phải khắc phục và loại trừ hay ít nhất cũng
làm giảm nó đi theo một nghĩa nào đó.Với những bài toán như thế việc tính gần
đúng giá trị của nó sao cho sai số tính toán nhỏ nhất là cần thiết.
Điều đáng nói là đã xuất hiện nhiều tích phân có số chiều rất lớn trong nhiều mô
hình bao gồm từ toán học, vật lí, hóa học đến tài chính. Trong hầu hết các trường
hợp, các tích phân xuất hiện không thể được tính toán theo công cụ giải tích thông
thường và do vậy phương pháp số cần phải được áp dụng. Ở đây một trong những
vấn đề tiên quyết là thảm họa của số chiều cần phải được tránh theo ít nhất ở một
nghĩa nào đó. Thảm họa của số chiều thể hiện ở chỗ chi phí để xấp xỉ tích phân với
một độ chính xác ε cho trước phụ thuộc theo hàm mũ vào số chiều của bài toán.
Nó là một trong những trở ngại lớn nhất cho phương pháp số truyền thống với các
bài toán có số chiều cao. Điều này đã được nói đến trong [8].
Hơn thế nữa thảm họ của số chiều có thể tìm thấy theo quan điểm của các định
lý phức tạp của lý thuyết số. Ở đó, nó thể hiện một vài bài toán tích phân với thuật
toán tốt nhất thậm chí cũng không tránh khỏi thảm họa của số chiều, những bài
toán như thế được gọi là không khả thi. Tuy nhiên nhiều bài toán ứng dụng đôi khi
lại xuất hiện trong lớp bài toán nhỏ hơn có thể là khả thi, thêm vào đó có thể tồn
tại thuật toán có thể phá vỡ thảm họa của số chiều, thuật toán ngẫu nhiên Monte
Carlo (MC) là một trong những thuật toán có dạng như thế. Mặc dù tốc độ hội
tụ của nó là khá thấp và phải sử dụng một số lượng tương đối lớn các điểm đánh
giá. Sau đó phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) được thay thế cho phương pháp
Monte Carlo, phương pháp này có thể giành được tốc độ hội tụ nhanh hơn. Sai số
2
của phương pháp này có thể đạt được là ε(n) = O(n−1 (log n)d ) cho các hàm dưới
dấu tích phân có phương sai bị chặn .
Với nhiều bài toán trong tài chính, các chuyên gia lý thuyết số đã chứng minh
rằng phương pháp tựa Monte Carlo hội tụ gần như độc lập với số chiều, đồng thời
nhanh hơn và chính xác hơn phương pháp Monte Carlo.
Với những hàm đủ trơn, những kết quả tương tự có thể tìm thấy cho phương
pháp tính tích phân trên lưới thưa. Một sự giải thích cho sự thành công của phương
pháp này là dựa trên sự phân tích của phân rã phương sai gọi tắt là ANOVA. Trong
luận văn, tác giả trình bày lại một số phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm
số có số chiều rất lớn dựa theo nội dung của bài báo: Michael Griebel, Markus Holtz,
"Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to
finance", Journal of Complexity 26 (2010), pp. 455 - 489. Đồng thời cũng dựa theo
nội dung của bài báo này tác giả cũng đưa ra một vài kết quả số quan trọng và
một số ứng dụng trong tài chính. Cụ thể là, phương pháp tính tích phân được xây
dựng trên cơ sở của sự chặt cụt và sự rời rạc hóa của phân rã ANOVA có điểm neo.
Những phương pháp này được thiết lập nhằm khai thác số chiều hiệu dụng thấp
của hàm dưới dấu tích phân mà ở đó phương pháp lưới thưa là một trường hợp đặc
biệt. Hơn nữa những phương pháp này có thể được áp dụng theo cách thích nghi
theo số chiều và thích nghi địa phương. Hiệu quả của chúng được kiểm tra bởi các
chuyên gia số học bằng những tích phân có số chiều rất lớn xuất phát từ tài chính.
Nội dung luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Các phương pháp tính tích phân có số chiều rất lớn
Chương này nhắc lại hai phân rã ANOVA, phân rã ANOVA cổ điển và phân rã
ANOVA có điểm neo. Qua đó đưa ra các khái niệm tương ứng của số chiều chặt
chụt và số chiều hiệu dụng cho mỗi loại phân rã. Sau đó chúng ta sử dụng phân rã
ANOVA có điểm neo để giới thiệu một lớp phương pháp mới cho việc tính tích phân
nhiều biến.
Chương 2. Phương pháp tính tích phân tối ưu trên lưới thưa
Chương này trình bày phương pháp lưới thưa tổng quát, lưới thưa cổ điển và
lưới thưa có trọng. Qua đó phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố sai số, chi phí và
lợi nhuận của các phương pháp này cho việc tính tích phân nhiều biến.
Chương 3. Một số kết quả số và ứng dụng trong tài chính
Chương này trình bày về kết quả số và một số ứng dụng trong tài chính như mô
hình tùy chọn kiểu Châu Á, trái phiếu không lãi suất và bài toán CMO ( trái vụ
bảo đảm bằng tài sản thế chấp).
3
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đinh
Dũng, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, thông qua luận
văn tác giả cũng xin lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản
biện đã đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho luận văn của tôi.
Một lần nữa tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn. Do
thời gian, kinh nghiệm và năng lực còn nhiều hạn chế nên luận văn chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn, vì vậy tác giả rất mong nhận được những
đóng góp ý kiến và phê bình kịp thời của thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận
văn được hoàn thiện hơn cả về mặt nội dung lẫn hình thức. Tác giả xin chân thành
cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Tiến Đà
4
Chương 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÓ SỐ CHIỀU RẤT LỚN
1.1
Phân rã ANOVA
Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu phép phân tích phương sai cổ điển (ANOVA
cổ điển) và phép phân tích phương sai có điểm neo (ANOVA có điểm neo) của hàm
nhiều biến f . Dựa trên những phân rã này, chúng ta sẽ định nghĩa những khái niệm
khác nhau về số chiều hiệu dụng của f . Để bắt đầu, cho Ωd ⊆ Rd là tập xác định
của f và giả sử dµ(x) =
n
∏
dµj (x) là kí hiệu của tích các độ đo được định nghĩa
j=0
trên tập con Borel của Ωd . Ở đây x = (x1 , . . . , xd ) và µj với j = 1, 2, ..., d là các độ
đo trên Ω. Với
∫
dµj (xj ) = 1.
(1)
Ω[0,1]
Đồng thời kí hiệu V (d) là không gian Hilbert gồm tất cả các hàm f : Ωd → R.
Trong đó tích vô hướng được xác định bởi
∫
(f, g) =
f (x)g(x)dµ(x).
Ωd
Với mỗi tập u ⊆ D, trong đó D = {1, ..., d} là tập chỉ số, thì độ đo µ cảm sinh
phép chiếu
Pu : V (d) → V (|u|)
∫
sao cho
Pu f (xu ) =
f (x)dµD\u (x).
Ωd−|u|
Ở đây ta kí hiệu xu là kí hiệu của véc tơ có số chiều là |u| gồm những thành phần
của x mà chỉ số của nó thuộc u và dµD\u (x) :=
5
∏
j̸∈u
dµj (xj ).
Phép chiếu này định nghĩa một phân rã f ∈ V (d) thành tổng hữu hạn
f (x1 , . . . , xd ) = f0 +
d
∑
d
∑
fj1 (xj1 ) +
j1
fj1 ,j2 (xj1 , xj2 ) + ... + fj1 ,...,jd (xj1 , ..., xjd ).
j1
(1)
Ở đây f0 là hàm hằng, fj1 là hàm một chiều, fj1 j2 là hàm 2 chiều và cứ tiếp tục
như vậy. Chú ý rằng ở (1) có tất cả 2d số hạng . Một phân rã như thế có thể giành
được từ việc xây dựng tích tenxơ các không gian hàm một chiều. Đầu tiên chúng ta
sẽ làm việc với không gian một chiều. Chúng ta phân tích
V1 =1
⊕
W
trong đó 1 kí hiệu cho không gian con 1 chiều sinh bởi 1 hay 1 = Span {1} là không
gian các hàm hằng . Xét phép chiếu
P : V 1 → 1,
∫
P f (x) =
f (x)dµ(x).
Ω1
Một ví dụ phổ biến và truyền thống là độ đo Lebesgues dµ(x) = dx, từ đó suy
∫
ra
P f (x) =
f (x)dx.
Ω1
hay một ví dụ khác cho độ đo Dirac đặt tại a ∈ Ω1 với dµ(x) = δ(x − a)dx là
∫
P f (x) =
f (x)dx = f (a).
Ω1
Điều này dẫn đến phân rã
f (x) = f0 + f1 (x),
∫
trong đó
f (x)dµ(x) ∈ Span {1}
f0 = P f (x) =
Ω1
∫
và
f1 (x) = (I − P )f (x) = f (x) −
f (x)dµ(x) ∈ W.
Ω1
6
(2)
Khi đó W là không gian con của V (1) gồm tất cả các hàm thỏa mãn
nghĩa là nó phải trực giao với 1 và
∫
∫
f (x)dµ(x) = 0,
Ω1
f1 dµ(x) = 0.
Ω1
Dễ dàng thấy
||f ||2 = ||f0 ||2 + ||f1 ||2
và
⟨f, g⟩ = ⟨f0 , g0 ⟩ + ⟨f1 , g1 ⟩.
Ở đây g cũng được chia tương tự giống f .
Bây giờ ta xét một ví dụ đơn giản trong trong trường hợp hàm 2 biến sau đây
Ví dụ 1.1 Cho f (x1 , x2 ) = a + bx1 + cx2 + dx1 x2 với a, b, c, d là các hằng số thực.
Khi đó
b c d
+ + ,
2 2 4
d
1
f1 (x1 ) = (b + )(x1 − ),
2
2
d
1
f2 (x2 ) = (c + )(x2 − ),
2
2
d
f1,2 (x1 x2 ) = (2x1 − 1)(2x2 − 1).
4
f0 = a +
Nếu ta chọn a = 0; b = 12; c = 6; d = −6 thì
f (x) = f (x1 , x2 ) = 12x1 + 6x2 − 6x1 x2 ,
15
f0 =
,
2
9
f1 (x1 ) = 9x1 − ,
2
3
f2 (x2 ) = 3x2 − ,
2
3
f1,2 (x1 , x2 ) = 3x1 + 3x2 − 6x1 x2 − .
2
Như vậy ta có giá trị phương sai tương ứng
31
,
4
27
σ 2 (f1 ) = ,
4
3
σ 2 (f2 ) = ,
4
1
σ 2 (f1,2 ) = .
4
σ 2 (f ) =
Tiếp theo chúng ta xem xét trường hợp d− chiều. Phép chia một chiều đã giới thiệu
một phân rã tự nhiên của hàm d− chiều từ không gian hàm d− chiều bằng việc xây
7
dựng tích tenxơ
V
(d)
=
d
⊗
(1j ⊗ Wj )
j=1
Ở đây với 1j = 1; Wj = W , chúng ta có một công thức biểu diễn tường minh
⊕
V (d) =
Wu .
u⊆{1,...,d}
Khi đó
f (x) =
∑
fu (xu ) với fu ∈ Wu , xu = (xi1 , ..., xi|u| ) và i1 , ..., i|u| ∈ u
(3)
u⊆D
được gọi là một phân rã ANOVA của hàm d - chiều.
Ở đây trong (3) có 2d số hạng, trong đó mỗi số hạng fu mô tả sự phụ thuộc của f
vào u với độ đo µ. Chúng được định nghĩa tường minh
fu (xu ) := Pu f (xu ) −
∑
fv (xv ).
(4)
(−1)|u|−|v| Pv f (xv ).
(5)
v⊂u
Hay
fu (xu ) =
∑
v⊆u
Tính trực giao của fu và fv được thể hiện ở chỗ
∫
fu (xu )fv (xv )dµ(x) = 0 với ∀u ̸= v.
(6)
Ωd
Ví dụ 1.2 Cho các hàm một biến gj ∈ L2[0;1] với j = 1, . . . , d. Khi đó ta có Igj :=
∫
gj (x)dx và σ 2 (gi ) :=
[0,1]
∫
(Igj − gj (x))2 dx. Xét các hàm cộng và nhân thuần túy
[0,1]
+
f (x) :=
d
∑
∗
gj (xj ) và f (x) =
i=1
i=1
Bằng các phép tính đơn giản ta thu được
If
+
=
d
∑
Igj ,
i=1
2
d
∏
+
σ (f ) =
d
∑
i=1
8
σ 2 (gj ),
gj (xj ).
Đồng thời,
∗
If =
d
∏
Igj ,
i=1
2
∗
σ (f ) =
d
∏
(I 2 (gj ) + σ 2 (gj )) − I 2 f ∗ .
i=1
Hơn thế nữa các số hạng trong phân hoạch và phương sai của nó được tính tường
minh như sau
fu+ (xu )
σ
2
(fu+ )
If +
=
=
nếu u = ∅,
nếu u = j,
nếu |u| > 1.
gj (xj ) − Igj
0
0
σ 2 (g
0
nếu u = ∅,
j ) nếu u = j,
nếu |u| > 1.
Với hàm f ∗ bằng tính toán tương tự ta cũng có
fu∗ (xu ) =
1.1.1
∏
∏
j∈u
j̸∈u
(gj (xj ) − Igj )
Igj và σ 2 (fu∗ ) =
∏
j∈u
σ 2 (gj )
∏
I 2 gj .
j̸∈u
Phân rã ANOVA cổ điển
Trước hết ta sử dụng kí hiệu xu = (xi1 , ..., xi|u| ) với i1 , ..., i|u| ∈ u. Khi đó ta có
Định nghĩa 1.1. Cho Ω = [0, 1], D := {1, 2, ..., d} , dµ(x) = dx và V (d) là không
gian các hàm bình phương khả tích. Khi đó phân rã
f (x) =
∑
fu (xu ),
u⊆D
trong đó
fu (xu ) := Pu f (xu ) −
∑
fv (xv )
v⊂u
∫
và phép chiếu cho bởi
Pu f (xu ) =
f (x)dxD\u
[0,1]d−|u|
được gọi là một phân rã ANOVA cổ điển.
Phương sai của hàm f có thể viết như sau σ 2 (f ) =
∑
u⊆D
u̸=∅
9
σ 2 (fu ), ở đây σ 2 (fu ) là
σ 2 (fu )
là chỉ số độ nhạy toàn cục dùng để đo
σ 2 (f )
mức độ quan trọng tương đối của số hạng fu với f . Bây giờ ta dựa vào việc phân
phương sai của fu . Đồng thời giá trị
tích phương sai, để đưa ra những khái niệm về số chiều hiệu dụng cho α ∈ (0, 1] như
sau
Định nghĩa 1.2.
Số chiều hiệu dụng theo ý nghĩa chặt cụt của hàm f là số
nguyên dương nhỏ nhất dt sao cho
∑
σ 2 (fu ) ≥ ασ 2 (f ).
(8)
u⊆{1,...,dt }
u̸=∅
Định nghĩa 1.3.
Số chiều hiệu dụng theo ý nghĩa chồng chất của hàm f là số
nguyên dương nhỏ nhất ds sao cho
∑
σ 2 (fu ) ≥ ασ 2 (f ).
(9)
|u|≤ds
u̸=∅
Hai bổ đề sau đưa ra quan hệ giữa số chiều hiệu dụng và sai số xấp xỉ.
Bổ đề 1.1. Cho dt kí hiệu là số chiều chặt cụt của f . Khi đó với α ∈ (0, 1] và
fdt :=
∑
u⊆{1,...,dt }
fu (xu ) ta có ||f − fdt ||2L2 ≤ (1 − α)σ 2 (f ).
Chứng minh. Ta có σ 2 (fu ) = ||fu ||2L2 với u ̸= ∅ vì
∅. Thật vậy
∫
fu (xu )dxu = 0 với mọi u ̸=
[0,1]|u|
∫
2
σ (fu ) =
∫
(I − fu ) dxu (trong đó I =
fu (xu )dxu = 0 vì u ̸= ∅).
2
[0,1]|u|
[0,1]|u|
∫
Khi đó
(fu )2 dxu = ||fu ||2L .
2
σ (fu ) =
2
[0,1]|u|
Từ đây suy ra
∑
||f − fdt ||2L2 = ||
u̸⊆{1,...,dt }
=
∑
u⊆D
∑
fu ||2L2 =
∑
σ 2 (fu ) −
u̸⊆{1,...,dt }
u⊆{1,...,dt }
Điều này cho ta điều phải chứng minh.
10
||fu ||2L2
σ 2 (fu )
(1 − α)σ 2 (fu ).
Bổ đề 1.2. Cho ds là số chiều chồng chất của f . Khi đó với α ∈ (0, 1] và fds :=
∑
|u|≤ds
fu (xu ) ta có ||f − fds ||2L2 ≤ (1 − α)σ 2 (f ).
Chứng minh. Tương tự bổ đề 1.1, ta có
||f − fds ||2L2 =||
∑
fu (xu ) −
∑
=
∑
fu (xu )||2 ≤
|u|>ds
∑
fu (xu )||2L2
|u|≤ds
u⊆D
u̸=∅
=||
∑
||fu (xu )||2
|u|>ds
||fu (xu )||2 −
∑
||fu (xu )||2
|u|≤ds
u⊆D
u̸=∅
=σ 2 (f ) −
∑
σ 2 (fu ) ≤ (1 − α)σ 2 (f ).
|u|≤ds
Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét.
1. Từ hai bổ đề trên ta nhận thấy phương pháp tính tích phân tạo ra sai số nhỏ
nếu α gần 1. Các điểm tựa ngẫu nhiên là được phân bố đều theo số chiều lớn đến
mức mà ta có thể hi vọng rằng Ifdt là được xấp xỉ tốt khi số chiều chặt cụt dt nhỏ.
Đồng thời đánh giá
|If − Iftr | ≤
√
1 − ασ(f )
(10)
giải thích một phần thành công của phương pháp lưới thưa cho tích phân có số
chiều cao với những hàm số có số chiều hiệu dụng thấp vì những phương pháp này
có thể tính toán Iftr rất hiệu quả khi mà ds hoặc dt nhỏ với sự kết hợp của sự làm
mịn lưới thưa theo số chiều. Ở đây ftr = fdt hoặc ftr = fds .
2. Chúng ta có thể lựa chọn Ω = R và độ đo Gauss
dµ(x) = φd (x)dx
trong đó φd (x) =
xT x
2
d
(2π) 2
e−
là kí hiệu mật độ Gauss chuẩn. Điều này cảm sinh một
∫
phép chiếu
Pu f (xu ) =
f (x)φd−|u| (xu )dxD\u .
Rd−|u|
Phép chiếu này sinh ra phân rã ANOVA với trọng Gauss. Dựa trên phân rã này số
chiều hiệu dụng của f được định nghĩa tương tự như (8) và (9).
11
1.1.2
Phân hoạch ANOVA có điểm neo
Sử dụng các kí hiệu như trong Định nghĩa 1.1 ta có
Định nghĩa 2.1. Cho Ω = [0, 1] và dµ(x) = δ(x − a)dx là độ đo Dirac đặt tại
a ∈ [0, 1]d cho trước. Khi đó phân rã
f (x) =
∑
fu (xu ),
u⊆D
trong đó fu (xu ) := Pu f (xu ) −
∑
v ⊂u
fv (xv ) với phép chiếu Pu f (xu ) = f (x )|x =a\xu
được gọi là phân rã ANOVA có điểm neo.
Ở đây ta sử dụng f (x)|x=a\xi = f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 . . . , ad ) và f (x)|x=a\xu =
f (a1 , . . . , x1 , xi1 , ..., xiu , . . . , ad ) với xu = (xi1 , xi2 , ..., xiu ).
Ta thấy rằng các số hạng của phân rã ANOVA có điểm neo do vậy khác với các
số hạng của phân rã phương sai cổ điển ở chỗ là tất cả các hàm dưới dấu tích phân
được thay thế bởi sự đánh giá hàm tại điểm neo a ∈ [0, 1]d cho trước. Phương pháp
này đã được xem xét trong [2] dưới cái tên Cut-HDMR.
Trong khi phân rã ANOVA cổ điển là rất hữu ích để phân tích tầm quan trọng
của các số hạng với số chiều khác nhau và tương tác giữa chúng nhưng nó không
được sử dụng như một công cụ cho việc thiết kế để xây dựng lược đồ tích phân
vì số hạng hằng trong phân hoạch cổ điển yêu cầu phải tính tích phân. Phân rã
ANOVA có điểm neo lại có thuận lợi là số hạng con của nó là khá rẻ để tính toán
vì rằng ta chỉ cần thay việc tính tích phân bằng việc tính giá trị của hàm tại điểm
neo a ∈ [0, 1]d cho trước.
Bây giờ ta đưa ra khái niệm mới của số chiều hiệu dụng dựa trên phân rã ANOVA
có điểm neo. Số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển là dựa trên chuẩn trong
L2 .
Số chiều hiệu dụng cho trường hợp có điểm neo dựa trên toán tử |I(·)| vì |I(f )| =
|
∫
f (x)dx| ≤ ||f ||L1 . Do vậy nó liên quan đến chuẩn trong L1 .
[0,1]d
Như ta đã thấy số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển trực tiếp đưa đến
giới hạn sai số cho xấp xỉ ( điều này được thể hiện trong bổ đề 1.1, bổ đề 1.2), chúng
ta sẽ sử dụng số chiều hiệu dụng trong trường hợp điểm neo để tìm ra sai số cho
tích phân.
Để bắt đầu, ta đặt
σ(f ) :=
∑
|Ifu | ≤
∑
u⊆D
u̸=∅
u⊆D
u̸=∅
12
||fu ||L1
(11)
là tổng các giá trị tuyệt đối của tích phân của tất cả các số hạng trong phân rã. Sau
đó, tương tự như (8), (9) cho α ∈ (0, 1] ta có
Định nghĩa 2.2.
Số chiều chặt cụt trong trường hợp có neo là số nguyên dương
nhỏ nhất dt sao cho
∑
|Ifu |
ασ(f ).
(12)
u⊆{1,...,dt }
u̸=∅
Định nghĩa 2.3.
Số chiều chồng chất trong trường hợp có điểm neo là số nguyên
dương nhỏ nhất ds sao cho
∑
|Ifu |
ασ(f ).
(13)
|u|≤ds
u̸=∅
Hai bổ đề sau đưa ra quan hệ giữa số chiều hiệu dụng trong trường hợp có điểm
neo và sai số tích phân.
Bổ đề 1.3. Cho dt là kí hiệu số chiều chặt cụt của f trong trường hợp có điểm neo
ứng với α ∈ (0, 1] và fdt (x) :=
∑
fu (xu ), khi đó ta có
u⊆{1,...,dt }
|If − Ifdt | ≤ (1 − α)σ(f ).
Chứng minh. Ta có
||If − Ifdt || =|
∑
∑
|Ifu | =
u⊆{1..dt }
=σ(f ) −
Ifu | = |
u⊆{1,..,dt }
u⊆D
≤
∑
Ifu −
∑
∑
∑
Ifu |
u {1..dt }
|Ifu | −
u⊆D
∑
|Ifu |
u⊆{1,...,dt }
|Ifu | ≤ (1 − α)σ(f ).
u⊆{1..dt }
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4. Cho ds là số chiều chồng chất của f trong trường hợp có điểm neo ứng
với α ∈ (0, 1] và fds (x) :=
∑
fu (xu ), khi đó ta có
|u|≤ds
|If − Ifds | ≤ (1 − α)σ(f ).
13
Chứng minh. Ta có
|If − Ifds | =|
∑
=
Ifu | = |
|u|≤ds
u⊆D
∑
∑
Ifu −
|Ifu | −
∑
|u|>ds
∑
∑
Ifu | ≤
|Ifu |
|u|>ds
|Ifu | ≤ σ(f ) − ασ(f ) = (1 − α)σ(f ).
|u|≤ds
u⊆D
Nhận xét: Chúng ta có thể lựa chọn Ω = R và dµ(x) = δ(x − a)φd (x)dx với
a ∈ Rd cho trước và φd là mật độ Gauss. Điều này sinh ra phép chiếu
Pu f (xu ) = (f (x)φd−|u| (xu ))
.
x=a\xu
Nhờ có (3), một phân rã tương ứng của f : Rd → R, được suy ra như phân rã
ANOVA có điểm neo với trọng Gauss.
Dựa trên phân rã này, số chiều hiệu dụng của phân rã ANOVA có điểm neo với
hàm trọng Gauss có thể được định nghĩa tương tự như (12), (13).
1.2
Phương pháp tính tích phân theo số chiều
Bây giờ chúng ta sử dụng phân rã ANOVA có điểm neo để định nghĩa một lớp
mới các phương pháp cho việc tính toán tích phân với số chiều cao. Ta kí hiệu
∫
f (x)dx
(14)
f (z)φd (z)dz,
(15)
If :=
[0,1]d
và
∫
Iφ f :=
Rd
trong đó φd là hàm trọng Gauss. Hai loại này là điển hình trong ứng dụng cho tính
tích phân có số chiều cao.
1.2.1
Sự chặt cụt và rời rạc hóa
Tiếp theo chúng ta phát triển lớp mới các phương pháp tính tích phân. Chúng
ta bắt đầu với Ω = [0; 1], lấy µ là độ đo Dirac đặt tại điểm neo a ∈ [0, 1]d . Khi đó
ta có
fu (xu ) = Pu f (xu ) −
∑
fv (xv ), trong đó Pu f (xu ) = f (x)
v⊂u
14
x=a\xu
.
(16)
Áp toán tử tích phân cho phân rã có điểm neo (3), tích phân d− chiều được phân
hoạch tuyến tính, thành tổng hữu hạn
If =
∑
Ifu = f (a) +
d
∑
Ifi +
i=1
u⊆D
d
∑
Ifi,j + · · · + If1,...,d .
(17)
i,j=1
j
Chú ý là trong vế phải của (17) mỗi tích phân j chiều có Cdj số hạng với j =
1, 2, . . . , d. Xuất phát từ phân rã (17) chúng ta định nghĩa một lớp phương pháp
tính tích phân tổng quát cho việc xấp xỉ của If . Chúng ta thực hiện như sau:
1. Chặt cụt: Chúng ta chỉ lấy tập con S của tất cả các chỉ số u ⊆ D, do đó ta đã
chặt cụt tổng (17), ở đây ta giả sử tập S thỏa mãn điều kiện chấp nhận được đó là
u ⊆ S; v ⊂ u ⇒ v ∈ S.
(18)
Ví dụ: Sdt := {u ⊆ D : u ⊆ {1, ..., dt }} hoặc Sds := {u ⊆ D : |u| ≤ ds }.
2. Rời rạc hóa: Với mỗi u ⊆ S, chúng ta tính toán sự xấp xỉ cho Ifu . Chúng ta
lựa chọn công thức tính tích phân |u| - chiều Qu , bắt đầu từ q∅ = f (a), khi đó
qu := Qu (Pu f ) −
∑
qv
(19)
v⊂u
được xem là xấp xỉ của Ifu (dựa vào công thức (16)). Rõ ràng thấy rằng chúng ta
tránh được việc tính toán giá trị tích phân của hàm fu . Chúng ta có thể chọn Qu
tùy ý và có thể là khác nhau phụ thuộc vào u.
Bây giờ ta định nghĩa một công thức tính tích phân
AS (f ) :=
∑
qu
(20)
u∈S
như là xấp xỉ của If , đồng thời ta kí hiệu
n :=
∑
nu
u∈S
là số các điểm đánh giá của hàm f , ở đây nu là kí hiệu của các số điểm đánh giá
hàm của Qu .
1.3
Sai số và chi phí
Đầu tiên chúng ta xem xét trường hợp của phương pháp tính tích phân tùy ý
Qu . Đầu tiên chúng ta có đánh giá sai số
|If − AS f | = |
∑
u⊆D
Ifu −
∑
qu |
∑
u∈S
u∈S
15
|Ifu − qu | +
∑
u̸∈S
|Ifu | .
(21)
Điều này chứng tỏ rằng sai số của (20) phụ thuộc vào phương pháp tính tích
phân Qu và sự lựa chọn tập chỉ số S. Ở đây số hạng thứ hai diễn tả sai số mô hình
hóa theo nghĩa chặt cụt, tuy nhiên số hạng thứ nhất mô tả sai số rời rạc hóa nghĩa
là nó dựa vào sai số của từng số hạng trong phân rã ANOVA có điểm neo.
Mục đích của chúng ta trong phần tiếp theo là làm cân bằng chi phí và độ chính
xác bằng việc liên hệ chi phí của phương pháp tính tích phân Qu với tầm quan trọng
của số hạng fu trong phân rã ANOVA có điểm neo. Đầu tiên chúng ta liên hệ độ
chính xác của phương pháp tính tích phân Qu với độ chính xác của phương pháp
AS f . Để bắt đầu, chúng ta cố định trước α ∈ (0, 1] và giả sử rằng ds và dt lần lượt
là số chiều chồng chất và số chiều chặt cụt trong trường hợp phân rã ANOVA có
điểm neo. Trước hết chúng ta định nghĩa tập
Sdt ,ds := {u ⊆ {1, ..., dt } : |u|
ds } .
(22)
Khi đó ta có bổ đề
Bổ đề 1.5. Cho S = Sds ,dt , khi đó với mỗi ε > 0 cho trước và Qu là phép tính tích
phân sao cho |I(Pu f ) − Qu (Pu f )| ≤ ε(|u|) với ε(j) :=
ε
eddt s (djt )
ta có
|I(f ) − AS f | ≤ ε + 2(1 − α)σ(f ).
Chứng minh. Ta có |I(f ) − AS f |
∑
If − Ifdt ,ds + Ifdt ,ds − AS f , trong đó fdt ds :=
fu . Mặt khác, ta lại có sai số mô hình hóa được đánh giá bởi
u∈Sdt ds
∑
|If − Ifdt ds | = |
Ifu | ≤
u̸∈Sdt ds
∑
∑
|Ifu | +
|u|>ds
|Ifu |
u̸⊂{1,...,dt }
2(1 − α)σ(f ).
Hơn nữa ta có công thức biểu diễn tường minh
Ifu − qu =
∑
(−1)|u|−|v| (I(Pv f ) − Qv (Pv f )).
(23)
v⊆u
Vì |I(Pv f ) − Qv (Pv f )|
|Ifu − qu |
ε(|v|) đối với mọi v ⊆ u nên
∑
ε(|v|) =
v⊆u
Ở đây chúng ta đã sử dụng
|u| ( )
∑
|u|
j=1
(|u|)
j
j
ε(j)
|u| ( )
∑
dt
j=1
j
ε(j).
tập v ⊆ u thỏa mãn điều kiện |v| = j. Sử dụng
16
định nghĩa của ε(j) ta có thể đánh giá được sai số rời rạc hóa bởi
∑
Ifdt ,ds − ASdt ,ds f
ds ( ) ∑
k ( )
∑
dt
dt
|Ifu − qu |
u∈Sdt ,ds
k=1
ds ( ) ∑
k
∑
dt
ε
k
k=1
ε
ds
∑
eddt s
k=1
k
j=1
ε(j)
j
j=1
( )
ds
ε ∑ dt
= d
k
k
edt s
eddt s
ddt s
ε
k=
k!
e
k=1
ds
∑
k=1
1
(k − 1)!
ε.
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
∑
Tiếp theo ta sẽ liên hệ sai số |If − AS f | với chi phí n =
nu của phương pháp
u∈S
AS f . Thêm nữa mục đích của chúng ta là làm cân bằng chi phí nu với độ chính xác
của chúng. Ở đây phương pháp Qu là dựa trên công thức tính tích phân Um với m
điểm, và hội tụ với mỗi f ∈ C r ([0, 1]) với tốc độ m−r . Khi r = 1 thì ta có thể sử
dụng công thức hình thang, với r tùy ý thì công thức Gauss có thể được sử dụng.
Định lý 1.1. Nếu ta chọn S = Sdt ,ds và Qu là tích tenxơ |u| - chiều của quy tắc
[
]
Um với m := n1/ds thì
|If − AS f |
c(dt , ds )n− ds + 2(1 − α)σ(f )
r
với tất cả hàm f ∈ C r ([0, 1]d ). Ở đây hằng số c(dt , ds ) phụ thuộc vào số chiều hiệu
dụng dt và ds trong trường hợp có điểm neo nhưng không phụ thuộc vào số chiều d.
Chứng minh. Tương tự như bổ đề trên ta có
|If − AS f |
ở đây fdt ,ds :=
∑
Ifdt ,ds − AS f + 2(1 − α)σ(f ),
fu .Vì f ∈ C r ([0, 1]d ), đồng thời fu ∈ C r ([0, 1]|u| ) với mọi
u∈Sdt ,ds
u ⊆ D nên Qu hội tụ với tốc độ
r
.
|u|
[
Theo định nghĩa, Qu cần có nu = n
([ ] − là kí hiệu phần nguyên ) điểm đánh giá hàm sao cho
r
c(|u|)n− ds ,
|I(Pu f ) − Qu (Pu f )|
trong đó c(|u|) > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào cấp |u|. Ta lại có
Ifdt ,ds − ASdt ,ds f
∑
∑ ∑
|Ifu − qu |
|I(Pv f ) − Qv (Pv f )|
u∈Sdt ,ds v⊆u
u∈Sdt ,ds
∑ ∑
c(|v|)n
u∈Sdt ,ds v⊆u
− drs
=
ds ( ) ∑
k ( )
∑
dt
k
k=1
r
=c(dt , ds )n− ds .
17
k
j=1
j
c(j)n− ds
r
|u|
ds
]
với hằng số
c(dt , ds ) :=
ds ( ) ∑
k ( )
∑
dt
k
k
k=1
c(ds )
ds
∑
dds
t
k=1
trong đó c(ds ) :=
max
j=1,2...,ds
j=1
k!
c(j)
j
c(ds )
ds ( )
∑
dt
k=1
k
2k
c(ds )(e2 − 1)(dt )ds ,
2k
c(j). Như vậy đến đây định lí được chứng minh hoàn
toàn.
Chú ý rằng số hạng đầu tiên trong giới hạn sai số diễn tả sai số rời rạc hóa phụ
thuộc vào n tuy nhiên số hạng thứ hai diễn tả sai số mô hình hóa, nó phụ thuộc
vào α, hơn nữa chi phí dùng để giành được một sai số rời rạc hóa đã quy định trước
không phụ thuộc theo số mũ vào số chiều thông thường nhưng lại phụ thuộc vào số
chiều chồng chất trong trường hợp có điểm neo.
1.4
Xây dựng tiên nghiệm sử dụng không gian hàm có trọng
Trong thực tế số chiều hiệu dụng của f là thường không được biết trước. Những
số chiều này cũng có thể không được tính toán vì việc này ít nhất cũng phải trả chi
phí đắt như tính tích phân của nó. Do vậy thông thường, khó khăn mà chúng ta
hay gặp phải là xác định tập Sdt ,ds như đã đề cập ở trên.
Để khắc phục được trở ngại này, ở đây chúng ta giả sử rằng hàm dưới dấu tích
phân là được lấy từ lớp hàm nào đó đã được định nghĩa bởi không gian hàm xác định
có trọng γ ≥ 0 nó diễn tả tầm quan trọng của số hạng fu trong phân rã ANOVA
có điểm neo, sau đó ta xác định tập S bao gồm tất cả các chỉ số u tương ứng với
trọng lớn nhất γu . Trong phần tiếp theo ta sử dụng
Sγ := {u ⊆ D : γu > ε} .
Nhiều hàm f có số chiều hiệu dụng thấp có thể là theo nghĩa chặt cụt hoặc theo
nghĩa chồng chất. Với hai lớp hàm này chúng ta có thể hi vọng vào việc xác định
tập chỉ số Sγ gồm các số hạng quan trọng nhất cụ thể là
• Trọng phụ thuộc vào bậc được xác định bởi γu =
1
.
|u|
Rõ ràng là trọng nào có
cấp lớn hơn thì bé hơn trong trường hợp có điểm neo. Nếu hàm f có số chiều
chồng chất nhỏ thì ta có thể hi vọng nhận được một kết quả là tập chỉ số Sγ
bao gồm các số hạng quan trọng nhất.
18
• Giả sử rằng ta có một chuỗi các trọng
γ1 ≥ γ2 ≥ ... ≥ γd ≥ 0,
khi đó trọng tích được xác định bởi
γu :=
∏
γj ,
(24)
j∈u
trong đó u ⊆ D. Ở đây
γj :=
|qj |
|Qj (Pj f ) − f (a)|
=
,
|q∅ |
|f (a)|
với j = 1, 2..., d. Theo cách này ta có thể hi vọng tập chỉ số Sγ bao gồm các số hạng
quan trọng nhất đối với những hàm f có số chiều chặt cụt nhỏ. Chú ý rằng các kí
hiệu này sẽ được sử dụng thường xuyên trong các phần tiếp theo của luận văn. Để
ý là cũng có nhiều trọng phổ biến có thể được sử dụng trong việc xây dựng của
chúng ta miễn là điều kiện chấp nhận được thỏa mãn. Tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ
chuyển bài toán lựa chọn tập S thành bài toán xác định trọng γ.
19
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA
Trong chương này chúng ta sử dụng phương pháp tích tenxơ Qu cho việc xấp xỉ
tích phân Ifu trong (17). Điều này cho phép chúng ta kết hợp sự chặt cụt của phân
rã ANOVA và rời rạc hóa chuỗi con, đồng thời cho phép cân bằng sai số mô hình
hóa và sai số rời rạc hóa theo cách tối ưu nhất.
2.1
Lưới thưa tổng quát
Cho hàm một biến f : [0, 1] −→ R và một dãy các số nguyên không giảm
mk , k ∈ N, ta đặt
Umk f :=
mk
∑
wi,k f (xi,k )
(25)
i=1
là kí hiệu của một phép tính tích phân với mk điểm xi,k và trọng wi,k đồng thời
chuỗi này hội tụ tới If khi k → ∞. Chúng ta quy ước rằng m1 = 1, U1 f = f ( 12 ) và
công thức tính tích phân sai phân
∆k := Umk − Umk−1
(26)
với Um0 = 0 và mọi k ≥ 1. Bây giờ cho f : [0, 1]d → R là hàm nhiều biến . Khi đó
tích phân d - chiều có thể được viết thành tổng thu gọn vô hạn
If =
∑
∆k , f
(27)
k∈Nd
ở đây k ∈ Nd là kí hiệu tích các chỉ số với kj > 0 và
∆k f := (∆k1 ⊗ ∆k2 .... ⊗ ∆kd )f.
(28)
Một lớp đặc biệt các phương pháp tính tích phân cho xấp xỉ của If là dựa vào
sự chặt cụt tổng trên bằng việc sử dụng tập chỉ số xấp xỉ I ⊂ Nd . Tập này có thể
20
coi như là sự làm mịn của tập S ⊆ D. Tuy nhiên tập I phải thỏa mãn điều kiện
chấp nhận được đó là
Nếu k ∈ I và l
trong đó l
k nghĩa là lj
k thì l ∈ I,
(29)
kj với mọi j = 1, 2..., d. Theo hướng này phương pháp
lưới thưa tổng quát
SGI f :=
∑
∆k f
(30)
k∈I
có thể giành được như trong [3], [4], [12]. Với những phương pháp tính tích phân
khác nhau có cách chặt cụt khác nhau. Ví dụ như trong phương pháp lưới thưa cổ
điển người ta chọn tập chỉ số
{
I = k ∈ Nd : |k|1
ở đây |k|1 =
d
∑
}
l+d−1 ,
(31)
kj , hoặc đối với phương pháp tích thì tập I lại có dạng
j=1
{
I = k ∈ Nd : |k|∞
}
l ,
(32)
ở đây |k|∞ := max {kj : j = 1, 2..., d}.
2.2
Mối quan hệ giữa phương pháp tính tích phân trên lưới
thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều
Có một mối quan hệ gần gũi giữa phương pháp trên lưới thưa và phân rã ANOVA
có điểm neo. Thực vậy phương pháp lưới thưa có thể được giải thích như là sự làm
mịn của phép phân rã ANOVA, bởi trước hết là mở rộng mỗi số hạng của phép
phân rã ANOVA thành một cơ sở vô hạn và sau đó chặt cụt sự mở rộng này một
cách gần đúng. Do vậy nó có thể được xem như là trường hợp đặc biệt của phương
pháp (20) ở đây tập S và Qu được chọn một cách hệ thống để khai thác độ trơn
của hàm dưới dấu tích phân. Từ đây trở đi điểm neo a = ( 21 , ..., 12 ) sẽ được sử dụng.
Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Cho fu và Pu f như trong (16) đồng thời kí hiệu
{
}
Nu := k ∈ Nd : kj > 1 khi và chỉ khi j ∈ u .
Khi đó ∆k f = ∆k (Pu f ) nếu k ∈ Nv và v ⊆ u. Hơn nữa, ∆k f = ∆k fu nếu k ∈ Nu .
21
Chứng minh. Việc chứng minh bổ đề này khá đơn giản, thật vậy nếu k ∈ Nv và v ⊆ u
thì kj = 1 với mọi j ̸∈ u và do vậy ∆k f = ∆k (Pu f ) vì rằng ∆k f = ∆k1 ⊗∆k2 .....⊗∆kd
và ∆1 f = P∅ f = f ( 21 ) với mọi hàm một biến f . Tiếp theo cho k ∈ Nu , ta được
∆k (Pu f ) = ∆k fu +
∑
∆k fv .
v⊂u
Ta có fv (xv )|xj = 1 = 0 với mọi j ∈ v, điều này có được là do tính trực giao của
2
phép phân hoạch có điểm neo, từ đó cho ta kết luận ∆k fv = 0 với mọi v ∈ u và
k ∈ Nu , điều này dẫn đến ∆k f = ∆k (Pu f ) = ∆k fu với mọi k ∈ Nu . Từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
∑
Bây giờ sử dụng bổ đề trên và If =
∆k f ta được
k∈Nd
If =
∑∑
∆k f.
u⊆D k∈Nu
∑
Lại do (17) nên ta cũng thu được If =
Ifu , khi đó ta có
u⊆D
∑
Ifu =
∆k f.
k∈Nu
Tiếp theo, như đã đề cập ở phần trước ta sẽ chặt cụt tổng này, để bắt đầu ta chọn
tập chỉ số Iu ⊂ Nu với mọi u ⊆ D (tập này phải thỏa mãn điều kiện chấp nhận
được) khi đó người ta xem
qu :=
∑
∆k f
(33)
k∈Iu
như là sự xấp xỉ của Ifu . Tương ứng như vây, phương pháp (20) với tập S = D có
thể viết tường minh AS f =
∑
u⊆D
qu =
∑
∪
∆k f , ở đây I =
Iu .
u⊆D
k∈I
Ta định nghĩa
{
}
Iu := k ∈ I : kj > 1 khi và chỉ khi j ∈ u = I ∩ Nu .
(34)
Định lý 2.1. Phương pháp tính tích phân (20) với điểm neo a = ( 12 , ..., 12 ), tập chỉ
số S = D và phương pháp tính tích phân
Qu f :=
∑∑
∆k f
v⊆u k∈Iv
trùng với phương pháp lưới thưa tổng quát (30).
22
(35)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (20) trùng với (33) và (35), thật vậy ta có
Qu (Pu f ) −
∑
qv =
u⊂v
∑∑
∆k (Pu f ) −
=
∆k (Pu f ) +
=
∑∑
(∆k (Pu f ) − ∆k f
v⊂u k∈Iv
k∈Iu
∑
∆k f
v⊂u k∈Iv
v⊆u k∈Iv
∑
∑∑
∆k f = qu .
k∈Iu
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2.3
Lưới thưa tối ưu trong không gian có trọng
Trong Mục 2.2 chúng ta đã giới thiệu tập chỉ số I ⊂ Nd như là sự làm mịn của
tập S ⊆ D và công thức tính tích phân đặc biệt Qu sao cho phương pháp pháp (20)
tương ứng lớp phương pháp lưới thưa tổng quát. Trong mục này chúng ta sẽ xác
định tập chỉ số I, tập sẽ làm cân bằng sai số mô hình hóa và sai số rời rạc hóa theo
một cách tối ưu cho hàm dưới dấu tích phân được lấy từ không gian hàm Sobolev.
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét công thức tính tích phân một biến Umk trong (25)
được cho bởi công thức hình thang, ta giả sử m1 = 1, U1 f = f (0) và mi = 1 + 2i−2
điểm với mọi i
2, như vậy sự phân tích của chúng ta là dựa trên không gian hàm
một biến
Hγ1 ([0, 1]) := {f : [0, 1] → R : ||f ||1,γ < ∞}
với chuẩn
′
||f ||21,γ := f 2 (0) + γ −1 ||f ||2L2 ,
(36)
ở đây γ ∈ (0, 1] là kí hiệu của một trọng nào đó. Trong trường hợp nhiều biến chúng
ta xem xét một dãy các trọng
1 = γ1
· · · γd
γ2
0.
Chú ý là mỗi u ⊆ D ta có một trọng γu . Tiếp theo, ta định nghĩa không gian
tích tenxơ
Hγ1,mix ([0, 1]d )
trong đó chuẩn xác định bởi ||f ||21,γ :=
∫
||fu ||21,mix
d
⊗
:=
∑
Hγ1j ([0, 1]),
j=1
γu−1 ||fu ||21,mix , ở đây
u∈D
:=
2
∂ |u|
f (xu , 0) dxu .
∂xu
[0,1]|u|
23
