Tài liệu BDHSG Toán 9

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 26/08/10
Ngày dạy : 31/08/10
Chủ đề
1
Buổi 1
phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
- Tập chứng minh BĐT theo nhiều cách khác nhau
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?
- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?
III. Bài mới

A Lí thuyết
1) Định nghĩa bất đẳng thức.
a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0.
a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0.
a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.
a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.
Ví dụ:
VD1:
7 5 7 6 >
vì
( 7 5) ( 7 6) 1 0 = >
VD2:
1 3 1 1
3 4 3 4
<
vì
1 3 1 1 1
0
3 4 3 4 2

= <
ữ ữ

VD3: a
2
+ 1 < a
2
+ 2 vì (a
2
+ 1) - (a
2
+ 2) = -1 < 0
2) Các tính chất của BĐT.
+ Tính chất 1: a > b

b < a.
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
+ Tính chất 2: a > b và b > c

a > c (tính chất bắc cầu)
+ Tính chất 3: a > b

a + c > b + c
+ Tính chất 4: a > b, c > d

a + c > b + d
a > b, c < d

a - c > b - d
+ Tính chất 5:
ac bc, nếu c > 0

a b
ac bc, nếu c < 0
>

> <=>

<

+ Tính chất 6: a > b > 0, c > d > 0

ac > bd
+ Tính chất 7: a > b > 0

a
n
> b
n
với mọi n
*
N
;
a > b

a
n
> b
n
(n lẻ);
a b>
a

n
> b
n
(n chẵn)
+ Tính chất 8: a > b > 0


n n
a b>
với mọi n
*
N
;
Hệ quả: a, b 0 =>
2 2
a b a b a b <=> <=>
+ Tính chất 9:
m n
m n
a 1 và m n a a với m,n N *
0 a 1 và m n a a với m,n N *


> > => >

< < > => <


3, Một số bất đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm:

Với hai số không âm a , b ta có :
ab
ba

+
2

( )
2
a b
ab
2
+


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba
++
Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp chung :
Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đã biết là đúng
Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đã biết thành BĐT cần chứng minh
1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
Phơng pháp chứng minh A > B :
- Bớc 1: Xét hiệu A B
- Bớc 2: Chứng minh A B > 0
- Lu ý :
A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- A
2

0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
A A A
;
A A A 0; A A A 0= <=> = <=>
Bài tập:
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
*) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
a b
ab
2
+


ữ


Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi)
Xét hiệu

2
2 2
a b a 2ab b 4ab
ab
2 4
+ + +

=
ữ

2
a b
0
2


=
ữ


Vậy:
2
a b
ab
2
+


ữ

dấu = xảy ra khi a = b.
Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có :
ab
ba

+
2

ta xuất phát từ BĐT
2
( a b ) 0
, luôn đúng với mọi a, b 0
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki)
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
= a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
- a

2
x
2
- b
2
y
2
2byax
= (ay bx)
2


0
Vậy:
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
dấu = xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y
=
*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b c d e ) a(b c d e)
+ + + + + + +

=
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e
4 4 4 4

+ + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

=
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2

+ + +
ữ ữ ữ ữ


Vậy:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
dấu = xảy ra khi
a
b c d e
2
= = = =
*) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x

2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Bài làm :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)

= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2


0 với mọi x
(y - 1)
2


0 với mọi y
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
(z - 1)
2


0 với mọi z
=> H

0 với mọi x, y, z
Hay x
2
+ y
2

+ z
2
+3

2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
*) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x
4
+ y
4


xy
3
+ x
3
y
Bài làm :
Xét hiệu : x
4
+ y
4
( xy
3
+ x
3
y ) = ( x
4
xy
3

) + ( y
4
x
3
y )
= x( x
3
y
3
) + y( y
3
x
3
) = ( x y )( x
3
y
3
)
= ( x y )
2
( x
2
+ xy + y
2
) = ( x y )
2
(
)
2
2

3
1
x y y
2 4

+ +



0
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y .
*) Bài tập 6:
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1
b
)

9 (1)
Bài làm :
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab 1

4 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2


4 ab ( a b )
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi là tơng đơng. Vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b
*) Bài tập 7: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng :
a b a b+ > +
H ớng dẫn :
Cách 1 :

(
)
(

)
2 2
a b a b a b a b a 2 ab b a b
2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 )
+ > + <=> + > + <=> + + > +
<=> >
Vậy
a b a b+ > +
Cách 2 :
(
)
2
a b a b a 2 ab b a b (vì 2 ab 0)+ = + = + + > + >
Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên
a b
1, 1
a b a b
< <
+ +
, do đó
a a b b
,
a b a b a b a b
> >
+ + + +
Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011

Cách 4 :
Vì a > 0, b > 0 nên
a 0, b 0> >
Dựng tam giác ABC vuông tại A có
AB =
a ,AC b=
áp dụng Py ta go tính đợc
BC =
2 2
AB AC+
(
)
(
)
2 2
a b+
=
a b+
áp dụng BĐT tam giác, ta có : AB + AC > BC
Vậy
a b a b+ > +
b
a
C
B
A
*) Bài tập 8: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng :
3
a b c
abc

3
+ +

(BĐT Cô-si cho ba số không âm)
H ớng dẫn :
Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
3 3 3 2
1
x y z 3xyz (x y z) ( x y) y z z x
2

+ + = + + + +


Hớng dẫn : Ta biến đổi từ VP để có VT
Với x, y, z 0 =>
3 3 3
x y z 3xyz+ +
0 =>
3 3 3
x y z
xyz
3
+ +

Đặt x =
3 3 3
a ,y b ,z c (a,b,c 0)= =

Ta có :
3 3 3 3
a b c a b c
a b c abc
3 3
+ + + +
<=>
Cách 2 : Bài toán phụ
Cho x, y, z, t không âm . Chứng minh rằng
4
x y z t
xyzt
4
+ + +

(BĐT Cô-si cho bốn số không âm)
Thật vậy:

4
x y z t x y
z t
1 1
( xy zt ) xy zt xyzt
4 2 2 2 2
+ + + +

+
= + + =
ữ

=>
4
x y z t
xyzt
4
+ + +


ữ

Do đó
( )
4
4
a b c
a b c
a b c 3 a b c
abc
3 4 3
+ +

+ + +
ữ
+ + + +
=
ữ
ữ

Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh
Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0

Do đó:
( )
4
a b c a b c
abc
3 3
+ + + +
<=>

3
a b c
abc
3
+ +

Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
IV. Hớng dẫn về nhà
*) Bài tập về nhà : Chứng minh bất đẳng thức :

2
22
22






+

+
baba
H ớng dẫn :
Xét hiệu : H =
2
22
22






+

+
baba
=
4
)2()(2
2222
bababa
+++
=
0)(
4
1
)222(
4

1
22222
=+
baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
D/Bổ sung

*******************************
Ngày soạn : 29/08/10
Ngày dạy : 04/09/10
Chủ đề
1
Buổi 2
phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức
cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ?
- HS2: Giải bài tập đã cho tiết trớc
III. Bài mới
2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức
*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện
x + y = 2. Chứng minh x
4
+ y
4

2
Bài làm :
- Ta có: (x
2
y
2
)
2


0 (với mọi x, y)

x
4
+ y
4


2x
2
y
2


x
4
+ y
4
+ x
4
+ y
4


x
4
+ 2x
2
y
2
+ y

4


2(x
4
+ y
4
)

(x
2
+ y
2
)
2
(1)
dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y.
- Mặt khác, ta có: (x y)
2


0 (với mọi x, y)


x
2
+ y
2

2xy


2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2



x
2
+ y
2


2 (2) (vì x + y = 2)
dấu = xảy ra khi x = y.
- Từ (1) và (2) x
4
+y
4

2 dấu= xảy ra khi x = y = 1.
*) Bài tập 2 : Chứng minh rằng
2 2 2

3
a b c a b c
4
+ + +
Bài làm :
Ta có:
2
2
1 1
a 0 a a
2 4

+ +
ữ



2
2
1 1
b 0 b b
2 4

+ +
ữ


2
2
1 1

c 0 c c
2 4

+ +
ữ

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc:

2 2 2
1 1 1
a b c a b c
4 4 4
+ + + + +

2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +
dấu = xảy ra khi a = b = c =
1
2

.
*) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài làm :
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab

Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
*) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
Bài làm :
Do 0 < a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b

2
< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b
3
< 1 + a
2
b .
Tơng tự : b
3
+ c
3
< 1 + b
2
c ; c
3

+ a
3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
*) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức
( )
2
a b 0

, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau :
+)
( )
2
2 2
a b a b
2 2

+ +

+)
( )
2
a b 4ab
+
+)
( )
2
a b
ab
2
+

+)
( )
2
1 1
(a,b 0)
4ab
a b
>
+
+)
1 1 4
(a,b 0)
a b a b
+ >
+

+)
2 2
a b 2(a b ) (a,b 0)+ + >
(BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)
+)
a b 2 ab (a, b 0)+ >
(BĐT cô-si)
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
- Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một
phép biến đổi tơng đơng .
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia
cũng đúng .
Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
A
n
> B
n

*) Bài tập 6 :
Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1
1

+
+
+
ba
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1)
9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2

4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
*) Bài tập 7 :
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
=> 16

4(a + b)c => 16(a + b)

4(a + b)
2
c

16 abc
=> a + b

abc
Tơng tự : b + c

abc
c + a

abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

*) Bài tập 8 :
Chứng minh bất đẳng thức :

3
33
22

+

+
baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22






+

+
baba

+
+






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
.
2
2






+

ba
a
2
- ab + b
2



2
2






+
ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a

2
- 6ab + 3b
2
= 3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
( )
2
3 a b 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+

+
baba
Dấu = xảy ra a = b
*) Bài tập 9 :

Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a

2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


0
<=> a
2
+ b
2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1

0
<=> 2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
<=> ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
*) Bài tập 10 :
Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a

b
a




a
b
b

Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b
a




a
b
b

(
)() baabbbaa
++

0

[ ]
0)()()(
33
++
baabba

0)())((
+++
baabbababa

0)2)((
++
bababa

2
( a b )( a b ) 0+

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a




a
b
b

*) Bài tập 11 :

Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1
b
)

9 (1)
Giải:
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2

4 ab ( a b )
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b.
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
*) Bài tập 12 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m)
b) b(b + a)

ab
c) a(a b)

b(a b)
d)
2
c 1
c 1 2

+

*) Bài tập 13 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1.
Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1)

8

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu