Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng và áp dụng cho trạng thái của electron trong chấm lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU

PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG HIỆU DỤNG
VÀ ÁP DỤNG CHO TRẠNG THÁI CỦA ELECTRON
TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ THỊ THU PHƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin gửi lời
cảm ơn chân thành, sâu sắc đến cô giáo TS. Lê Thị Thu Phương, đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, Trường Đại học
Sư phạm, Đại học Huế đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn sinh viên khoa Vật lý khóa 2014-2018, gia
đình,bạn bè đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện khóa luận này
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Thu

2


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . .

5

1.1. Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Điện tử trong hệ thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Hạt chuyển động trong giếng thế vuông góc sâu vô
hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Chấm lượng tử bán dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1. Giới thiệu chung về chấm lượng tử bán dẫn . . . .

8

1.3.2. Những ứng dụng của chấm lượng tử . . . . . . . . .

9

1.4. Khái niệm giả hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG
HIỆU DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Electron trong tinh thể và khái niệm khối hiệu dụng

. . . 12

2.1.1. Electron trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Khái niệm khối lượng hiệu dụng

. . . . . . . . . . 16

2.2. Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng

. . . . . . . 19

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1


Chương 3. TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ TRONG CHẤM
LƯỢNG TỬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Chế độ giam giữ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Chế độ giam giữ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, thế giới đã và đang hình thành một ngành
khoa học công nghệ mới có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động
mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng
như đời sống kinh tế - xã hội ở thế kỉ XXI, đó là ngành công nghệ nano.
Tuy mới xuất hiện nhưng ngành công nghệ nano đã có những thành tựu
hết sức lớn trên hầu hết các lĩnh vực: điện tử, y học, công nghệ, môi
trường. . . Chính vì những ứng dụng thiết thực đó đã thúc đẩy các nhà
khoa học nói chung và các nhà vật lí nói riêng tập trung nghiên cứu nhiều
về ngành công nghệ này [6].
Cùng với sự phát triển khoa học công nghệ nano là sự ra đời của
chất bán dẫn mới gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ nhau có độ dày vào cỡ
nanomet – gọi là bán dẫn có cấu trúc nano. Ngành vật lý nghiên cứu bán
dẫn này là vật lý thấp chiều hay vật lý có cấu trúc nano (Nanophysics).
Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một
mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là hạn chế chuyển động
của các electron theo ít nhất là một hướng theo phạm vi bước sóng De
Broglie. Người ta tạo ra được cấu trúc điện tử hai chiều (giếng thế lượng

tử) bằng cách tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp
bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Các electron bị giam trong
lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy chuyển động của
chúng là chuyển động hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba
đã bị lượng tử hóa mạnh. Tiếp tục như vậy, ta có thể hình thành nên
cấu trúc không chiều (chấm lượng tử). Trong bán dẫn thấp chiều, chuyển
động của hạt mang điện tự do theo hai chiều (giếng lượng tử) hoặc một
1


chiều (dây lượng tử) hoặc không chiều (chấm lượng tử) với sự giam giữ
hạt mang điện theo cả 3 chiều. Với tính chất bị giam giữ mạnh của hạt
mang điện nên bán dẫn thấp chiều có các tính chất vật lý khác hẳn với
khối bán dẫn thông thường, đặc biệt là tính chất điện, quang và phản
ứng với môi trường [3].
Chấm lượng tử (quantum dot) là một tinh thể nano được làm từ vật
liệu bán dẫn, có kích thước từ vài nm tới vài chục nm, thường có dạng
hình cầu [3]. Chấm lượng tử là một vật liệu mới và có rất nhiều ứng dụng
vô cùng quan trọng trong cuộc sống và sản xuất. Có thể nói, hiện nay là
thời đại của chấm lượng tử vì có rất nhiều ứng dụng hứa hẹn và nổi bật
của chấm lượng tử trong các lĩnh vực kể trên. Đặc tính nổi trội của các
chấm lượng tử là hiệu ứng giam dữ lượng tử do kích thước giảm xuống
cỡ nm. Đặc tính này dẫn đến việc các hạt tải tích điện bị giam dữ về mặt
không gian, ở bên trong thể tích rất bé của nano tinh thể. Do hiệu ứng
này các nhà khoa học có thể sử dụng kích thước của các chấm lượng tử
này để thay đổi, trong một khoảng rộng và chính xác, năng lượng của các
trạng thái lượng tử gián đoạn và các dịch chuyển quang học. Kết quả là
các nhà khoa học có thể thay đổi phát xạ ánh sáng từ các hạt chấm lượng
tử này, từ vùng phổ tử ngoại, nhìn thấy, hồng ngoại gần và tới vùng phổ
hồng ngoại giữa.

Có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính chất của hệ electron trong
vật liệu khối nói chung và vật liệu nano nói riêng như phương pháp
gần đúng electron liên kết yếu, phương pháp gẫn đúng electron liên kết
mạnh. . . Trong đó, phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng được sử
dụng rộng rãi và có nhiều ưu việt [6]. Người ta hy vọng phương pháp này
sẽ giúp dự báo các tính chất của hệ electron khi có ảnh hưởng của hiệu
ứng giam giữ lượng tử và tính đối xứng tuần hoàn của mạng tinh thể khi

2


bị phá vỡ.
Việc nghiên cứu tính chất của chất bán dẫn thấp chiều nói chung
và của chấm lượng tử nói riêng là vô cùng quan trọng và tất yếu. Để
bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu tính chất của các vật liệu mới này
và chuẩn bị cho các nghiên cứu sâu hơn, tôi chọn đề tài cho khóa luận
của mình là: "Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng và áp
dụng cho trạng thái của electron trong chấm lượng tử" để làm
nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu của khóa luận
Mục tiêu của khóa luận là sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng
hiệu dụng để tính toán các trạng thái của electron trong chấm lượng tử.
3. Nội dung nghiên cứu
- Trạng thái của electron trong tinh thể, khái niệm giả hạt và cấu trúc
thấp chiều.
- Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.
- Áp dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong việc
nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.

5. Giới hạn đề tài
- Đề tài giới hạn trong phạm vi chỉ nghiên cứu tương tác electron –
phonon, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại (electron – electron,
phonon - phonon).
3


6. Bố cục khóa luận
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,
nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
Phần nội dung: bao gồm 3 nội dung
- Nội dung 1: Một số vấn đề tổng quan.
- Nội dung 2: Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.
- Nội dung 3: Trạng thái lượng tử trong chấm lượng tử.
Phần kết luận: Đưa ra kế luận chung và trình bày tóm tắt các kết
quả đạt được của khóa luận.

4


NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
1.1.

Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều

Cấu trúc hệ thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một
mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là hạn chế chuyển động

cuả các điện tử theo ít nhất một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ
bước sóng De Broglie của nó (cỡ nm). Trong những thập kỷ qua, bước
tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc thấp chiều là tạo ta khả năng
hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối [3].
Hệ bán dẫn thấp chiều [4] được tạo ra bằng phương pháp phổ biến
nhất hiện nay là phương pháp epitaxy chùm phân tử và phương pháp
lắng đọng hóa kim loại hữu cơ, trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề
rộng vùng cấm khác nhau được tạo ra xen kẽ nhau. Một hệ bán dẫn thấp
chiều là một hệ lượng tử trong đó các hạt tải điện (điện tử và lỗ trống)
dịch chuyển tự do hoặc theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều [4].
Hệ bán dẫn thấp chiều [4] được phân loại dựa trên số chiều không
gian mà các hạt tải điện có thể chuyển động tự do. Vì vậy, ta có các hệ
bán dẫn thấp chiều sau
+ Hệ hai chiều (2D): là hệ mà các hạt tải điện chỉ có thể chuyển
động tự do theo hai chiều và bị giam giữ theo một chiều, đặc trưng là hệ
giếng lượng tử và hệ siêu mạng.
+ Hệ một chiều (1D): là hệ mà các hạt tải điện chỉ có thể chuyển
động tự do theo một chiều và bị giam theo hai chiều, đặc trưng là hệ dây

5


lượng tử.
+ Hệ không chiều (0D): là hệ mà các hạt tải điện bị giam giữ theo
cả ba chiều, đặc trưng là chấm lượng tử.
Chính vì tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất
vật lý khác hẳn với bán dẫn khối thông thường, đặc biệt là tính chất điện,
quang và phản ứng với trường ngoài. Để đặc trưng cho hệ thấp chiều,
người ta đưa ra các thông số như sau: Bước sóng Fecmi, quãng đường tự
do trung bình và độ dài kết hợp pha [3].

Một hệ có kích thước nhỏ hơn một hoặc cả ba độ dài đặc trưng này
được gọi là hệ thấp chiều. Tỉ đối giữa λF , l, lϕ phụ thuộc vào loại vật liệu,
các kích thước này cỡ nanomet. Năng lượng đặc trưng của hệ tính theo
đơn vị meV, thời gian đặc trưng tính theo đơn vị ps [3].

1.2.

Điện tử trong hệ thấp chiều

1.2.1.

Hạt chuyển động trong giếng thế vuông góc sâu vô hạn

Xét trường hợp hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề
rộng a. Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Thế năng có dang:
0
khi 0 x a
(1.1)
U (x) =
∞ khi x < 0, x > a
(1.2)
Phương trình Schrodinger đối với chuyển động 1 chiều có dạng:
d2 ψ 2m 2
+
(E − U )ψ = 0
dx2

(1.3)

Ta thấy rằng ngoài giếng thế U (x) = ∞ hàm sóng u(x) = 0,

hạt không tồn tại ngoài giếng thế. Vậy ta chỉ xét hạt trong giếng thế
(0

x

a) U (x) = 0.
d2 ψ 2mE
+ 2 ψ(x) = 0
dx2
6

(1.4)


đặt: k 2 =

2mE
2

phương trình (1.4) trở thành:
d2 ψ
+ k 2 ψ(x) = 0
2
dx

(1.5)

Nghiệm phương trình có dạng:
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

(1.6)

Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên nên ta có ψ(0) = ψ(a) = 0.
+ Tại x = 0
⇒ ψ(0) = B cos(k0) = B = 0
⇒ ψ(x) = A sin(kx)
+ Tại x = a
⇒ ψ(x) = A sin(kx) = 0,
mà A = 0 ⇒ kab = nπ với n = 1, 2, 3, ...
n2 π 2
2mEn 2
nπ
2
⇒ (kn ) = 2 =
⇒ kn =
a
a

(1.7)

Ta thu được biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế:
2

En =
Trong đó E0 =

π2 2
2ma2

(kn2 ) n2 π 2 2

=
= n2 E0
2
2m
2ma

(1.8)

là năng lượng ứng với n = 1 và được gọi là

năng lượng ở trạng thái cơ bản. Như vậy hạt trong hố thế chỉ có thể
nhận những giá trị gián đoạn tỉ lệ với bình phương các số nguyên của
E0 , (E0 , 4E0 , 9E0 ...). Hàm riêng bây giờ có thể được viết lại như sau:
ψ(x) = A sin kx = A sin

nπ
x.
a

(1.9)
+∞

+ Hệ số A được xác đinh bằng điều kiện chuẩn hóa:

|ψ|2 dx = 1,

−∞

⇒A=
7

2
a

(1.10)


Vậy hàm sóng ở trạng thái dùng ứng với hạt có năng lượng En là
ψ(x) =

2
nπ
sin
x.
a
a

(1.11)

HÌNH

1.3.

Chấm lượng tử bán dẫn

1.3.1.

Giới thiệu chung về chấm lượng tử bán dẫn

Chấm lượng tử thường được hiểu là các tinh thể nano có kích thướt rất

nhỏ. Một chấm lượng tử tiêu chuẩn thường có kích thước nhỏ hơn bán
kính của exciton (10nm) và lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể
( 0.5nm). Với sự phát triển của công nghệ nano hiện nay, người ta có thể
điều khiển cấu tạo, kích thước của chấm lượng tử. Chấm lượng tử được
chế tạo bằng nhiều phương phám khác nhau, tùy theo phương pháp nuôi
cấy, chế tạo mà chấm lượng tử có hình dạng khác nhau. Một số hình dạng
thường gặp như dạng hình cầu, dạng đĩa, dạng chóp cụt,...
Trong chấm lượng tử, các điện tử, lỗ trống và exciton bị giam giữ
mạnh theo cả ba chiều trong một khoảng cỡ bước sóng De Broglie của
điện tử. Sự giam giữ này dẫn tới các mức năng lượng của hệ bị lượng tử
hóa, giống như phổ năng lượng gián đoan của một nguyên tử nhân tạo,
siêu nguyên tử [3].
Gần đây, vật liệu dùng để chế tọa chấm lượng tử đa số là vật liệu bán
dẫn vùng cấm thẳng, điển hình là các hợp chất AIII B V hoặc AII B IV . Vì
chấm lượng tử chính là những tinh thể nano bán dẫn nên ngoài tính chất
của bán dẫn khối, chấm lượng tử còn có nhiều tính chất mới do hiệu ứng
giam cầm lượng tử gây ra. Chấm lượng tử có nhiều tính chất quang học
như chúng hấp thụ ánh sáng rồi nhanh chóng phát xạ với các màu sắc
khác nhau với các kích thước khác nhau. Do kích thước của các chấm
8


lượng tử bé nên chỉ điều chỉnh kích thước một lượng rất nhỏ thì kha năng
hấp thụ và phát xạ ánh sáng của nó đã biến đổi khá rõ. Bởi vậy, chấm
lượng tử có độ nhạy và khả năng phát quang cao hơn nhiều so với các
vật liệu khối chế tạo ra nó. Ngoài việc có thể điều chỉnh được độ đa dạng
của màu sắc phát xạ, chấm lượng tử còn có thể tạo ra một quang phổ
nhiề màu sắc mà ta muốn có [3].
1.3.2.

Những ứng dụng của chấm lượng tử

Vật liệu nano bao gồm siêu mạng, dây nano, thanh nano, ống nano, lá
nano, hạt nano có nhiều tính chất cơ, lý, hóa rất đặc biệt, do đó chúng
được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như công nghiệp điện tử, cơ khí chế
tạo máy, xây dựng, y sinh học và môi trường [2].
Trong công nghiệp điện tử, ống nano cacbon, dây nano silic, hạt
nano trên cơ sở các hợp chất bán dẫn AIII B V hoặc AII B IV , đóng vai trò
quan trọng trong việc chế tạo các linh kiện điện tử, quang điện tử như
laze, điôt phát quang, transito trường, transito đơn electron, các chíp vi
xử lý có độ tích hợp cao. . . , các bộ nhớ và logic, màn hình phân giải cao,
cũng như các chuyển mạch quang, các photo đetectơ, linh kiện điện hóa,
điện cơ, các cảm biến hóa học, cảm biến sinh học [2]. Ưu điểm nổi bật
của các linh kiện chấm điện tử là kích thước vô cùng nhỏ, tiêu thụ rất ít
năng lượng và tốc độ hoạt động cực nhanh. Kỹ thuật nano hiện nay có
thể cho phép ta tạo ra những chiếc máy tính lượng tử có khả năng xử lý
nhanh hơn nhiều lần so với chiếc máy tính thông thường. Với các mạch
điện tử nano, chúng ta không còn gặp phải vấn đề về tỏa nhiệt, cách điện
và đặc biệt là hiện tượng thông hầm giữa các bộ phận hay phần tử trong
mạch như là đối với các mạch điện truyền thống [3].
Trong sinh học và môi trường, các hạt nano từ, các hạt nano bán
9


dẫn, kim loại được ứng dụng làm tăng độ tương phản ở ảnh cắt lớp cộng
hưởng từ hạt nhân; chế tạo cảm biến thông minh, phát hiện các phân tử
DNA, phát hiện ung thư, virút; làm mã vạch đánh dấu, dẫn thuốc, khử
độc, khủ trùng,...[2]

1.4.

Khái niệm giả hạt

10


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG
HIỆU DỤNG
Việc nghiên cứu tính chất của electron trong tinh thể là một trong
những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn. Đó là vì electron
là hạt có khối lượng bé, mang điện tích nguyên tố âm nên là hạt rất linh
động, tham gia vào nhiều hiện tượng quy định nhiều tính chất của vật
chất. Đây là một vấn đề khó vì rằng để mô tả chính xác tính chất của
electron trong tinh thể cần phải xét một hệ gồm rất nhiều hạt tương tác
với nhau : electron và hạt nhân. Số lượng số hạt này rất lớn, cùng bậc
với số Avôgađrô (∼ 6.1023 ) nên khi tính toán ta phải lập và giải một hệ
phương trình rất lớn đến mức các máy tính hiện đại mạnh nhất hiện nay
cũng không giải được.
Vì vậy cần tìm cách đơn giản hóa các phép tính toán bằng cách sử
dụng các phép gần đúng.
Trong tinh thể vật rắn, các nguyên tử cấu tạo nên hệ tương tác
với nhau. Electron trong từng nguyên tử của tinh thể chịu tác dụng của
tương tác giữa các nguyên tử. Electron ở lớp ngoài cùng chịu ảnh hưởng
rất yếu của hạt nhân và dễ bứt ra chuyển động tự do trong mạng tinh
thể gọi là các electron hóa trị. Khi nghiên cứu tính chất của vật rắn ta
chỉ giới hạn việc khảo sát tính chất của các electron hóa trị. Theo đó, ta
coi mạng tinh thể được cấu tạo từ các lõi nguyên tử (gồm hạt nhân và
những electron ở lớp bên trong) mang điện dương, đặt ở các nút mạng
và các electron hóa trị.

Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi nguyên tử đứng yên đối với các nút
mạng,sắp xếp tuần hoàn trong mạng tinh thể. Với giả thiết này, ta xét
11


chuyển động của electron trong trường lực của các lõi nguyên tử đứng
yên, sắp xếp tuần hoàn trong mạng tinh thể. Sau đó mới tiếp tục xét đến
ảnh hưởng của dao động mạng lên tính chất electron.
Tuy nhiên, với giả thiết trên bài toán vẫn còn phức tạp vì ta vẫn
phải xét khoảng 1023 electron tương tác với electron. Vì vậy một phép
gần đúng đơn giản hóa tiếp theo là sử dụng phép gần đúng một electron.
Theo cách này, ta giả thiết rằng có thể xét chuyển động của từng electron
hóa trị riêng lẻ trong một trường thế V (r) nào đó phụ thuộc vào bản thân
electron mà ta đang xét, trường này được gây ra bởi tất cả các electron
còn lại cùng với tất cả các lõi nguyên tử trong tinh thể.
Sau đó, tùy thuộc vào ảnh hưởng của trường thế V (r) lên chuyển
động của electron mà ta có các mô hình khác nhau cho tinh thể. Điều
này cũng dẫn tới các cách tiếp cận khác nhau khi nghiên cứu chuyển
động của electron trong tinh thể thể hiện qua các phương pháp gần đúng
như phương pháp gần đúng electron liên kết yếu, phương pháp gần đúng
electron liên kết mạnh, phương pháp LCAO. . . Trong khóa luận này tôi
chỉ tập trung nghiên cứu phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.

2.1.

Electron trong tinh thể và khái niệm khối hiệu
dụng

2.1.1.

Electron trong tinh thể

Xét tinh thể lý tưởng với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử [6].
Toán tử Hamiltonian của hệ này bao gồm động năng của các electron,
động năng của các hạt nhân, thế năng tương tác của electron – electron,
electron - hạt nhân và thế năng tương tác của hạt nhân – hạt nhân. Do
đó, có thể viết như sau:
12


2

2

H =−
i

+
i,a

2m0

∇2i

−
a

2M

−

→
1
−
U2 →
ri − Ra +
2

∇2a +

1
2

−
−
U1 (→
ri − →
rj )
i=j

−
→ −
→
Ub Ra − Rb

(2.1)

a=b

Trong phương trình này, m0 và M là khối lượng của các electron
và hạt nhân r và R là kính vectơ của electron và hạt nhân. Hiển nhiên,

ta không thể giải phương trình với Hammilton (2.1) cho số các hạt cỡ
1022 − 1023 hạt. Do đó, phải dùng một số phép gần đúng để giải bài toán
này.
Do khối lượng hạt nhân M lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của
electron m nên hạt nhân được coi là đứng yên khi khảo sát các tính chất
của electron trong tinh thể. Đây là phép gần đúng đoạn nhiệt hay gần
đúng Born – Oppenheimen. Sử dụng gần đúng này, hàm sóng có thể tách
thành hai phần: một phần phụ thuộc vào tọa độ electron, một phần phụ
thuộc vào tọa độ hạt nhân dẫn đến hai phương trình Schordinger độc lập:
một cho hệ các hạt nhân và một phương trình khác cho hệ các electron.
Vì chỉ quan tâm tới tính chất các electron trong tinh thể nên ta chỉ viết:
2

−
i

2m0

∇2i ψ +

1
2

U1 (ri − rj ) ψ +

U2 ri − Ra ψ = ER ψ (2.2)
i,a

i=j

Trong phương trình này, bán kính vectơ của hạt nhân Ra là các tham
số chứ không phải là biến. Hàm sóng Ψ phụ thuộc vào toàn bộ tập hợp
các tọa độ electron và tập hợp các tọa độ hạt nhân như các tham số. Sự
phụ thuộc tham số của giá trị riêng ER vào tọa độ của hạt nhân được
đánh dấu bởi một chỉ số thích hợp.
Thứ hai, electron ở bên trong lớp vỏ liên kết chặt chẽ với hạt nhân
không xác định các tính chất của vật như độ dẫn điện, quá trình dịch
chuyển quang học và những tính chất khác, và do đó, có thể coi như
13


một thành phần của mạng. Điều này có nghĩa rằng thay vì nghiên cứu
hạt nhân, chúng ta nghiên cứu các lõi ion. Do đó, số hạng thứ hai trong
phương trình (2.2) chỉ là tương tác Coulomb giữa các electron hóa trị và
có thể biểu diễn:
1
2

i=j

1
U1 (ri − rj ) =
2

i=j

e2
|ri − rj |

(2.3)

Thứ ba, dưới các điều kiện nhất định của bài toán nhiều hạt, (2.2)
có thể rút gọn thành một tập hợp của các bài toán một hạt bằng phương
pháp gần đúng trường tự hợp: tương tác của mỗi electron hóa trị với tất
cả các electron hóa trị khác và với tất cả các lõi ion được tính đến bằng
cách đưa vào một thế năng tuần hoàn U (r), thế này phải được điều chỉnh
sao cho khi sử dụng tính đối xứng của mạng tinh thể và một số dữ liệu
thực nghiệm, ta thu được cấu trúc vùng năng lượng đối với tinh thể đã
cho.
Khi đó, phương trình Schrodinger với toán tử Hamilton (2.1) rút gọn
thành phương trình cho một hạt duy nhất:
2

−

2m0

∇2 + U (r) = Eψ

(2.4)

với thế năng tuần hoàn đó, phương trình này lại có thể rút gọn thành
phương trình cho một hạt tự do nhờ tái chuẩn hóa khối lượng:
2

−

2m∗

∇2 = Eψ

(2.5)

Như chúng ta đã biết, phổ năng lượng của electron bao gồm các dải
được bị tách ra bởi các vùng cấm. Các tính chất điện của chất rắn phụ
thuộc vào sự chiếm các vùng năng lượng và độ lớn vùng cấm. Nếu tinh
thể vùng năng lượng bị chiếm một phần, nó thể hiện tính kim loại vì các
electron trong vùng này quyết định tính dẫn điện. Nếu tất cả các vùng
ở T = 0K đều bị chiếm hoàn toàn hoặc tự do, vật liệu sẽ thể hiển tính
14


chất điện môi. Các electron trong vùng năng lượng bị chiếm không thể
tham gia quá trình dẫn điện do nguyên lí loại trừ Pauli: chỉ duy nhất một
electron có thể một trạng thái đã cho. Vì vậy, dưới ảnh hưởng của điện
trường ngoài, electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn
không thể thay đổi năng lượng bởi tất cả các trạng thái lân cận đã được
lấp đầy. Vùng năng lượng bị chiếm cao nhất gọi là “vùng hóa trị” và vùng
năng lượng thấp nhất không bị chiếm được gọi là “vùng dẫn”. Khoảng
cách giữa đỉnh của vùng hóa trị Ev và đáy của vùng dẫn Ec được gọi là
vùng cấm năng lượng Eg (hay khe năng lượng)
Eg = Ec − Ev

(2.6)

Tùy thuộc vào giá trị tuyệt đối của Eg , các vật rắn cho thấy tính
chất điện môi (tức là không dẫn điện) tại T = 0K được phân thành chất
điện môi và chất bán dẫn. Nếu Eg nhỏ hơn 3 – 4 eV, vùng dẫn bị chiếm
đáng kể khi tăng nhiệt độ, và loại tinh thể này được gọi là các chất bán
dẫn.

Đường cong tán sắc E(k) cho thấy các tinh thể thực tế là khá phức
tạp. Khối lượng hiệu dụng không thể được coi là hằng số, và trong một
số trường hợp, có thể được mô tả như là một tenxơ bậc hai. Tuy nhiên,
trong rất nhiều trường hợp thực nghiệm quan trọng, các sự kiện xảy ra
trong vùng lân cận của Ec và Ev là quan trọng nhất và có thể được mô
tả bằng xấp xỉ khối lượng hiệu dụng không đổi, nhưng đôi khi cũng có
sự phân biệt theo các hướng khác nhau. Cấu trúc các vùng năng lượng
của hai chất bán dẫn tiêu biểu, Cadimium Sufide và Silicon (CdS và Si)
được minh họa trong hình 1.6. Với tinh thể CdS, khoảng cách tối thiểu
giữa Ec và Ev xảy ra ở cùng một giá trị k. Các tinh thể loại này được gọi
là bán dẫn có vùng cấm thẳng. Với các tinh thể Si, vùng cấm năng lượng
nhỏ nhất ứng với các giá trị k khác nhau cho Ec và Ev . Tinh thể loại này
15


thường được gọi là bán dẫn có vùng cấm xiên.
2.1.2.

Khái niệm khối lượng hiệu dụng

Vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron:
v=

p
k
=
m
m

(2.7)

2

Mặt khác, từ E =

| k|
2m

; lấy đạo hàm theo k, ta được k =

v=

dE
dk

m dE
2
dk

m dE

;p = k =

thì:
(2.8)

dk

Hệ thức giữa vận tốc, xung lượng trong sự phụ thuộc vào

dE
dk

không

chỉ đúng với electron tự do mà đúng với cả electron chuyển động trong
trường tuần hoàn của tinh thể. Xung lượng p lúc này gọi là giả xung
lượng của electron [6].
Khi đặt trường ξ vào tinh thể, electron chịu tác dụng lực F = −q ξ
với gia tốc:
a=

1d
dv
=
dt
dt

dE

=

1 d2 E dk
dk 2 dt

dk
Mặt khác sau khoảng thời gian dt lực này thực hiện công:
dA = F ds = F vdt =

F dE

dk

.dt

(2.9)

(2.10)

công của lực này làm năng lượng của electron thay đổi (tăng) một lượng:
dE =

dE
dk

dk

(2.11)

Cho dA = dE, ta suy ra:
F =

dP
dk
=
dt
dt

(2.12)

Biểu thức (2.12) có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Bởi vì nó cho ta biết

sự khác nhau giữa phương trình chuyển động của electron trong tinh thể
16


và trong không gian tự do khi chịu tác dụng của ngoại lực. Trong không
gian tự do, ngoại lực bằng m.dv/dt; còn trong tinh thể, ngoại lực tác
dụng lên electron bằng .dk/dt, mà .k = mv. Điều này có thể hiểu được
vì trong tinh thể, electron không những chịu tác dụng của ngoại lực, mà
còn chịu tác dụng của trường thế tinh thể. Trong trường hợp này, muốn
mô tả chuyển động của electron trong tinh thể bằng một phương trình
có dạng như phương trình Newton đối với electron tự do, thì ta phải đưa
vào một đại lượng mới gọi là khối lượng hiệu dụng [2]. Thật vậy, khi có
ngoại lực F tác dụng, electron trong tinh thể thu được gia tốc:
a=

F d2 E

(2.13)
dk 2
biểu thức này xác lập quan hệ giữa lực tác dụng F của trường ngoài và
2

gia tốc a mà electron trong tinh thể thu được, nó tuân theo định luật II
Newton [6].
Từ (2.13) thấy rằng nếu đưa vào ký hiệu m∗ thỏa mãn đẳng thức:
2

∗

m =

d2 E/dk 2

(2.14)

thì (2.13) có dạng a = F /m∗ , có nghĩa là dưới tác dụng của ngoại lực F,
electron trong trường tuần hoàn của tinh thể chuyển động như chuyển
động của electron tự do, chỉ khác là electron trong tinh thể lúc này có
khối lượng hiệu dụng m* được tính theo công thức (2.14). Tất cả ảnh
hưởng của trường tinh thể đã thể hiện ở m∗ qua d2 E/dk 2 .
Khối lượng hiệu dụng có những đặc tính riêng của nó. Nó có thể
dương, âm, giá trị tuyệt đối có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng tĩnh
m của electron. Dưới đây sẽ khảo sát cặn kẽ hơn vấn đề này.
Với electron ở đáy vùng năng lượng, Eđáy = Emin + AA (ka)2 , từ đây
dE /dE 2 = 2AA a2 , khối lượng hiệu dụng lúc này là:
2

∗

m (đáy) =

2AA
17

a2

= m∗e

(2.15)

vì AA > 0 nên m∗ > 0 . Tức là electron nằm ở đáy của vùng năng lượng
có khối lượng hiệu dụng dương. Dưới tác dụng của trường ngoài, electron
trong tinh thể được gia tốc theo hướng của lực tác dụng. Nó khác với
electron tự do ở chỗ khối lượng của nó có giá trị khác khối lượng tĩnh
của electron (m∗ = m). Ngoài ra (2.15) còn cho thấy là AA càng lớn tức
vùng được phép càng rộng, khối lượng hiệu dụng của electron nằm ở đáy
vùng càng nhỏ.
Với electron ở đỉnh vùng, Eđỉnh = Emax − AB (ka)2 , d2 E/dk 2 =
−2AB a2 khối lượng hiệu dụng:
∗

m =−

2

= m∗e < 0

(2.16)
2AB
Trong tinh thể, dưới tác dụng của trường ngoài, electron được gia tốc
a2

theo hướng ngược với lực tác dụng, ngoài ra giá trị tuyệt đối của m∗ cũng
được xác định với độ rộng vùng AB, vùng càng rộng, m∗ càng nhỏ.
Bây giờ ta đi khảo sát cơ sở vật lý của khối lượng hiệu dụng. Với
electron tự do, toàn bộ công A của ngoại lực F làm tăng động năng của
chuyển động tịnh tiến:

ngoài ra

d2Eđ
dk 2

2 2
1 2
k
A = Wđ = mv =
(2.17)
2
2m
2
= m . Thay vào (2.14) ta được m∗ = m. Như vậy khối lượng

hiệu dụng của electron tự do, đơn giản bằng khối lượng tĩnh m.
Với electron chuyển động trong tinh thể, nó không chỉ có động năng
mà còn có cả thế năng. Công mà ngoại lực F chuyển một phần thành động
năng E đ , còn một phần khác chuyển thành thế năng U: A = E đ + U . Lúc
này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng chậm hơn so với electron tự
do. Gia tốc mà nó thu được nhỏ hơn và dường như nó nặng hơn electron
tự do (m∗ > m).
Nếu toàn bộ công này chuyển thành thế năng, tức là A = U thì
vận tốc chuyển động của electron sẽ không đổi, electron như hạt với khối
18


lượng hiệu dụng vô cùng lớn m∗ = ∞. Hơn thế nữa, không chỉ toàn bộ
công của ngoại lực F chuyển thành thế năng mà cả một phần động năng
Eđ sẵn có của electron cũng chuyển thành thế năng nữa. U = A + Eđ
thì vận tốc chuyển động của electron trong tinh thể sẽ giảm, nó chuyển

động ngược hướng của ngoại lực F . Electron lúc này thể hiện như hạt có
khối lượng âm (m∗ < 0). Lúc này phần năng lượng mà electron truyền
cho mạng lớn hơn năng lượng mà nó nhận được từ trường ngoài.
Nhưng trong tinh thể có thể xảy ra trường hợp, không chỉ toàn bộ
năng lượng của trường ngoài chuyển thành động năng của electron mà
trường tinh thể cũng chuyển một phần thế năng U của mình cho electron:
E đ = A + E . Lúc này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng nhanh
hơn so với electron tự do. Electron lúc này như nhẹ đi hơn electron tự
do, khối lượng hiệu dụng m∗ < m.

2.2.

Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng

Theo cơ học cổ điển, thì mọi tính chất của hệ vật lý được thể hiện qua
phương trình Schrodinger. Đối với electron trong tinh thể, hàm sóng của
nó là nghiệm của phương trình schrodinger có dạng:
− 2 2
−
−
−
∇ + V (→
r ) ψ (→
r ) = Eψ (→
r)
2m

(2.18)

với V (r) là thế năng electron trong trường tuần hoàn của tinh thể, ψ(r)

là hàm sóng của electron, E là năng lượng của electron. Việc giải phương
trình này rất phúc tạp vì tạp vì ta không biế chính xác biểu thức thế
năng V (r).
Bằng cách đưa vào khái niệm khối lượng hiệu dụng m∗ , ta thấy rằng
khi xác định năng lượng của electron trong tinh thể thì ở gần điểm cực
trị, ta có thể thay phương trình Schrodinger trong trường tuần hoàn
19


bằng phương trình Schrodinger cho hạt tự do với khối lượng thực m của
electron được thay bằng khối lượng hiệu dụng m∗ . Khi đó phương trình
Schrodinger có dạng đơn giản:
− 2 2 →
−
∇ ψ (−
r ) = Eψ (→
r)
∗
2m

(2.19)

Khi có một trường lực ngoài biến đổi chậm trong không gian tác
dụng lên tinh thể thì electron trong tinh thể chịu tác dụng của thế V (r)
và thế U của lực ngoài. Bằng cách dùng khối lượng hiệu dụng thay cho
tác động của trường tinh thể V (r), phương trình Schrodinger hoàn toàn
giải được khi ta luôn biết được biểu thức trường ngoài U.

20