Dáng điệu tiệm cận của hệ động lực và một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm

yv"*

V

A

DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI
TRUÒNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
~

*

*

*
fc£j % ^ *S^ *Ì^ ^fi

*

*Jfi » ^ fc.)*

•J» * ^ • 1 ' • ^ ^ ^ ^ * *J* 'I*

DA]\G DIÉIJ TIÉM € A ] \ ClIA HE DÒ]\G LlTC
-«.-^

VA MOT SO lIl^fG DU]\G CIJA PHlTOl^G TRI]\H
VI P H A ] \ CO CHAM
MA SO: QT 0601

CHU TRI DE TÀI:

PGS.TS. DÀNG DÌNH CHÀU
N

^

HA NOI-2007


DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI
TRUÒNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
^^
*^ *i* *^ *^ *^ ^^ *^
0^ ^ n ^ ^ ^ ^ ' ^ * ^ ' ^ * | ^

*

DAI\G DIÉU TIÉM CA1\ CÉA HE DÒ]\G LlJC
•

•

•

•

•

•

VA MOT SO tn\G DUIVG CÉA PHlJOrVG TRÌI\H
VI PHA]\ CO CHAM
MA SO: QT0601

Chù tri de tài:
PGS. TS. Dang Dình Chàu
Càc càn bó tham già:
T.S Nguyén Thiéu Huy
T.S Nguyén Sinh Bay
Th.s. TrdnTà't Dgt
CN. Nguyén Bùi Cifong

HA NOI-2007


Bào cào tóm tàt :
a. Tén de tài : Dàng dieu tiem càn cùa he dpng lue va mot sóùng dung
cùa phuùng trình vi phàn co cham
Ma so:
QT 06-01
b. Chù tri de tài:
PGS.TS. Dàng Dình Chàu
e. Cac càn ho phdi hgfp :
TS Nguyén Thiéu Huy
TS Nguyén Sinh Bay
Thgc SI Tran Tàt Dgt
CN. Nguyén Bùi Cuc/ng
d. Muc tiéu va nói duns nshién cihi:
He dòng lue tóng quàt là mot trong nhung mò hình ly thuyét toàn hoc co nhiéu ùng dung
quan trong trong thuc té. Nhung còng trình nghién cùu ve ly thyét He dóng lue tóng quàt

bàt dàu xuàt hién tu nùa dàu the' ky XVII nhung hien nay day vàn là nhùng phuang
huóng nghién cùu cùa ly thuyét toàn hoc dugc nhiéu nhà khoa hoc quan tàm nhàt. Trong
do viec nghién cùu dàng dieu tiem can cùa he dóng lue là mot trong nhung bài toàn dóng
vai trò trung tàm cùa ly thuyét he dòng lue va ly thuyét dình tinh phuang trình vi phàn .
Vói muc dich tùng buóc di sàu vào viec nghién cùu nhung tinh chat ca bàn cùa he dòng
lue tóng quàt va khai thàc càc khà nàng ùng dung cùa nò, chùng tòi ( trong de tài QT 0601) dà trién khai nghién cùu va giài quyét càc bài toàn cu the sau day:
(*) Nghién cùu tinh ón dình va su tuang duang tiem can cùa phuang trình tuyén tinh co
cham vói nhiéu tuyén tinh va nhiéu phi tuyén
(*) Nghién cùu mot so' tinh chà't tiéu biéu cùa nùa nhóm rài rac , trình bay mot so dieu
kien dù ve su tuang duang tiem can cùa nùa nhóm ròi rac va ho càc toàn tu tién hoà ròi
rac .
(*) Tinh chà't hàu tu dàng càu cùa nghiem bi chan cùa phuang trình vi phàn vai bién hàng
tùng khùc
(*) Ap dung mot so két qua nhan dugc cho mò hình ngoai thuang da quóc già
(*) Nghién cùu mò hình dàn so' phi tuyén phu thuoc vào lùa tuoi va càc ùng dung cùa ly
thuyét dinh tinh phuang trình vi, sai phàn trong mò hình dàn so.
e. Càc két qua dat dugc
• Viét dugc 2 bài bào(dà dàng) va hoàn thành 1 bài bào (dà gùi dàng) ,1 bào cào hòi
nghi khoa hoc nhàn dip ky niem 50 nàm truyén thò'ng DHTH Ha Nói
• Hoàn thành 3 luan vàn thac si (dà bào ve)
7. Tình hình kinh phi ciìa de tài:
Dà thanh toàn theo dung du dinh
Xàc nhàn cùa BCN khoa
Chù tri de tài

iuit
Triròìig Dai hoc Khoa hoc Tir nhién
mAfy HltU ^^^"^

hiG

PGS TS. Dàng Dình Chàu

i-it/i.

r-/

'j

r


MUC LUC
MÒ DAU
CHlTONG 1. Mot so và'n de ve phuang trình vi phàn hàm

4
5

1. Dinh nghia va ki hieu

5

2. Diéu kien dù ve sir ón dinh déu va 6n dinh tiem càn déu

8

3. Tuang duang tiem càn cùa phuang trình vi phàn co chàm trong
khóng gian Banach
CHLTONG

2. Tinh hàu tu dàng cà'u cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn

10
13

1. Tóng cùa toàn tu giao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng
càu

13

2. Càc he dòng lue rói rac va su lién he vói càc he dòng lue lién
tue

CHl/ONG 3. Mot so mò hình ùng dung

14

17

1. He dòng lue trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niem ma dàu

17

2. Mò hình dàn so

19

3. Mò hình ngoai thuang da quóc già

25

KÉT LUAN

30

TÀI LIEU THAM KHÀO

31

PHU LUC


MODAU

Trong nhùng nàm gàn day, tàp the nghién cùu "Ly thuyét dinh tinh cùa phuang
trình vi phàn'" thuóc bg món Giài tich Khoa Toàn - Ca - Tin hoc Truòng Dai Hgc
Khoa hgc Tu Nhién, Dai Hgc Quóc Già Ha Nói dà tién hành nghién cùu nhiéu de
tài khoa hgc(toàn hgc) dugc dành già co chà't lugng cao. Két qua nhan dugc trong
càc de tài này là dà tap trung vào mot huóng nghién cùu mang tinh thói su va co y
nghia khoa hgc sàu sàc ve mat ly thuyét. Tuy nhién, de dàp ùng nhu càu bue thiét
cùa viec ùng dung càc thành tuu dò vào càc bài toàn thuc té phuc vu cugc song nói
chung va trong khoa hgc hgc ùng dung nói riéng dòi hòi nhùng nguài làm còng
tàc khoa hgc càn biét tu trang bi thém cho minh nhiéu kien thùc mai va càc còng
cu tinh toàn thich hgp. De tài mang ma so 06-01 là mot buóc phàt trién tiép nói
càc két qua dà co va bàt dàu khai thàc càc khà nàng ùng dung cùa càc két qua nhan
dugc toàn bó noi dung cùa de tài gòm ba chuang:

Chuong 1: Trình bay mot so két qua ve dàng dieu cùa he dóng lue tuyén tfnh va
phi tuyén yéu.

Chuang 2: Nghién cùu su tón tai cùa nghiem hàu tuàn hoàn va hàu tuàn hoàn tiém
can cùa phuang trình vi phàn trung tfnh vói bién hàng tùng khùc.
Chuang 3: Trình bay mot so két qua trong viec khai thàc khà nàng ùng dung cùa
càc két qua nhan dugc cho mò hình dàn so co su nhap cu di cu va mò hình ngoai
thuang da quóc già.


CHllÒNG 1

Mot so vàn de ve phuang trình vi phàn hàm
1. Dinh nghTa va ky hiéu
Chùng ta chgn mot so ki hiéu sau: R^ là khóng gian véc to Euclidean n chiéu voi chuan
|.|, va khi n = 1 ta ki hiéu don gian là R. Vói b > a, chung ta ky hiéu C{[a,b],R'^) là
khóng gian Banach càc hàm lién tue trén doan [a,b] vào R^ vói tó pò hòi tu déu. Vói mòi
(p G C([a,ò],i?"), chuàn cùa (p dugc dinh nghla là \\ip\\ = supa^e^b\v{d)\-

Dàc biét, khi

[a,b] = [—7', 0], trong do r là hàng so duang, chung ta sé ky hiéu C = C{[-r,0],R^)
io e R,A>0,x

. Vói

e C{[to - r,to + A],R'') va t G [to,to + A] chùng ta ky hiéu xt E C nhu

sau xt{9) = x{t + e),9 e [-r, 0]. Già su fi là tàp con cùa i? x C, / : fi -^ /?" là mot hàm
cho truóc, va " " dugc hiéu là dao hàm phài. Khi dò:
(1)

x{t) =

f{t,xt)

chùng ta goi phuang trinh trén là phuang trinh vi phàn co cham (RDEs),(DDEs) hoac phuang
trình vi phàn hàm (FDEs) trén fi.
Dinh nghia 1.1. Hàm x{a, (p) dugc ggi là nghiem cùa phuang trinh (1) néu tón tai a G i?
va >1 > 0 sao cho X{G, ip) là hàm lién tue tir [a, a + A] vào i?" co càc tfnh chat sau:
(i) xt{a,^)

eC

{a ^ t ^ a + A)

(ii) Xt{a,ip), (a ^ t ^ a + A), Ik càc hàm ihòa man phuong trinh (1)
Dinh nghla L2. Hàm x{to,ip) dugc goi là nghiem cùa phuang trinh (1) vói diéu kien ban
dau (^ G C tai to néu tón tai yl > 0 sao cho x{tQ,(p) là hàm lién tue tu to,to -h A] vào R"'
thoà man càc diéu kien:
(i) x{to,(p) là nghiem cùa phuang trinh (1)
(ii) Xt^{to.^) = p:
De thày (1) chùa cà phuang trình vi phàn thucmg (ODEs) va phuang trình vi phàn
i{t) = f{t;x{t);x{t
vói 0 ^ Tj{t) ^ r;

- T,(t));

;x(t - r^{t))

j = 1; 2; ...;p va ta co thè xày dung nhu là phuang trinh tich phàn sau:
±{t) = /

g{t-d\x{t^e)de


6

Chùng ta ggi phuang trình (1) là tuyén tfnh néu f{t,Xt)

= L{t,Xt) + h{t) trong dò L{t,Xt)

là tuyén tfnh dói voi x^ tuyén tfnh thuàn nhàt néu h{t) ^ 0. Chùng ta ggi (1) là ótónóm
néu f{t,xt)

= g{Xi) a day g{t) khóng phu thuóc vào t, truòng hgp con lai ta ggi là khóng

ótónóm.
Gióng nhu phuang trình vi phàn thucmg (ODEs) ta cung co càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó de 1.3. Nèu to G i?, (/? G C cho truàc va f{t,(p) là hàm lién tue trén fi thì viec tìm
nghiem phuaìig trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) = ip{0) +
^to =

Jlf{s,Xs)ds;t>to,

^\

Dinh ly 1.4. (Tén tgi nghiem) Già su Vi là tàp ma trong Rx C va f là hàm lién tue trén
fi va f lién tue trén fi. Né'u {to, (p) G fi, thi tón tgi nghiem cùa phuang trinh (1) di qua {to, (p)
Chùng ta ggi f{t,(p) là Lipschitz vói (p trong tap compact K cùa Rx

C néù tón tai so

duang A; > 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E K\i =^ 1,2
\f{t.cpi)-f{t,Dinh ly 1.5. (Duy nhàt nghiem) Già su fi là tàp ma trong R x C, f : Q, ^ R^ lién tue ,
va f{t, (p) là lipschitz vai (p trén mèi tàp compact trong fi. Neu (to, p) G fi, thì co duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to,Ta co thè di tim nghiem cùa phuang trinh vi hàm (1) bang hai phuong phàp là phuang
phàp tùng buóc va phuang phàp Laplace.
Vi du 1.6. (giài bang phuang phàp Laplace) Xét phuang trinh vi phàn co cham:
x{t) = x{t~
ip{t) = t,-l
Ta co: x{t) -^ X{p)]

x{t) ^ pX{p),

^t^O.

x{0) = ^{0) = 0

Néu / ( t ) -^ F{p) va to > 0 thì f{t - to) -^
x{t - 1) -^ e-P[ /

1)

e~''^F{p)

e~^'p{t)dt + X{p)] ^ ^—^

- - -f

Phuong trình vi phàn co chàm dang xét dugc dua ve dang:
pXip) = i

^
P^

- - +
P

e-^X{p)

Dodo:
1
1 - e"P
X{p) ^ - p{p
, — ._„.
e P) + p'^{p — e"P

e'^X{p)


Mot so* v^n de ve phuang trình hàm.

Suy ra,
°° e-'=P

^W = P'4 P^+ à-E
^ P

k+2

Cuoi cùng ta co:
k+l

(t-k)

tt (^+1)'

V{t - k)

trong dò 77 là hàm dorn vi thoà man

v{t) =

1 khi X > 0
0 khi a; < 0

Vi du 1.7. (phuang phàp tìmg buóc) Xét phuong trình vi phàn co chàm sau:
x{t) = 6x{t - 1)
Ta se tìm nghiem x{to,(p),{to = l) , cùa phung trình vi phàn trén doan [0,3]. Theo he qua 1,
nghiem cùa phuang trình vi phàn trén co dang:
x{t) = ip{l) + jl Qx{s - l)ds]
x{t) = ip{t)
O^t^l;

t>l,

Trén doan [1,2] ta co:
x{t) = ip{l) + J^6sds;2

x{t) = ip{t)

>t>l,

O^t^l;

hay
x{t) = l + 3{t-iy;2>t>
x{t) = ^{t) 0 ^ i ^ 1;

1,

Trén doan [2,3] ta co:
x{t) = ip{2) + /^ 6x(s - ì)ds; 3 > i > 2,
x(0 = l + 3 ( i - l ) 2 ; 2 > i > 1,
Suy ra,
xit) = 6{t - 2)[{t - 2)2 + 1] + 4; 3 > f > 2,
x(i) = l + 3 ( i - l ) 2 ; 2 > t > 1,
Nhu vày, nghiem cùa phuang trình trén [0,3] là
x{t) =

t;l>t>0,

x{t) = l + 3 ( < - l ) 2 ; 2 > t > 1,
xit) = 6(i - 2)[{t - 2)2 + 1] + 4; 3 > t > 2,


8

CU nhu vay ta co the ma rgng nghiem trén mot doan hiju han tuy y.

Gióng nhu phuang trình vi phàn thuòng (ODEs) ta cung co càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó de 1.8. Neu to e R,(p E C cho truàc va f{t,(p) là hàm lién tue trén fi thì viec tìm
nghiem phuang trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) = cp{0) + Jl f{s, Xs)ds; t > to,

Dinh ly 1.9. (Tón tgi nghiem) Già su fi là tàp ma trong RxC

va f là hàm lién tue trén

fi va f lién tue trén fi. Néu {to, p) G fi, thì tón tgi nghiem cùa phuang trình (1) di qua (to, v^)
Chùng ta ggi f{t, cp) là Lipschitz voi (p trong tap compact K cùa RxC

néu tón tai so

duang A; > 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E K\i = 1,2
\f{t,Dinh ly 1.10. (Duy nhàt nghiem) Gid su fi là tàp ma trong Rx C, f : fi -^ R"" lién tue ,
va f{t, (p) là lipschitz vai (p trén mèi tap compact trong fi. Né'u {to, p) E fi, thì co duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to, p).
Ta co thè di tim nghiem cùa phuang trinh vi hàm (1) bang hai phuong phàp là phuang
phàp tùng buóc va phuang phàp Laplace.
Bay giò chùng ta xét mot truòng hgp riéng cùa phuang trinh vi phàn hàm dò là phuang trình
vi phàn co chàm co dang trong tài liéu [?].

x{t) = Ax{t) + Bx{t - r) + f{t)
Sau khi nghién cùu, chùng tòi dà dat dugc mot so càc két qua ve diéu kién dù cùa su ón dinh
déu , ón dinh tiém càn déu va tfnh tuong duong tiém càn cùa phuang trinh co dang trén.
2. Diéu kién dù ve su ón dinh déu va ón dinh tiém càn déu
De thuàn tién cho viéc trinh bay két qua lói xin dugc néu lai càc khai niem ón dinh cùa
phuong trình vi phàn hàm hay phuang trinh vi phàn co cham:

Dinh nghla 2.1. nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh iheo
Lyapunov khi t —)• CXD néu Ve > 0 : 3^ — 6{e,(p);^p
\\x{t,to,ip)\\

E C sao cho ||c^|| < 5 ta co

<e;Vt>to

Dinh nghla 2.2. nghiem tàm thuòng x{t) ~ 0 cùa he (1.1) dugc ggi là ón dinh tiém càn
theo Lyapunov khi t —^ oc néu nò thoà man càc diéu kién sau:


M6t s6' v^in de ve phucmg trình hàm.

'

i) NÒ Ón dinh theo Lyapunov
ii) Vto G [a, +00) : 35 = S{to) \\fp>EC sao cho \\p\\ < 5 ta co:
lim||x(t,to,v:^)|| = 0
Dinh nghla 2.3. nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh mù néu
vói mòi nghiem x{t) = x{t, to, (p),ipEC

luón luón tón tai càc hàng so M, A > 0 khóng phu

thuóc vào (p E C sao cho:

||x(t)||^M.||(/.(to)||-e-^(^-*°);Vt>to
Càc ón dinh trén dugc goi là déu néu 6 khóng phu thuóc vào diéu kién ban dàu tue là
khóng phu thuóc vào ip.
Chùng ta xét phuong trinh vi phàn:

(2)

^

= Axit) + f{t,x{t

+

6)y,t>0,

at
vói diéu kién ban dàu x{t) = p{t), -h^t

^0.

Trong dò x(.) E E\AE

toàn tu A khóng giói nói trong khóng gian E)\f{t,x{t
(3)

\\f{t,x{t

+ 9))\\^g{t)\\x{t

+ d)){t){-h

L{E);
^9^0)

(thóng thuòng

thòa man:

+ 9)\\

a day g{t) là hàm thòa man:
/•OO

/

g{r)dr ^ m < 00.

Jo
voi diéu kien ban dàu: x{t) = p{t),

-h

^ t ^ 0]

ip{.) E C([-h,0],, E). Khi dò,

phuong trinh (2) thòa man diéu kién cùa dinh ly tón tai va duy nhàt nghiem . Do dò, phuong
trình (2) co nghiem duy nhàt trén nùa truc (0, 00) va nò co dang:
x{t) = T{t)p{0) + /Q T{t - 5)/(5, x(5 + 9))ds; t > 0,
x(t) = ^{ty,-h

^ t ^ 0

voi (r(t))(>o là nùa nhóm lién tue manh sinh ra bòi toàn tu A . Bang càch su dung bó de
Grown-Belmann cùa phuong trình vi phàn co chàm ta co dinh ly sau:
Dinh ly 2.4.

(i) Neu ||r(t)|l ^ M,\'t > 0 ;/// nghiem làm thuòng x{t) = 0 cùa phuang

trinh (2) là ón dinìi déu.
(ii) Neu lim(_»3c ||2"(t)|| = 0 thì ngìiiém tdm thuang x{t) = 0 cùa phucnig trinh (2) là ón
dinh mù déu.
Tu dò» chùng tòi co dua ra diéu kién dù cùa su ón dinh déu va ón dinh mù déu cùa phuong
trình (2) khi E = R"" nhu sau:


10

He qua 2.5. . Càc tfnh chat sau là tuang duang:
a)
b)
e)
d)

||r(t)KM;Vt>0
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuong trinh (2) ón dinh.
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trình (2) ón dinh déu.
tàt cà càc già tri riéng A cùa A thòa man ReX ^ 0, va néu i?eA = 0, thi A = 0 va A là già

tri don (tue là, ò Jordan ùng vói A co co là 1)
He qua 2.6. Càc tfnh chà't sau là tuang duong:
a)
b)
e)
d)
e)

lim,^oo||r(t)||=0
||r(t)|| ^ C . e " ^ ^ V t > 0
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trinh (2) ón dinh tiem càn déu.
nghiem tàm thuòng x{t) — cùa phuong trinh (2) ón dinh mti déu.
tàt cà càc già tri riéng cùa A déu co phàn thiic àm, tue là, ReX < 0;VA G a{A)

3. Tuang duang tiém can cùa phuang trình vi phàn co cham trong khóng gian Banach
Sau day, chùng tói giói thiéu tfnh tuong duang tiém can hai he phuang trình vi phàn sau:
(4)

^

=

Ax{t),t>0,

at
(5)

'^=Ay{t)-\-f{tMt

+

6)),t>^,

Dinh nghla 3.1. phuong trinh (4) va phuang trinh (5) goi là tuong duong tiém càn. Néu
mgi nghiem x{t) cùa phuang trinh (4), déu co nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) sao cho:
(6)

lim | | y ( t ) - x ( t ) | | - 0 ,

va ngugc lai vói mói nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) co nghiem x{t) cùa phuang trình (4)
sao cho thòa man (6) .
Khi dò chùng tòi dà chùng minh dugc su tuong duong tiém càn cùa hai he nhu sau:
Dinh ly 3.2. Gid su tón tgi càc so duang M, C, u va phép chié'u P : E ^ E sao cho:
(a): |ir(t)P|| ^ : U e - - ^ V t G / ^ + ,
(b):

\\T{t){I-P)\\^C,ytER.

thì khi dò phuang trình (4) va phuang trình (5) là tuang duang tiém càn.
Tuong tu nhu két qua a bài bào [?], chùng tói dua ra két qua de àp dung nhu sau:
He qua 3.3. Phuang trinh (4) va phuang trình (5) là tuong duong tiém càn néu 1 trong
càc diéu kién sau duoc thòa man:


Mot s6' và'n de ve phucmg trình hàm.

i): {T{t))t'>o là tap compact cuoi cùng va bi chan déu .
ii): X ~ R"^ va {T{t))t>o bi chan déu (Levinson's theorem).

U


CHlJÓNG 2

Tinh hàu tu' dàng càu cùa nghiem cùa phu'ong trình vi phàn

1. Tóng cùa toàn tu gìao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng càu

Trong phàn này chùng ta quan tàm dén sir tón tai cùa nghiem dù tòt hàu tu dàng càu cho
càc phuang trinh tién hoà co dang
du
.
...
— = Au + f{t),

(7)

a day A là mot toàn tu tuyén tfnh (khóng bi chan) ma sinh ra mot nùa nhóm chinh hình cùa
càc toàn tu tuyén tfnh trén mot khóng gian Banach X va / là mot hàm hàu tu dàng càu nhan
già tri trong X.
Chùng ta già su ràng A là toàn tu sinh cùa mot nùa nhóm giài tfch cùa càc toàn tu tuyén
tfnh trén X. Càc nghiem dù tòt trén R cùa Eq. (7) dugc hiéu là càc nghiem lién tue cùa
phuong trinh duói day
x{t) = T{t - s)x{s) + I T{t-

OfiOdt

Vt>s,t,sE

E,

o day A là toàn tu sinh cùa nùa nhóm {T{t))t^]^ va / E AA{X).
Nhàc lai ràng spu{g) dugc dinh nghia là phó déu cùa g. Két qua duói day dà dugc chùng
minh trong [?]:
Dinh ly 1.1. Cho A là toàn tu sinh cùa mot nùa nhóm gidi tich va cho f E AA{X). Thè'
tìiì tón tgi duy nhàt mot nghiem dù tot g E AA{%) cùa Eq. (7) sao elio spu{g) C spu{f) vài
diéu kien là a {A) fi ispu{f) — 0 duac tìiod man.
Diéu này ma róng mot két qua dà biét trong huóng này. Hon thè, phuong phàp chùng

minh dua trén khai niem ve phó déu là mói. Chù y ràng hàm hàu tu dàng càu khóng nhàt
thiét là lién tue déu. Vi vay, càc phuong phàp truóc day dua trén tinh lién tue déu khóng làm
viéc dugc trén bài toàn tóng quàt khi ma / khóng lién tue déu.
Tiép theo, chùng ta xét càc phuong trình co dang
dx
(8)
— =
A{t)x^f{t),
13


14

a day A{t) là mot toàn tu tuyén tinh (nói chung khóng bi chan) trén mot khóng gian Banach
X ma sinh ra mot qua trinh tién hoà 1-tuàn hoàn {U{t, s))t>s, va / là mot hàm hàu tu dàng
càu nhan già tri trong X trén R. Chùng ta quan tàm càc diéu kien ma dói vói no moi nghiem
dù tot giói nói cùa phuong trình này là hàu tu dàng càu. Toàn tu C/(l, 0) dugc ggi là toàn tu
monodromy két hgp vói phuang trình.
Dinh ly duói day dà dugc chùng minh trong [?]:
Dinh ly 1.2. Cho A{t) trong Eq. (8) sinh ra mot qua trinh tién hoà lién tue mgnh l-tudn
lioàn, va cho f là hdu tu dàng càu. Gid su thém ràng khóng gian X khóng chùa khóng gian
con nào dàng càu vài CQ va phàn pho cùa toàn tu monodromy U{1,0) trén duang tran dan vi
là dém dugc. The thì, mgi nghiem dù tot giài nói cùa Eq. (8) trén duàng thàng thuc là hàu
tu dàng càu.
Chù y ràng càc két qua tuong tir dùng dói vói tfnh hàu tuàn hoàn. Tuy nhién, càc phuang
phàp chùng minh càc két qua nhu vay dira nhiéu vào tfnh lién tiac déu cùa / .
2. Càc he dóng lue ròi rac va su lién he vai càc he dóng lue lién tue
Xét phuong trinh sai phàn tuyén tfnh
(9)

Xn+l = BXn + fn,

TI E Z,

ò day B là mot toàn tu tuyén tfnh giói nói. Duói day chùng ta se ky hiéu ar{B) phàn phó
cùa B trén duòng tròn don vi F cùa mat phàng phùc. Nhàc lai ràng sp^{x) ky hiéu phó cùa
day X dói vói mot khóng gian A ma thoà man Diéu kién H.
Bó de 2.1. Cho x E l'^{X) là mot nghiem cùa (9), va cho f E A. The thì
(10)

spA{x)Car{B).

BÓ de 2.2. Cho A là khóng gian cùa tàt ed càc day ìiàu tu dàng càu trong X, va cho
X E /°^(X) sao cho spj,{x) là dè'm dugc. Han the, gid su ràng khóng gian X khóng chùa
khóng gian con nào dàng càu vài Co. The thì, x E A.
Dua trén càc Bó de này chùng ta co thè chùng minh Dinh ly duói day ([?]):
Dinh ly 2.3. Cho B là mot toàn tu tuyè'n tinh giài nói trong X vài ar{B) là dè'm duac,
va cho X khóng gian con nào dàng càu vài CQ. Già su thém ràng {xn}n<^z là mot day bi cliàn
thod man phuang trình
(11)

Xn^\ = BXn + Vn.

U E Z,

à day {yn}n€Z E aa{li). The thì {x„} là ìiàu tu dàng càu.


Tfnh hàu tu ding c^u cùa nghiem cùa phifong trình vi phAn.

15

Nhò mói quan he giùa càc phuong trinh ròi rac va càc phuong trinh lién tiic chùng ta co
duói day:
Bó de 2.4. Cho u là mot nghiem dù tot giài nói cùa (8) trén R va f là hàu tu dàng càu.
Khi dò, u là hàu tu dàng càu né'u va chi né'u day {u{n)}n€Z là hàu tu dàng càu.
Vi vày, bó de trén cho phép chùng ta su diing càc ké't qua ve tfnh hàu tir dàng càu cùa
càc day de chùng minh càc két qua tuong tir cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn. Ky thuàt
này dac biét hiru fch khi / khóng lién tue déu.
Bay giò chùng ta xét dàng diéu cùa nghiem cùa phuang trình xàc dinh trén nùa duòng
thàng, càc phuong trình co dang
(12)

x{n + 1) = Bx{n) + f{n),

nEn,XnE\,

a day B là mot toàn tu tuyén tfnh giói nói trong X.
/^(X) := {{x(n)}n€N : ^{n) E X, sup||x(n)|| < +oo}.
nGN

Dinh ly 2.5. Cho x E 1^{X) là ergodic toàn cuc va a\p{x)

là dè'm dugc. The thì x là

hàu tuàn hoàn tiém càn.
Dinh ly 2.6. Gid su ràng phàn cùa a{B) trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, f là hàu
tuàn hoàn tiém can, x là mot nghiem giài nói cùa (12) ma là ergodic toàn cuc. The thì, x là
hàu tuàn hoàn tiém càn.
Chùng ta xét duói day phuong trinh

(13)

^^{t)

= A{t)x{t) + f{t),

tGR+,

ò day A{t) là mot toàn tu tuyén tfnh trén X ma sinh ra mot qua trinh tién hoà 1-tuàn hoàn
va / là hàu tuàn hoàn tiém can.
Dinh ly 2.7. Gid su ràng Eq(13) eó mot nghiem bi chgn x{t), phàn pho cùa

a{U{\,Q)

trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, day {x(n)}^^,^- là ergodic toàn cuc. Tliè'thì, x{t) là ìiau
tuàn hoàn tiém càn.


CHUÓNG 3

Mot SO mò hình ùng dung
1. He dòng lue trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niém ma dàu
1.1. He dóng lue dugc sàp thù tu dàc biét. Ta ggi [M, G, / ] là he dòng lire dugc sàp
thù tu dac biét, trong dò:
M

là khóng gian metric. G

là nhóm dugc sàp thù tir dac biét. / là ành xa tu khóng gian

tfch M X G vào M thoà man càc tfnh chat sau:
(i)

f{p,e)=p

(ii) f{f{P.9i).92)

=

f{p.gi92)

(iii) Vói mpi p E M , phàn tu 5 G G va so £ > 0, tón tai so 6 > 0 sao cho vói mgi
q E S{p,6) bàt dàng thùc p{f{p,g)J{q,g))

< e(*) thoà man.

Dói khi diéu kién cuoi ta thay bang diéu kién lién tue manh hon là diéu kién lién tue tfch
phàn: vói moi go E G^, so e > 0 va p G M, tón tai so 5 >) sao cho vói mgi q E S{p, 6) bàt
dàng thùc (*) thirc hien vói mgi g E {e,go)Già su ^ C M, K C G, ta ki hiéu:
f{A,K)^{f{p,g):pEA,gEK}
J:A^f{A,G),E^
Hàm f{p,g)

=

f{A,G+)

vói diém p co dinh goi là chuyén dòng. Tàp goi f{p, G) là quy dao cùa chuyén

dóng (hay quy dao toàn phàn.

1.1.1. Tdp bàt bien. Tàp A C R oq\ là tàp bàt bién néu f{A,g)

= A vói moi g E G

Dinh ly 1.1. Tcjp bàt bien là nwt tàp tgo nèn tu hgp cùa mot so càc quy dao toàn phàn
va ngU(fc lai tàp tu/p càc quy dao toàn phàn làp nèn mot tàp bàt bien
Dinh ly 1.2. H(/p bàt kì cùa càc tcìp bàt bien là nwt tàp bàt bien. Giao bàt kì cùa cac
tàp bàt bien là mot tàp bàt bien. Phàn bù cùa tàp bàt bien cùng là mot tàp bài biè'n. Dao
dóng cùa tcìp bàt biè'n cùng là mot làp bài biè'n.
1.2, Tàp ij.'-giai han ciia he dòng lue.

Hij v"E^


18

Dinh nghla 1.3. Diém u)- giói han. Diém q E M goi là cu- giói han cùa chuyén dóng
f{p, g) néu vói mgi làn can Uq, V5 G G, tón tai phàn tu g' E Gsao cho g' > g va f{p, g') E U,^.
Tap hgp tàt cà càc diém a;- giói han cùa chuyén dòng f{p,g)

ta kf hiéu là fip.

Tuong tir ta co djnh nghla diém a-giói han cùa chuyén dòng f{p,g)
Mg E G, tón tai phàn tu g' E Gsao cho 5' < g va f{p,g')
giói han cùa chuyén dòng f{p,g)

néu vói moi làn can Uq.

E Ug, Tàp hgp tàt cà càc diém u-

ta ki hiéu là Ap.

Dinh ly 1.4. Tàp flp{Ap) là tàp dóng bàt bien.
Dinh ly 1.5.

(i) Néu q E f{p,G)

thì fip - fi,

(ii) g G E+ thì fig C fip
1.3. Chuyén dóng ón dinh theo Lagrange. Ta dà biét ky hiéu T>A = f{A,G),T.^

=

f{A,G^)
Dinh nghla 1.6. Chuyén dóng f{p,g)

là ón dinh duong (ón dinh ) theo Lagrange néu

E+(Sp) là tàp compact.
Dinh ly 1.7. Néu G là mot nhóm eó huàng va chuyén dóng f{p,g)

là ón dinh Lagrange

tlieo huàng duang thì fi 7^ 0
Djnh ly 1.8. Néu G là mot nhóm co huàng va chuyén dòng f{p,g)

là on dinh Lagrange

tlieo huàng duang thì vài mgi e > Q va vài mgi g E G luón tón tgi g' > g sao cho

p{f{p,g'),Qp)1.3.1. Diém dùng.
Dinh nghla 1.9. Diém p hay quy dao f{p,g)
f{p.g)

goi là diém dùng néu vói mgi g E G Va co

^ p-

Dinh ly 1.10. Tcìp hgp càc diém dùng là tcìp dóng. Khóng mài quy dao nào khàc diém
dùng leu co thè rc/i vào diém dùng lai mot pliàn tu g E G.
Dinh ly 1.11. Nè'u ch'il veri bàt ky 5 > [) nìió lux y, tón tgi q E S{p, 8) sao elio f{q, G) C
S{j),S). thi j) là dièm dùng yèn.


Cac mó hình img dung

_^^

2. Mò hình dàn so
Sau day chùng tói xin dugc giói thiéu so qua ve mot so mó hình dàn so co dién.
2.1. Mó hình dàn so co dién cùa Malthus. : Nàm 1789 TR.Malthus dat ra mó hình
dàn so dóng lue ma trong do toc dò tàng truòng cùa quàn thè ti le vói dò lón cùa dàn so vói
càc già thiét sau:
1. Mgi dóng vat déu eó càc tfnh chat sinh thài nhu nhau (khóng eó su khàc nhau ve tuoi hay
ve gióng).
2. Co phàn ùng ngay lap tue khi co càc bién dói cùa mói truòng.
3.Khòng co cu trù ( chi co sinh va chét)
Trong mó hình này hàm F(t), biéu dién tóng so phàn tu eó trong quàn thè tai thòi diém
t, b là so trung bình càc con chàu (biéu hien toc dò sinh ) theo mòi dòng vàt va theo don vi

thòi gian, d là ty le càc dòng vat chét theo don vi thòi gian (biéu thi toc dò chét). Nhu vày,
ta eó:
Trong khoàng thòi gian At:
P{t + At) = P{t) + bP{t) - dP{t)
nén ta co:
Cho At ^ 0 ta co hàm P{t) thoà man phuong trinh vi phàn sau:

^^^{b-d)P{t)
dt

= XP{t)

t>0

a day A là tham so Malthus là hàng so dói vói quàn thè cho truóc chi su tàng truòng nói
tai. Day là phuong trinh vi phàn don gian:
Ta eó thè de dàng tim ra nghiem cùa phuang trinh trén là hàm mù P{t) = e'*^'P(0)
Nhung do qua trinh tu tàp quàn thè ( dóng lén ) va siJ giói han cùa tài nguyén (su thiéu
thón) nén A khóng phài là hàng so ma phu thuóc vào kich thuóc cùa quàn thè va tài nguyén.
Tue là: A = A(t, P{t))- Do dò, chùng ta eó thè xét mot mó hình tóng quàt han là:
^

= X,P{t) +

f{t,P{t))

Dac biét vào nàm 1838 P.F.Verhulst dua ra mó hình dàn so mói trong dò A giàm khi P{t)
tàng va co su phu thuóc vào tiém nàng cùa mói truòng. De mó tà diéu dò ta chon:
f{t,p(t))

p~{t
K


20

. Tue là:
A ^ A . I l - ^
Do dò, hàm P{t) thoà man phuang trinh vi phàn sau:

Phuong trinh vi phàn tra thành phuang trinh logistic. Trong dò. Ai là hàng so miéu tà sir phàt
trién nói tai cùa quàn thè va I{ àuge goi là tiém nàng tài.
Ta co thè giài triJc tiép phuong trinh trén bang phuong phàp phàn ly bién so. Ta co:
^^^^ " 1 + [K/P{0) - l]e-^^^

*-°

Ta thày ràng nghiem trén co tfnh chat lim^^^oo = K. Do dò, trong su ma róng cùa dàn so
Malthus; dàn so dat trang thài càn bang khóng tàm thuòng khi thòi gian ra vó han.
2.2. Mó hình co dién tuyén tinh cùa F.R.Sharpe va A.Lotka: Mó hình cùa Malthusi
va Verhulst là càc vf dii cùa su lién tiic va sir tàt yéu cùa mò hình dàn so. Sau dò, ly thuyét
dóng hgc lién tiic cùa càc quàn thè sinh hgc dugc nhiéu nhà toàn hgc, sinh hoc va diéu tra dàn
so ma róng va phàt trién. Dàc biét, mó hình quàn thè tuyén tfnh co ành huong cùa càu trùc
tuoi dugc nghién cùu róng rài. Trong so càc mò hình dò, phài kè dèh mò hình cùa F.R.Sharpe
va A.Lotka(1911); A.G.Mckendrick(1926). Ben canh dò mò hình phi tuyén cOng dugc nhiéu
nguòi nghién cixu, Nàm 1974, M.Gurtin, R.C. MacCamy va F.Hoppensteadt dà giói thiéu mot
so mó hình quàn thè phi tuyén.
Sau day tói xin giói thiéu mó hình tuyén tfnh co dién cùa F.R.Sharpe va A.Lotka(1911)
dugc hình thành nhu sau:
Lày hàm p(a, t) là hàm mat dò phu thuóc vào tuoi a cùa dàn so tai thòi dièm t. Don vi

cùa p{a, t) dà dugc cho trong don vi cùa dàn so chia bòi don vi thòi gian. Theo y tuong dò,
tóng so dàn tai thòi dièm t cùa càc thành vién cùa quàn thè co dò tuoi tu ai dén a2 là :
fO.2

/

p{a, t)da

J a\

và tóng so dàn tai thòi dièm t cùa quàn thè là:
P[t)=

I

p{a,t)da

Hàm mat dò phài thoà man luàt càn bang (balance law) cùa qua trình dàn so. Tue là:
Dl{a,f)

=

-li{a)p{aJ).


Cac mó hình ung dung

a day p là hàm khóng khóng àm cùa tuoi goi là dàc trung tuoi thè hién su tiéu hao cùa
quàn thé( mortalily modulus) và toàn tu vi phàn D dugc dinh nghla là:
h

h-^o+

Và qua trinh sinh truòng cùa dàn so thoà man luàt sinh truòng (birth law) nhu sau:
'OO

p(0,t) = / P{a)p{a,t)da. t> 0
Jo
ò day, /3(a) là hàm tuoi khóng àm dugc bié't dèh nhu dàc trung sinh san hay ta eó thè hiéu
day là khà nàng sinh san cùa tuoi a. Biéu thùc p(0, t) eó thè giài thfch là so thành vién chào
dòi cùa quàn thè tai thòi diém t. Thóng thuòng do càc loài déu co tuoi hùu han nén ta thuòng
già su a; < +00 là tuoi tho lón nhàt cùa quàn thè thì khi dò tóng so dàn cùa quàn thè và so
tré chào dòi tai thòi diém t duoc viét lai nhu sau:
puf

P{t) = / p{a,t)da
Jo
puf

p{0,t) = /

P{a)p{a,t)da.

t >0

Sau day, ta se de càp dén su phàn bó cùa tuoi tai thòi diém ban dàu. Ta co:
p{a,0) = (p{a) a > 0
o day, hàm 0 cùng là hàm khóng àm cùa tuoi a là biéu dién cho chùng ta so lugng càc thành
vién cùa quàn thè eó tuoi là a tai thòi diém ban dàu. Do càc diéu kién ò trén, hàm cp phài
thoà man diéu kién tuong thfch (compatibility condition) là:

puf

(P{0) = / p{a)4>{a)da.
2.3. Mò hình cùa Gunrtin-MacCamy: Dén nàm 1974, Gunrtin-MacCamy dà ma róng
mó hình dàn so phi tuyén. Trong dò khà nàng tiéu hao( mortality modulus) và khà nàng sinh
san ( fertility modulus) phu thuóc phi tuyén vào mat dò.
Già su p{a, t) và P{t) Ta eó tóng so dàn vàn co dang;
P{t) = I p{a,t)da
Jo
Nhuiìg luàt càn bang cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:
Dp{aJ.) =:-/,(,;, P(0)/;(a,/).


22

Và luàt sinh truòng cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:
p ( 0 , t ) - / P{a,P{t))p{a,t)da. " t > 0
Jo
Nhu vay, hàm p va P Ih. càc hàm khóng àm cho truóc phii thuóc vào hai bién.
2.4. Mó hình dàn so ma róng: Nhung nàm gàn day ly thuyét ón dinh cùa mó hình
quàn thè da trang thài, trong do co su nhap cu và di cu dà dugc nhiéu nhà toàn hoc và
dàn so hgc nghién cùu nhu Pollard(1975), Espenshade(1982), Mitra(1983),Cerone(1986) và
H.Inaba(1988). Mò hình quàn thè thiét lap nén he Lotka- von Foerster khóng thuàn nhàt. He
này dà dugc chuyén ve bài toàn Cauchy tóng quàt trong khóng gian Banach. Chùng ta se
nghién cùu dàng dieu tiém càn cùa nò bang ly thuyét GQ nùa nhóm. De thuàn tién chùng tói
xin dugc giói thiéu mò hinh dugc mó tà bang he Lotka- von foerster khóng thuàn nhàt:
Dat p(a,t) = {pi{a,t),p2{a,t), ....,pn{a,t)y, trong dópi(a,t), 0 ^ z ^ n là hàm mat
dò cùa quàn thè con thù z, tue là J^ Pi{u, t)du là thè hién so cà thè ò quàn thè con thù i trong
eó tuoi tu a dén 6 tai thòi diém t. Dat L{à) là mot ma tran n x n, goi là ma tran ty le song
sót (the survival rate matric), trong dò phàn tu lij{à) là ty le ma mot cà thè sinh ò quàn thè

con thù j sé con song trong quàn thè con thù i a tuoi a. Q{a) là mot ma tran n x n , trong
do phàn tu qij{a) là toc dò chuyén dói tue thòi cùa quàn thè ò tuoi a tu quàn thè con j dén
quàn thè con i. Càc phàn tu trén duòng chéo:
qu{a) = -lii{a) - Y^qij{a),

0 ^ z^ n

0 dò kf hiéu cùa khà nàng tiéu hao (chét) (mortality modulus) cùa quàn thè con thù i.
Dàt a; < oc là tuoi thg lón nhàt cùa quàn thè. Ta dinh nghla ma tran ty le chuyén tiép
L{b,a) := L{b)L~'^{a) vói 0 ^ a ^ a; và L{a,a) = /. Dàt M{a) là ma tran ti le sinh, trong
dò mij{a) > 0 cùa nò là trung bình so cà thè con chàu ò quàn thè con thù i trén don vi thòi
gian, dugc sinh ra bòi mot cà thè j . Bài toàn là nghién cùu mot mò hình quàn thè co su di
cu và nhap cu. Bài toàn dugc mó tà boi he Lotka - von Foerster khóng thuàn nhàt :
( ^ + ^ M « ' 0 = Q{a)p{a,t) +

f{a,t,pia,t))

puf

p{0,t) = / M{a)p{a,t)da.
Jo
p{a,0) = ó(a),
trong dò hàm
/:[0,a,i X [O,ocì -^C"

t >0


Càc mó hình ùng dung
VOI

f{a, t,p{a, t)) := lim[p(a + /z, t + /i) - L{a + h, a)p{a, t)],
dugc ggi là hàm mat dò tuoi cùa càc cà thè di cu thuàn tuy (the age-desnity function of the
net migrants).
Chùng ta xét toàn tu A dugc ggi là toàn tu dàn so xàc dinh nhu sau:
A : D{A) C L^(0,a;;G") ^

L'{0,u;C')

vói
A(P{a):=-—(P{a) + Q{a)(P{a),
da
D{A) := {(p E Li(0,a;;G") : (p lién tue tuyét dói vói trong dò D{A) kf hiéu mién xàc dinh cùa toàn tu A. Khi ày he dugc dua ve bài toàn Cauchy:
(14)

f^p{t) = Ap{t) + f{t,p{t)),

t>0.

p(0) = (P
vói mòit G /?+, f{t,p{t)) : - f{;t,p{.,t)y,p{t)
= p{;t) E L'{0,u-a')
:= X. Tu càc ké't
qua dà biét trong bài bào [4] ta eó toàn tu A là toàn tu dóng, mién xàc dinh cùa D{A) trù
mat trong X và toàn tu A sinh ra nùa nhóm compact {T{t))t>o2.5. Mó hình dàn so nghién cùu chình: Thuc té, so nguòi di cu và nhàp cu sau mot
thòi gian nhàt dinh mòi ành huòng dén toc dò tàng truòng cùa quàn thè cung gióng nhu mot
phàn tu cùa quàn thè khi chuyén dói tu trang thài này dén trang thài khàc càn eó thòi gian
de thich nghi thì khi dò nò mói dugc coi hoàn toàn là ò trang thài mói. Do dò chùng tói dà
dua ra he Lotka - von Foerster khón^ thuàn nhàt co hàm mat dò tuoi co chàm nhu sau.

TT + ^)P(«. 0 = Q{a)pia, t) + /(a, t.p{a, t + 9));
da
ut
p{0,t) = / M{a)p{a,t)da.
Jo

t >0

7;(a,0) = <^(«),
tron" dò hàm
/ : [0,cv'l X [(),oc] - .

C

-h ^ 0 ^ 0


24

vói
f{a, t,p{a, t + 9)) := lim[p(a -{-h,t + 9 + h) - L{a-\- h, a)p{a, t + 9)],
Do dò tuong ti; nhu trén ta dua dugc ve bài toàn Cauchy cùa phuang trình \'i phàn co
chàm eó dang phuang trình chùng ta dang nghién cùu (2)nhu sau:
-p{t)=Ap{t)

+ f{t,p{t + 9)),

p(0) - (P{t),

f>0,

-h^t^O

2.6. àp dung càc két qua dà co vào bài toàn dàn so. Già su (r(t))£>olà nùa nhóm dàn
so sinh bòitoàn tu dàn so A theo tài liéu [8], nùa nhóm dàn só(T(t))(>o là nùa nhóm compact
voi t > fi tue là lap compact cuoi cùng Két hgp vói he qua (3.3) ta thày mó hình dàn so eó
sir di cu ( vói quy mò khóng qua lón) co sir tuong duong tiém càn vói mò hinh thàn nhàt
(khóng eó sijf di cu). Hon nua, trong mó hinh sau khi dà co sir di cu (khóng thuàn nhàt) co
thè tfnh dugc so thành vién ò dò tuoi a , thóng qua so thàn vién tuong ùng vói thành vién o
dò tuoi b cùa mó hinh khóng eó sijf di cu (thuàn nhàt). Tu do cho chùng ta eó su dir doàn so
thành vién cùa do tuoi a cùa mó hinh di cu néu chùng ta co so liéu cu thè. Càc két qua trén
co thè giùp chùng ta trong viéc diéu chinh so nguòi sao cho phù hgp vói yéu càu lao dóng
trong càc vùng khàc nhau cùa mot dàt nuóc bang càch di cu. Nhung de àp diing mot càch
co hieu qua dòi hòi phài co mot so khàc phiic mot so khò khan tiép theo ve mat tfnh toàn .
Chùng tòi dà dir dinh se khàc phijc nò bang càch su diing ly thuyét phuang trình sai phàn.


3. Mó hình ngoai thuang da quóc già

l.Mò hình chung
Tóng thu nhap quóc dàn (Y) bao góm :
Tong già tri xuàt khàu(X) + Tong tiéu dùng (D) + long CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y = X + D + I.
Ky hiéu:
Y = Tóng thu nhàp quóc dàn; M = Tóng GT nhàp khàu
X = Tóng GT xuà't khàu; C = Tóng tiéu dùng ; I = Tóng chi phi dàu tu ;
Chù y ràng tóng kinh phf cho tiéu dùng nói dia (D) bang :
Tong chi phi tiéu dùng (C) - Tong GT nhàp khdu (M).

Tue là :
D = C-M.
Nén ta co tóng thu nhàp quóc dàn (Y) sé bao góm :
Tong già tri xuà't khàu(X) + Tong tiéu dùng (C)- Tong GT nhàp khdu (M) +
+ tong CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y=X+ C -M +1.
Già thiét:
I. Thài diém quan sài :
Thòi gian

thòi diém quan sàt ròi rac : n = 0, 1, 2,...

2.Quy luàt kinh té'
Tóng già tri nhàp khàu (M) và tóng chi phi tiéu dùng nói dia (D) (bao góm tóng chi phi
tiéu dùng (C)trù di tóng chi phf nhàp khàu (M)) ty le vói tóng thu nhàp quóc dàn (Y) ò thòi
ky truóc dò,vi vày ky hiéuchi so j,i là nuóc thù i j ta co:
D,(n-^I)=

a,^.Y;(n)(i=l,2)

, M,(n^l)=

a^,Y-Jn),

(i=]J;j=3-i)

.

Gid su long so' chi cho nhàp kliàu cùa nuàc này là tóng so thu cùa xuàt khdu cùa nude kia

và ngugc lai :
Mj(n)=X,(n) . M,(n)=Xj(n),
Tu càc già thiét trén cuòi cùng ta se di dén he phuang trình sai phàn :
2.He hai phuang trình sai phàn :
25


y , ( n + l ) = anyi(n)+ ^^nJiM + I;
y 2 ( n + l ) = a2i>'i(i^)+'^22}'2(n) + l2

( n = no, Ho+l, no+2,... )
Ky hiéu :
U(n) = col. (y2(n) ,y2(n)); B = col.a,,!^); A=( a,^ ) , . ,
Ta co phuong trinh ma tran :
U(n+1)= AU(n)+B.
( n = no, no + L no+2,... )

3.Giài phuang trình sai phàn và ve do thj minh hoa:

Vi du bang so

> a:=l/2;
:•

a

> b = 1;
b := 1
> e : = 0;
e :=

0

> e : = 1/4

e := —

>ptl:=y(n+l)=a-*'y(n)-^b*2 (n)+5;
pll

:=

y{ n +

1 ) = -

y{ n ) + z ( ^ ) + 5

> p t 2 :=z [n-^l] = c ^ y { n ) 4-e^z (a) - 7 ;
pt2
> dk:=

>

:=

y (0)=1,z(0)=2;
^A :=

z ( /; +

1 ) == 7 +

y(0)=

— zi n )
4

l , z ( 0 ) =

rsolve({ptl,pt2},(y(n),2(n);;
26

2