dáng tiệm cận của hệ đọng lực và một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm

yv"*
V A
DAI HOC QUOC
GIÀ
HA NOI
TRUÒNG
DAI HOC KHOA HOC
TU NHIÈN
~
* * *
*
fc£j
%^
*S^
*Ì^
^fi *Jfi
»^
fc.)*
•J»
*^
•1'
•^ ^^ ^*
*J*
'I*
DA]\G DIÉIJ TIÉM
€A]\
ClIA
HE
DÒ]\G LlTC
-« ^
VA MOT SO

lIl^fG DU]\G CIJA PHlTOl^G TRI]\H
VI
PHA]\
CO
CHAM
MA
SO:
QT
0601
CHU
TRI
DE
TÀI:
PGS.TS.
DÀNG DÌNH
CHÀU
N
^
HA
NOI-2007
DAI HOC QUOC
GIÀ
HA NOI
TRUÒNG
DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
*
^^ *^
*i*
*^ *^ *^ ^^ *^
0^

^n ^^ ^^ '^ *^ '^ *|^
DAI\G DIÉU TIÉM
CA1\
CÉA
HE
DÒ]\G LlJC
• •
•
• • •
VA
MOT SO
tn\G DUIVG CÉA PHlJOrVG TRÌI\H
VI
PHA]\
CO CHAM
MA
SO:
QT0601
Chù
tri
de tài:
PGS.
TS. Dang Dình Chàu
Càc càn bó tham
già:
T.S
Nguyén Thiéu
Huy
T.S
Nguyén Sinh

Bay
Th.s.
TrdnTà't Dgt
CN.
Nguyén
Bùi
Cifong
HA
NOI-2007
Bào cào
tóm tàt
:
a. Tén
de
tài : Dàng
dieu
tiem càn cùa he
dpng lue va mot sóùng
dung
cùa
phuùng
trình vi phàn
co
cham
Ma
so:
QT
06-01
b.
Chù

tri de
tài: PGS.TS. Dàng Dình Chàu
e.
Cac càn ho
phdi hgfp
:
TS Nguyén Thiéu Huy
TS Nguyén Sinh Bay
Thgc
SI
Tran Tàt Dgt
CN.
Nguyén Bùi
Cuc/ng
d. Muc tiéu
va
nói
duns nshién
cihi:
He dòng
lue tóng
quàt là mot trong nhung mò
hình ly
thuyét toàn hoc co nhiéu
ùng
dung
quan trong trong thuc té. Nhung còng trình nghién
cùu ve
ly
thyét

He dóng
lue tóng
quàt
bàt dàu
xuàt
hién
tu
nùa
dàu
the' ky XVII nhung hien nay day vàn là
nhùng
phuang
huóng
nghién
cùu
cùa ly thuyét toàn hoc dugc nhiéu nhà khoa hoc quan tàm
nhàt.
Trong
do viec nghién
cùu
dàng dieu tiem can cùa he dóng
lue
là mot trong nhung bài toàn dóng
vai trò trung tàm cùa ly thuyét he dòng
lue va
ly thuyét dình
tinh
phuang trình vi phàn .
Vói muc
dich tùng buóc

di sàu vào viec nghién
cùu
nhung
tinh
chat ca bàn cùa he dòng
lue
tóng quàt
va
khai thàc càc khà
nàng
ùng dung cùa
nò,
chùng tòi ( trong
de
tài QT
06-
01) dà
trién
khai nghién
cùu va
giài quyét càc bài toàn cu the sau day:
(*)
Nghién cùu
tinh
ón dình
va
su tuang duang tiem can cùa phuang trình tuyén
tinh co
cham vói nhiéu tuyén
tinh va

nhiéu phi tuyén
(*)
Nghién cùu mot
so'
tinh
chà't tiéu
biéu
cùa nùa nhóm rài rac , trình
bay
mot so dieu
kien dù
ve
su tuang duang tiem can cùa nùa nhóm
ròi
rac
va
ho càc toàn
tu
tién hoà
ròi
rac .
(*)
Tinh
chà't
hàu
tu dàng càu cùa nghiem bi chan cùa phuang trình vi
phàn
vai bién hàng
tùng
khùc

(*)
Ap dung mot so két qua nhan dugc cho mò hình ngoai thuang da quóc
già
(*)
Nghién cùu mò hình dàn
so'
phi tuyén phu thuoc vào
lùa
tuoi
va
càc ùng dung cùa ly
thuyét dinh
tinh
phuang trình vi, sai phàn trong mò hình
dàn
so.
e. Càc két qua dat dugc
• Viét dugc 2 bài bào(dà
dàng) va
hoàn thành 1 bài bào (dà gùi
dàng)
,1 bào cào hòi
nghi khoa hoc nhàn dip ky niem 50 nàm truyén thò'ng DHTH
Ha
Nói
• Hoàn thành 3
luan
vàn thac
si
(dà bào ve)

7.
Tình hình kinh phi
ciìa
de tài: Dà thanh toàn theo dung du dinh
Xàc nhàn
cùa
BCN khoa
iuit
Chù
tri
de tài
Triròìig
Dai hoc Khoa hoc
Tir
nhién
mAfy HltU
^^^"^
hiG
PGS TS.
Dàng Dình
Chàu
r
i-it/i.
r-/
'j
MUC LUC
MÒ DAU 4
CHlTONG
1. Mot so và'n
de ve

phuang trình vi phàn hàm 5
1.
Dinh
nghia va ki
hieu 5
2.
Diéu kien dù ve
sir ón
dinh déu
va 6n
dinh tiem càn déu 8
3.
Tuang duang tiem càn cùa phuang trình vi phàn co chàm trong
khóng gian Banach 10
CHLTONG
2.
Tinh
hàu tu dàng cà'u cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn 13
1.
Tóng cùa toàn
tu
giao hoàn
va
su tón tai cùa nghiem
hàu
tu dàng
càu
13
2.
Càc he dòng

lue rói
rac
va
su
lién
he vói càc he dòng
lue lién
tue
14
CHl/ONG
3. Mot so mò hình ùng dung
17
1.
He dòng
lue
trén nhóm dugc sàp thù tu
va
khai niem ma
dàu 17
2.
Mò hình dàn
so 19
3.
Mò hình ngoai thuang da quóc
già
25
KÉT
LUAN 30
TÀI
LIEU

THAM KHÀO 31
PHU LUC
MODAU
Trong nhùng nàm
gàn
day, tàp the nghién cùu "Ly thuyét dinh tinh cùa
phuang
trình vi
phàn'"
thuóc bg món Giài
tich
Khoa Toàn - Ca - Tin hoc
Truòng
Dai Hgc
Khoa hgc Tu Nhién, Dai Hgc Quóc
Già Ha
Nói dà tién hành nghién cùu nhiéu de
tài khoa hgc(toàn hgc) dugc dành già
co
chà't
lugng
cao. Két qua nhan dugc trong
càc de tài này là dà tap trung vào mot huóng nghién cùu mang
tinh
thói su
va co
y
nghia
khoa hgc sàu sàc ve mat ly
thuyét.

Tuy nhién, de dàp ùng nhu càu
bue
thiét
cùa viec ùng dung càc thành tuu dò vào càc bài toàn thuc té phuc vu cugc song nói
chung
va
trong khoa hgc hgc ùng dung nói riéng dòi hòi nhùng nguài
làm
còng
tàc khoa hgc
càn
biét tu trang bi thém cho minh nhiéu kien thùc mai
va
càc còng
cu
tinh
toàn
thich
hgp.
De
tài mang ma so 06-01 là mot buóc phàt trién tiép nói
càc két qua dà
co va
bàt dàu khai thàc càc khà nàng ùng dung cùa càc két qua nhan
dugc toàn bó noi dung cùa
de
tài gòm ba chuang:
Chuong
1: Trình
bay

mot so két
qua ve
dàng dieu cùa he dóng lue tuyén tfnh va
phi tuyén yéu.
Chuang 2: Nghién cùu su tón tai cùa nghiem hàu tuàn hoàn
va
hàu
tuàn
hoàn tiém
can cùa phuang trình vi phàn trung tfnh vói bién hàng tùng
khùc.
Chuang 3: Trình
bay mot
so két
qua
trong viec khai thàc khà nàng
ùng
dung cùa
càc két qua nhan dugc cho mò hình dàn so
co
su nhap cu di cu
va
mò hình ngoai
thuang da quóc
già.
CHllÒNG
1
Mot so
vàn
de ve phuang trình vi phàn hàm

1.
Dinh nghTa
va
ky hiéu
Chùng ta chgn mot so
ki
hiéu sau:
R^
là khóng gian véc
to
Euclidean n chiéu voi chuan
|.|,
va
khi n
=
1 ta
ki
hiéu don gian là R. Vói b >
a,
chung ta ky hiéu
C{[a,b],R'^)
là
khóng gian Banach càc hàm lién
tue
trén doan
[a,b]
vào
R^
vói tó pò hòi tu déu. Vói
mòi

(p
G
C([a,ò],i?"),
chuàn
cùa
(p
dugc dinh
nghla
là \\ip\\ =
supa^e^b\v{d)\-
Dàc
biét, khi
[a,b] =
[—7',
0],
trong do r là hàng
so
duang, chung ta sé ky hiéu C =
C{[-r,0],R^)
. Vói
io
e
R,A>0,x
e
C{[to -
r,to
+
A],R'') va
t G
[to,to

+ A]
chùng
ta ky hiéu
xt E
C nhu
sau xt{9) = x{t
+ e),9 e
[-r,
0].
Già su fi là tàp con
cùa i?
x
C,
/ : fi
-^
/?"
là
mot
hàm
cho
truóc,
va ""
dugc hiéu là dao hàm phài. Khi
dò:
(1) x{t) = f{t,xt)
chùng ta goi phuang trinh trén là phuang trinh vi
phàn co
cham (RDEs),(DDEs) hoac phuang
trình vi phàn hàm (FDEs) trén fi.
Dinh

nghia
1.1. Hàm
x{a,
(p)
dugc ggi là nghiem cùa phuang trinh (1) néu tón tai
a
G
i?
va >1
> 0 sao cho
X{G,
ip)
là hàm lién
tue tir
[a,
a
+
A] vào
i?"
co
càc tfnh chat sau:
(i)
xt{a,^) eC
{a
^t^a + A)
(ii)
Xt{a,ip),
(a
^
t

^
a
+
A),
Ik
càc hàm
ihòa
man phuong trinh (1)
Dinh nghla L2. Hàm
x{to,ip)
dugc goi là nghiem cùa phuang trinh (1) vói diéu kien ban
dau
(^
G
C
tai
to
néu tón tai
yl
> 0 sao cho
x{tQ,(p)
là hàm lién
tue
tu
to,to -h
A] vào
R"'
thoà man càc diéu kien:
(i)
x{to,(p)

là nghiem cùa phuang trinh (1)
(ii)
Xt^{to.^) =
p:
De
thày (1) chùa cà phuang trình vi phàn
thucmg
(ODEs)
va
phuang trình vi phàn
i{t) =
f{t;x{t);x{t
-
T,(t));
;x(t
-
r^{t))
vói 0
^ Tj{t) ^
r;
j
= 1; 2;
;p va
ta
co thè
xày dung nhu là phuang trinh
tich
phàn sau:
±{t)
= / g{t-d\x{t^e)de

6
Chùng ta ggi phuang trình (1) là tuyén tfnh néu
f{t,Xt)
=
L{t,Xt)
+ h{t) trong dò
L{t,Xt)
là tuyén tfnh dói voi
x^
tuyén tfnh
thuàn
nhàt néu h{t)
^
0. Chùng ta ggi (1) là ótónóm
néu
f{t,xt) = g{Xi)
a day g{t) khóng phu thuóc vào t, truòng hgp
con
lai ta ggi là khóng
ótónóm.
Gióng nhu phuang trình vi phàn thucmg (ODEs) ta cung co càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó
de
1.3. Nèu
to
G
i?,
(/?
G
C

cho truàc
va f{t,(p)
là hàm lién
tue
trén fi thì viec tìm
nghiem
phuaìig
trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) =
ip{0)
+
Jlf{s,Xs)ds;t>to,
^to
=
^\
Dinh ly 1.4. (Tén tgi nghiem) Già su
Vi
là tàp
ma
trong Rx C
va
f là hàm lién tue trén
fi
va
f lién
tue
trén fi. Né'u {to,
(p)
G fi, thi tón tgi nghiem cùa phuang trinh (1) di qua
{to,

(p)
Chùng ta ggi
f{t,(p)
là Lipschitz vói (p trong tap compact K cùa Rx C
néù
tón tai
so
duang
A;
> 0 sao cho, vói mòi
(t,(pi)
E
K\i
=^
1,2
\f{t.cpi)-f{t,<Pi)\^k\(Pi-(P2\
Dinh ly 1.5. (Duy
nhàt
nghiem)
Già su
fi là tàp ma trong R x C, f :
Q,
^
R^
lién
tue
,
va
f{t,
(p)

là lipschitz vai
(p
trén mèi tàp compact trong fi. Neu (to,
p)
G fi, thì
co
duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua
{to,<p).
Ta
co thè
di tim
nghiem
cùa phuang trinh vi hàm (1)
bang
hai phuong phàp là phuang
phàp
tùng buóc
va
phuang phàp Laplace.
Vi
du 1.6. (giài
bang
phuang phàp Laplace) Xét phuang trinh vi phàn
co
cham:
x{t) = x{t~ 1)
ip{t)
=
t,-l

^t^O.
Ta
co:
x{t)
-^ X{p)]
x{t)
^
pX{p),
x{0) = ^{0) =
0
Néu /(t)
-^
F{p)
va to
> 0 thì f{t -
to) -^
e~''^F{p)
x{t - 1)
-^
e-P[
/
e~^'p{t)dt
+ X{p)]
^ ^—^ -
-
-f
e'^X{p)
Phuong trình vi phàn
co
chàm dang xét dugc dua

ve
dang:
pXip) =
i^
- - +
e-^X{p)
P^
P
Dodo:
1 1 -
e"P
X{p)
^- ,
._„.
+
p{p
—
e
P)
p'^{p
—
e"P
Mot
so*
v^n
de ve
phuang trình
hàm.
Suy
ra,

Cuoi cùng
ta co:
^W
= 4
+
à-E
°°
e-'=P
P'
P^
^
P
k+2
<t)
=
(^
- t)rì{t)
-
J2
(t-k)
k+l
tt (^+1)'
V{t - k)
trong
dò 77
là hàm
dorn
vi
thoà
man

v{t)
=
1
khi
X
> 0
0
khi
a;
<0
Vi
du 1.7.
(phuang
phàp tìmg
buóc)
Xét
phuong
trình
vi
phàn
co
chàm
sau:
x{t)
= 6x{t - 1)
Ta
se tìm
nghiem
x{to,(p),{to
=

l)
, cùa
phung trình
vi
phàn trén doan
[0,3].
Theo
he qua 1,
nghiem
cùa
phuang trình
vi
phàn trén
co
dang:
x{t)
=
ip{l)
+
jl Qx{s
-
l)ds]
t>l,
x{t)
=
ip{t)
O^t^l;
Trén doan
[1,2] ta
co:

hay
Trén doan
[2,3] ta
co:
x{t)
=
ip{l)
+
J^6sds;2
>t>l,
x{t)
=
ip{t)
O^t^l;
x{t)
= l +
3{t-iy;2>t>
1,
x{t)
=
^{t)
0
^ i ^
1;
x{t)
=
ip{2)
+
/^
6x(s -

ì)ds;
3 >
i
> 2,
x(0
= l +
3(i-l)2;2>i>
1,
Suy
ra,
xit)
= 6{t -
2)[{t
-
2)2
+ 1] +
4;
3 >
f
> 2,
x(i)
= l +
3(i-l)2;2>t
> 1,
Nhu
vày,
nghiem
cùa
phuang trình trén
[0,3] là

x{t)
=
t;l>t>0,
x{t)
= l +
3(<-l)2;2> t
> 1,
xit) =
6(i - 2)[{t -
2)2
+ 1] +
4;
3 >
t
> 2,
8
CU
nhu vay ta
co
the ma rgng nghiem trén mot doan
hiju
han tuy y.
Gióng nhu phuang trình vi phàn
thuòng
(ODEs) ta cung
co
càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó
de
1.8. Neu

to e
R,(p
E
C cho truàc
va f{t,(p)
là hàm lién
tue
trén fi thì viec tìm
nghiem phuang trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) =
cp{0)
+
Jl
f{s,
Xs)ds;
t > to,
Dinh ly 1.9. (Tón tgi nghiem) Già su fi là tàp ma trong
RxC va
f là hàm lién
tue
trén
fi
va
f lién
tue
trén fi. Néu {to,
p)
G fi, thì tón tgi nghiem cùa phuang trình (1) di qua (to,
v^)
Chùng ta ggi f{t,

cp)
là Lipschitz voi (p trong tap compact K cùa
RxC
néu tón tai
so
duang
A;
> 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E
K\i
=
1,2
\f{t,<Pi)~f{t,cpi)\^k\<P,-<P2\
Dinh ly 1.10. (Duy nhàt nghiem) Gid su fi là tàp ma trong
Rx
C,
f :
fi -^
R""
lién
tue
,
va
f{t,
(p)
là lipschitz vai
(p
trén mèi tap compact trong fi. Né'u {to,
p)
E fi, thì co duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to,

p).
Ta
co thè
di tim nghiem cùa phuang trinh vi hàm (1)
bang
hai phuong phàp là phuang
phàp
tùng
buóc
va
phuang phàp Laplace.
Bay
giò
chùng ta xét mot truòng hgp riéng cùa phuang trinh vi phàn hàm
dò
là phuang trình
vi phàn
co
chàm
co
dang trong tài
liéu
[?].
x{t) = Ax{t) + Bx{t -
r)
+ f{t)
Sau khi nghién
cùu,
chùng tòi dà dat dugc mot
so

càc két qua
ve
diéu kién dù cùa su ón dinh
déu
,
ón dinh tiém càn déu
va
tfnh
tuong
duong tiém càn cùa phuang trinh
co
dang trén.
2.
Diéu kién dù ve su ón dinh déu va ón dinh tiém càn déu
De thuàn tién cho viéc trinh
bay
két qua
lói
xin dugc néu lai càc khai niem ón dinh cùa
phuong trình vi phàn hàm hay phuang trinh vi phàn
co
cham:
Dinh nghla 2.1. nghiem tàm thuòng x{t)
=
0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh
iheo
Lyapunov khi
t
—)•
CXD

néu Ve > 0 :
3^
— 6{e,(p);^p
E C sao cho
||c^||
<
5
ta
co
\\x{t,to,ip)\\
<e;Vt>to
Dinh nghla 2.2. nghiem tàm thuòng x{t)
~
0 cùa
he
(1.1) dugc ggi là ón dinh tiém càn
theo Lyapunov khi t
—^
oc néu nò
thoà
man càc diéu kién sau:
M6t
s6'
v^in
de
ve phucmg
trình hàm.
'
i)
NÒ

Ón dinh theo Lyapunov
ii)
Vto
G [a, +00) : 35 = S{to)
\\fp>EC
sao cho \\p\\ <
5
ta
co:
lim||x(t,to,v:^)||
=
0
Dinh nghla 2.3. nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh
mù
néu
vói mòi nghiem x{t) =
x{t,
to,
(p),ipEC luón luón
tón tai càc hàng
so
M,
A
> 0 khóng phu
thuóc vào
(p
E C sao cho:
||x(t)||^M.||(/.(to)||-e-^(^-*°);Vt>to
Càc ón dinh trén dugc goi là déu néu 6 khóng phu thuóc vào diéu kién ban
dàu tue

là
khóng phu thuóc vào
ip.
Chùng ta xét phuong trinh vi
phàn:
(2)
^
= Axit) +
f{t,x{t
+
6)y,t>0,
at
vói diéu kién ban dàu x{t)
=
p{t),
-h^t
^0.
Trong
dò x(.)
E
E\AE
L{E);
(thóng thuòng
toàn tu A khóng giói nói trong khóng gian
E)\f{t,x{t
+
d)){t){-h ^9^0)
thòa man:
(3)
\\f{t,x{t

+
9))\\^g{t)\\x{t +
9)\\
a
day
g{t) là hàm thòa man:
/•OO
/ g{r)dr
^
m < 00.
Jo
voi diéu kien ban dàu:
x{t)
=
p{t),
-h ^
t
^ 0]
ip{.) E
C([-h,0],,
E).
Khi
dò,
phuong trinh (2) thòa man diéu kién cùa dinh ly tón tai
va
duy nhàt nghiem . Do
dò,
phuong
trình (2)
co

nghiem duy nhàt trén nùa truc (0, 00)
va
nò
co
dang:
x{t) =
T{t)p{0)
+
/Q
T{t -
5)/(5,
x(5
+
9))ds;
t
>
0,
x(t) = ^{ty,-h ^
t
^ 0
voi
(r(t))(>o
là nùa nhóm lién
tue
manh sinh ra bòi toàn tu A . Bang càch su dung bó
de
Grown-Belmann
cùa phuong trình vi phàn
co
chàm ta

co
dinh ly sau:
Dinh ly 2.4. (i) Neu
||r(t)|l ^
M,\'t
> 0
;///
nghiem làm thuòng x{t)
=
0 cùa phuang
trinh (2) là ón
dinìi
déu.
(ii) Neu
lim(_»3c
||2"(t)||
=
0 thì
ngìiiém
tdm
thuang
x{t)
=
0 cùa
phucnig
trinh (2) là ón
dinh mù déu.
Tu
dò»
chùng tòi

co
dua ra diéu kién dù cùa su ón dinh déu
va
ón dinh mù déu cùa phuong
trình (2) khi E
=
R""
nhu sau:
10
He
qua
2.5. . Càc tfnh chat sau là tuang duang:
a)
||r(t)KM;Vt>0
b) nghiem tàm thuòng x{t)
=
0 cùa phuong trinh (2) ón dinh.
e)
nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trình (2) ón dinh déu.
d) tàt cà càc già tri riéng A cùa A thòa man ReX
^
0,
va
néu
i?eA =
0, thi
A =
0
va A
là già

tri don
(tue
là, ò Jordan ùng vói
A
co co là 1)
He qua 2.6. Càc tfnh chà't sau là tuang duong:
a)
lim,^oo||r(t)||=0
b)
||r(t)||
^C.e"^^Vt>0
e)
nghiem tàm thuòng x{t)
=
0 cùa phuang trinh (2) ón dinh tiem càn déu.
d) nghiem tàm thuòng x{t)
—
cùa phuong trinh (2) ón dinh
mti
déu.
e) tàt cà càc già tri riéng cùa A déu
co
phàn
thiic
àm,
tue
là, ReX < 0;VA G a{A)
3.
Tuang duang tiém can cùa phuang
trình

vi phàn
co
cham trong khóng gian Banach
Sau
day,
chùng tói giói thiéu tfnh tuong duang tiém can hai he phuang trình vi phàn sau:
(4)
^ =
Ax{t),t>0,
at
(5) '^=Ay{t)-\-f{tMt
+
6)),t>^,
Dinh nghla 3.1. phuong trinh (4)
va
phuang trinh (5) goi là tuong duong tiém càn. Néu
mgi nghiem x{t) cùa phuang trinh (4), déu
co nghiem
y{t) cùa phuong trinh (5) sao cho:
(6)
lim
||y(t)-x(t)||-0,
va
ngugc lai vói mói nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) co nghiem x{t) cùa phuang trình (4)
sao cho thòa man
(6)
.
Khi dò chùng tòi dà chùng minh dugc su tuong duong tiém càn cùa hai he nhu sau:
Dinh ly 3.2. Gid su tón tgi càc so duang
M,

C,
u va
phép
chié'u
P
:
E
^
E sao cho:
(a):
|ir(t)P||
^:Ue ^VtG/^+,
(b):
\\T{t){I-P)\\^C,ytER.
thì khi
dò
phuang trình (4)
va
phuang trình (5) là tuang duang tiém càn.
Tuong tu nhu két qua
a
bài bào
[?],
chùng tói dua ra két qua
de
àp dung nhu sau:
He qua 3.3. Phuang trinh (4)
va
phuang trình (5) là tuong duong tiém càn néu 1 trong
càc diéu kién sau duoc thòa man:

Mot
s6'
và'n de ve
phucmg trình hàm.
U
i):
{T{t))t'>o
là tap compact cuoi cùng va bi chan déu .
ii):
X
~
R"^
va
{T{t))t>o bi chan déu
(Levinson's
theorem).
CHlJÓNG
2
Tinh
hàu
tu'
dàng
càu
cùa nghiem cùa
phu'ong
trình vi phàn
1.
Tóng cùa toàn tu gìao hoàn
va
su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng càu

Trong phàn này chùng ta quan tàm dén
sir
tón tai cùa nghiem dù
tòt
hàu tu
dàng
càu cho
càc phuang trinh tién hoà co dang
du .
(7) — =
Au
+ f{t),
a
day
A là mot toàn tu tuyén tfnh (khóng bi chan)
ma
sinh ra
mot
nùa nhóm
chinh
hình cùa
càc toàn tu tuyén tfnh trén
mot
khóng gian Banach X
va
/ là mot hàm hàu tu dàng càu nhan
già tri trong X.
Chùng ta già su ràng A
là
toàn tu sinh cùa

mot
nùa nhóm giài tfch cùa càc toàn tu tuyén
tfnh trén X. Càc nghiem dù
tòt
trén
R
cùa Eq. (7) dugc hiéu là càc nghiem lién
tue
cùa
phuong trinh duói
day
x{t)
=
T{t - s)x{s) +
I
T{t-
OfiOdt Vt>s,t,sE
E,
o day
A là toàn tu sinh cùa nùa nhóm
{T{t))t^]^
va
/ E
AA{X).
Nhàc lai ràng
spu{g)
dugc dinh
nghia
là phó déu cùa
g.

Két qua duói
day
dà dugc chùng
minh trong [?]:
Dinh ly 1.1. Cho
A
là toàn tu sinh cùa mot
nùa
nhóm gidi tich
va
cho f E AA{X).
Thè'
tìiì
tón tgi duy nhàt
mot
nghiem dù tot g E
AA{%)
cùa Eq. (7) sao
elio spu{g)
C
spu{f)
vài
diéu kien là
a
{A)
fi ispu{f) —
0 duac
tìiod
man.
Diéu này ma róng mot két qua dà biét trong huóng này. Hon

thè,
phuong phàp chùng
minh dua trén khai niem
ve
phó déu là mói. Chù y ràng hàm hàu tu dàng càu khóng nhàt
thiét là lién
tue
déu. Vi vay, càc phuong phàp truóc day dua trén
tinh
lién
tue
déu khóng làm
viéc dugc trén bài
toàn
tóng quàt khi
ma
/ khóng lién
tue
déu.
Tiép theo, chùng ta xét càc phuong trình
co
dang
dx
(8) —
=
A{t)x^f{t),
13
14
a day A{t) là
mot

toàn tu tuyén
tinh
(nói chung khóng bi chan) trén mot khóng gian Banach
X
ma
sinh ra mot
qua
trinh tién hoà
1-tuàn
hoàn
{U{t,
s))t>s,
va
/ là mot hàm hàu tu dàng
càu nhan già tri trong X trén
R.
Chùng ta quan tàm càc diéu kien
ma
dói vói no moi nghiem
dù tot giói nói cùa phuong trình này là hàu tu dàng càu. Toàn
tu
C/(l,
0) dugc ggi là toàn
tu
monodromy két hgp vói phuang trình.
Dinh ly duói day dà dugc chùng minh trong [?]:
Dinh ly 1.2. Cho A{t) trong Eq. (8) sinh ra mot
qua
trinh tién hoà lién
tue

mgnh
l-tudn
lioàn,
va
cho f là hdu tu dàng càu. Gid
su
thém ràng khóng gian X khóng chùa khóng gian
con nào
dàng
càu vài
CQ
va
phàn pho cùa toàn
tu
monodromy
U{1,0)
trén duang
tran
dan vi
là
dém
dugc. The thì, mgi nghiem dù tot giài nói cùa Eq. (8) trén duàng thàng thuc là hàu
tu dàng càu.
Chù y ràng càc két qua tuong
tir
dùng dói vói tfnh hàu tuàn hoàn. Tuy nhién, càc phuang
phàp chùng minh càc két qua nhu vay
dira
nhiéu vào tfnh lién
tiac

déu cùa /.
2.
Càc
he
dóng lue ròi rac
va
su lién
he
vai càc
he
dóng
lue
lién
tue
Xét phuong trinh sai phàn tuyén tfnh
(9)
Xn+l = BXn
+
fn,
TI
E Z,
ò day B là mot toàn
tu
tuyén tfnh giói
nói.
Duói
day
chùng ta se ky hiéu ar{B) phàn phó
cùa B trén duòng tròn don vi
F

cùa mat phàng phùc. Nhàc lai ràng
sp^{x)
ky hiéu phó cùa
day
X
dói vói mot khóng gian A
ma
thoà man Diéu kién H.
Bó
de
2.1. Cho x E
l'^{X)
là
mot
nghiem cùa (9),
va
cho f E A. The thì
(10)
spA{x)Car{B).
BÓ
de
2.2. Cho A là khóng gian cùa tàt ed càc day
ìiàu
tu dàng càu trong X,
va
cho
X E
/°^(X)
sao cho
spj,{x)

là dè'm dugc. Han the, gid
su
ràng khóng gian X khóng chùa
khóng gian con nào dàng càu vài
Co.
The thì, x E A.
Dua trén càc Bó
de
này chùng ta co
thè
chùng minh Dinh ly duói day ([?]):
Dinh ly 2.3. Cho B là
mot
toàn tu tuyè'n tinh giài nói trong X vài
ar{B)
là dè'm duac,
va
cho X khóng gian con nào dàng càu vài
CQ.
Già su thém ràng
{xn}n<^z
là
mot
day bi
cliàn
thod man phuang trình
(11)
Xn^\
= BXn +
Vn.

U
E
Z,
à
day {yn}n€Z
E
aa{li).
The thì
{x„}
là
ìiàu
tu dàng càu.
Tfnh hàu
tu
ding
c^u
cùa
nghiem
cùa
phifong
trình vi
phAn.
15
Nhò mói quan he giùa càc phuong trinh ròi rac
va
càc phuong trinh lién
tiic
chùng ta
co
duói

day:
Bó
de
2.4. Cho u là mot nghiem dù tot giài nói cùa (8) trén R
va
f là hàu tu dàng càu.
Khi
dò,
u là hàu tu dàng càu né'u
va chi né'u
day
{u{n)}n€Z là
hàu tu dàng càu.
Vi
vày, bó
de
trén cho phép chùng ta
su diing
càc ké't qua ve tfnh hàu
tir
dàng càu cùa
càc day
de
chùng minh càc két
qua
tuong
tir
cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn. Ky thuàt
này dac biét
hiru

fch khi / khóng lién
tue
déu.
Bay giò chùng ta xét dàng diéu cùa nghiem cùa phuang trình xàc dinh trén nùa duòng
thàng, càc phuong trình
co
dang
(12) x{n + 1)
=
Bx{n) +
f{n),
nEn,XnE\,
a day B là
mot
toàn
tu
tuyén tfnh giói
nói
trong X.
/^(X) := {{x(n)}n€N : ^{n)
E X, sup||x(n)|| < +oo}.
nGN
Dinh ly 2.5. Cho x E
1^{X)
là ergodic toàn cuc
va
a\p{x)
là dè'm dugc. The thì x là
hàu tuàn hoàn tiém càn.
Dinh ly

2.6.
Gid su ràng phàn cùa a{B) trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, f là hàu
tuàn hoàn tiém can, x là
mot
nghiem giài nói cùa (12)
ma
là ergodic toàn cuc. The thì, x là
hàu tuàn hoàn tiém càn.
Chùng ta xét duói
day
phuong trinh
(13) ^^{t)
= A{t)x{t) + f{t),
tGR+,
ò
day
A{t) là mot toàn tu tuyén tfnh trén X
ma
sinh ra
mot
qua trinh tién hoà
1-tuàn
hoàn
va
/ là hàu tuàn hoàn tiém can.
Dinh ly 2.7. Gid
su
ràng Eq(13) eó
mot
nghiem bi chgn x{t), phàn pho cùa

a{U{\,Q)
trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, day
{x(n)}^^,^-
là ergodic toàn cuc.
Tliè'thì,
x{t) là
ìiau
tuàn hoàn tiém càn.
CHUÓNG
3
Mot
SO
mò hình
ùng
dung
1.
He dòng
lue
trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niém ma
dàu
1.1. He dóng
lue
dugc sàp thù tu dàc biét. Ta ggi
[M,
G,
/] là
he
dòng
lire
dugc sàp

thù tu dac biét, trong dò:
M là khóng gian metric. G là nhóm dugc sàp thù
tir
dac biét. / là ành xa tu khóng gian
tfch M
X
G vào M thoà man càc tfnh chat sau:
(i)
f{p,e)=p
(ii)
f{f{P.9i).92) = f{p.gi92)
(iii) Vói mpi p E
M,
phàn
tu 5
G
G va so £
> 0, tón tai so 6 > 0 sao cho vói mgi
q E S{p,6) bàt dàng thùc
p{f{p,g)J{q,g))
<
e(*)
thoà man.
Dói khi diéu kién cuoi ta thay
bang
diéu kién lién
tue
manh hon là diéu kién lién
tue
tfch

phàn: vói moi
go
E
G^,
so
e
> 0
va
p G
M,
tón tai
so
5 >) sao cho vói mgi q E S{p, 6) bàt
dàng thùc
(*)
thirc
hien vói mgi g E
{e,go)-
Già
su ^
C M, K
C
G,
ta
ki
hiéu:
f{A,K)^{f{p,g):pEA,gEK}
J:A^f{A,G),E^
= f{A,G+)
Hàm

f{p,g)
vói diém p co dinh goi là chuyén dòng. Tàp goi f{p, G) là quy dao cùa chuyén
dóng (hay quy dao toàn phàn.
1.1.1. Tdp bàt bien. Tàp A
C
R
oq\
là
tàp bàt bién néu
f{A,g) =
A vói moi g E G
Dinh ly 1.1.
Tcjp
bàt bien là
nwt
tàp tgo nèn
tu
hgp cùa
mot
so càc quy dao toàn phàn
va ngU(fc
lai tàp
tu/p
càc quy dao toàn phàn
làp
nèn
mot
tàp bàt bien
Dinh ly 1.2.
H(/p

bàt kì cùa càc
tcìp
bàt bien là nwt tàp bàt bien. Giao bàt kì cùa cac
tàp bàt bien là
mot
tàp bàt bien. Phàn bù cùa tàp bàt bien cùng là
mot
tàp
bài
biè'n. Dao
dóng cùa tcìp bàt biè'n cùng là
mot
làp
bài
biè'n.
1.2, Tàp
ij.'-giai
han
ciia he
dòng
lue.
Hij
v"E^
18
Dinh nghla 1.3. Diém
u)-
giói han. Diém q E M goi là cu- giói han cùa chuyén dóng
f{p,
g) néu vói mgi
làn

can
Uq,
V5
G
G,
tón tai phàn
tu
g'
E
Gsao
cho
g'
> g
va
f{p,
g')
E
U,^.
Tap hgp tàt cà càc diém
a;-
giói han cùa chuyén dòng f{p,g) ta kf hiéu là fip.
Tuong
tir
ta
co
djnh nghla diém
a-giói
han cùa chuyén dòng f{p,g) néu vói moi làn can
Uq.
Mg E G, tón tai phàn

tu
g'
E Gsao cho
5'
<
g va
f{p,g') E
Ug,
Tàp hgp tàt cà càc diém
u-
giói han cùa chuyén dòng
f{p,g)
ta ki hiéu là
Ap.
Dinh ly 1.4. Tàp
flp{Ap)
là tàp dóng bàt bien.
Dinh ly 1.5. (i)
Néu
q E
f{p,G)
thì fip
-
fi,
(ii)
g
G
E+
thì fig C fip
1.3.

Chuyén
dóng ón dinh theo Lagrange. Ta dà biét ky hiéu
T>A
=
f{A,G),T.^
=
f{A,G^)
Dinh nghla
1.6.
Chuyén dóng f{p,g) là ón dinh duong (ón dinh ) theo Lagrange néu
E+(Sp)
là tàp compact.
Dinh ly 1.7. Néu G là
mot
nhóm eó huàng
va
chuyén dóng f{p,g) là ón dinh Lagrange
tlieo
huàng duang thì fi
7^
0
Djnh ly 1.8. Néu G là mot nhóm co huàng
va
chuyén dòng f{p,g) là on dinh Lagrange
tlieo
huàng duang thì vài mgi e >
Q va
vài mgi g E G luón tón tgi g' > g sao cho
p{f{p,g'),Qp)<e
1.3.1. Diém dùng.

Dinh nghla 1.9. Diém p hay quy dao f{p,g) goi là diém dùng néu vói mgi g E G
Va
co
f{p.g) ^
p-
Dinh ly 1.10. Tcìp hgp càc diém dùng là tcìp dóng. Khóng
mài
quy dao nào khàc
diém
dùng
leu co thè rc/i
vào diém dùng lai mot
pliàn
tu g E G.
Dinh ly
1.11.
Nè'u
ch'il veri
bàt ky 5 >
[) nìió
lux y, tón tgi q E
S{p,
8) sao
elio
f{q,
G)
C
S{j),S).
thi
j)

là dièm dùng yèn.
Cac
mó
hình
img
dung
_^^
2.
Mò hình dàn so
Sau day chùng tói xin dugc giói thiéu so qua
ve mot
so mó hình dàn so
co
dién.
2.1.
Mó hình dàn so co dién cùa Malthus. : Nàm 1789 TR.Malthus dat ra mó hình
dàn so dóng
lue ma
trong do toc dò tàng
truòng
cùa quàn
thè
ti le vói dò
lón
cùa dàn so vói
càc già thiét sau:
1.
Mgi dóng vat déu eó càc tfnh chat sinh thài nhu nhau (khóng eó su khàc nhau
ve tuoi
hay

ve
gióng).
2.
Co
phàn ùng ngay
lap tue
khi
co
càc bién dói cùa mói truòng.
3.Khòng
co
cu trù ( chi
co
sinh
va
chét)
Trong mó hình này hàm
F(t),
biéu dién tóng so phàn
tu
eó trong quàn
thè
tai thòi diém
t, b là so trung bình càc con chàu (biéu hien
toc
dò sinh ) theo mòi dòng vàt
va
theo don vi
thòi gian, d là ty
le

càc dòng vat chét theo don vi thòi gian (biéu thi
toc
dò chét). Nhu vày,
ta eó:
Trong khoàng thòi gian At:
P{t + At)
=
P{t) + bP{t)
-
dP{t)
nén ta
co:
Cho At
^
0 ta co hàm P{t) thoà man phuong trinh vi phàn sau:
^^^{b-d)P{t) = XP{t)
t>0
dt
a day
A
là tham
so
Malthus là hàng
so
dói vói quàn
thè
cho truóc chi su tàng truòng nói
tai.
Day là phuong trinh vi phàn don gian:
Ta eó

thè de
dàng tim ra nghiem cùa phuang trinh trén là hàm mù P{t)
=
e'*^'P(0)
Nhung do
qua
trinh tu tàp quàn thè ( dóng
lén
)
va siJ
giói han cùa tài nguyén (su thiéu
thón) nén
A
khóng phài là hàng so
ma
phu thuóc vào kich thuóc cùa quàn thè
va
tài nguyén.
Tue
là:
A =
A(t,
P{t))-
Do dò, chùng ta eó thè xét mot mó hình tóng quàt han là:
^
=
X,P{t)
+ f{t,P{t))
Dac biét vào nàm 1838 P.F.Verhulst dua ra mó hình dàn
so

mói trong dò A giàm khi P{t)
tàng
va co
su phu thuóc vào tiém nàng cùa mói truòng.
De
mó tà diéu dò ta chon:
f{t,p(t))
p~{t
K
20
.
Tue
là:
A^A.Il-^
Do
dò,
hàm P{t) thoà man phuang trinh vi phàn sau:
Phuong trinh vi phàn tra thành phuang trinh logistic. Trong
dò.
Ai
là hàng
so
miéu tà
sir
phàt
trién nói tai cùa quàn thè
va I{ àuge
goi là tiém nàng tài.
Ta
co

thè giài
triJc
tiép phuong trinh trén
bang
phuong phàp phàn ly bién
so.
Ta
co:
^^^^ "
1 +
[K/P{0)
-
l]e-^^^
*-°
Ta thày ràng
nghiem
trén
co
tfnh chat
lim^^^oo =
K.
Do dò, trong su ma róng cùa dàn so
Malthus; dàn
so
dat trang thài càn
bang
khóng tàm thuòng khi thòi gian ra vó han.
2.2.
Mó hình
co

dién tuyén
tinh
cùa F.R.Sharpe va
A.Lotka:
Mó hình cùa Malthusi
va
Verhulst là càc vf
dii
cùa su lién
tiic va sir
tàt yéu cùa mò hình dàn
so.
Sau dò, ly thuyét
dóng hgc lién
tiic
cùa càc quàn thè sinh hgc dugc nhiéu nhà toàn hgc, sinh hoc
va
diéu tra dàn
so ma róng
va
phàt trién. Dàc biét, mó hình quàn thè tuyén tfnh
co
ành huong cùa càu trùc
tuoi
dugc nghién cùu róng rài. Trong so càc mò hình
dò,
phài kè
dèh
mò hình cùa F.R.Sharpe
va

A.Lotka(1911); A.G.Mckendrick(1926).
Ben
canh dò mò hình phi tuyén
cOng
dugc nhiéu
nguòi nghién
cixu,
Nàm 1974, M.Gurtin, R.C. MacCamy
va
F.Hoppensteadt dà giói thiéu
mot
so mó hình quàn thè phi tuyén.
Sau
day
tói xin giói thiéu mó hình tuyén tfnh
co
dién cùa F.R.Sharpe
va
A.Lotka(1911)
dugc hình thành nhu sau:
Lày hàm
p(a,
t) là hàm mat dò phu thuóc vào
tuoi
a cùa dàn
so
tai thòi dièm t. Don vi
cùa
p{a,
t) dà dugc cho trong don vi cùa dàn so chia bòi don vi thòi gian. Theo y tuong

dò,
tóng so dàn tai thòi dièm t cùa càc thành vién cùa quàn thè
co
dò
tuoi
tu
ai
dén
a2
là :
fO.2
/
p{a,
t)da
J a\
và tóng so dàn tai thòi dièm t cùa quàn thè là:
P[t)= I p{a,t)da
Hàm mat dò phài thoà man
luàt
càn bang (balance
law)
cùa qua trình dàn so.
Tue
là:
Dl{a,f) =
-li{a)p{aJ).
Cac mó hình
ung
dung
a day

p
là hàm khóng khóng àm cùa
tuoi
goi là dàc trung
tuoi
thè hién su tiéu hao cùa
quàn thé( mortalily modulus) và toàn
tu
vi phàn D dugc dinh nghla là:
h-^o+
h
Và
qua
trinh sinh truòng cùa dàn so thoà man luàt sinh
truòng
(birth law) nhu sau:
'OO
p(0,t)
= /
P{a)p{a,t)da.
t> 0
Jo
ò day,
/3(a)
là hàm
tuoi
khóng àm dugc
bié't dèh
nhu dàc trung sinh
san

hay ta eó thè hiéu
day
là khà nàng sinh san cùa
tuoi
a. Biéu thùc
p(0,
t) eó thè giài thfch là
so
thành vién chào
dòi cùa quàn
thè
tai thòi diém t. Thóng thuòng do càc
loài
déu co
tuoi hùu
han nén ta thuòng
già
su
a; < +00 là
tuoi
tho lón nhàt cùa quàn thè thì khi
dò
tóng so dàn cùa quàn
thè
và so
tré chào dòi tai thòi diém t duoc viét lai nhu sau:
puf
Jo
P{t)
=

/ p{a,t)da
Jo
puf
p{0,t)
= /
P{a)p{a,t)da.
t > 0
Sau day, ta se
de
càp dén su phàn bó cùa
tuoi
tai thòi diém ban dàu. Ta co:
p{a,0)
=
(p{a) a
> 0
o day, hàm
0
cùng là hàm khóng àm cùa
tuoi
a là biéu dién cho chùng ta
so
lugng càc thành
vién cùa quàn thè eó
tuoi
là a tai thòi diém ban dàu. Do càc diéu kién ò trén, hàm
cp
phài
thoà man diéu kién tuong thfch (compatibility condition) là:
puf

(P{0) =
/
p{a)4>{a)da.
2.3.
Mò hình cùa
Gunrtin-MacCamy:
Dén nàm 1974,
Gunrtin-MacCamy
dà ma róng
mó hình dàn
so
phi tuyén. Trong dò khà nàng tiéu hao( mortality modulus) và
khà
nàng sinh
san ( fertility modulus) phu thuóc phi tuyén vào mat dò.
Già
su
p{a,
t) và P{t) Ta eó tóng
so
dàn vàn
co
dang;
P{t)
= I p{a,t)da
Jo
Nhuiìg
luàt càn
bang
cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:

Dp{aJ.)
=:-/,(,;,
P(0)/;(a,/).
22
Và luàt sinh truòng cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:
p(0,t)-
/
P{a,P{t))p{a,t)da.
"t>0
Jo
Nhu vay, hàm
p va P
Ih.
càc hàm khóng àm cho truóc
phii
thuóc vào hai bién.
2.4.
Mó hình dàn so ma róng: Nhung nàm gàn
day
ly thuyét ón dinh cùa mó hình
quàn thè da trang thài, trong do
co
su nhap cu và di cu dà dugc nhiéu nhà toàn hoc và
dàn so hgc nghién cùu nhu Pollard(1975), Espenshade(1982), Mitra(1983),Cerone(1986) và
H.Inaba(1988).
Mò hình quàn thè thiét lap nén he Lotka- von Foerster khóng thuàn nhàt. He
này dà dugc chuyén
ve
bài toàn Cauchy tóng quàt trong khóng gian Banach. Chùng ta se
nghién cùu dàng dieu tiém càn cùa nò

bang
ly thuyét
GQ
nùa nhóm.
De
thuàn tién chùng tói
xin dugc giói thiéu mò hinh dugc mó tà
bang
he Lotka- von foerster khóng thuàn nhàt:
Dat p(a,t)
=
{pi{a,t),p2{a,t),
,pn{a,t)y,
trong
dópi(a,t),
0
^ z ^
n là hàm mat
dò cùa quàn thè con thù
z,
tue là
J^
Pi{u,
t)du là thè hién so cà thè ò quàn thè con thù i trong
eó
tuoi
tu a dén 6 tai thòi diém t. Dat L{à) là
mot
ma tran n x
n,

goi là ma tran ty le song
sót (the survival rate matric), trong dò phàn
tu
lij{à) là ty le
ma mot
cà thè sinh ò quàn thè
con thù j sé
con
song trong quàn thè con thù i a
tuoi
a. Q{a) là
mot
ma tran n x n
,
trong
do phàn
tu qij{a)
là
toc
dò chuyén dói tue thòi cùa quàn thè ò
tuoi
a tu quàn thè con j dén
quàn thè con i. Càc phàn
tu
trén duòng chéo:
qu{a)
=
-lii{a)
-
Y^qij{a),

0
^ z ^
n
0
dò kf hiéu cùa khà nàng tiéu hao (chét) (mortality modulus) cùa quàn thè con thù i.
Dàt a; < oc là
tuoi
thg lón nhàt cùa quàn thè. Ta dinh nghla ma tran ty le chuyén tiép
L{b,a)
:=
L{b)L~'^{a)
vói 0
^
a
^
a;
và
L{a,a)
= /. Dàt M{a)
là
ma tran ti le sinh, trong
dò mij{a)
> 0 cùa nò là trung bình
so
cà thè con chàu ò quàn thè con thù i trén don vi thòi
gian, dugc sinh ra bòi
mot
cà thè
j.
Bài toàn là nghién cùu mot mò hình quàn thè

co
su di
cu và nhap cu. Bài toàn dugc mó tà boi he Lotka - von Foerster khóng thuàn nhàt :
(^
+
^M«'0
=
Q{a)p{a,t)
+
f{a,t,pia,t))
puf
p{0,t)
= /
M{a)p{a,t)da.
t > 0
Jo
p{a,0)
=
ó(a),
trong dò hàm
/:[0,a,i X [O,ocì
-^C"
Càc
mó hình
ùng
dung
VOI
f{a,
t,p{a, t))
:=

lim[p(a +
/z,
t +
/i)
- L{a +
h,
a)p{a,
t)],
dugc ggi là hàm mat dò
tuoi
cùa càc cà thè di cu thuàn tuy (the age-desnity function of the
net migrants).
Chùng ta xét toàn
tu
A dugc ggi là toàn
tu
dàn so xàc dinh nhu sau:
A : D{A) C
L^(0,a;;G")
^
L'{0,u;C')
vói
A(P{a):=-—(P{a)
+
Q{a)(P{a),
da
D{A)
:= {(p
E
Li(0,a;;G")

:
(p
lién
tue
tuyét dói vói
<p{0)
=
J^
M{a)(p{a)da}
trong dò D{A) kf hiéu mién xàc dinh cùa toàn
tu
A. Khi ày he dugc dua
ve
bài toàn Cauchy:
(14)
f^p{t)
= Ap{t) +
f{t,p{t)),
t>0.
p(0) =
(P
vói
mòit
G
/?+,
f{t,p{t))
:- f{;t,p{.,t)y,p{t)
=
p{;t)
E

L'{0,u-a')
:=
X. Tu càc ké't
qua dà biét trong bài bào [4] ta eó toàn
tu
A là toàn
tu
dóng, mién xàc dinh cùa D{A) trù
mat trong X và toàn
tu
A sinh ra nùa nhóm compact
{T{t))t>o-
2.5. Mó hình dàn so nghién cùu
chình:
Thuc té, so nguòi di cu và nhàp cu sau mot
thòi gian nhàt dinh mòi ành huòng dén
toc
dò tàng truòng cùa quàn thè cung gióng nhu mot
phàn tu cùa quàn thè khi chuyén dói
tu
trang thài này dén trang thài khàc càn eó thòi gian
de
thich nghi thì khi dò
nò
mói dugc coi hoàn toàn là ò trang thài mói. Do dò chùng tói dà
dua ra
he
Lotka
-
von Foerster

khón^
thuàn nhàt
co
hàm mat dò
tuoi co
chàm nhu sau.
TT
+
^)P(«.
0
=
Q{a)pia,
t) +
/(a,
t.p{a,
t
+
9)); -h
^
0
^
0
da ut
p{0,t)
= /
M{a)p{a,t)da.
t > 0
Jo
tron"
dò

hàm
7;(a,0) =
<^(«),
/ :
[0,cv'l
X
[(),oc] C
24
vói
f{a,
t,p{a,
t + 9)) :=
lim[p(a -{-h,t +
9
+
h) -
L{a-\-
h, a)p{a, t
+
9)],
Do
dò
tuong
ti;
nhu trén ta dua dugc
ve
bài toàn Cauchy cùa phuang trình
\'i
phàn
co

chàm eó dang phuang trình chùng ta dang nghién cùu (2)nhu sau:
-p{t)=Ap{t)
+
f{t,p{t
+
9)),
f>0,
p(0) -
(P{t),
-h^t^O
2.6. àp dung càc két qua dà co vào bài toàn dàn so. Già
su (r(t))£>olà
nùa nhóm dàn
so
sinh bòitoàn
tu
dàn so A theo tài liéu [8], nùa nhóm dàn
só(T(t))(>o
là nùa nhóm compact
voi t > fi
tue
là lap compact cuoi cùng Két hgp vói he qua (3.3) ta thày mó hình dàn so eó
sir
di cu ( vói quy mò khóng
qua
lón)
co sir
tuong duong tiém càn vói mò hinh thàn nhàt
(khóng eó
sijf

di cu). Hon
nua,
trong mó hinh sau khi dà
co sir
di cu (khóng thuàn nhàt) co
thè tfnh dugc
so
thành vién ò dò
tuoi
a , thóng qua so thàn vién tuong ùng vói thành vién o
dò
tuoi
b cùa mó hinh khóng eó
sijf
di cu (thuàn nhàt). Tu do cho chùng ta eó su
dir
doàn
so
thành vién cùa do
tuoi
a cùa mó hinh di cu néu chùng ta
co
so liéu cu thè. Càc két qua trén
co
thè giùp chùng ta trong viéc diéu
chinh
so nguòi sao cho phù hgp vói yéu càu
lao
dóng
trong càc vùng khàc nhau cùa

mot
dàt nuóc
bang
càch di cu. Nhung
de
àp
diing mot
càch
co hieu qua dòi hòi phài
co mot so
khàc
phiic mot so
khò
khan
tiép theo
ve
mat tfnh toàn .
Chùng tòi dà
dir
dinh se khàc
phijc
nò
bang
càch
su diing
ly thuyét phuang trình sai phàn.
3.
Mó hình ngoai thuang da quóc
già
l.Mò

hình chung
Tóng thu nhap quóc dàn (Y) bao góm :
Tong già tri
xuàt
khàu(X) + Tong tiéu dùng (D) + long CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y
=
X + D
+
I.
Ky hiéu:
Y
=
Tóng thu nhàp quóc dàn; M = Tóng GT nhàp khàu
X = Tóng GT xuà't khàu; C = Tóng tiéu dùng ; I = Tóng chi
phi
dàu tu ;
Chù y ràng tóng kinh phf cho tiéu dùng nói dia (D)
bang
:
Tong chi phi tiéu dùng (C) - Tong GT nhàp khdu (M).
Tue
là :
D = C-M.
Nén ta co tóng thu nhàp quóc dàn (Y) sé bao góm :
Tong già tri xuà't khàu(X) + Tong tiéu dùng (C)- Tong GT nhàp
khdu (M) +
+ tong CP dàu tu ròng (I)
Hay:

Y=X+
C
-M
+1.
Già thiét:
I.
Thài diém quan
sài
:
Thòi gian thòi diém quan sàt ròi rac : n = 0, 1, 2,
2.Quy
luàt kinh té'
Tóng già tri nhàp khàu (M) và tóng chi
phi
tiéu dùng nói dia (D) (bao góm tóng chi
phi
tiéu dùng
(C)trù
di tóng chi phf nhàp khàu (M)) ty le vói tóng thu nhàp quóc dàn (Y) ò thòi
ky truóc
dò,vi
vày ky hiéuchi
so
j,i
là nuóc thù
ij
ta
co:
D,(n-^I)=
a,^.Y;(n)(i=l,2)

,
M,(n^l)=
a^,Y-Jn),
(i=]J;j=3-i)
.
Gid
su
long
so'
chi cho nhàp
kliàu
cùa
nuàc
này là tóng so thu cùa xuàt khdu cùa
nude
kia
và ngugc lai :
Mj(n)=X,(n)
.
M,(n)=Xj(n),
Tu
càc già thiét trén
cuòi
cùng ta se di dén
he
phuang trình sai phàn :
2.He
hai phuang trình sai phàn :
25
y,(n+l)=

anyi(n)+ ^^nJiM
+
I;
y2(n+l)
=
a2i>'i(i^)+'^22}'2(n) + l2
( n =
no,
Ho+l,
no+2, )
Ky hiéu :
U(n)
=
col.
(y2(n)
,y2(n));
B =
col.a,,!^);
A=(
a,^
),.,
Ta co phuong trinh ma
tran
:
U(n+1)= AU(n)+B.
( n
=
no,
no + L
no+2,

)
3.Giài
phuang trình sai phàn và ve do
thj
minh hoa:
>
a:=l/2;
Vi
du
bang so
a
:•
> b
>
e
:
> e :
= 1;
= 0;
= 1/4
b
:=
1
e :=
0
e
:= —
>ptl:=y(n+l)=a-*'y(n)-^b*2
(n)+5;
pll

:= y{ n
+
1 ) =
-
y{ n )
+
z (
^
)
+
5
> pt2
:=z [n-^l] =c^y{n)
4-e^z
(a)
-7;
pt2 := z (
/; +
1 )
==
7 + —
zi
n )
4
> dk:= y
(0)=1,z(0)=2;
^A := y(0)=
l,z(0)=
2
>

rsolve({ptl,pt2},(y(n),2(n);;
26